Theorem itg2cn 25708

Description: A sort of absolute continuity of the Lebesgue integral (this is the core of ftc1a 25985 which is about actual absolute continuity). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2cn.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2cn.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
itg2cn.3	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
itg2cn.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
itg2cn	⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐶   𝐹,𝑑,𝑢,𝑥   𝜑,𝑢,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑑)

Proof of Theorem itg2cn

Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2cn.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
2		itg2cn.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
3	2	rphalfcld 12962	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ+)
4	1, 3	ltsubrpd 12982	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) < (∫2‘𝐹))
5	3	rpred 12950	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ)
6	1, 5	resubcld 11566	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ∈ ℝ)
7	6, 1	ltnled 11281	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) < (∫2‘𝐹) ↔ ¬ (∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
8	4, 7	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
9		itg2cn.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
10	9	ffvelcdmda 7028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
11		elrege0 13371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
12	10, 11	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
13	12	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
14	13	rexrd 11183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
15	12	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
16		elxrge0 13374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
17	14, 15, 16	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
18		0e0iccpnf 13376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
19		ifcl 4513	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
20	17, 18, 19	sylancl 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
21	20	adantlr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
22	21	fmpttd 7059	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
23		itg2cl 25677	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))) ∈ ℝ*)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))) ∈ ℝ*)
25	24	fmpttd 7059	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))):ℕ⟶ℝ*)
26	25	frnd 6668	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))) ⊆ ℝ*)
27	6	rexrd 11183	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ∈ ℝ*)
28		supxrleub 13242	. . . . . 6 ⊢ ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))) ⊆ ℝ* ∧ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ∈ ℝ*) → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))), ℝ*, < ) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
29	26, 27, 28	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))), ℝ*, < ) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
30		itg2cn.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
31	9, 30, 1	itg2cnlem1 25706	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))), ℝ*, < ) = (∫2‘𝐹))
32	31	breq1d 5096	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))), ℝ*, < ) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ (∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
33	25	ffnd 6661	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))) Fn ℕ)
34		breq1 5089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))‘𝑚) → (𝑧 ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
35	34	ralrn 7032	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
36		breq2 5090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛 ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚))
37	36	ifbid 4491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0) = if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))
38	37	mpteq2dv 5180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0)))
39	38	fveq2d 6836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))))
40		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))
41		fvex 6845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ∈ V
42	39, 40, 41	fvmpt 6939	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))‘𝑚) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))))
43	42	breq1d 5096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
44	43	ralbiia 3082	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
45	35, 44	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
46	33, 45	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
47	29, 32, 46	3bitr3d 309	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
48	8, 47	mtbid 324	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
49		rexnal 3090	. . 3 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℕ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ¬ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
50	48, 49	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
51	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
52	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝐹 ∈ MblFn)
53	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
54	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝐶 ∈ ℝ+)
55		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
56		simprr 773	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
57		fveq2 6832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
58	57	breq1d 5096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚 ↔ (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚))
59	58, 57	ifbieq1d 4492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0) = if((𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑦), 0))
60	59	cbvmptv 5190	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑦), 0))
61	60	fveq2i 6835	. . . . . 6 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑦), 0)))
62	61	breq1i 5093	. . . . 5 ⊢ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑦), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
63	56, 62	sylnib 328	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ¬ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑦), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
64	51, 52, 53, 54, 55, 63	itg2cnlem2 25707	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))) < 𝐶))
65		elequ1 2121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑢 ↔ 𝑦 ∈ 𝑢))
66	65, 57	ifbieq1d 4492	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0) = if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))
67	66	cbvmptv 5190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))
68	67	fveq2i 6835	. . . . . . 7 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0)))
69	68	breq1i 5093	. . . . . 6 ⊢ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶 ↔ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))) < 𝐶)
70	69	imbi2i 336	. . . . 5 ⊢ (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶) ↔ ((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))) < 𝐶))
71	70	ralbii 3084	. . . 4 ⊢ (∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶) ↔ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))) < 𝐶))
72	71	rexbii 3085	. . 3 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))) < 𝐶))
73	64, 72	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶))
74	50, 73	rexlimddv 3145	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890  ifcif 4467   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5622  ran crn 5623   Fn wfn 6485  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  supcsup 9344  ℝcr 11026  0cc0 11027  +∞cpnf 11164  ℝ^*cxr 11166   < clt 11167   ≤ cle 11168   − cmin 11365   / cdiv 11795  ℕcn 12146  2c2 12201  ℝ⁺crp 12906  [,)cico 13264  [,]cicc 13265  volcvol 25408  MblFncmbf 25559  ∫₂citg2 25561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cc 10346  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-oadd 8400  df-omul 8401  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-dju 9814  df-card 9852  df-acn 9855  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-q 12863  df-rp 12907  df-xneg 13027  df-xadd 13028  df-xmul 13029  df-ioo 13266  df-ioc 13267  df-ico 13268  df-icc 13269  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-fl 13713  df-seq 13926  df-exp 13986  df-hash 14255  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025  df-sqrt 15159  df-abs 15160  df-clim 15412  df-rlim 15413  df-sum 15611  df-rest 17343  df-topgen 17364  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-top 22837  df-topon 22854  df-bases 22889  df-cmp 23330  df-ovol 25409  df-vol 25410  df-mbf 25564  df-itg1 25565  df-itg2 25566  df-0p 25615

This theorem is referenced by:  itgcn  25790