MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgrrusgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgrrusgr 29599
Description: A complete simple graph with n vertices (at least one) is (n-1)-regular. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Jul-2018.) (Revised by AV, 26-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgrrusgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cusgrrusgr ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1))

Proof of Theorem cusgrrusgr
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cusgrusgr 29436 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
213ad2ant1 1134 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ USGraph)
3 hashnncl 14405 . . . . 5 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ ↔ 𝑉 ≠ ∅))
4 nnm1nn0 12567 . . . . . 6 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0)
54nn0xnn0d 12608 . . . . 5 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0*)
63, 5biimtrrdi 254 . . . 4 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0*))
76imp 406 . . 3 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0*)
873adant1 1131 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0*)
9 cusgrcplgr 29437 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ ComplGraph)
1093ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ ComplGraph)
11 cusgrrusgr.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1211nbcplgr 29451 . . . . 5 ((𝐺 ∈ ComplGraph ∧ 𝑣𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣}))
1310, 12sylan 580 . . . 4 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣}))
1413ralrimiva 3146 . . 3 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ∀𝑣𝑉 (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣}))
152anim1i 615 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑉) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣𝑉))
1615adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣𝑉))
1711hashnbusgrvd 29546 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣𝑉) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣))
1816, 17syl 17 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣})) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣))
19 fveq2 6906 . . . . . . 7 ((𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣}) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = (♯‘(𝑉 ∖ {𝑣})))
20 hashdifsn 14453 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑉) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑣})) = ((♯‘𝑉) − 1))
21203ad2antl2 1187 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑉) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑣})) = ((♯‘𝑉) − 1))
2219, 21sylan9eqr 2799 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣})) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = ((♯‘𝑉) − 1))
2318, 22eqtr3d 2779 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣})) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1))
2423ex 412 . . . 4 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)))
2524ralimdva 3167 . . 3 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣}) → ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)))
2614, 25mpd 15 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1))
27 simp1 1137 . . 3 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph)
28 ovex 7464 . . 3 ((♯‘𝑉) − 1) ∈ V
29 eqid 2737 . . . 4 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
3011, 29isrusgr0 29584 . . 3 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ ((♯‘𝑉) − 1) ∈ V) → (𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1) ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1))))
3127, 28, 30sylancl 586 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1) ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1))))
322, 8, 26, 31mpbir3and 1343 1 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  Vcvv 3480  cdif 3948  c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  1c1 11156  cmin 11492  cn 12266  0*cxnn0 12599  chash 14369  Vtxcvtx 29013  USGraphcusgr 29166   NeighbVtx cnbgr 29349  ComplGraphccplgr 29426  ComplUSGraphccusgr 29427  VtxDegcvtxdg 29483   RegUSGraph crusgr 29574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-xadd 13155  df-fz 13548  df-hash 14370  df-edg 29065  df-uhgr 29075  df-ushgr 29076  df-upgr 29099  df-umgr 29100  df-uspgr 29167  df-usgr 29168  df-nbgr 29350  df-uvtx 29403  df-cplgr 29428  df-cusgr 29429  df-vtxdg 29484  df-rgr 29575  df-rusgr 29576
This theorem is referenced by:  cusgrm1rusgr  29600
  Copyright terms: Public domain W3C validator