Theorem itg2cn 24833

Description: A sort of absolute continuity of the Lebesgue integral (this is the core of ftc1a 25106 which is about actual absolute continuity). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2cn.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2cn.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
itg2cn.3	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
itg2cn.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
itg2cn	⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐶   𝐹,𝑑,𝑢,𝑥   𝜑,𝑢,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑑)

Proof of Theorem itg2cn

Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2cn.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
2		itg2cn.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
3	2	rphalfcld 12713	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ+)
4	1, 3	ltsubrpd 12733	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) < (∫2‘𝐹))
5	3	rpred 12701	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ)
6	1, 5	resubcld 11333	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ∈ ℝ)
7	6, 1	ltnled 11052	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) < (∫2‘𝐹) ↔ ¬ (∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
8	4, 7	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
9		itg2cn.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
10	9	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
11		elrege0 13115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
12	10, 11	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
13	12	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
14	13	rexrd 10956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
15	12	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
16		elxrge0 13118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
17	14, 15, 16	sylanbrc 582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
18		0e0iccpnf 13120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
19		ifcl 4501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
20	17, 18, 19	sylancl 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
21	20	adantlr 711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
22	21	fmpttd 6971	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
23		itg2cl 24802	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))) ∈ ℝ*)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))) ∈ ℝ*)
25	24	fmpttd 6971	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))):ℕ⟶ℝ*)
26	25	frnd 6592	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))) ⊆ ℝ*)
27	6	rexrd 10956	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ∈ ℝ*)
28		supxrleub 12989	. . . . . 6 ⊢ ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))) ⊆ ℝ* ∧ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ∈ ℝ*) → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))), ℝ*, < ) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
29	26, 27, 28	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))), ℝ*, < ) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
30		itg2cn.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
31	9, 30, 1	itg2cnlem1 24831	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))), ℝ*, < ) = (∫2‘𝐹))
32	31	breq1d 5080	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))), ℝ*, < ) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ (∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
33	25	ffnd 6585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))) Fn ℕ)
34		breq1 5073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))‘𝑚) → (𝑧 ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
35	34	ralrn 6946	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
36		breq2 5074	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛 ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚))
37	36	ifbid 4479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0) = if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))
38	37	mpteq2dv 5172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0)))
39	38	fveq2d 6760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))))
40		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))
41		fvex 6769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ∈ V
42	39, 40, 41	fvmpt 6857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))‘𝑚) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))))
43	42	breq1d 5080	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
44	43	ralbiia 3089	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
45	35, 44	bitrdi 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
46	33, 45	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
47	29, 32, 46	3bitr3d 308	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
48	8, 47	mtbid 323	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
49		rexnal 3165	. . 3 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℕ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ¬ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
50	48, 49	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
51	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
52	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝐹 ∈ MblFn)
53	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
54	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝐶 ∈ ℝ+)
55		simprl 767	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
56		simprr 769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
57		fveq2 6756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
58	57	breq1d 5080	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚 ↔ (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚))
59	58, 57	ifbieq1d 4480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0) = if((𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑦), 0))
60	59	cbvmptv 5183	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑦), 0))
61	60	fveq2i 6759	. . . . . 6 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑦), 0)))
62	61	breq1i 5077	. . . . 5 ⊢ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑦), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
63	56, 62	sylnib 327	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ¬ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑦), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
64	51, 52, 53, 54, 55, 63	itg2cnlem2 24832	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))) < 𝐶))
65		elequ1 2115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑢 ↔ 𝑦 ∈ 𝑢))
66	65, 57	ifbieq1d 4480	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0) = if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))
67	66	cbvmptv 5183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))
68	67	fveq2i 6759	. . . . . . 7 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0)))
69	68	breq1i 5077	. . . . . 6 ⊢ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶 ↔ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))) < 𝐶)
70	69	imbi2i 335	. . . . 5 ⊢ (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶) ↔ ((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))) < 𝐶))
71	70	ralbii 3090	. . . 4 ⊢ (∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶) ↔ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))) < 𝐶))
72	71	rexbii 3177	. . 3 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))) < 𝐶))
73	64, 72	sylibr 233	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶))
74	50, 73	rexlimddv 3219	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883  ifcif 4456   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5580  ran crn 5581   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  supcsup 9129  ℝcr 10801  0cc0 10802  +∞cpnf 10937  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  ℝ⁺crp 12659  [,)cico 13010  [,]cicc 13011  volcvol 24532  MblFncmbf 24683  ∫₂citg2 24685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-rest 17050  df-topgen 17071  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-top 21951  df-topon 21968  df-bases 22004  df-cmp 22446  df-ovol 24533  df-vol 24534  df-mbf 24688  df-itg1 24689  df-itg2 24690  df-0p 24739

This theorem is referenced by:  itgcn  24914