MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulsucdiv2z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulsucdiv2z 16169
Description: An integer multiplied with its successor divided by 2 yields an integer, i.e. an integer multiplied with its successor is even. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
mulsucdiv2z (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2) โˆˆ โ„ค)

Proof of Theorem mulsucdiv2z
StepHypRef Expression
1 zeo 12519 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โˆจ ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
2 peano2z 12474 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค)
3 zmulcl 12482 . . . . . 6 (((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / 2) ยท (๐‘ + 1)) โˆˆ โ„ค)
42, 3sylan2 593 . . . . 5 (((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / 2) ยท (๐‘ + 1)) โˆˆ โ„ค)
5 zcn 12437 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
62zcnd 12540 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
7 2cnne0 12296 . . . . . . . . 9 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
87a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
9 div23 11765 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2) = ((๐‘ / 2) ยท (๐‘ + 1)))
105, 6, 8, 9syl3anc 1371 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2) = ((๐‘ / 2) ยท (๐‘ + 1)))
1110eleq1d 2822 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2) โˆˆ โ„ค โ†” ((๐‘ / 2) ยท (๐‘ + 1)) โˆˆ โ„ค))
1211adantl 482 . . . . 5 (((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2) โˆˆ โ„ค โ†” ((๐‘ / 2) ยท (๐‘ + 1)) โˆˆ โ„ค))
134, 12mpbird 256 . . . 4 (((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2) โˆˆ โ„ค)
1413ex 413 . . 3 ((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2) โˆˆ โ„ค))
15 zmulcl 12482 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ ยท ((๐‘ + 1) / 2)) โˆˆ โ„ค)
1615ancoms 459 . . . . 5 ((((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ ยท ((๐‘ + 1) / 2)) โˆˆ โ„ค)
17 divass 11764 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2) = (๐‘ ยท ((๐‘ + 1) / 2)))
185, 6, 8, 17syl3anc 1371 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2) = (๐‘ ยท ((๐‘ + 1) / 2)))
1918eleq1d 2822 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2) โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘ ยท ((๐‘ + 1) / 2)) โˆˆ โ„ค))
2019adantl 482 . . . . 5 ((((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2) โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘ ยท ((๐‘ + 1) / 2)) โˆˆ โ„ค))
2116, 20mpbird 256 . . . 4 ((((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2) โˆˆ โ„ค)
2221ex 413 . . 3 (((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2) โˆˆ โ„ค))
2314, 22jaoi 855 . 2 (((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โˆจ ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2) โˆˆ โ„ค))
241, 23mpcom 38 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2) โˆˆ โ„ค)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2941  (class class class)co 7349  โ„‚cc 10982  0cc0 10984  1c1 10985   + caddc 10987   ยท cmul 10989   / cdiv 11745  2c2 12141  โ„คcz 12432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-2 12149  df-n0 12347  df-z 12433
This theorem is referenced by:  sqoddm1div8z  16170
  Copyright terms: Public domain W3C validator