MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2cn 23744
Description: A sort of absolute continuity of the Lebesgue integral (this is the core of ftc1a 24014 which is about actual absolute continuity). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2cn.1 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2cn.2 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
itg2cn.3 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
itg2cn.4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
itg2cn (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐶   𝐹,𝑑,𝑢,𝑥   𝜑,𝑢,𝑥
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑑)

Proof of Theorem itg2cn
Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2cn.3 . . . . . 6 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
2 itg2cn.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
32rphalfcld 12098 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ+)
41, 3ltsubrpd 12118 . . . . 5 (𝜑 → ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) < (∫2𝐹))
53rpred 12086 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ)
61, 5resubcld 10743 . . . . . 6 (𝜑 → ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ∈ ℝ)
76, 1ltnled 10469 . . . . 5 (𝜑 → (((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) < (∫2𝐹) ↔ ¬ (∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
84, 7mpbid 223 . . . 4 (𝜑 → ¬ (∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
9 itg2cn.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
109ffvelrnda 6581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
11 elrege0 12498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
1210, 11sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
1312simpld 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1413rexrd 10374 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
1512simprd 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
16 elxrge0 12501 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
1714, 15, 16sylanbrc 574 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
18 0e0iccpnf 12503 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0[,]+∞)
19 ifcl 4323 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
2017, 18, 19sylancl 576 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
2120adantlr 697 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
2221fmpttd 6607 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
23 itg2cl 23713 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ*)
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ*)
2524fmpttd 6607 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))):ℕ⟶ℝ*)
2625frnd 6263 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))) ⊆ ℝ*)
276rexrd 10374 . . . . . 6 (𝜑 → ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ∈ ℝ*)
28 supxrleub 12374 . . . . . 6 ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))) ⊆ ℝ* ∧ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ∈ ℝ*) → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))), ℝ*, < ) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
2926, 27, 28syl2anc 575 . . . . 5 (𝜑 → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))), ℝ*, < ) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
30 itg2cn.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
319, 30, 1itg2cnlem1 23742 . . . . . 6 (𝜑 → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))), ℝ*, < ) = (∫2𝐹))
3231breq1d 4854 . . . . 5 (𝜑 → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))), ℝ*, < ) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ (∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
3325ffnd 6257 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))) Fn ℕ)
34 breq1 4847 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))‘𝑚) → (𝑧 ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
3534ralrn 6584 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
36 breq2 4848 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹𝑥) ≤ 𝑛 ↔ (𝐹𝑥) ≤ 𝑚))
3736ifbid 4301 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0) = if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))
3837mpteq2dv 4939 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0)))
3938fveq2d 6412 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))))
40 eqid 2806 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))
41 fvex 6421 . . . . . . . . . 10 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ∈ V
4239, 40, 41fvmpt 6503 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))‘𝑚) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))))
4342breq1d 4854 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
4443ralbiia 3167 . . . . . . 7 (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
4535, 44syl6bb 278 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
4633, 45syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
4729, 32, 463bitr3d 300 . . . 4 (𝜑 → ((∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
488, 47mtbid 315 . . 3 (𝜑 → ¬ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
49 rexnal 3182 . . 3 (∃𝑚 ∈ ℕ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ¬ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
5048, 49sylibr 225 . 2 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
519adantr 468 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
5230adantr 468 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝐹 ∈ MblFn)
531adantr 468 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
542adantr 468 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝐶 ∈ ℝ+)
55 simprl 778 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
56 simprr 780 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
57 fveq2 6408 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
5857breq1d 4854 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ≤ 𝑚 ↔ (𝐹𝑦) ≤ 𝑚))
5958, 57ifbieq1d 4302 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0) = if((𝐹𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹𝑦), 0))
6059cbvmptv 4944 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹𝑦), 0))
6160fveq2i 6411 . . . . . 6 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹𝑦), 0)))
6261breq1i 4851 . . . . 5 ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹𝑦), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
6356, 62sylnib 319 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ¬ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹𝑦), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
6451, 52, 53, 54, 55, 63itg2cnlem2 23743 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, (𝐹𝑦), 0))) < 𝐶))
65 elequ1 2163 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑢𝑦𝑢))
6665, 57ifbieq1d 4302 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0) = if(𝑦𝑢, (𝐹𝑦), 0))
6766cbvmptv 4944 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, (𝐹𝑦), 0))
6867fveq2i 6411 . . . . . . 7 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, (𝐹𝑦), 0)))
6968breq1i 4851 . . . . . 6 ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶 ↔ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, (𝐹𝑦), 0))) < 𝐶)
7069imbi2i 327 . . . . 5 (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶) ↔ ((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, (𝐹𝑦), 0))) < 𝐶))
7170ralbii 3168 . . . 4 (∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶) ↔ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, (𝐹𝑦), 0))) < 𝐶))
7271rexbii 3229 . . 3 (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, (𝐹𝑦), 0))) < 𝐶))
7364, 72sylibr 225 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶))
7450, 73rexlimddv 3223 1 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wcel 2156  wral 3096  wrex 3097  wss 3769  ifcif 4279   class class class wbr 4844  cmpt 4923  dom cdm 5311  ran crn 5312   Fn wfn 6096  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6874  supcsup 8585  cr 10220  0cc0 10221  +∞cpnf 10356  *cxr 10358   < clt 10359  cle 10360  cmin 10551   / cdiv 10969  cn 11305  2c2 11356  +crp 12046  [,)cico 12395  [,]cicc 12396  volcvol 23444  MblFncmbf 23595  2citg2 23597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-inf2 8785  ax-cc 9542  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-pre-sup 10299  ax-addf 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-disj 4813  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-of 7127  df-ofr 7128  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-2o 7797  df-oadd 7800  df-omul 7801  df-er 7979  df-map 8094  df-pm 8095  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-fi 8556  df-sup 8587  df-inf 8588  df-oi 8654  df-card 9048  df-acn 9051  df-cda 9275  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-n0 11560  df-z 11644  df-uz 11905  df-q 12008  df-rp 12047  df-xneg 12162  df-xadd 12163  df-xmul 12164  df-ioo 12397  df-ioc 12398  df-ico 12399  df-icc 12400  df-fz 12550  df-fzo 12690  df-fl 12817  df-seq 13025  df-exp 13084  df-hash 13338  df-cj 14062  df-re 14063  df-im 14064  df-sqrt 14198  df-abs 14199  df-clim 14442  df-rlim 14443  df-sum 14640  df-rest 16288  df-topgen 16309  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-top 20912  df-topon 20929  df-bases 20964  df-cmp 21404  df-ovol 23445  df-vol 23446  df-mbf 23600  df-itg1 23601  df-itg2 23602  df-0p 23651
This theorem is referenced by:  itgcn  23823
  Copyright terms: Public domain W3C validator