Theorem psrbagconf1o 14845

Description: Bag complementation is a bijection on the set of bags dominated by a given bag 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 6-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagconf1o.s	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹}

Assertion

Ref	Expression
psrbagconf1o	⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑥)):𝑆–1-1-onto→𝑆)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐼,𝑓   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑦,𝑓)   𝐼(𝑦)

Proof of Theorem psrbagconf1o

Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑥))
2		psrbag.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
3		psrbagconf1o.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹}
4	2, 3	psrbagconcl 14844	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ 𝑆)
5	2, 3	psrbagconcl 14844	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑧) ∈ 𝑆)
6	2	psrbagf 14835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
7	6	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
8	7	ffvelcdmda 5814	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℕ0)
9	3	ssrab3 3326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝐷
10	9	sseli 3236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → 𝑧 ∈ 𝐷)
11	10	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐷)
12	2	psrbagf 14835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐷 → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
14	13	adantrl 478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
15	14	ffvelcdmda 5814	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑛) ∈ ℕ0)
16		simprl 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
17	9, 16	sselid 3238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
18	2	psrbagf 14835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
19	17, 18	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
20	19	ffvelcdmda 5814	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑛) ∈ ℕ0)
21		nn0cn 9508	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
22		nn0cn 9508	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧‘𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑧‘𝑛) ∈ ℂ)
23		nn0cn 9508	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥‘𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑥‘𝑛) ∈ ℂ)
24		subsub23 8480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑧‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑥‘𝑛) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) = (𝑥‘𝑛) ↔ ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)) = (𝑧‘𝑛)))
25	21, 22, 23, 24	syl3an 1316	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑧‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑥‘𝑛) ∈ ℕ0) → (((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) = (𝑥‘𝑛) ↔ ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)) = (𝑧‘𝑛)))
26	8, 15, 20, 25	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) = (𝑥‘𝑛) ↔ ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)) = (𝑧‘𝑛)))
27		eqcom 2236	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) ↔ ((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) = (𝑥‘𝑛))
28		eqcom 2236	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)) ↔ ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)) = (𝑧‘𝑛))
29	26, 27, 28	3bitr4g 223	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) ↔ (𝑧‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛))))
30	6	ffnd 5511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 Fn 𝐼)
31	30	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝐹 Fn 𝐼)
32	13	ffnd 5511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 Fn 𝐼)
33	32	adantrl 478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧 Fn 𝐼)
34	19	ffnd 5511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑥 Fn 𝐼)
35	16, 34	fndmexd 5558	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝐼 ∈ V)
36		inidm 3432	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
37		eqidd 2235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑛))
38		eqidd 2235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑛) = (𝑧‘𝑛))
39	8	nn0zd 9701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℤ)
40	15	nn0zd 9701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑛) ∈ ℤ)
41	39, 40	zsubcld 9708	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) ∈ ℤ)
42	31, 33, 35, 35, 36, 37, 38, 41	ofvalg 6278	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑧)‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)))
43	42	eqeq2d 2246	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑛) = ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑧)‘𝑛) ↔ (𝑥‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛))))
44		eqidd 2235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑛) = (𝑥‘𝑛))
45	20	nn0zd 9701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑛) ∈ ℤ)
46	39, 45	zsubcld 9708	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)) ∈ ℤ)
47	31, 34, 35, 35, 36, 37, 44, 46	ofvalg 6278	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑥)‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)))
48	47	eqeq2d 2246	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑧‘𝑛) = ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑥)‘𝑛) ↔ (𝑧‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛))))
49	29, 43, 48	3bitr4d 220	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑛) = ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑧)‘𝑛) ↔ (𝑧‘𝑛) = ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑥)‘𝑛)))
50	49	ralbidva 2540	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑛) = ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑧)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑧‘𝑛) = ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑥)‘𝑛)))
51	5	adantrl 478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑧) ∈ 𝑆)
52	9, 51	sselid 3238	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑧) ∈ 𝐷)
53	2	psrbagf 14835	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑧) ∈ 𝐷 → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑧):𝐼⟶ℕ0)
54	52, 53	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑧):𝐼⟶ℕ0)
55	54	ffnd 5511	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑧) Fn 𝐼)
56		eqfnfv 5777	. . . 4 ⊢ ((𝑥 Fn 𝐼 ∧ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑧) Fn 𝐼) → (𝑥 = (𝐹 ∘𝑓 − 𝑧) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑛) = ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑧)‘𝑛)))
57	34, 55, 56	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑥 = (𝐹 ∘𝑓 − 𝑧) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑛) = ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑧)‘𝑛)))
58	9, 4	sselid 3238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ 𝐷)
59	2	psrbagf 14835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ 𝐷 → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑥):𝐼⟶ℕ0)
60	58, 59	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑥):𝐼⟶ℕ0)
61	60	ffnd 5511	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑥) Fn 𝐼)
62	61	adantrr 479	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝑥) Fn 𝐼)
63		eqfnfv 5777	. . . 4 ⊢ ((𝑧 Fn 𝐼 ∧ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑥) Fn 𝐼) → (𝑧 = (𝐹 ∘𝑓 − 𝑥) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑧‘𝑛) = ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑥)‘𝑛)))
64	33, 62, 63	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑧 = (𝐹 ∘𝑓 − 𝑥) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑧‘𝑛) = ((𝐹 ∘𝑓 − 𝑥)‘𝑛)))
65	50, 57, 64	3bitr4d 220	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑥 = (𝐹 ∘𝑓 − 𝑧) ↔ 𝑧 = (𝐹 ∘𝑓 − 𝑥)))
66	1, 4, 5, 65	f1o2d 6262	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘𝑓 − 𝑥)):𝑆–1-1-onto→𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  {crab 2526  Vcvv 2815   class class class wbr 4111   ↦ cmpt 4173  ^◡ccnv 4750   “ cima 4754   Fn wfn 5349  ⟶wf 5350  –1-1-onto→wf1o 5353  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052   ∘_𝑓 cof 6266   ∘_𝑟 cofr 6267   ↑_𝑚 cmap 6884  Fincfn 6977  ℂcc 8127   ≤ cle 8311   − cmin 8446  ℕcn 9239  ℕ₀cn0 9498  ℤcz 9579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-of 6268  df-ofr 6269  df-1o 6649  df-er 6769  df-map 6886  df-en 6978  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857

This theorem is referenced by: (None)