MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2cn 25798
Description: A sort of absolute continuity of the Lebesgue integral (this is the core of ftc1a 26078 which is about actual absolute continuity). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2cn.1 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2cn.2 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
itg2cn.3 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
itg2cn.4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
itg2cn (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐶   𝐹,𝑑,𝑢,𝑥   𝜑,𝑢,𝑥
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑑)

Proof of Theorem itg2cn
Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2cn.3 . . . . . 6 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
2 itg2cn.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
32rphalfcld 13089 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ+)
41, 3ltsubrpd 13109 . . . . 5 (𝜑 → ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) < (∫2𝐹))
53rpred 13077 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ)
61, 5resubcld 11691 . . . . . 6 (𝜑 → ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ∈ ℝ)
76, 1ltnled 11408 . . . . 5 (𝜑 → (((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) < (∫2𝐹) ↔ ¬ (∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
84, 7mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → ¬ (∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
9 itg2cn.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
109ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
11 elrege0 13494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
1210, 11sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
1312simpld 494 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1413rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
1512simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
16 elxrge0 13497 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
1714, 15, 16sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
18 0e0iccpnf 13499 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0[,]+∞)
19 ifcl 4571 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
2017, 18, 19sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
2120adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
2221fmpttd 7135 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
23 itg2cl 25767 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ*)
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ*)
2524fmpttd 7135 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))):ℕ⟶ℝ*)
2625frnd 6744 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))) ⊆ ℝ*)
276rexrd 11311 . . . . . 6 (𝜑 → ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ∈ ℝ*)
28 supxrleub 13368 . . . . . 6 ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))) ⊆ ℝ* ∧ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ∈ ℝ*) → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))), ℝ*, < ) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
2926, 27, 28syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))), ℝ*, < ) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
30 itg2cn.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
319, 30, 1itg2cnlem1 25796 . . . . . 6 (𝜑 → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))), ℝ*, < ) = (∫2𝐹))
3231breq1d 5153 . . . . 5 (𝜑 → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))), ℝ*, < ) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ (∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
3325ffnd 6737 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))) Fn ℕ)
34 breq1 5146 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))‘𝑚) → (𝑧 ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
3534ralrn 7108 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
36 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹𝑥) ≤ 𝑛 ↔ (𝐹𝑥) ≤ 𝑚))
3736ifbid 4549 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0) = if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))
3837mpteq2dv 5244 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0)))
3938fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))))
40 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))
41 fvex 6919 . . . . . . . . . 10 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ∈ V
4239, 40, 41fvmpt 7016 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))‘𝑚) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))))
4342breq1d 5153 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
4443ralbiia 3091 . . . . . . 7 (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
4535, 44bitrdi 287 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
4633, 45syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
4729, 32, 463bitr3d 309 . . . 4 (𝜑 → ((∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
488, 47mtbid 324 . . 3 (𝜑 → ¬ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
49 rexnal 3100 . . 3 (∃𝑚 ∈ ℕ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ¬ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
5048, 49sylibr 234 . 2 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
519adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
5230adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝐹 ∈ MblFn)
531adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
542adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝐶 ∈ ℝ+)
55 simprl 771 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
56 simprr 773 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
57 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
5857breq1d 5153 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ≤ 𝑚 ↔ (𝐹𝑦) ≤ 𝑚))
5958, 57ifbieq1d 4550 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0) = if((𝐹𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹𝑦), 0))
6059cbvmptv 5255 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹𝑦), 0))
6160fveq2i 6909 . . . . . 6 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹𝑦), 0)))
6261breq1i 5150 . . . . 5 ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹𝑦), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
6356, 62sylnib 328 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ¬ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹𝑦), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
6451, 52, 53, 54, 55, 63itg2cnlem2 25797 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, (𝐹𝑦), 0))) < 𝐶))
65 elequ1 2115 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑢𝑦𝑢))
6665, 57ifbieq1d 4550 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0) = if(𝑦𝑢, (𝐹𝑦), 0))
6766cbvmptv 5255 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, (𝐹𝑦), 0))
6867fveq2i 6909 . . . . . . 7 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, (𝐹𝑦), 0)))
6968breq1i 5150 . . . . . 6 ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶 ↔ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, (𝐹𝑦), 0))) < 𝐶)
7069imbi2i 336 . . . . 5 (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶) ↔ ((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, (𝐹𝑦), 0))) < 𝐶))
7170ralbii 3093 . . . 4 (∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶) ↔ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, (𝐹𝑦), 0))) < 𝐶))
7271rexbii 3094 . . 3 (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, (𝐹𝑦), 0))) < 𝐶))
7364, 72sylibr 234 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶))
7450, 73rexlimddv 3161 1 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  wss 3951  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  ran crn 5686   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  supcsup 9480  cr 11154  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  +crp 13034  [,)cico 13389  [,]cicc 13390  volcvol 25498  MblFncmbf 25649  2citg2 25651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cmp 23395  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-0p 25705
This theorem is referenced by:  itgcn  25880
  Copyright terms: Public domain W3C validator