Theorem 0grrgr 27065

Description: The null graph represented by an empty set is k-regular for every k. (Contributed by AV, 26-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
0grrgr	⊢ ∀𝑘 ∈ ℕ0* ∅RegGraph𝑘

Proof of Theorem 0grrgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0grrusgr 27064	. 2 ⊢ ∀𝑘 ∈ ℕ0* ∅RegUSGraph𝑘
2		rusgrrgr 27048	. . 3 ⊢ (∅RegUSGraph𝑘 → ∅RegGraph𝑘)
3	2	ralimi 3111	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0* ∅RegUSGraph𝑘 → ∀𝑘 ∈ ℕ0* ∅RegGraph𝑘)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ ∀𝑘 ∈ ℕ0* ∅RegGraph𝑘

Syntax hints:  ∀wral 3089  ∅c0 4179   class class class wbr 4929  ℕ₀^*cxnn0 11779  RegGraphcrgr 27040  RegUSGraphcrusgr 27041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-po 5326  df-so 5327  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-ov 6979  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-2 11503  df-slot 16343  df-base 16345  df-edgf 26478  df-vtx 26486  df-iedg 26487  df-uhgr 26546  df-upgr 26570  df-uspgr 26638  df-usgr 26639  df-rgr 27042  df-rusgr 27043

This theorem is referenced by: (None)