MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgrrusgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgrrusgr 26946
Description: A complete simple graph with n vertices (at least one) is (n-1)-regular. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Jul-2018.) (Revised by AV, 26-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgrrusgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cusgrrusgr ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺RegUSGraph((♯‘𝑉) − 1))

Proof of Theorem cusgrrusgr
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cusgrusgr 26784 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
213ad2ant1 1124 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ USGraph)
3 hashnncl 13478 . . . . 5 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ ↔ 𝑉 ≠ ∅))
4 nnm1nn0 11690 . . . . . 6 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0)
54nn0xnn0d 11728 . . . . 5 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0*)
63, 5syl6bir 246 . . . 4 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0*))
76imp 397 . . 3 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0*)
873adant1 1121 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0*)
9 cusgrcplgr 26785 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ ComplGraph)
1093ad2ant1 1124 . . . . 5 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ ComplGraph)
11 cusgrrusgr.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1211nbcplgr 26799 . . . . 5 ((𝐺 ∈ ComplGraph ∧ 𝑣𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣}))
1310, 12sylan 575 . . . 4 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣}))
1413ralrimiva 3148 . . 3 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ∀𝑣𝑉 (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣}))
152anim1i 608 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑉) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣𝑉))
1615adantr 474 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣𝑉))
1711hashnbusgrvd 26893 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣𝑉) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣))
1816, 17syl 17 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣})) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣))
19 fveq2 6448 . . . . . . 7 ((𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣}) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = (♯‘(𝑉 ∖ {𝑣})))
20 hashdifsn 13522 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑉) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑣})) = ((♯‘𝑉) − 1))
21203ad2antl2 1194 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑉) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑣})) = ((♯‘𝑉) − 1))
2219, 21sylan9eqr 2836 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣})) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = ((♯‘𝑉) − 1))
2318, 22eqtr3d 2816 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣})) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1))
2423ex 403 . . . 4 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)))
2524ralimdva 3144 . . 3 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣}) → ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)))
2614, 25mpd 15 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1))
27 simp1 1127 . . 3 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph)
28 ovex 6956 . . 3 ((♯‘𝑉) − 1) ∈ V
29 eqid 2778 . . . 4 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
3011, 29isrusgr0 26931 . . 3 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ ((♯‘𝑉) − 1) ∈ V) → (𝐺RegUSGraph((♯‘𝑉) − 1) ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1))))
3127, 28, 30sylancl 580 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺RegUSGraph((♯‘𝑉) − 1) ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1))))
322, 8, 26, 31mpbir3and 1399 1 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺RegUSGraph((♯‘𝑉) − 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  wral 3090  Vcvv 3398  cdif 3789  c0 4141  {csn 4398   class class class wbr 4888  cfv 6137  (class class class)co 6924  Fincfn 8243  1c1 10275  cmin 10608  cn 11379  0*cxnn0 11719  chash 13441  Vtxcvtx 26361  USGraphcusgr 26515   NeighbVtx cnbgr 26696  ComplGraphccplgr 26774  ComplUSGraphccusgr 26775  VtxDegcvtxdg 26830  RegUSGraphcrusgr 26921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-n0 11648  df-xnn0 11720  df-z 11734  df-uz 11998  df-xadd 12263  df-fz 12649  df-hash 13442  df-edg 26413  df-uhgr 26423  df-ushgr 26424  df-upgr 26447  df-umgr 26448  df-uspgr 26516  df-usgr 26517  df-nbgr 26697  df-uvtx 26751  df-cplgr 26776  df-cusgr 26777  df-vtxdg 26831  df-rgr 26922  df-rusgr 26923
This theorem is referenced by:  cusgrm1rusgr  26947
  Copyright terms: Public domain W3C validator