Theorem itg2cn 25933

Description: A sort of absolute continuity of the Lebesgue integral (this is the core of ftc1a 26207 which is about actual absolute continuity). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2cn.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2cn.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
itg2cn.3	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
itg2cn.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
itg2cn	⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐶   𝐹,𝑑,𝑢,𝑥   𝜑,𝑢,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑑)

Proof of Theorem itg2cn

Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2cn.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
2		itg2cn.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
3	2	rphalfcld 13078	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ+)
4	1, 3	ltsubrpd 13098	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) < (∫2‘𝐹))
5	3	rpred 13066	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ)
6	1, 5	resubcld 11648	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ∈ ℝ)
7	6, 1	ltnled 11363	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) < (∫2‘𝐹) ↔ ¬ (∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
8	4, 7	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
9		itg2cn.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
10	9	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
11		elrege0 13487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
12	10, 11	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
13	12	simpld 499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
14	13	rexrd 11265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
15	12	simprd 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
16		elxrge0 13490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
17	14, 15, 16	sylanbrc 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
18		0e0iccpnf 13492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
19		ifcl 4532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
20	17, 18, 19	sylancl 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
21	20	adantlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
22	21	fmpttd 7110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
23		itg2cl 25902	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))) ∈ ℝ*)
24	22, 23	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))) ∈ ℝ*)
25	24	fmpttd 7110	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))):ℕ⟶ℝ*)
26	25	frnd 6714	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))) ⊆ ℝ*)
27	6	rexrd 11265	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ∈ ℝ*)
28		supxrleub 13358	. . . . . 6 ⊢ ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))) ⊆ ℝ* ∧ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ∈ ℝ*) → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))), ℝ*, < ) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
29	26, 27, 28	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))), ℝ*, < ) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
30		itg2cn.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
31	9, 30, 1	itg2cnlem1 25931	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))), ℝ*, < ) = (∫2‘𝐹))
32	31	breq1d 5118	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))), ℝ*, < ) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ (∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
33	25	ffnd 6706	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))) Fn ℕ)
34		breq1 5111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))‘𝑚) → (𝑧 ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
35	34	ralrn 7083	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
36		breq2 5112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛 ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚))
37	36	ifbid 4510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0) = if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))
38	37	mpteq2dv 5204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0)))
39	38	fveq2d 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))))
40		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))
41		fvex 6894	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ∈ V
42	39, 40, 41	fvmpt 6989	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))‘𝑚) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))))
43	42	breq1d 5118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
44	43	ralbiia 3108	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
45	35, 44	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
46	33, 45	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
47	29, 32, 46	3bitr3d 312	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
48	8, 47	mtbid 327	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
49		rexnal 3116	. . 3 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℕ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ¬ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
50	48, 49	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
51	9	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
52	30	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝐹 ∈ MblFn)
53	1	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
54	2	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝐶 ∈ ℝ+)
55		simprl 782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
56		simprr 784	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
57		fveq2 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
58	57	breq1d 5118	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚 ↔ (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚))
59	58, 57	ifbieq1d 4511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0) = if((𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑦), 0))
60	59	cbvmptv 5214	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑦), 0))
61	60	fveq2i 6884	. . . . . 6 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑦), 0)))
62	61	breq1i 5115	. . . . 5 ⊢ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑦), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
63	56, 62	sylnib 331	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ¬ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑦), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
64	51, 52, 53, 54, 55, 63	itg2cnlem2 25932	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))) < 𝐶))
65		elequ1 2149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑢 ↔ 𝑦 ∈ 𝑢))
66	65, 57	ifbieq1d 4511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0) = if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))
67	66	cbvmptv 5214	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))
68	67	fveq2i 6884	. . . . . . 7 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0)))
69	68	breq1i 5115	. . . . . 6 ⊢ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶 ↔ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))) < 𝐶)
70	69	imbi2i 339	. . . . 5 ⊢ (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶) ↔ ((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))) < 𝐶))
71	70	ralbii 3110	. . . 4 ⊢ (∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶) ↔ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))) < 𝐶))
72	71	rexbii 3111	. . 3 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))) < 𝐶))
73	64, 72	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶))
74	50, 73	rexlimddv 3171	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3904  ifcif 4486   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5660  ran crn 5661   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  supcsup 9398  ℝcr 11105  0cc0 11106  +∞cpnf 11246  ℝ^*cxr 11248   < clt 11249   ≤ cle 11250   − cmin 11447   / cdiv 11877  ℕcn 12239  2c2 12301  ℝ⁺crp 13022  [,)cico 13380  [,]cicc 13381  volcvol 25633  MblFncmbf 25784  ∫₂citg2 25786

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cc 10425  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-disj 5076  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-oadd 8455  df-omul 8456  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9894  df-card 9932  df-acn 9935  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-xmul 13145  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-seq 14045  df-exp 14105  df-hash 14374  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-clim 15546  df-rlim 15547  df-sum 15745  df-rest 17481  df-topgen 17502  df-psmet 21525  df-xmet 21526  df-met 21527  df-bl 21528  df-mopn 21529  df-top 23062  df-topon 23079  df-bases 23114  df-cmp 23555  df-ovol 25634  df-vol 25635  df-mbf 25789  df-itg1 25790  df-itg2 25791  df-0p 25840

This theorem is used by:  itgcn  26015