Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0ome Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ome 46549
Description: The map that assigns 0 to every subset, is an outer measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
0ome.1 (𝜑𝑋𝑉)
0ome.2 𝑂 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0)
Assertion
Ref Expression
0ome (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
Distinct variable group:   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑂(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem 0ome
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) = (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0)
2 0e0iccpnf 13500 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0[,]+∞)
32a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 → 0 ∈ (0[,]+∞))
41, 3fmpti 7131 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0):𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞)
5 0ome.2 . . . . . . . . . . 11 𝑂 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0)
6 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → 0 = 0)
76cbvmptv 5254 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) = (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0)
85, 7eqtri 2764 . . . . . . . . . 10 𝑂 = (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0)
98feq1i 6726 . . . . . . . . 9 (𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0):dom 𝑂⟶(0[,]+∞))
108dmeqi 5914 . . . . . . . . . . 11 dom 𝑂 = dom (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0)
11 0re 11264 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
1211rgenw 3064 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋0 ∈ ℝ
13 dmmptg 6261 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑋0 ∈ ℝ → dom (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) = 𝒫 𝑋)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) = 𝒫 𝑋
1510, 14eqtri 2764 . . . . . . . . . 10 dom 𝑂 = 𝒫 𝑋
1615feq2i 6727 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0):dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0):𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
179, 16bitri 275 . . . . . . . 8 (𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0):𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
184, 17mpbir 231 . . . . . . 7 𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞)
19 unipw 5454 . . . . . . . . . 10 𝒫 𝑋 = 𝑋
2019pweqi 4615 . . . . . . . . 9 𝒫 𝒫 𝑋 = 𝒫 𝑋
2120eqcomi 2745 . . . . . . . 8 𝒫 𝑋 = 𝒫 𝒫 𝑋
2215eqcomi 2745 . . . . . . . . . 10 𝒫 𝑋 = dom 𝑂
2322unieqi 4918 . . . . . . . . 9 𝒫 𝑋 = dom 𝑂
2423pweqi 4615 . . . . . . . 8 𝒫 𝒫 𝑋 = 𝒫 dom 𝑂
2515, 21, 243eqtri 2768 . . . . . . 7 dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂
2618, 25pm3.2i 470 . . . . . 6 (𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂)
27 0elpw 5355 . . . . . . 7 ∅ ∈ 𝒫 𝑋
28 eqidd 2737 . . . . . . . 8 (𝑦 = ∅ → 0 = 0)
2911elexi 3502 . . . . . . . 8 0 ∈ V
3028, 8, 29fvmpt 7015 . . . . . . 7 (∅ ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑂‘∅) = 0)
3127, 30ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑂‘∅) = 0
3226, 31pm3.2i 470 . . . . 5 ((𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂‘∅) = 0)
3311leidi 11798 . . . . . . . . 9 0 ≤ 0
3433a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → 0 ≤ 0)
35 eqidd 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → 0 = 0)
36 elpwi 4606 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ 𝒫 𝑦𝑧𝑦)
3736adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → 𝑧𝑦)
38 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂)
3921, 24eqtr2i 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝒫 dom 𝑂 = 𝒫 𝑋
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → 𝒫 dom 𝑂 = 𝒫 𝑋)
4138, 40eleqtrd 2842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ∈ 𝒫 𝑋)
42 elpwi 4606 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦𝑋)
4443adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → 𝑦𝑋)
4537, 44sstrd 3993 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → 𝑧𝑋)
46 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑦)
47 elpwg 4602 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ 𝒫 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋𝑧𝑋))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋𝑧𝑋))
4945, 48mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)
5011a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → 0 ∈ ℝ)
518, 35, 49, 50fvmptd3 7038 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → (𝑂𝑧) = 0)
528fvmpt2 7026 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑂𝑦) = 0)
5341, 11, 52sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (𝑂𝑦) = 0)
5453adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → (𝑂𝑦) = 0)
5551, 54breq12d 5155 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → ((𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦) ↔ 0 ≤ 0))
5634, 55mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → (𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦))
5756ralrimiva 3145 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑦(𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦))
5857rgen 3062 . . . . 5 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦(𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦)
5932, 58pm3.2i 470 . . . 4 (((𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦(𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦))
6033a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → 0 ≤ 0)
6135cbvmptv 5254 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) = (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0)
628, 61eqtri 2764 . . . . . . . . . 10 𝑂 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0)
6362a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑂 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0))
64 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 = 𝑦) → 0 = 0)
65 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂)
6615pweqi 4615 . . . . . . . . . . . . . 14 𝒫 dom 𝑂 = 𝒫 𝒫 𝑋
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → 𝒫 dom 𝑂 = 𝒫 𝒫 𝑋)
6865, 67eleqtrd 2842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
69 elpwi 4606 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
71 sspwuni 5099 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋 𝑦𝑋)
7270, 71sylib 218 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 𝑦𝑋)
73 vuniex 7760 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
7473a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 𝑦 ∈ V)
75 elpwg 4602 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑦 ∈ V → ( 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 𝑦𝑋))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → ( 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 𝑦𝑋))
7772, 76mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋)
7811a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → 0 ∈ ℝ)
7963, 64, 77, 78fvmptd 7022 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (𝑂 𝑦) = 0)
8063reseq1d 5995 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (𝑂𝑦) = ((𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) ↾ 𝑦))
81 resmpt 6054 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋 → ((𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) ↾ 𝑦) = (𝑧𝑦 ↦ 0))
8270, 81syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → ((𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) ↾ 𝑦) = (𝑧𝑦 ↦ 0))
8380, 82eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (𝑂𝑦) = (𝑧𝑦 ↦ 0))
8483fveq2d 6909 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (Σ^‘(𝑂𝑦)) = (Σ^‘(𝑧𝑦 ↦ 0)))
85 nfv 1913 . . . . . . . . . 10 𝑧 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂
8685, 65sge0z 46395 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (Σ^‘(𝑧𝑦 ↦ 0)) = 0)
8784, 86eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (Σ^‘(𝑂𝑦)) = 0)
8879, 87breq12d 5155 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → ((𝑂 𝑦) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑦)) ↔ 0 ≤ 0))
8960, 88mpbird 257 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (𝑂 𝑦) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑦)))
9089a1d 25 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (𝑦 ≼ ω → (𝑂 𝑦) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑦))))
9190rgen 3062 . . . 4 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂(𝑦 ≼ ω → (𝑂 𝑦) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑦)))
9259, 91pm3.2i 470 . . 3 ((((𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦(𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂(𝑦 ≼ ω → (𝑂 𝑦) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑦))))
9392a1i 11 . 2 (𝜑 → ((((𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦(𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂(𝑦 ≼ ω → (𝑂 𝑦) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑦)))))
948a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑂 = (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0))
95 0ome.1 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
9695pwexd 5378 . . . . 5 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
97 mptexg 7242 . . . . 5 (𝒫 𝑋 ∈ V → (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) ∈ V)
9896, 97syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) ∈ V)
9994, 98eqeltrd 2840 . . 3 (𝜑𝑂 ∈ V)
100 isome 46514 . . 3 (𝑂 ∈ V → (𝑂 ∈ OutMeas ↔ ((((𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦(𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂(𝑦 ≼ ω → (𝑂 𝑦) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑦))))))
10199, 100syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑂 ∈ OutMeas ↔ ((((𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦(𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂(𝑦 ≼ ω → (𝑂 𝑦) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑦))))))
10293, 101mpbird 257 1 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  Vcvv 3479  wss 3950  c0 4332  𝒫 cpw 4599   cuni 4906   class class class wbr 5142  cmpt 5224  dom cdm 5684  cres 5686  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  ωcom 7888  cdom 8984  cr 11155  0cc0 11156  +∞cpnf 11293  cle 11297  [,]cicc 13391  Σ^csumge0 46382  OutMeascome 46509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-sumge0 46383  df-ome 46510
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator