MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2cn 24298
Description: A sort of absolute continuity of the Lebesgue integral (this is the core of ftc1a 24568 which is about actual absolute continuity). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2cn.1 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2cn.2 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
itg2cn.3 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
itg2cn.4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
itg2cn (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐶   𝐹,𝑑,𝑢,𝑥   𝜑,𝑢,𝑥
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑑)

Proof of Theorem itg2cn
Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2cn.3 . . . . . 6 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
2 itg2cn.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
32rphalfcld 12438 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ+)
41, 3ltsubrpd 12458 . . . . 5 (𝜑 → ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) < (∫2𝐹))
53rpred 12426 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ)
61, 5resubcld 11062 . . . . . 6 (𝜑 → ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ∈ ℝ)
76, 1ltnled 10781 . . . . 5 (𝜑 → (((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) < (∫2𝐹) ↔ ¬ (∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
84, 7mpbid 233 . . . 4 (𝜑 → ¬ (∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
9 itg2cn.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
109ffvelrnda 6849 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
11 elrege0 12837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
1210, 11sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
1312simpld 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1413rexrd 10685 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
1512simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
16 elxrge0 12840 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
1714, 15, 16sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
18 0e0iccpnf 12842 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0[,]+∞)
19 ifcl 4514 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
2017, 18, 19sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
2120adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
2221fmpttd 6877 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
23 itg2cl 24267 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ*)
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ*)
2524fmpttd 6877 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))):ℕ⟶ℝ*)
2625frnd 6520 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))) ⊆ ℝ*)
276rexrd 10685 . . . . . 6 (𝜑 → ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ∈ ℝ*)
28 supxrleub 12714 . . . . . 6 ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))) ⊆ ℝ* ∧ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ∈ ℝ*) → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))), ℝ*, < ) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
2926, 27, 28syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))), ℝ*, < ) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
30 itg2cn.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
319, 30, 1itg2cnlem1 24296 . . . . . 6 (𝜑 → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))), ℝ*, < ) = (∫2𝐹))
3231breq1d 5073 . . . . 5 (𝜑 → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))), ℝ*, < ) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ (∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
3325ffnd 6514 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))) Fn ℕ)
34 breq1 5066 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))‘𝑚) → (𝑧 ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
3534ralrn 6852 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
36 breq2 5067 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹𝑥) ≤ 𝑛 ↔ (𝐹𝑥) ≤ 𝑚))
3736ifbid 4492 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0) = if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))
3837mpteq2dv 5159 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0)))
3938fveq2d 6673 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))))
40 eqid 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))
41 fvex 6682 . . . . . . . . . 10 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ∈ V
4239, 40, 41fvmpt 6767 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))‘𝑚) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))))
4342breq1d 5073 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
4443ralbiia 3169 . . . . . . 7 (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
4535, 44syl6bb 288 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
4633, 45syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
4729, 32, 463bitr3d 310 . . . 4 (𝜑 → ((∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
488, 47mtbid 325 . . 3 (𝜑 → ¬ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
49 rexnal 3243 . . 3 (∃𝑚 ∈ ℕ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ¬ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
5048, 49sylibr 235 . 2 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
519adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
5230adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝐹 ∈ MblFn)
531adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
542adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝐶 ∈ ℝ+)
55 simprl 767 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
56 simprr 769 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
57 fveq2 6669 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
5857breq1d 5073 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ≤ 𝑚 ↔ (𝐹𝑦) ≤ 𝑚))
5958, 57ifbieq1d 4493 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0) = if((𝐹𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹𝑦), 0))
6059cbvmptv 5166 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹𝑦), 0))
6160fveq2i 6672 . . . . . 6 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹𝑦), 0)))
6261breq1i 5070 . . . . 5 ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹𝑦), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
6356, 62sylnib 329 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ¬ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹𝑦), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
6451, 52, 53, 54, 55, 63itg2cnlem2 24297 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, (𝐹𝑦), 0))) < 𝐶))
65 elequ1 2114 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑢𝑦𝑢))
6665, 57ifbieq1d 4493 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0) = if(𝑦𝑢, (𝐹𝑦), 0))
6766cbvmptv 5166 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, (𝐹𝑦), 0))
6867fveq2i 6672 . . . . . . 7 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, (𝐹𝑦), 0)))
6968breq1i 5070 . . . . . 6 ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶 ↔ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, (𝐹𝑦), 0))) < 𝐶)
7069imbi2i 337 . . . . 5 (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶) ↔ ((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, (𝐹𝑦), 0))) < 𝐶))
7170ralbii 3170 . . . 4 (∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶) ↔ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, (𝐹𝑦), 0))) < 𝐶))
7271rexbii 3252 . . 3 (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, (𝐹𝑦), 0))) < 𝐶))
7364, 72sylibr 235 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶))
7450, 73rexlimddv 3296 1 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2107  wral 3143  wrex 3144  wss 3940  ifcif 4470   class class class wbr 5063  cmpt 5143  dom cdm 5554  ran crn 5555   Fn wfn 6349  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7150  supcsup 8898  cr 10530  0cc0 10531  +∞cpnf 10666  *cxr 10668   < clt 10669  cle 10670  cmin 10864   / cdiv 11291  cn 11632  2c2 11686  +crp 12384  [,)cico 12735  [,]cicc 12736  volcvol 23998  MblFncmbf 24149  2citg2 24151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cc 9851  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-disj 5029  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-dju 9324  df-card 9362  df-acn 9365  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ioc 12738  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13425  df-hash 13686  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-rest 16691  df-topgen 16712  df-psmet 20472  df-xmet 20473  df-met 20474  df-bl 20475  df-mopn 20476  df-top 21437  df-topon 21454  df-bases 21489  df-cmp 21930  df-ovol 23999  df-vol 24000  df-mbf 24154  df-itg1 24155  df-itg2 24156  df-0p 24205
This theorem is referenced by:  itgcn  24377
  Copyright terms: Public domain W3C validator