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Theorem itg2cn 25050
Description: A sort of absolute continuity of the Lebesgue integral (this is the core of ftc1a 25323 which is about actual absolute continuity). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2cn.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
itg2cn.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
itg2cn.3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
itg2cn.4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
itg2cn (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((volβ€˜π‘’) < 𝑑 β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) < 𝐢))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,π‘₯,𝐢   𝐹,𝑑,𝑒,π‘₯   πœ‘,𝑒,π‘₯
Allowed substitution hint:   πœ‘(𝑑)

Proof of Theorem itg2cn
Dummy variables π‘š 𝑦 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2cn.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
2 itg2cn.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
32rphalfcld 12898 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢 / 2) ∈ ℝ+)
41, 3ltsubrpd 12918 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) < (∫2β€˜πΉ))
53rpred 12886 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐢 / 2) ∈ ℝ)
61, 5resubcld 11517 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ∈ ℝ)
76, 1ltnled 11236 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) < (∫2β€˜πΉ) ↔ Β¬ (∫2β€˜πΉ) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2))))
84, 7mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ (∫2β€˜πΉ) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))
9 itg2cn.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
109ffvelcdmda 7030 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
11 elrege0 13300 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
1210, 11sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
1312simpld 496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1413rexrd 11139 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
1512simprd 497 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
16 elxrge0 13303 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
1714, 15, 16sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
18 0e0iccpnf 13305 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0[,]+∞)
19 ifcl 4530 . . . . . . . . . . . 12 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ (0[,]+∞))
2017, 18, 19sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ (0[,]+∞))
2120adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ (0[,]+∞))
2221fmpttd 7058 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞))
23 itg2cl 25019 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ*)
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ*)
2524fmpttd 7058 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))):β„•βŸΆβ„*)
2625frnd 6672 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))) βŠ† ℝ*)
276rexrd 11139 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ∈ ℝ*)
28 supxrleub 13174 . . . . . 6 ((ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))) βŠ† ℝ* ∧ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ∈ ℝ*) β†’ (sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))), ℝ*, < ) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))𝑧 ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2))))
2926, 27, 28syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))), ℝ*, < ) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))𝑧 ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2))))
30 itg2cn.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
319, 30, 1itg2cnlem1 25048 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))), ℝ*, < ) = (∫2β€˜πΉ))
3231breq1d 5114 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))), ℝ*, < ) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ (∫2β€˜πΉ) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2))))
3325ffnd 6665 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))) Fn β„•)
34 breq1 5107 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))β€˜π‘š) β†’ (𝑧 ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))β€˜π‘š) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2))))
3534ralrn 7033 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))) Fn β„• β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))𝑧 ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ βˆ€π‘š ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))β€˜π‘š) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2))))
36 breq2 5108 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛 ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š))
3736ifbid 4508 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘š β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0) = if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))
3837mpteq2dv 5206 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
3938fveq2d 6842 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘š β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) = (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))
40 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))
41 fvex 6851 . . . . . . . . . 10 (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ∈ V
4239, 40, 41fvmpt 6944 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))β€˜π‘š) = (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))
4342breq1d 5114 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))β€˜π‘š) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2))))
4443ralbiia 3093 . . . . . . 7 (βˆ€π‘š ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))β€˜π‘š) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ βˆ€π‘š ∈ β„• (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))
4535, 44bitrdi 287 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))) Fn β„• β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))𝑧 ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ βˆ€π‘š ∈ β„• (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2))))
4633, 45syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))𝑧 ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ βˆ€π‘š ∈ β„• (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2))))
4729, 32, 463bitr3d 309 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜πΉ) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ βˆ€π‘š ∈ β„• (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2))))
488, 47mtbid 324 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆ€π‘š ∈ β„• (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))
49 rexnal 3102 . . 3 (βˆƒπ‘š ∈ β„• Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ Β¬ βˆ€π‘š ∈ β„• (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))
5048, 49sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))
519adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
5230adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))) β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
531adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))) β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
542adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))) β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
55 simprl 770 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))) β†’ π‘š ∈ β„•)
56 simprr 772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))) β†’ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))
57 fveq2 6838 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦))
5857breq1d 5114 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š ↔ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š))
5958, 57ifbieq1d 4509 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0) = if((πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘¦), 0))
6059cbvmptv 5217 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘¦), 0))
6160fveq2i 6841 . . . . . 6 (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) = (∫2β€˜(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘¦), 0)))
6261breq1i 5111 . . . . 5 ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ (∫2β€˜(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘¦), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))
6356, 62sylnib 328 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))) β†’ Β¬ (∫2β€˜(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘¦), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))
6451, 52, 53, 54, 55, 63itg2cnlem2 25049 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((volβ€˜π‘’) < 𝑑 β†’ (∫2β€˜(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘¦), 0))) < 𝐢))
65 elequ1 2114 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑒 ↔ 𝑦 ∈ 𝑒))
6665, 57ifbieq1d 4509 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0) = if(𝑦 ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘¦), 0))
6766cbvmptv 5217 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘¦), 0))
6867fveq2i 6841 . . . . . . 7 (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) = (∫2β€˜(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘¦), 0)))
6968breq1i 5111 . . . . . 6 ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) < 𝐢 ↔ (∫2β€˜(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘¦), 0))) < 𝐢)
7069imbi2i 336 . . . . 5 (((volβ€˜π‘’) < 𝑑 β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) < 𝐢) ↔ ((volβ€˜π‘’) < 𝑑 β†’ (∫2β€˜(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘¦), 0))) < 𝐢))
7170ralbii 3095 . . . 4 (βˆ€π‘’ ∈ dom vol((volβ€˜π‘’) < 𝑑 β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) < 𝐢) ↔ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((volβ€˜π‘’) < 𝑑 β†’ (∫2β€˜(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘¦), 0))) < 𝐢))
7271rexbii 3096 . . 3 (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((volβ€˜π‘’) < 𝑑 β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) < 𝐢) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((volβ€˜π‘’) < 𝑑 β†’ (∫2β€˜(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘¦), 0))) < 𝐢))
7364, 72sylibr 233 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((volβ€˜π‘’) < 𝑑 β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) < 𝐢))
7450, 73rexlimddv 3157 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((volβ€˜π‘’) < 𝑑 β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) < 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3063  βˆƒwrex 3072   βŠ† wss 3909  ifcif 4485   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5187  dom cdm 5631  ran crn 5632   Fn wfn 6487  βŸΆwf 6488  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  supcsup 9310  β„cr 10984  0cc0 10985  +∞cpnf 11120  β„*cxr 11122   < clt 11123   ≀ cle 11124   βˆ’ cmin 11319   / cdiv 11746  β„•cn 12087  2c2 12142  β„+crp 12844  [,)cico 13195  [,]cicc 13196  volcvol 24749  MblFncmbf 24900  βˆ«2citg2 24902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-inf2 9511  ax-cc 10305  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063  ax-addf 11064
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-disj 5070  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-of 7608  df-ofr 7609  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-omul 8385  df-er 8582  df-map 8701  df-pm 8702  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-fi 9281  df-sup 9312  df-inf 9313  df-oi 9380  df-dju 9771  df-card 9809  df-acn 9812  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-q 12803  df-rp 12845  df-xneg 12962  df-xadd 12963  df-xmul 12964  df-ioo 13197  df-ioc 13198  df-ico 13199  df-icc 13200  df-fz 13354  df-fzo 13497  df-fl 13626  df-seq 13836  df-exp 13897  df-hash 14159  df-cj 14918  df-re 14919  df-im 14920  df-sqrt 15054  df-abs 15055  df-clim 15305  df-rlim 15306  df-sum 15506  df-rest 17239  df-topgen 17260  df-psmet 20711  df-xmet 20712  df-met 20713  df-bl 20714  df-mopn 20715  df-top 22165  df-topon 22182  df-bases 22218  df-cmp 22660  df-ovol 24750  df-vol 24751  df-mbf 24905  df-itg1 24906  df-itg2 24907  df-0p 24956
This theorem is referenced by:  itgcn  25131
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