Theorem gsummhmfi 14147

Description: Apply a group homomorphism to a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummhm.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummhm.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummhmfi.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ CMnd)
gsummhmfi.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsummhm.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
gsummhm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsummhmfi	⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (𝐾‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Proof of Theorem gsummhmfi

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummhmfi.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		isfinite4im 11214	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴)
4		bren 7024	. . 3 ⊢ ((1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
5	3, 4	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
6		gsummhm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		gsummhm.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8		gsummhm.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
9	8	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → 𝐺 ∈ CMnd)
10		gsummhmfi.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ CMnd)
11	10	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → 𝐻 ∈ CMnd)
12	11	cmnmndd 14094	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → 𝐻 ∈ Mnd)
13		1zzd 9654	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → 1 ∈ ℤ)
14		hashcl 11203	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
15	1, 14	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
16	15	nn0zd 9749	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
17	16	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
18		gsummhm.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
19	18	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
20		gsummhm.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
21	20	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
22		f1of 5637	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
23	22	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
24	21, 23	fcod 5551	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐴))⟶𝐵)
25	6, 7, 9, 12, 13, 17, 19, 24	gzsummhm 14128	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → (𝐻 Σgz (𝐾 ∘ (𝐹 ∘ 𝑓))) = (𝐾‘(𝐺 Σgz (𝐹 ∘ 𝑓))))
26		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
27	6, 26	mhmf 13755	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) → 𝐾:𝐵⟶(Base‘𝐻))
28	18, 27	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾:𝐵⟶(Base‘𝐻))
29	28, 20	fcod 5551	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∘ 𝐹):𝐴⟶(Base‘𝐻))
30	29	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → (𝐾 ∘ 𝐹):𝐴⟶(Base‘𝐻))
31	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
32		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
33	26, 11, 30, 31, 32	gsumvalfi 14135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (𝐻 Σgz ((𝐾 ∘ 𝐹) ∘ 𝑓)))
34		coass 5304	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∘ 𝐹) ∘ 𝑓) = (𝐾 ∘ (𝐹 ∘ 𝑓))
35	34	oveq2i 6090	. . . 4 ⊢ (𝐻 Σgz ((𝐾 ∘ 𝐹) ∘ 𝑓)) = (𝐻 Σgz (𝐾 ∘ (𝐹 ∘ 𝑓)))
36	33, 35	eqtrdi 2287	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (𝐻 Σgz (𝐾 ∘ (𝐹 ∘ 𝑓))))
37	6, 9, 21, 31, 32	gsumvalfi 14135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σgz (𝐹 ∘ 𝑓)))
38	37	fveq2d 5697	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → (𝐾‘(𝐺 Σg 𝐹)) = (𝐾‘(𝐺 Σgz (𝐹 ∘ 𝑓))))
39	25, 36, 38	3eqtr4d 2281	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (𝐾‘(𝐺 Σg 𝐹)))
40	5, 39	exlimddv 1954	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (𝐾‘(𝐺 Σg 𝐹)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128   ∘ ccom 4776  ⟶wf 5371  –1-1-onto→wf1o 5374  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079   ≈ cen 7014  Fincfn 7016  1c1 8174  ℕ₀cn0 9546  ℤcz 9627  ...cfz 10394  ♯chash 11197  Basecbs 13335  0_gc0g 13593   Σ_gz cgzsu 13594   MndHom cmhm 13747  CMndccmn 14070   Σ_g cgsu 14133

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-1o 6681  df-er 6801  df-map 6918  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-inn 9288  df-2 9346  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-seqfrec 10868  df-ihash 11198  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-plusg 13427  df-0g 13595  df-gzsum 13596  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-mhm 13749  df-cmn 14072  df-gsumfi 14134

This theorem is used by:  gsummhm2fi  14148