Theorem cusgrrusgr 27851

Description: A complete simple graph with n vertices (at least one) is (n-1)-regular. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Jul-2018.) (Revised by AV, 26-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
cusgrrusgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cusgrrusgr	⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1))

Proof of Theorem cusgrrusgr

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cusgrusgr 27689	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
2	1	3ad2ant1 1131	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ USGraph)
3		hashnncl 14009	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ ↔ 𝑉 ≠ ∅))
4		nnm1nn0 12204	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0)
5	4	nn0xnn0d 12244	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0*)
6	3, 5	syl6bir 253	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0*))
7	6	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0*)
8	7	3adant1 1128	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0*)
9		cusgrcplgr 27690	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ ComplGraph)
10	9	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ ComplGraph)
11		cusgrrusgr.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12	11	nbcplgr 27704	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣}))
13	10, 12	sylan 579	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣}))
14	13	ralrimiva 3107	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣}))
15	2	anim1i 614	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉))
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉))
17	11	hashnbusgrvd 27798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣))
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣})) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣))
19		fveq2 6756	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣}) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = (♯‘(𝑉 ∖ {𝑣})))
20		hashdifsn 14057	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑣})) = ((♯‘𝑉) − 1))
21	20	3ad2antl2 1184	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑣})) = ((♯‘𝑉) − 1))
22	19, 21	sylan9eqr 2801	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣})) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = ((♯‘𝑉) − 1))
23	18, 22	eqtr3d 2780	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣})) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1))
24	23	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)))
25	24	ralimdva 3102	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣}) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)))
26	14, 25	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1))
27		simp1 1134	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph)
28		ovex 7288	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑉) − 1) ∈ V
29		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
30	11, 29	isrusgr0 27836	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ ((♯‘𝑉) − 1) ∈ V) → (𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1) ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1))))
31	27, 28, 30	sylancl 585	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1) ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1))))
32	2, 8, 26, 31	mpbir3and 1340	1 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880  ∅c0 4253  {csn 4558   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  1c1 10803   − cmin 11135  ℕcn 11903  ℕ₀^*cxnn0 12235  ♯chash 13972  Vtxcvtx 27269  USGraphcusgr 27422   NeighbVtx cnbgr 27602  ComplGraphccplgr 27679  ComplUSGraphccusgr 27680  VtxDegcvtxdg 27735   RegUSGraph crusgr 27826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-xadd 12778  df-fz 13169  df-hash 13973  df-edg 27321  df-uhgr 27331  df-ushgr 27332  df-upgr 27355  df-umgr 27356  df-uspgr 27423  df-usgr 27424  df-nbgr 27603  df-uvtx 27656  df-cplgr 27681  df-cusgr 27682  df-vtxdg 27736  df-rgr 27827  df-rusgr 27828

This theorem is referenced by:  cusgrm1rusgr  27852