Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0ome Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ome 46485
Description: The map that assigns 0 to every subset, is an outer measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
0ome.1 (𝜑𝑋𝑉)
0ome.2 𝑂 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0)
Assertion
Ref Expression
0ome (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
Distinct variable group:   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑂(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem 0ome
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) = (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0)
2 0e0iccpnf 13496 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0[,]+∞)
32a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 → 0 ∈ (0[,]+∞))
41, 3fmpti 7132 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0):𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞)
5 0ome.2 . . . . . . . . . . 11 𝑂 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0)
6 eqidd 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → 0 = 0)
76cbvmptv 5261 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) = (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0)
85, 7eqtri 2763 . . . . . . . . . 10 𝑂 = (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0)
98feq1i 6728 . . . . . . . . 9 (𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0):dom 𝑂⟶(0[,]+∞))
108dmeqi 5918 . . . . . . . . . . 11 dom 𝑂 = dom (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0)
11 0re 11261 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
1211rgenw 3063 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋0 ∈ ℝ
13 dmmptg 6264 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑋0 ∈ ℝ → dom (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) = 𝒫 𝑋)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) = 𝒫 𝑋
1510, 14eqtri 2763 . . . . . . . . . 10 dom 𝑂 = 𝒫 𝑋
1615feq2i 6729 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0):dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0):𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
179, 16bitri 275 . . . . . . . 8 (𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0):𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
184, 17mpbir 231 . . . . . . 7 𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞)
19 unipw 5461 . . . . . . . . . 10 𝒫 𝑋 = 𝑋
2019pweqi 4621 . . . . . . . . 9 𝒫 𝒫 𝑋 = 𝒫 𝑋
2120eqcomi 2744 . . . . . . . 8 𝒫 𝑋 = 𝒫 𝒫 𝑋
2215eqcomi 2744 . . . . . . . . . 10 𝒫 𝑋 = dom 𝑂
2322unieqi 4924 . . . . . . . . 9 𝒫 𝑋 = dom 𝑂
2423pweqi 4621 . . . . . . . 8 𝒫 𝒫 𝑋 = 𝒫 dom 𝑂
2515, 21, 243eqtri 2767 . . . . . . 7 dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂
2618, 25pm3.2i 470 . . . . . 6 (𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂)
27 0elpw 5362 . . . . . . 7 ∅ ∈ 𝒫 𝑋
28 eqidd 2736 . . . . . . . 8 (𝑦 = ∅ → 0 = 0)
2911elexi 3501 . . . . . . . 8 0 ∈ V
3028, 8, 29fvmpt 7016 . . . . . . 7 (∅ ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑂‘∅) = 0)
3127, 30ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑂‘∅) = 0
3226, 31pm3.2i 470 . . . . 5 ((𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂‘∅) = 0)
3311leidi 11795 . . . . . . . . 9 0 ≤ 0
3433a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → 0 ≤ 0)
35 eqidd 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → 0 = 0)
36 elpwi 4612 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ 𝒫 𝑦𝑧𝑦)
3736adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → 𝑧𝑦)
38 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂)
3921, 24eqtr2i 2764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝒫 dom 𝑂 = 𝒫 𝑋
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → 𝒫 dom 𝑂 = 𝒫 𝑋)
4138, 40eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ∈ 𝒫 𝑋)
42 elpwi 4612 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦𝑋)
4443adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → 𝑦𝑋)
4537, 44sstrd 4006 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → 𝑧𝑋)
46 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑦)
47 elpwg 4608 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ 𝒫 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋𝑧𝑋))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋𝑧𝑋))
4945, 48mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)
5011a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → 0 ∈ ℝ)
518, 35, 49, 50fvmptd3 7039 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → (𝑂𝑧) = 0)
528fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑂𝑦) = 0)
5341, 11, 52sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (𝑂𝑦) = 0)
5453adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → (𝑂𝑦) = 0)
5551, 54breq12d 5161 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → ((𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦) ↔ 0 ≤ 0))
5634, 55mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → (𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦))
5756ralrimiva 3144 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑦(𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦))
5857rgen 3061 . . . . 5 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦(𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦)
5932, 58pm3.2i 470 . . . 4 (((𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦(𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦))
6033a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → 0 ≤ 0)
6135cbvmptv 5261 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) = (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0)
628, 61eqtri 2763 . . . . . . . . . 10 𝑂 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0)
6362a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑂 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0))
64 eqidd 2736 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 = 𝑦) → 0 = 0)
65 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂)
6615pweqi 4621 . . . . . . . . . . . . . 14 𝒫 dom 𝑂 = 𝒫 𝒫 𝑋
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → 𝒫 dom 𝑂 = 𝒫 𝒫 𝑋)
6865, 67eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
69 elpwi 4612 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
71 sspwuni 5105 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋 𝑦𝑋)
7270, 71sylib 218 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 𝑦𝑋)
73 vuniex 7758 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
7473a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 𝑦 ∈ V)
75 elpwg 4608 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑦 ∈ V → ( 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 𝑦𝑋))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → ( 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 𝑦𝑋))
7772, 76mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋)
7811a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → 0 ∈ ℝ)
7963, 64, 77, 78fvmptd 7023 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (𝑂 𝑦) = 0)
8063reseq1d 5999 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (𝑂𝑦) = ((𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) ↾ 𝑦))
81 resmpt 6057 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋 → ((𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) ↾ 𝑦) = (𝑧𝑦 ↦ 0))
8270, 81syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → ((𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) ↾ 𝑦) = (𝑧𝑦 ↦ 0))
8380, 82eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (𝑂𝑦) = (𝑧𝑦 ↦ 0))
8483fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (Σ^‘(𝑂𝑦)) = (Σ^‘(𝑧𝑦 ↦ 0)))
85 nfv 1912 . . . . . . . . . 10 𝑧 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂
8685, 65sge0z 46331 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (Σ^‘(𝑧𝑦 ↦ 0)) = 0)
8784, 86eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (Σ^‘(𝑂𝑦)) = 0)
8879, 87breq12d 5161 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → ((𝑂 𝑦) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑦)) ↔ 0 ≤ 0))
8960, 88mpbird 257 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (𝑂 𝑦) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑦)))
9089a1d 25 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (𝑦 ≼ ω → (𝑂 𝑦) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑦))))
9190rgen 3061 . . . 4 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂(𝑦 ≼ ω → (𝑂 𝑦) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑦)))
9259, 91pm3.2i 470 . . 3 ((((𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦(𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂(𝑦 ≼ ω → (𝑂 𝑦) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑦))))
9392a1i 11 . 2 (𝜑 → ((((𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦(𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂(𝑦 ≼ ω → (𝑂 𝑦) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑦)))))
948a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑂 = (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0))
95 0ome.1 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
9695pwexd 5385 . . . . 5 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
97 mptexg 7241 . . . . 5 (𝒫 𝑋 ∈ V → (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) ∈ V)
9896, 97syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) ∈ V)
9994, 98eqeltrd 2839 . . 3 (𝜑𝑂 ∈ V)
100 isome 46450 . . 3 (𝑂 ∈ V → (𝑂 ∈ OutMeas ↔ ((((𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦(𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂(𝑦 ≼ ω → (𝑂 𝑦) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑦))))))
10199, 100syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑂 ∈ OutMeas ↔ ((((𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦(𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂(𝑦 ≼ ω → (𝑂 𝑦) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑦))))))
10293, 101mpbird 257 1 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  wss 3963  c0 4339  𝒫 cpw 4605   cuni 4912   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  cres 5691  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  ωcom 7887  cdom 8982  cr 11152  0cc0 11153  +∞cpnf 11290  cle 11294  [,]cicc 13387  Σ^csumge0 46318  OutMeascome 46445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-sumge0 46319  df-ome 46446
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator