MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgrrusgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgrrusgr 29347
Description: A complete simple graph with n vertices (at least one) is (n-1)-regular. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Jul-2018.) (Revised by AV, 26-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgrrusgr.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
cusgrrusgr ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ 𝐺 RegUSGraph ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1))

Proof of Theorem cusgrrusgr
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cusgrusgr 29184 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ 𝐺 ∈ USGraph)
213ad2ant1 1130 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ 𝐺 ∈ USGraph)
3 hashnncl 14331 . . . . 5 (𝑉 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π‘‰) ∈ β„• ↔ 𝑉 β‰  βˆ…))
4 nnm1nn0 12517 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘‰) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
54nn0xnn0d 12557 . . . . 5 ((β™―β€˜π‘‰) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1) ∈ β„•0*)
63, 5syl6bir 254 . . . 4 (𝑉 ∈ Fin β†’ (𝑉 β‰  βˆ… β†’ ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1) ∈ β„•0*))
76imp 406 . . 3 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1) ∈ β„•0*)
873adant1 1127 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1) ∈ β„•0*)
9 cusgrcplgr 29185 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ 𝐺 ∈ ComplGraph)
1093ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ 𝐺 ∈ ComplGraph)
11 cusgrrusgr.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
1211nbcplgr 29199 . . . . 5 ((𝐺 ∈ ComplGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 βˆ– {𝑣}))
1310, 12sylan 579 . . . 4 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 βˆ– {𝑣}))
1413ralrimiva 3140 . . 3 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 βˆ– {𝑣}))
152anim1i 614 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉))
1615adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 βˆ– {𝑣})) β†’ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉))
1711hashnbusgrvd 29294 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (β™―β€˜(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£))
1816, 17syl 17 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 βˆ– {𝑣})) β†’ (β™―β€˜(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£))
19 fveq2 6885 . . . . . . 7 ((𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 βˆ– {𝑣}) β†’ (β™―β€˜(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = (β™―β€˜(𝑉 βˆ– {𝑣})))
20 hashdifsn 14379 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (β™―β€˜(𝑉 βˆ– {𝑣})) = ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1))
21203ad2antl2 1183 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (β™―β€˜(𝑉 βˆ– {𝑣})) = ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1))
2219, 21sylan9eqr 2788 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 βˆ– {𝑣})) β†’ (β™―β€˜(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1))
2318, 22eqtr3d 2768 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 βˆ– {𝑣})) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1))
2423ex 412 . . . 4 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 βˆ– {𝑣}) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1)))
2524ralimdva 3161 . . 3 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 βˆ– {𝑣}) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1)))
2614, 25mpd 15 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1))
27 simp1 1133 . . 3 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ 𝐺 ∈ ComplUSGraph)
28 ovex 7438 . . 3 ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1) ∈ V
29 eqid 2726 . . . 4 (VtxDegβ€˜πΊ) = (VtxDegβ€˜πΊ)
3011, 29isrusgr0 29332 . . 3 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1) ∈ V) β†’ (𝐺 RegUSGraph ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1) ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1) ∈ β„•0* ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1))))
3127, 28, 30sylancl 585 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (𝐺 RegUSGraph ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1) ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1) ∈ β„•0* ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1))))
322, 8, 26, 31mpbir3and 1339 1 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ 𝐺 RegUSGraph ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940  βˆ…c0 4317  {csn 4623   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  1c1 11113   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  β„•0*cxnn0 12548  β™―chash 14295  Vtxcvtx 28764  USGraphcusgr 28917   NeighbVtx cnbgr 29097  ComplGraphccplgr 29174  ComplUSGraphccusgr 29175  VtxDegcvtxdg 29231   RegUSGraph crusgr 29322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-xadd 13099  df-fz 13491  df-hash 14296  df-edg 28816  df-uhgr 28826  df-ushgr 28827  df-upgr 28850  df-umgr 28851  df-uspgr 28918  df-usgr 28919  df-nbgr 29098  df-uvtx 29151  df-cplgr 29176  df-cusgr 29177  df-vtxdg 29232  df-rgr 29323  df-rusgr 29324
This theorem is referenced by:  cusgrm1rusgr  29348
  Copyright terms: Public domain W3C validator