Theorem 2tp1odd 16312

Description: A number which is twice an integer increased by 1 is odd. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2tp1odd	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 = ((2 · 𝐴) + 1)) → ¬ 2 ∥ 𝐵)

Proof of Theorem 2tp1odd

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ)
2		oveq2 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝐴))
3	2	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1))
4	3	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1) ↔ ((2 · 𝐴) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1)))
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = 𝐴) → (((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1) ↔ ((2 · 𝐴) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1)))
6		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((2 · 𝐴) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1))
7	1, 5, 6	rspcedvd 3567	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1))
8		2z 12550	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
10	9, 1	zmulcld 12630	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
11	10	peano2zd 12627	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((2 · 𝐴) + 1) ∈ ℤ)
12		odd2np1 16301	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝐴) + 1) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ ((2 · 𝐴) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1)))
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ ((2 · 𝐴) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1)))
14	7, 13	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝐴) + 1))
15	14	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 = ((2 · 𝐴) + 1)) → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝐴) + 1))
16		breq2 5090	. . 3 ⊢ (𝐵 = ((2 · 𝐴) + 1) → (2 ∥ 𝐵 ↔ 2 ∥ ((2 · 𝐴) + 1)))
17	16	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 = ((2 · 𝐴) + 1)) → (2 ∥ 𝐵 ↔ 2 ∥ ((2 · 𝐴) + 1)))
18	15, 17	mtbird 325	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 = ((2 · 𝐴) + 1)) → ¬ 2 ∥ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034  2c2 12227  ℤcz 12515   ∥ cdvds 16212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-dvds 16213

This theorem is referenced by:  2lgslem3b1  27378  2lgslem3c1  27379  limsup10exlem  46218