MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgrrusgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgrrusgr 29437
Description: A complete simple graph with n vertices (at least one) is (n-1)-regular. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Jul-2018.) (Revised by AV, 26-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgrrusgr.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
cusgrrusgr ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ 𝐺 RegUSGraph ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1))

Proof of Theorem cusgrrusgr
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cusgrusgr 29274 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ 𝐺 ∈ USGraph)
213ad2ant1 1130 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ 𝐺 ∈ USGraph)
3 hashnncl 14355 . . . . 5 (𝑉 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π‘‰) ∈ β„• ↔ 𝑉 β‰  βˆ…))
4 nnm1nn0 12541 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘‰) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
54nn0xnn0d 12581 . . . . 5 ((β™―β€˜π‘‰) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1) ∈ β„•0*)
63, 5syl6bir 253 . . . 4 (𝑉 ∈ Fin β†’ (𝑉 β‰  βˆ… β†’ ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1) ∈ β„•0*))
76imp 405 . . 3 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1) ∈ β„•0*)
873adant1 1127 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1) ∈ β„•0*)
9 cusgrcplgr 29275 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ 𝐺 ∈ ComplGraph)
1093ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ 𝐺 ∈ ComplGraph)
11 cusgrrusgr.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
1211nbcplgr 29289 . . . . 5 ((𝐺 ∈ ComplGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 βˆ– {𝑣}))
1310, 12sylan 578 . . . 4 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 βˆ– {𝑣}))
1413ralrimiva 3136 . . 3 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 βˆ– {𝑣}))
152anim1i 613 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉))
1615adantr 479 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 βˆ– {𝑣})) β†’ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉))
1711hashnbusgrvd 29384 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (β™―β€˜(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£))
1816, 17syl 17 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 βˆ– {𝑣})) β†’ (β™―β€˜(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£))
19 fveq2 6891 . . . . . . 7 ((𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 βˆ– {𝑣}) β†’ (β™―β€˜(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = (β™―β€˜(𝑉 βˆ– {𝑣})))
20 hashdifsn 14403 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (β™―β€˜(𝑉 βˆ– {𝑣})) = ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1))
21203ad2antl2 1183 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (β™―β€˜(𝑉 βˆ– {𝑣})) = ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1))
2219, 21sylan9eqr 2787 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 βˆ– {𝑣})) β†’ (β™―β€˜(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1))
2318, 22eqtr3d 2767 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 βˆ– {𝑣})) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1))
2423ex 411 . . . 4 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 βˆ– {𝑣}) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1)))
2524ralimdva 3157 . . 3 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 βˆ– {𝑣}) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1)))
2614, 25mpd 15 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1))
27 simp1 1133 . . 3 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ 𝐺 ∈ ComplUSGraph)
28 ovex 7448 . . 3 ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1) ∈ V
29 eqid 2725 . . . 4 (VtxDegβ€˜πΊ) = (VtxDegβ€˜πΊ)
3011, 29isrusgr0 29422 . . 3 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1) ∈ V) β†’ (𝐺 RegUSGraph ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1) ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1) ∈ β„•0* ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1))))
3127, 28, 30sylancl 584 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (𝐺 RegUSGraph ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1) ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1) ∈ β„•0* ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1))))
322, 8, 26, 31mpbir3and 1339 1 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ 𝐺 RegUSGraph ((β™―β€˜π‘‰) βˆ’ 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  Vcvv 3463   βˆ– cdif 3937  βˆ…c0 4318  {csn 4624   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Fincfn 8960  1c1 11137   βˆ’ cmin 11472  β„•cn 12240  β„•0*cxnn0 12572  β™―chash 14319  Vtxcvtx 28851  USGraphcusgr 29004   NeighbVtx cnbgr 29187  ComplGraphccplgr 29264  ComplUSGraphccusgr 29265  VtxDegcvtxdg 29321   RegUSGraph crusgr 29412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-dju 9922  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12851  df-xadd 13123  df-fz 13515  df-hash 14320  df-edg 28903  df-uhgr 28913  df-ushgr 28914  df-upgr 28937  df-umgr 28938  df-uspgr 29005  df-usgr 29006  df-nbgr 29188  df-uvtx 29241  df-cplgr 29266  df-cusgr 29267  df-vtxdg 29322  df-rgr 29413  df-rusgr 29414
This theorem is referenced by:  cusgrm1rusgr  29438
  Copyright terms: Public domain W3C validator