Theorem gsumclfi 14159

Description: Closure of a finite group sum. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumclfi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumclfi.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumclfi.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumclfi.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumclfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumclfi	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem gsumclfi

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumclfi.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	ffnd 5534	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
3		fnresdm 5492	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
5	4	oveq2d 6101	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) = (𝐺 Σg 𝐹))
6		reseq2 5058	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝐹 ↾ 𝑤) = (𝐹 ↾ ∅))
7	6	oveq2d 6101	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑤)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ∅)))
8	7	eleq1d 2307	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑤)) ∈ 𝐵 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ∅)) ∈ 𝐵))
9		reseq2 5058	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝐹 ↾ 𝑤) = (𝐹 ↾ 𝑦))
10	9	oveq2d 6101	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑤)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
11	10	eleq1d 2307	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑤)) ∈ 𝐵 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵))
12		reseq2 5058	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐹 ↾ 𝑤) = (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})))
13	12	oveq2d 6101	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑤)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))))
14	13	eleq1d 2307	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑤)) ∈ 𝐵 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))) ∈ 𝐵))
15		reseq2 5058	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝑤) = (𝐹 ↾ 𝐴))
16	15	oveq2d 6101	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑤)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)))
17	16	eleq1d 2307	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑤)) ∈ 𝐵 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ 𝐵))
18		res0 5067	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ↾ ∅) = ∅
19	18	oveq2i 6096	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ∅)) = (𝐺 Σg ∅)
20		gsumclfi.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
21		gsum0cmn 14154	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
22		gsumclfi.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
23	21, 22	eqtr4di 2289	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝐺 Σg ∅) = 0 )
24	20, 23	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ∅) = 0 )
25	19, 24	eqtrid 2283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ∅)) = 0 )
26	20	cmnmndd 14111	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
27		gsumclfi.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
28	27, 22	mndidcl 13743	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
29	26, 28	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
30	25, 29	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ∅)) ∈ 𝐵)
31		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
32	20	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝐺 ∈ CMnd)
33	1	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
34		simprl 535	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
35		simprr 537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
36	35	eldifad 3231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
37	36	snssd 3860	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
38	34, 37	unssd 3405	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
39	33, 38	fssresd 5566	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})):(𝑦 ∪ {𝑧})⟶𝐵)
40		simplr 533	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
41	35	eldifbd 3232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
42	27, 31, 32, 39, 40, 35, 41	gsump1 14157	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))) = ((𝐺 Σg ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦))(+g‘𝐺)((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧)))
43	42	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))) = ((𝐺 Σg ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦))(+g‘𝐺)((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧)))
44	26	ad3antrrr 496	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
45		ssun1 3392	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})
46		resabs1 5092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦) = (𝐹 ↾ 𝑦))
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦) = (𝐹 ↾ 𝑦)
48	47	oveq2i 6096	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))
49		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵)
50	48, 49	eqeltrid 2325	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵)
51		ssun2 3393	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑧} ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})
52		vsnid 3741	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ {𝑧}
53	51, 52	sselii 3245	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑧 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})
54	53	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}))
55	39, 54	ffvelcdmd 5844	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧) ∈ 𝐵)
56	55	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧) ∈ 𝐵)
57	27, 31	mndcl 13736	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦))(+g‘𝐺)((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧)) ∈ 𝐵)
58	44, 50, 56, 57	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦))(+g‘𝐺)((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧)) ∈ 𝐵)
59	43, 58	eqeltrd 2315	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))) ∈ 𝐵)
60	59	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))) ∈ 𝐵))
61		gsumclfi.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
62	8, 11, 14, 17, 30, 60, 61	findcard2sd 7196	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ 𝐵)
63	5, 62	eqeltrrd 2316	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∖ cdif 3217   ∪ cun 3218   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  {csn 3709   ↾ cres 4776   Fn wfn 5372  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Fincfn 7022  Basecbs 13352  +_gcplusg 13431  0_gc0g 13610  Mndcmnd 13729  CMndccmn 14087   Σ_g cgsu 14150

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-inn 9305  df-2 9363  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885  df-ihash 11215  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-plusg 13444  df-0g 13612  df-gzsum 13613  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-minusg 13809  df-mulg 13923  df-cmn 14089  df-gsumfi 14151

This theorem is used by:  gsummptfidmadd  14161  gsummhm2fi  14165  lgseisenlem3  16191  lgseisenlem4  16192