Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0ome Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ome 41219
Description: The map that assigns 0 to every subset, is an outer measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
0ome.1 (𝜑𝑋𝑉)
0ome.2 𝑂 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0)
Assertion
Ref Expression
0ome (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
Distinct variable group:   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑂(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem 0ome
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2806 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) = (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0)
2 0e0iccpnf 12499 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0[,]+∞)
32a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 → 0 ∈ (0[,]+∞))
41, 3fmpti 6600 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0):𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞)
5 0ome.2 . . . . . . . . . . 11 𝑂 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0)
6 eqidd 2807 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → 0 = 0)
76cbvmptv 4944 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) = (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0)
85, 7eqtri 2828 . . . . . . . . . 10 𝑂 = (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0)
98feq1i 6243 . . . . . . . . 9 (𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0):dom 𝑂⟶(0[,]+∞))
108dmeqi 5526 . . . . . . . . . . 11 dom 𝑂 = dom (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0)
11 0re 10323 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
1211rgenw 3112 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋0 ∈ ℝ
13 dmmptg 5846 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑋0 ∈ ℝ → dom (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) = 𝒫 𝑋)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) = 𝒫 𝑋
1510, 14eqtri 2828 . . . . . . . . . 10 dom 𝑂 = 𝒫 𝑋
1615feq2i 6244 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0):dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0):𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
179, 16bitri 266 . . . . . . . 8 (𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0):𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
184, 17mpbir 222 . . . . . . 7 𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞)
19 unipw 5108 . . . . . . . . . 10 𝒫 𝑋 = 𝑋
2019pweqi 4355 . . . . . . . . 9 𝒫 𝒫 𝑋 = 𝒫 𝑋
2120eqcomi 2815 . . . . . . . 8 𝒫 𝑋 = 𝒫 𝒫 𝑋
2215eqcomi 2815 . . . . . . . . . 10 𝒫 𝑋 = dom 𝑂
2322unieqi 4639 . . . . . . . . 9 𝒫 𝑋 = dom 𝑂
2423pweqi 4355 . . . . . . . 8 𝒫 𝒫 𝑋 = 𝒫 dom 𝑂
2515, 21, 243eqtri 2832 . . . . . . 7 dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂
2618, 25pm3.2i 458 . . . . . 6 (𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂)
27 0elpw 5026 . . . . . . 7 ∅ ∈ 𝒫 𝑋
28 eqidd 2807 . . . . . . . 8 (𝑦 = ∅ → 0 = 0)
2911elexi 3407 . . . . . . . 8 0 ∈ V
3028, 8, 29fvmpt 6499 . . . . . . 7 (∅ ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑂‘∅) = 0)
3127, 30ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑂‘∅) = 0
3226, 31pm3.2i 458 . . . . 5 ((𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂‘∅) = 0)
3311leidi 10843 . . . . . . . . 9 0 ≤ 0
3433a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → 0 ≤ 0)
35 elpwi 4361 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ 𝒫 𝑦𝑧𝑦)
3635adantl 469 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → 𝑧𝑦)
37 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂)
3821, 24eqtr2i 2829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝒫 dom 𝑂 = 𝒫 𝑋
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → 𝒫 dom 𝑂 = 𝒫 𝑋)
4037, 39eleqtrd 2887 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ∈ 𝒫 𝑋)
41 elpwi 4361 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦𝑋)
4342adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → 𝑦𝑋)
4436, 43sstrd 3808 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → 𝑧𝑋)
45 simpr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑦)
46 elpwg 4359 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ 𝒫 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋𝑧𝑋))
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋𝑧𝑋))
4844, 47mpbird 248 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)
4911a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → 0 ∈ ℝ)
50 eqidd 2807 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑧 → 0 = 0)
5150cbvmptv 4944 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) = (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0)
528, 51eqtri 2828 . . . . . . . . . . 11 𝑂 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0)
5352fvmpt2 6508 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑂𝑧) = 0)
5448, 49, 53syl2anc 575 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → (𝑂𝑧) = 0)
558fvmpt2 6508 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑂𝑦) = 0)
5640, 11, 55sylancl 576 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (𝑂𝑦) = 0)
5756adantr 468 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → (𝑂𝑦) = 0)
5854, 57breq12d 4857 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → ((𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦) ↔ 0 ≤ 0))
5934, 58mpbird 248 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → (𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦))
6059ralrimiva 3154 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑦(𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦))
6160rgen 3110 . . . . 5 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦(𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦)
6232, 61pm3.2i 458 . . . 4 (((𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦(𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦))
6333a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → 0 ≤ 0)
6452a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑂 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0))
65 eqidd 2807 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 = 𝑦) → 0 = 0)
66 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂)
6715pweqi 4355 . . . . . . . . . . . . . 14 𝒫 dom 𝑂 = 𝒫 𝒫 𝑋
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → 𝒫 dom 𝑂 = 𝒫 𝒫 𝑋)
6966, 68eleqtrd 2887 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
70 elpwi 4361 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
72 sspwuni 4803 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋 𝑦𝑋)
7371, 72sylib 209 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 𝑦𝑋)
74 vuniex 7180 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
7574a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 𝑦 ∈ V)
76 elpwg 4359 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑦 ∈ V → ( 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 𝑦𝑋))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → ( 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 𝑦𝑋))
7873, 77mpbird 248 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋)
7911a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → 0 ∈ ℝ)
8064, 65, 78, 79fvmptd 6505 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (𝑂 𝑦) = 0)
8164reseq1d 5596 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (𝑂𝑦) = ((𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) ↾ 𝑦))
82 resmpt 5654 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋 → ((𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) ↾ 𝑦) = (𝑧𝑦 ↦ 0))
8371, 82syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → ((𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) ↾ 𝑦) = (𝑧𝑦 ↦ 0))
8481, 83eqtrd 2840 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (𝑂𝑦) = (𝑧𝑦 ↦ 0))
8584fveq2d 6408 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (Σ^‘(𝑂𝑦)) = (Σ^‘(𝑧𝑦 ↦ 0)))
86 nfv 2005 . . . . . . . . . 10 𝑧 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂
8786, 66sge0z 41065 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (Σ^‘(𝑧𝑦 ↦ 0)) = 0)
8885, 87eqtrd 2840 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (Σ^‘(𝑂𝑦)) = 0)
8980, 88breq12d 4857 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → ((𝑂 𝑦) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑦)) ↔ 0 ≤ 0))
9063, 89mpbird 248 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (𝑂 𝑦) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑦)))
9190a1d 25 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (𝑦 ≼ ω → (𝑂 𝑦) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑦))))
9291rgen 3110 . . . 4 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂(𝑦 ≼ ω → (𝑂 𝑦) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑦)))
9362, 92pm3.2i 458 . . 3 ((((𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦(𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂(𝑦 ≼ ω → (𝑂 𝑦) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑦))))
9493a1i 11 . 2 (𝜑 → ((((𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦(𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂(𝑦 ≼ ω → (𝑂 𝑦) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑦)))))
958a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑂 = (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0))
96 0ome.1 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
9796pwexd 5049 . . . . 5 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
98 mptexg 6705 . . . . 5 (𝒫 𝑋 ∈ V → (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) ∈ V)
9997, 98syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) ∈ V)
10095, 99eqeltrd 2885 . . 3 (𝜑𝑂 ∈ V)
101 isome 41184 . . 3 (𝑂 ∈ V → (𝑂 ∈ OutMeas ↔ ((((𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦(𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂(𝑦 ≼ ω → (𝑂 𝑦) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑦))))))
102100, 101syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑂 ∈ OutMeas ↔ ((((𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦(𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂(𝑦 ≼ ω → (𝑂 𝑦) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑦))))))
10394, 102mpbird 248 1 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  wral 3096  Vcvv 3391  wss 3769  c0 4116  𝒫 cpw 4351   cuni 4630   class class class wbr 4844  cmpt 4923  dom cdm 5311  cres 5313  wf 6093  cfv 6097  (class class class)co 6870  ωcom 7291  cdom 8186  cr 10216  0cc0 10217  +∞cpnf 10352  cle 10356  [,]cicc 12392  Σ^csumge0 41052  OutMeascome 41179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-inf2 8781  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294  ax-pre-sup 10295
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-isom 6106  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-1o 7792  df-oadd 7796  df-er 7975  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-fin 8192  df-sup 8583  df-oi 8650  df-card 9044  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-div 10966  df-nn 11302  df-2 11360  df-3 11361  df-n0 11556  df-z 11640  df-uz 11901  df-rp 12043  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12546  df-fzo 12686  df-seq 13021  df-exp 13080  df-hash 13334  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-sum 14636  df-sumge0 41053  df-ome 41180
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator