Theorem cusgrrusgr 29717

Description: A complete simple graph with n vertices (at least one) is (n-1)-regular. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Jul-2018.) (Revised by AV, 26-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
cusgrrusgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cusgrrusgr	⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1))

Proof of Theorem cusgrrusgr

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cusgrusgr 29555	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
2	1	3ad2ant1 1142	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ USGraph)
3		hashnncl 14365	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ ↔ 𝑉 ≠ ∅))
4		nnm1nn0 12508	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0)
5	4	nn0xnn0d 12549	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0*)
6	3, 5	biimtrrdi 256	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0*))
7	6	imp 409	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0*)
8	7	3adant1 1139	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0*)
9		cusgrcplgr 29556	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ ComplGraph)
10	9	3ad2ant1 1142	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ ComplGraph)
11		cusgrrusgr.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12	11	nbcplgr 29570	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣}))
13	10, 12	sylan 588	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣}))
14	13	ralrimiva 3144	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣}))
15	2	anim1i 623	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉))
16	15	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉))
17	11	hashnbusgrvd 29664	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣))
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣})) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣))
19		fveq2 6852	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣}) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = (♯‘(𝑉 ∖ {𝑣})))
20		hashdifsn 14413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑣})) = ((♯‘𝑉) − 1))
21	20	3ad2antl2 1196	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑣})) = ((♯‘𝑉) − 1))
22	19, 21	sylan9eqr 2809	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣})) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = ((♯‘𝑉) − 1))
23	18, 22	eqtr3d 2789	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣})) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1))
24	23	ex 415	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)))
25	24	ralimdva 3164	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣}) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)))
26	14, 25	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1))
27		simp1 1145	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph)
28		ovex 7414	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑉) − 1) ∈ V
29		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
30	11, 29	isrusgr0 29702	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ ((♯‘𝑉) − 1) ∈ V) → (𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1) ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1))))
31	27, 28, 30	sylancl 594	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1) ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1))))
32	2, 8, 26, 31	mpbir3and 1352	1 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   ≠ wne 2947  ∀wral 3066  Vcvv 3444   ∖ cdif 3892  ∅c0 4276  {csn 4572   class class class wbr 5090  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  Fincfn 8912  1c1 11060   − cmin 11400  ℕcn 12196  ℕ₀^*cxnn0 12540  ♯chash 14329  Vtxcvtx 29132  USGraphcusgr 29285   NeighbVtx cnbgr 29468  ComplGraphccplgr 29545  ComplUSGraphccusgr 29546  VtxDegcvtxdg 29601   RegUSGraph crusgr 29692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-2o 8422  df-oadd 8425  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-n0 12468  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12826  df-xadd 13101  df-fz 13499  df-hash 14330  df-edg 29184  df-uhgr 29194  df-ushgr 29195  df-upgr 29218  df-umgr 29219  df-uspgr 29286  df-usgr 29287  df-nbgr 29469  df-uvtx 29522  df-cplgr 29547  df-cusgr 29548  df-vtxdg 29602  df-rgr 29693  df-rusgr 29694

This theorem is referenced by:  cusgrm1rusgr  29718