MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgeqa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgeqa 25100
Description: Approximate equality of integrals. If ๐ถ(๐‘ฅ) = ๐ท(๐‘ฅ) for almost all ๐‘ฅ, then โˆซ๐ต๐ถ(๐‘ฅ) d๐‘ฅ = โˆซ๐ต๐ท(๐‘ฅ) d๐‘ฅ and one is integrable iff the other is. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgeqa.1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
itgeqa.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
itgeqa.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
itgeqa.4 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ด) = 0)
itgeqa.5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด)) โ†’ ๐ถ = ๐ท)
Assertion
Ref Expression
itgeqa (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ท) โˆˆ ๐ฟ1) โˆง โˆซ๐ต๐ถ d๐‘ฅ = โˆซ๐ต๐ท d๐‘ฅ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ถ(๐‘ฅ)   ๐ท(๐‘ฅ)

Proof of Theorem itgeqa
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgeqa.3 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
2 itgeqa.4 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ด) = 0)
3 itgeqa.5 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด)) โ†’ ๐ถ = ๐ท)
4 itgeqa.1 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5 itgeqa.2 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
61, 2, 3, 4, 5mbfeqa 24929 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ MblFn โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ท) โˆˆ MblFn))
7 ifan 4537 . . . . . . . . . 10 if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0)
84adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
9 ax-icn 11043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i โˆˆ โ„‚
10 ine0 11523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i โ‰  0
11 elfzelz 13369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
1211ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
13 expclz 13920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
149, 10, 12, 13mp3an12i 1465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
15 expne0i 13928 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โ‰  0)
169, 10, 12, 15mp3an12i 1465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โ‰  0)
178, 14, 16divcld 11864 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
1817recld 15012 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„)
19 0re 11090 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โˆˆ โ„
20 ifcl 4529 . . . . . . . . . . . . . 14 (((โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„)
2118, 19, 20sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„)
2221rexrd 11138 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„*)
23 max1 13032 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
2419, 18, 23sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
25 elxrge0 13302 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž) โ†” (if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
2622, 24, 25sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
27 0e0iccpnf 13304 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ (0[,]+โˆž)
2827a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โˆˆ (0[,]+โˆž))
2926, 28ifclda 4519 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
307, 29eqeltrid 2842 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
3130adantr 481 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
3231fmpttd 7057 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž))
33 ifan 4537 . . . . . . . . . 10 if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0)
345adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
3534, 14, 16divcld 11864 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ท / (iโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
3635recld 15012 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„)
37 ifcl 4529 . . . . . . . . . . . . . 14 (((โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„)
3836, 19, 37sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„)
3938rexrd 11138 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„*)
40 max1 13032 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
4119, 36, 40sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
42 elxrge0 13302 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž) โ†” (if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
4339, 41, 42sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
4443, 28ifclda 4519 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
4533, 44eqeltrid 2842 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
4645adantr 481 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
4746fmpttd 7057 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž))
481adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
492adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (vol*โ€˜๐ด) = 0)
50 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐œ‘)
51 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
52 eldifn 4085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด)
5352ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด)
5451, 53eldifd 3919 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด))
5550, 54, 3syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ = ๐ท)
5655fvoveq1d 7371 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))) = (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))))
5756ibllem 25051 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) = if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
58 eldifi 4084 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
5958adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
60 fvex 6850 . . . . . . . . . . . . . 14 (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ V
61 c0ex 11082 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โˆˆ V
6260, 61ifex 4534 . . . . . . . . . . . . 13 if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ V
63 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
6463fvmpt2 6954 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ V) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) = if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
6559, 62, 64sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) = if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
66 fvex 6850 . . . . . . . . . . . . . 14 (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ V
6766, 61ifex 4534 . . . . . . . . . . . . 13 if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ V
68 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
6968fvmpt2 6954 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ V) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) = if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
7059, 67, 69sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) = if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
7157, 65, 703eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ))
7271ralrimiva 3141 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ))
73 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฆ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ)
74 nffvmpt1 6848 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฅ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ)
75 nffvmpt1 6848 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฅ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ)
7674, 75nfeq 2918 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ)
77 fveq2 6837 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ))
78 fveq2 6837 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ))
7977, 78eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ)))
8073, 76, 79cbvralw 3287 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ))
8172, 80sylib 217 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ))
8281r19.21bi 3232 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ))
8382adantlr 713 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ))
8432, 47, 48, 49, 83itg2eqa 25032 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))))
8584eleq1d 2822 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„ โ†” (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„))
8685ralbidva 3170 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...3)(โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„ โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...3)(โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„))
876, 86anbi12d 631 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ MblFn โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...3)(โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ท) โˆˆ MblFn โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...3)(โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„)))
88 eqidd 2738 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
89 eqidd 2738 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))) = (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))))
9088, 89, 4isibl2 25053 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ MblFn โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...3)(โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„)))
91 eqidd 2738 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
92 eqidd 2738 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))) = (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))))
9391, 92, 5isibl2 25053 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ท) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ท) โˆˆ MblFn โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...3)(โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„)))
9487, 90, 933bitr4d 310 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ท) โˆˆ ๐ฟ1))
9584oveq2d 7365 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ ((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))) = ((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))))
9695sumeq2dv 15522 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))))
97 eqid 2737 . . . 4 (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))) = (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))
9897dfitg 25056 . . 3 โˆซ๐ต๐ถ d๐‘ฅ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))))
99 eqid 2737 . . . 4 (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))) = (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))
10099dfitg 25056 . . 3 โˆซ๐ต๐ท d๐‘ฅ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))))
10196, 98, 1003eqtr4g 2802 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ต๐ถ d๐‘ฅ = โˆซ๐ต๐ท d๐‘ฅ)
10294, 101jca 512 1 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ท) โˆˆ ๐ฟ1) โˆง โˆซ๐ต๐ถ d๐‘ฅ = โˆซ๐ต๐ท d๐‘ฅ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062  Vcvv 3443   โˆ– cdif 3905   โŠ† wss 3908  ifcif 4484   class class class wbr 5103   โ†ฆ cmpt 5186  โ€˜cfv 6491  (class class class)co 7349  โ„‚cc 10982  โ„cr 10983  0cc0 10984  ici 10986   ยท cmul 10989  +โˆžcpnf 11119  โ„*cxr 11121   โ‰ค cle 11123   / cdiv 11745  3c3 12142  โ„คcz 12432  [,]cicc 13195  ...cfz 13352  โ†‘cexp 13895  โ„œcre 14915  ฮฃcsu 15504  vol*covol 24748  MblFncmbf 24900  โˆซ2citg2 24902  ๐ฟ1cibl 24903  โˆซcitg 24904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-inf2 9510  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062  ax-addf 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-symdif 4200  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-disj 5069  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7607  df-ofr 7608  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-2o 8380  df-er 8581  df-map 8700  df-pm 8701  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-fin 8820  df-fi 9280  df-sup 9311  df-inf 9312  df-oi 9379  df-dju 9770  df-card 9808  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-n0 12347  df-z 12433  df-uz 12696  df-q 12802  df-rp 12844  df-xneg 12961  df-xadd 12962  df-xmul 12963  df-ioo 13196  df-ico 13198  df-icc 13199  df-fz 13353  df-fzo 13496  df-fl 13625  df-seq 13835  df-exp 13896  df-hash 14158  df-cj 14917  df-re 14918  df-im 14919  df-sqrt 15053  df-abs 15054  df-clim 15304  df-sum 15505  df-rest 17238  df-topgen 17259  df-psmet 20711  df-xmet 20712  df-met 20713  df-bl 20714  df-mopn 20715  df-top 22165  df-topon 22182  df-bases 22218  df-cmp 22660  df-ovol 24750  df-vol 24751  df-mbf 24905  df-itg1 24906  df-itg2 24907  df-ibl 24908  df-itg 24909
This theorem is referenced by:  itgss3  25101
  Copyright terms: Public domain W3C validator