MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgeqa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgeqa 25330
Description: Approximate equality of integrals. If ๐ถ(๐‘ฅ) = ๐ท(๐‘ฅ) for almost all ๐‘ฅ, then โˆซ๐ต๐ถ(๐‘ฅ) d๐‘ฅ = โˆซ๐ต๐ท(๐‘ฅ) d๐‘ฅ and one is integrable iff the other is. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgeqa.1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
itgeqa.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
itgeqa.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
itgeqa.4 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ด) = 0)
itgeqa.5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด)) โ†’ ๐ถ = ๐ท)
Assertion
Ref Expression
itgeqa (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ท) โˆˆ ๐ฟ1) โˆง โˆซ๐ต๐ถ d๐‘ฅ = โˆซ๐ต๐ท d๐‘ฅ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ถ(๐‘ฅ)   ๐ท(๐‘ฅ)

Proof of Theorem itgeqa
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgeqa.3 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
2 itgeqa.4 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ด) = 0)
3 itgeqa.5 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด)) โ†’ ๐ถ = ๐ท)
4 itgeqa.1 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5 itgeqa.2 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
61, 2, 3, 4, 5mbfeqa 25159 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ MblFn โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ท) โˆˆ MblFn))
7 ifan 4581 . . . . . . . . . 10 if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0)
84adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
9 ax-icn 11168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i โˆˆ โ„‚
10 ine0 11648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i โ‰  0
11 elfzelz 13500 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
1211ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
13 expclz 14049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
149, 10, 12, 13mp3an12i 1465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
15 expne0i 14059 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โ‰  0)
169, 10, 12, 15mp3an12i 1465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โ‰  0)
178, 14, 16divcld 11989 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
1817recld 15140 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„)
19 0re 11215 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โˆˆ โ„
20 ifcl 4573 . . . . . . . . . . . . . 14 (((โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„)
2118, 19, 20sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„)
2221rexrd 11263 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„*)
23 max1 13163 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
2419, 18, 23sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
25 elxrge0 13433 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž) โ†” (if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
2622, 24, 25sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
27 0e0iccpnf 13435 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ (0[,]+โˆž)
2827a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โˆˆ (0[,]+โˆž))
2926, 28ifclda 4563 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
307, 29eqeltrid 2837 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
3130adantr 481 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
3231fmpttd 7114 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž))
33 ifan 4581 . . . . . . . . . 10 if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0)
345adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
3534, 14, 16divcld 11989 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ท / (iโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
3635recld 15140 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„)
37 ifcl 4573 . . . . . . . . . . . . . 14 (((โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„)
3836, 19, 37sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„)
3938rexrd 11263 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„*)
40 max1 13163 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
4119, 36, 40sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
42 elxrge0 13433 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž) โ†” (if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
4339, 41, 42sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
4443, 28ifclda 4563 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
4533, 44eqeltrid 2837 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
4645adantr 481 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
4746fmpttd 7114 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž))
481adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
492adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (vol*โ€˜๐ด) = 0)
50 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐œ‘)
51 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
52 eldifn 4127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด)
5352ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด)
5451, 53eldifd 3959 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด))
5550, 54, 3syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ = ๐ท)
5655fvoveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))) = (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))))
5756ibllem 25281 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) = if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
58 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
5958adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
60 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . 14 (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ V
61 c0ex 11207 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โˆˆ V
6260, 61ifex 4578 . . . . . . . . . . . . 13 if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ V
63 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
6463fvmpt2 7009 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ V) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) = if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
6559, 62, 64sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) = if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
66 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . 14 (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ V
6766, 61ifex 4578 . . . . . . . . . . . . 13 if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ V
68 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
6968fvmpt2 7009 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ V) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) = if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
7059, 67, 69sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) = if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
7157, 65, 703eqtr4d 2782 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ))
7271ralrimiva 3146 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ))
73 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฆ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ)
74 nffvmpt1 6902 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฅ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ)
75 nffvmpt1 6902 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฅ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ)
7674, 75nfeq 2916 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ)
77 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ))
78 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ))
7977, 78eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ)))
8073, 76, 79cbvralw 3303 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ))
8172, 80sylib 217 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ))
8281r19.21bi 3248 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ))
8382adantlr 713 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„ โˆ– ๐ด)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))โ€˜๐‘ฆ))
8432, 47, 48, 49, 83itg2eqa 25262 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))))
8584eleq1d 2818 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„ โ†” (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„))
8685ralbidva 3175 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...3)(โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„ โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...3)(โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„))
876, 86anbi12d 631 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ MblFn โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...3)(โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ท) โˆˆ MblFn โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...3)(โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„)))
88 eqidd 2733 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
89 eqidd 2733 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))) = (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))))
9088, 89, 4isibl2 25283 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ MblFn โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...3)(โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„)))
91 eqidd 2733 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
92 eqidd 2733 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))) = (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))))
9391, 92, 5isibl2 25283 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ท) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ท) โˆˆ MblFn โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...3)(โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„)))
9487, 90, 933bitr4d 310 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ท) โˆˆ ๐ฟ1))
9584oveq2d 7424 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ ((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))) = ((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))))
9695sumeq2dv 15648 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))))
97 eqid 2732 . . . 4 (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))) = (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))
9897dfitg 25286 . . 3 โˆซ๐ต๐ถ d๐‘ฅ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))))
99 eqid 2732 . . . 4 (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))) = (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))
10099dfitg 25286 . . 3 โˆซ๐ต๐ท d๐‘ฅ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ท / (iโ†‘๐‘˜))), 0))))
10196, 98, 1003eqtr4g 2797 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ต๐ถ d๐‘ฅ = โˆซ๐ต๐ท d๐‘ฅ)
10294, 101jca 512 1 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ท) โˆˆ ๐ฟ1) โˆง โˆซ๐ต๐ถ d๐‘ฅ = โˆซ๐ต๐ท d๐‘ฅ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  Vcvv 3474   โˆ– cdif 3945   โŠ† wss 3948  ifcif 4528   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  ici 11111   ยท cmul 11114  +โˆžcpnf 11244  โ„*cxr 11246   โ‰ค cle 11248   / cdiv 11870  3c3 12267  โ„คcz 12557  [,]cicc 13326  ...cfz 13483  โ†‘cexp 14026  โ„œcre 15043  ฮฃcsu 15631  vol*covol 24978  MblFncmbf 25130  โˆซ2citg2 25132  ๐ฟ1cibl 25133  โˆซcitg 25134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-symdif 4242  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632  df-rest 17367  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cmp 22890  df-ovol 24980  df-vol 24981  df-mbf 25135  df-itg1 25136  df-itg2 25137  df-ibl 25138  df-itg 25139
This theorem is referenced by:  itgss3  25331
  Copyright terms: Public domain W3C validator