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Theorem itg2cn 25272
Description: A sort of absolute continuity of the Lebesgue integral (this is the core of ftc1a 25545 which is about actual absolute continuity). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2cn.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
itg2cn.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
itg2cn.3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
itg2cn.4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
itg2cn (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((volβ€˜π‘’) < 𝑑 β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) < 𝐢))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,π‘₯,𝐢   𝐹,𝑑,𝑒,π‘₯   πœ‘,𝑒,π‘₯
Allowed substitution hint:   πœ‘(𝑑)

Proof of Theorem itg2cn
Dummy variables π‘š 𝑦 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2cn.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
2 itg2cn.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
32rphalfcld 13024 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢 / 2) ∈ ℝ+)
41, 3ltsubrpd 13044 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) < (∫2β€˜πΉ))
53rpred 13012 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐢 / 2) ∈ ℝ)
61, 5resubcld 11638 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ∈ ℝ)
76, 1ltnled 11357 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) < (∫2β€˜πΉ) ↔ Β¬ (∫2β€˜πΉ) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2))))
84, 7mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ (∫2β€˜πΉ) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))
9 itg2cn.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
109ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
11 elrege0 13427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
1210, 11sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
1312simpld 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1413rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
1512simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
16 elxrge0 13430 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
1714, 15, 16sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
18 0e0iccpnf 13432 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0[,]+∞)
19 ifcl 4572 . . . . . . . . . . . 12 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ (0[,]+∞))
2017, 18, 19sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ (0[,]+∞))
2120adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ (0[,]+∞))
2221fmpttd 7111 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞))
23 itg2cl 25241 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ*)
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ*)
2524fmpttd 7111 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))):β„•βŸΆβ„*)
2625frnd 6722 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))) βŠ† ℝ*)
276rexrd 11260 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ∈ ℝ*)
28 supxrleub 13301 . . . . . 6 ((ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))) βŠ† ℝ* ∧ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ∈ ℝ*) β†’ (sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))), ℝ*, < ) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))𝑧 ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2))))
2926, 27, 28syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))), ℝ*, < ) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))𝑧 ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2))))
30 itg2cn.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
319, 30, 1itg2cnlem1 25270 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))), ℝ*, < ) = (∫2β€˜πΉ))
3231breq1d 5157 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))), ℝ*, < ) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ (∫2β€˜πΉ) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2))))
3325ffnd 6715 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))) Fn β„•)
34 breq1 5150 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))β€˜π‘š) β†’ (𝑧 ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))β€˜π‘š) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2))))
3534ralrn 7086 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))) Fn β„• β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))𝑧 ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ βˆ€π‘š ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))β€˜π‘š) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2))))
36 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛 ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š))
3736ifbid 4550 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘š β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0) = if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))
3837mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
3938fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘š β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) = (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))
40 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))
41 fvex 6901 . . . . . . . . . 10 (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ∈ V
4239, 40, 41fvmpt 6995 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))β€˜π‘š) = (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))
4342breq1d 5157 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))β€˜π‘š) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2))))
4443ralbiia 3091 . . . . . . 7 (βˆ€π‘š ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))β€˜π‘š) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ βˆ€π‘š ∈ β„• (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))
4535, 44bitrdi 286 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))) Fn β„• β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))𝑧 ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ βˆ€π‘š ∈ β„• (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2))))
4633, 45syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))𝑧 ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ βˆ€π‘š ∈ β„• (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2))))
4729, 32, 463bitr3d 308 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜πΉ) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ βˆ€π‘š ∈ β„• (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2))))
488, 47mtbid 323 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆ€π‘š ∈ β„• (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))
49 rexnal 3100 . . 3 (βˆƒπ‘š ∈ β„• Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ Β¬ βˆ€π‘š ∈ β„• (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))
5048, 49sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))
519adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
5230adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))) β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
531adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))) β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
542adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))) β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
55 simprl 769 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))) β†’ π‘š ∈ β„•)
56 simprr 771 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))) β†’ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))
57 fveq2 6888 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦))
5857breq1d 5157 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š ↔ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š))
5958, 57ifbieq1d 4551 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0) = if((πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘¦), 0))
6059cbvmptv 5260 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘¦), 0))
6160fveq2i 6891 . . . . . 6 (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) = (∫2β€˜(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘¦), 0)))
6261breq1i 5154 . . . . 5 ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ (∫2β€˜(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘¦), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))
6356, 62sylnib 327 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))) β†’ Β¬ (∫2β€˜(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘¦), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))
6451, 52, 53, 54, 55, 63itg2cnlem2 25271 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((volβ€˜π‘’) < 𝑑 β†’ (∫2β€˜(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘¦), 0))) < 𝐢))
65 elequ1 2113 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑒 ↔ 𝑦 ∈ 𝑒))
6665, 57ifbieq1d 4551 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0) = if(𝑦 ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘¦), 0))
6766cbvmptv 5260 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘¦), 0))
6867fveq2i 6891 . . . . . . 7 (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) = (∫2β€˜(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘¦), 0)))
6968breq1i 5154 . . . . . 6 ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) < 𝐢 ↔ (∫2β€˜(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘¦), 0))) < 𝐢)
7069imbi2i 335 . . . . 5 (((volβ€˜π‘’) < 𝑑 β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) < 𝐢) ↔ ((volβ€˜π‘’) < 𝑑 β†’ (∫2β€˜(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘¦), 0))) < 𝐢))
7170ralbii 3093 . . . 4 (βˆ€π‘’ ∈ dom vol((volβ€˜π‘’) < 𝑑 β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) < 𝐢) ↔ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((volβ€˜π‘’) < 𝑑 β†’ (∫2β€˜(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘¦), 0))) < 𝐢))
7271rexbii 3094 . . 3 (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((volβ€˜π‘’) < 𝑑 β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) < 𝐢) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((volβ€˜π‘’) < 𝑑 β†’ (∫2β€˜(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘¦), 0))) < 𝐢))
7364, 72sylibr 233 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((volβ€˜π‘’) < 𝑑 β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) < 𝐢))
7450, 73rexlimddv 3161 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((volβ€˜π‘’) < 𝑑 β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) < 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3947  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ran crn 5676   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  supcsup 9431  β„cr 11105  0cc0 11106  +∞cpnf 11241  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  β„•cn 12208  2c2 12263  β„+crp 12970  [,)cico 13322  [,]cicc 13323  volcvol 24971  MblFncmbf 25122  βˆ«2citg2 25124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-cmp 22882  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127  df-itg1 25128  df-itg2 25129  df-0p 25178
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