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Theorem itg2cn 25050
Description: A sort of absolute continuity of the Lebesgue integral (this is the core of ftc1a 25323 which is about actual absolute continuity). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2cn.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
itg2cn.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
itg2cn.3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
itg2cn.4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
itg2cn (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((volβ€˜π‘’) < 𝑑 β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) < 𝐢))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,π‘₯,𝐢   𝐹,𝑑,𝑒,π‘₯   πœ‘,𝑒,π‘₯
Allowed substitution hint:   πœ‘(𝑑)

Proof of Theorem itg2cn
Dummy variables π‘š 𝑦 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2cn.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
2 itg2cn.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
32rphalfcld 12897 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢 / 2) ∈ ℝ+)
41, 3ltsubrpd 12917 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) < (∫2β€˜πΉ))
53rpred 12885 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐢 / 2) ∈ ℝ)
61, 5resubcld 11516 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ∈ ℝ)
76, 1ltnled 11235 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) < (∫2β€˜πΉ) ↔ Β¬ (∫2β€˜πΉ) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2))))
84, 7mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ (∫2β€˜πΉ) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))
9 itg2cn.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
109ffvelcdmda 7029 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
11 elrege0 13299 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
1210, 11sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
1312simpld 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1413rexrd 11138 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
1512simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
16 elxrge0 13302 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
1714, 15, 16sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
18 0e0iccpnf 13304 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0[,]+∞)
19 ifcl 4529 . . . . . . . . . . . 12 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ (0[,]+∞))
2017, 18, 19sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ (0[,]+∞))
2120adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ (0[,]+∞))
2221fmpttd 7057 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞))
23 itg2cl 25019 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ*)
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ*)
2524fmpttd 7057 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))):β„•βŸΆβ„*)
2625frnd 6671 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))) βŠ† ℝ*)
276rexrd 11138 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ∈ ℝ*)
28 supxrleub 13173 . . . . . 6 ((ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))) βŠ† ℝ* ∧ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ∈ ℝ*) β†’ (sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))), ℝ*, < ) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))𝑧 ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2))))
2926, 27, 28syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))), ℝ*, < ) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))𝑧 ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2))))
30 itg2cn.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
319, 30, 1itg2cnlem1 25048 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))), ℝ*, < ) = (∫2β€˜πΉ))
3231breq1d 5113 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))), ℝ*, < ) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ (∫2β€˜πΉ) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2))))
3325ffnd 6664 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))) Fn β„•)
34 breq1 5106 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))β€˜π‘š) β†’ (𝑧 ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))β€˜π‘š) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2))))
3534ralrn 7032 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))) Fn β„• β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))𝑧 ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ βˆ€π‘š ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))β€˜π‘š) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2))))
36 breq2 5107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛 ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š))
3736ifbid 4507 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘š β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0) = if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))
3837mpteq2dv 5205 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
3938fveq2d 6841 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘š β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) = (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))
40 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))
41 fvex 6850 . . . . . . . . . 10 (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ∈ V
4239, 40, 41fvmpt 6943 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))β€˜π‘š) = (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))
4342breq1d 5113 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))β€˜π‘š) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2))))
4443ralbiia 3092 . . . . . . 7 (βˆ€π‘š ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))β€˜π‘š) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ βˆ€π‘š ∈ β„• (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))
4535, 44bitrdi 286 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))) Fn β„• β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))𝑧 ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ βˆ€π‘š ∈ β„• (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2))))
4633, 45syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))𝑧 ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ βˆ€π‘š ∈ β„• (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2))))
4729, 32, 463bitr3d 308 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜πΉ) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ βˆ€π‘š ∈ β„• (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2))))
488, 47mtbid 323 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆ€π‘š ∈ β„• (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))
49 rexnal 3101 . . 3 (βˆƒπ‘š ∈ β„• Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ Β¬ βˆ€π‘š ∈ β„• (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))
5048, 49sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))
519adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
5230adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))) β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
531adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))) β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
542adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))) β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
55 simprl 769 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))) β†’ π‘š ∈ β„•)
56 simprr 771 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))) β†’ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))
57 fveq2 6837 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦))
5857breq1d 5113 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š ↔ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š))
5958, 57ifbieq1d 4508 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0) = if((πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘¦), 0))
6059cbvmptv 5216 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘¦), 0))
6160fveq2i 6840 . . . . . 6 (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) = (∫2β€˜(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘¦), 0)))
6261breq1i 5110 . . . . 5 ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ↔ (∫2β€˜(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘¦), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))
6356, 62sylnib 327 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))) β†’ Β¬ (∫2β€˜(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘¦), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))
6451, 52, 53, 54, 55, 63itg2cnlem2 25049 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((volβ€˜π‘’) < 𝑑 β†’ (∫2β€˜(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘¦), 0))) < 𝐢))
65 elequ1 2113 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑒 ↔ 𝑦 ∈ 𝑒))
6665, 57ifbieq1d 4508 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0) = if(𝑦 ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘¦), 0))
6766cbvmptv 5216 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘¦), 0))
6867fveq2i 6840 . . . . . . 7 (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) = (∫2β€˜(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘¦), 0)))
6968breq1i 5110 . . . . . 6 ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) < 𝐢 ↔ (∫2β€˜(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘¦), 0))) < 𝐢)
7069imbi2i 335 . . . . 5 (((volβ€˜π‘’) < 𝑑 β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) < 𝐢) ↔ ((volβ€˜π‘’) < 𝑑 β†’ (∫2β€˜(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘¦), 0))) < 𝐢))
7170ralbii 3094 . . . 4 (βˆ€π‘’ ∈ dom vol((volβ€˜π‘’) < 𝑑 β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) < 𝐢) ↔ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((volβ€˜π‘’) < 𝑑 β†’ (∫2β€˜(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘¦), 0))) < 𝐢))
7271rexbii 3095 . . 3 (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((volβ€˜π‘’) < 𝑑 β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) < 𝐢) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((volβ€˜π‘’) < 𝑑 β†’ (∫2β€˜(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘¦), 0))) < 𝐢))
7364, 72sylibr 233 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((volβ€˜π‘’) < 𝑑 β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) < 𝐢))
7450, 73rexlimddv 3156 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((volβ€˜π‘’) < 𝑑 β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) < 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3908  ifcif 4484   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5630  ran crn 5631   Fn wfn 6486  βŸΆwf 6487  β€˜cfv 6491  (class class class)co 7349  supcsup 9309  β„cr 10983  0cc0 10984  +∞cpnf 11119  β„*cxr 11121   < clt 11122   ≀ cle 11123   βˆ’ cmin 11318   / cdiv 11745  β„•cn 12086  2c2 12141  β„+crp 12843  [,)cico 13194  [,]cicc 13195  volcvol 24749  MblFncmbf 24900  βˆ«2citg2 24902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-inf2 9510  ax-cc 10304  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062  ax-addf 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-disj 5069  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7607  df-ofr 7608  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-2o 8380  df-oadd 8383  df-omul 8384  df-er 8581  df-map 8700  df-pm 8701  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-fin 8820  df-fi 9280  df-sup 9311  df-inf 9312  df-oi 9379  df-dju 9770  df-card 9808  df-acn 9811  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-n0 12347  df-z 12433  df-uz 12696  df-q 12802  df-rp 12844  df-xneg 12961  df-xadd 12962  df-xmul 12963  df-ioo 13196  df-ioc 13197  df-ico 13198  df-icc 13199  df-fz 13353  df-fzo 13496  df-fl 13625  df-seq 13835  df-exp 13896  df-hash 14158  df-cj 14917  df-re 14918  df-im 14919  df-sqrt 15053  df-abs 15054  df-clim 15304  df-rlim 15305  df-sum 15505  df-rest 17238  df-topgen 17259  df-psmet 20711  df-xmet 20712  df-met 20713  df-bl 20714  df-mopn 20715  df-top 22165  df-topon 22182  df-bases 22218  df-cmp 22660  df-ovol 24750  df-vol 24751  df-mbf 24905  df-itg1 24906  df-itg2 24907  df-0p 24956
This theorem is referenced by:  itgcn  25131
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