Theorem itg2cn 25505

Description: A sort of absolute continuity of the Lebesgue integral (this is the core of ftc1a 25778 which is about actual absolute continuity). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2cn.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2cn.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
itg2cn.3	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
itg2cn.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
itg2cn	⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐶   𝐹,𝑑,𝑢,𝑥   𝜑,𝑢,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑑)

Proof of Theorem itg2cn

Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2cn.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
2		itg2cn.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
3	2	rphalfcld 13032	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ+)
4	1, 3	ltsubrpd 13052	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) < (∫2‘𝐹))
5	3	rpred 13020	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ)
6	1, 5	resubcld 11646	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ∈ ℝ)
7	6, 1	ltnled 11365	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) < (∫2‘𝐹) ↔ ¬ (∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
8	4, 7	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
9		itg2cn.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
10	9	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
11		elrege0 13435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
12	10, 11	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
13	12	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
14	13	rexrd 11268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
15	12	simprd 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
16		elxrge0 13438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
17	14, 15, 16	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
18		0e0iccpnf 13440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
19		ifcl 4573	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
20	17, 18, 19	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
21	20	adantlr 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
22	21	fmpttd 7116	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
23		itg2cl 25474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))) ∈ ℝ*)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))) ∈ ℝ*)
25	24	fmpttd 7116	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))):ℕ⟶ℝ*)
26	25	frnd 6725	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))) ⊆ ℝ*)
27	6	rexrd 11268	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ∈ ℝ*)
28		supxrleub 13309	. . . . . 6 ⊢ ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))) ⊆ ℝ* ∧ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ∈ ℝ*) → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))), ℝ*, < ) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
29	26, 27, 28	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))), ℝ*, < ) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
30		itg2cn.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
31	9, 30, 1	itg2cnlem1 25503	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))), ℝ*, < ) = (∫2‘𝐹))
32	31	breq1d 5158	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))), ℝ*, < ) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ (∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
33	25	ffnd 6718	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))) Fn ℕ)
34		breq1 5151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))‘𝑚) → (𝑧 ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
35	34	ralrn 7089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
36		breq2 5152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛 ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚))
37	36	ifbid 4551	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0) = if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))
38	37	mpteq2dv 5250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0)))
39	38	fveq2d 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))))
40		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))
41		fvex 6904	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ∈ V
42	39, 40, 41	fvmpt 6998	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))‘𝑚) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))))
43	42	breq1d 5158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
44	43	ralbiia 3091	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
45	35, 44	bitrdi 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
46	33, 45	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
47	29, 32, 46	3bitr3d 308	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
48	8, 47	mtbid 323	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
49		rexnal 3100	. . 3 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℕ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ¬ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
50	48, 49	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
51	9	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
52	30	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝐹 ∈ MblFn)
53	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
54	2	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝐶 ∈ ℝ+)
55		simprl 769	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
56		simprr 771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
57		fveq2 6891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
58	57	breq1d 5158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚 ↔ (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚))
59	58, 57	ifbieq1d 4552	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0) = if((𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑦), 0))
60	59	cbvmptv 5261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑦), 0))
61	60	fveq2i 6894	. . . . . 6 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑦), 0)))
62	61	breq1i 5155	. . . . 5 ⊢ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑦), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
63	56, 62	sylnib 327	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ¬ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑦), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
64	51, 52, 53, 54, 55, 63	itg2cnlem2 25504	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))) < 𝐶))
65		elequ1 2113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑢 ↔ 𝑦 ∈ 𝑢))
66	65, 57	ifbieq1d 4552	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0) = if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))
67	66	cbvmptv 5261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))
68	67	fveq2i 6894	. . . . . . 7 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0)))
69	68	breq1i 5155	. . . . . 6 ⊢ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶 ↔ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))) < 𝐶)
70	69	imbi2i 335	. . . . 5 ⊢ (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶) ↔ ((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))) < 𝐶))
71	70	ralbii 3093	. . . 4 ⊢ (∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶) ↔ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))) < 𝐶))
72	71	rexbii 3094	. . 3 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))) < 𝐶))
73	64, 72	sylibr 233	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶))
74	50, 73	rexlimddv 3161	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3948  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  supcsup 9437  ℝcr 11111  0cc0 11112  +∞cpnf 11249  ℝ^*cxr 11251   < clt 11252   ≤ cle 11253   − cmin 11448   / cdiv 11875  ℕcn 12216  2c2 12271  ℝ⁺crp 12978  [,)cico 13330  [,]cicc 13331  volcvol 25204  MblFncmbf 25355  ∫₂citg2 25357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cmp 23111  df-ovol 25205  df-vol 25206  df-mbf 25360  df-itg1 25361  df-itg2 25362  df-0p 25411

This theorem is referenced by:  itgcn  25586