MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgeqa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgeqa 25331
Description: Approximate equality of integrals. If ๐ถ(๐‘ฅ) = ๐ท(๐‘ฅ) for almost all ๐‘ฅ, then โˆซ๐ต๐ถ(๐‘ฅ) d๐‘ฅ = โˆซ๐ต๐ท(๐‘ฅ) d๐‘ฅ and one is integrable iff the other is. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgeqa.1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
itgeqa.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
itgeqa.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
itgeqa.4 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ด) = 0)
itgeqa.5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด)) โ†’ ๐ถ = ๐ท)
Assertion
Ref Expression
itgeqa (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ท) โˆˆ ๐ฟ1) โˆง โˆซ๐ต๐ถ d๐‘ฅ = โˆซ๐ต๐ท d๐‘ฅ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ถ(๐‘ฅ)   ๐ท(๐‘ฅ)

Proof of Theorem itgeqa
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgeqa.3 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
2 itgeqa.4 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ด) = 0)
3 itgeqa.5 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด)) โ†’ ๐ถ = ๐ท)
4 itgeqa.1 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5 itgeqa.2 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
61, 2, 3, 4, 5mbfeqa 25160 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ MblFn โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ท) โˆˆ MblFn))
7 ifan 4582 . . . . . . . . . 10 if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0)
84adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
9 ax-icn 11169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i โˆˆ โ„‚
10 ine0 11649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i โ‰  0
11 elfzelz 13501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
1211ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
13 expclz 14050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
149, 10, 12, 13mp3an12i 1466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
15 expne0i 14060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โ‰  0)
169, 10, 12, 15mp3an12i 1466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โ‰  0)
178, 14, 16divcld 11990 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
1817recld 15141 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„)
19 0re 11216 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โˆˆ โ„
20 ifcl 4574 . . . . . . . . . . . . . 14 (((โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„)
2118, 19, 20sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„)
2221rexrd 11264 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„*)
23 max1 13164 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
2419, 18, 23sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
25 elxrge0 13434 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž) โ†” (if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
2622, 24, 25sylanbrc 584 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
27 0e0iccpnf 13436 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ (0[,]+โˆž)
2827a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โˆˆ (0[,]+โˆž))
2926, 28ifclda 4564 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
307, 29eqeltrid 2838 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
3130adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
3231fmpttd 7115 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž))
33 ifan 4582 . . . . . . . . . 10 if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0)
345adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
3534, 14, 16divcld 11990 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ท / (iโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
3635recld 15141 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„)
37 ifcl 4574 . . . . . . . . . . . . . 14 (((โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„)
3836, 19, 37sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„)
3938rexrd 11264 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„*)
40 max1 13164 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
4119, 36, 40sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
42 elxrge0 13434 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž) โ†” (if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
4339, 41, 42sylanbrc 584 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
4443, 28ifclda 4564 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
4533, 44eqeltrid 2838 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
4645adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
4746fmpttd 7115 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž))
481adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
492adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (vol*โ€˜๐ด) = 0)
50 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐œ‘)
51 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
52 eldifn 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด)
5352ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด)
5451, 53eldifd 3960 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด))
5550, 54, 3syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ = ๐ท)
5655fvoveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))) = (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))))
5756ibllem 25282 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) = if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
58 eldifi 4127 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
5958adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
60 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . 14 (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ V
61 c0ex 11208 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โˆˆ V
6260, 61ifex 4579 . . . . . . . . . . . . 13 if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ V
63 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
6463fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ V) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) = if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
6559, 62, 64sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) = if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
66 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . 14 (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ V
6766, 61ifex 4579 . . . . . . . . . . . . 13 if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ V
68 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
6968fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ V) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) = if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
7059, 67, 69sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) = if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
7157, 65, 703eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ))
7271ralrimiva 3147 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ))
73 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฆ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ)
74 nffvmpt1 6903 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฅ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ)
75 nffvmpt1 6903 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฅ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ)
7674, 75nfeq 2917 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ)
77 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ))
78 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ))
7977, 78eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ)))
8073, 76, 79cbvralw 3304 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ))
8172, 80sylib 217 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ))
8281r19.21bi 3249 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ))
8382adantlr 714 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ))
8432, 47, 48, 49, 83itg2eqa 25263 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))))
8584eleq1d 2819 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„ โ†” (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„))
8685ralbidva 3176 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...3)(โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„ โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...3)(โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„))
876, 86anbi12d 632 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ MblFn โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...3)(โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ท) โˆˆ MblFn โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...3)(โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„)))
88 eqidd 2734 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
89 eqidd 2734 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))) = (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))))
9088, 89, 4isibl2 25284 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ MblFn โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...3)(โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„)))
91 eqidd 2734 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
92 eqidd 2734 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))) = (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))))
9391, 92, 5isibl2 25284 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ท) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ท) โˆˆ MblFn โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...3)(โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„)))
9487, 90, 933bitr4d 311 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ท) โˆˆ ๐ฟ1))
9584oveq2d 7425 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ ((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))) = ((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))))
9695sumeq2dv 15649 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))))
97 eqid 2733 . . . 4 (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))) = (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))
9897dfitg 25287 . . 3 โˆซ๐ต๐ถ d๐‘ฅ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))))
99 eqid 2733 . . . 4 (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))) = (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))
10099dfitg 25287 . . 3 โˆซ๐ต๐ท d๐‘ฅ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))))
10196, 98, 1003eqtr4g 2798 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ต๐ถ d๐‘ฅ = โˆซ๐ต๐ท d๐‘ฅ)
10294, 101jca 513 1 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ท) โˆˆ ๐ฟ1) โˆง โˆซ๐ต๐ถ d๐‘ฅ = โˆซ๐ต๐ท d๐‘ฅ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062  Vcvv 3475   โˆ– cdif 3946   โŠ† wss 3949  ifcif 4529   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  ici 11112   ยท cmul 11115  +โˆžcpnf 11245  โ„*cxr 11247   โ‰ค cle 11249   / cdiv 11871  3c3 12268  โ„คcz 12558  [,]cicc 13327  ...cfz 13484  โ†‘cexp 14027  โ„œcre 15044  ฮฃcsu 15632  vol*covol 24979  MblFncmbf 25131  โˆซ2citg2 25133  ๐ฟ1cibl 25134  โˆซcitg 25135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-symdif 4243  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cmp 22891  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137  df-itg2 25138  df-ibl 25139  df-itg 25140
This theorem is referenced by:  itgss3  25332
  Copyright terms: Public domain W3C validator