MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem3b1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem3b1 27250
Description: Lemma 2 for 2lgslem3 27253. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2lgslem2.n ๐‘ = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))
Assertion
Ref Expression
2lgslem3b1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ mod 8) = 3) โ†’ (๐‘ mod 2) = 1)

Proof of Theorem 2lgslem3b1
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12476 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
2 8nn 12304 . . . . 5 8 โˆˆ โ„•
3 nnrp 12982 . . . . 5 (8 โˆˆ โ„• โ†’ 8 โˆˆ โ„+)
42, 3ax-mp 5 . . . 4 8 โˆˆ โ„+
5 modmuladdnn0 13877 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„•0 โˆง 8 โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ƒ mod 8) = 3 โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐‘ƒ = ((๐‘˜ ยท 8) + 3)))
61, 4, 5sylancl 585 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ƒ mod 8) = 3 โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐‘ƒ = ((๐‘˜ ยท 8) + 3)))
7 simpr 484 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
8 nn0cn 12479 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
9 8cn 12306 . . . . . . . . . . . 12 8 โˆˆ โ„‚
109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ 8 โˆˆ โ„‚)
118, 10mulcomd 11232 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ ยท 8) = (8 ยท ๐‘˜))
1211adantl 481 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ ยท 8) = (8 ยท ๐‘˜))
1312oveq1d 7416 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘˜ ยท 8) + 3) = ((8 ยท ๐‘˜) + 3))
1413eqeq2d 2735 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒ = ((๐‘˜ ยท 8) + 3) โ†” ๐‘ƒ = ((8 ยท ๐‘˜) + 3)))
1514biimpa 476 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ƒ = ((๐‘˜ ยท 8) + 3)) โ†’ ๐‘ƒ = ((8 ยท ๐‘˜) + 3))
16 2lgslem2.n . . . . . . 7 ๐‘ = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))
17162lgslem3b 27246 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ = ((8 ยท ๐‘˜) + 3)) โ†’ ๐‘ = ((2 ยท ๐‘˜) + 1))
187, 15, 17syl2an2r 682 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ƒ = ((๐‘˜ ยท 8) + 3)) โ†’ ๐‘ = ((2 ยท ๐‘˜) + 1))
19 oveq1 7408 . . . . . 6 (๐‘ = ((2 ยท ๐‘˜) + 1) โ†’ (๐‘ mod 2) = (((2 ยท ๐‘˜) + 1) mod 2))
20 nn0z 12580 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
21 eqidd 2725 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 1) = ((2 ยท ๐‘˜) + 1))
22 2tp1odd 16292 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘˜) + 1) = ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ((2 ยท ๐‘˜) + 1))
2320, 21, 22syl2anc 583 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ((2 ยท ๐‘˜) + 1))
24 2z 12591 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„ค
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
2625, 20zmulcld 12669 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
2726peano2zd 12666 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„ค)
28 mod2eq1n2dvds 16287 . . . . . . . 8 (((2 ยท ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„ค โ†’ ((((2 ยท ๐‘˜) + 1) mod 2) = 1 โ†” ยฌ 2 โˆฅ ((2 ยท ๐‘˜) + 1)))
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((2 ยท ๐‘˜) + 1) mod 2) = 1 โ†” ยฌ 2 โˆฅ ((2 ยท ๐‘˜) + 1)))
3023, 29mpbird 257 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘˜) + 1) mod 2) = 1)
3119, 30sylan9eqr 2786 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ = ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) โ†’ (๐‘ mod 2) = 1)
327, 18, 31syl2an2r 682 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ƒ = ((๐‘˜ ยท 8) + 3)) โ†’ (๐‘ mod 2) = 1)
3332rexlimdva2 3149 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐‘ƒ = ((๐‘˜ ยท 8) + 3) โ†’ (๐‘ mod 2) = 1))
346, 33syld 47 . 2 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ƒ mod 8) = 3 โ†’ (๐‘ mod 2) = 1))
3534imp 406 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ mod 8) = 3) โ†’ (๐‘ mod 2) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3062   class class class wbr 5138  โ€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  โ„‚cc 11104  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   โˆ’ cmin 11441   / cdiv 11868  โ„•cn 12209  2c2 12264  3c3 12265  4c4 12266  8c8 12270  โ„•0cn0 12469  โ„คcz 12555  โ„+crp 12971  โŒŠcfl 13752   mod cmo 13831   โˆฅ cdvds 16194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-ico 13327  df-fl 13754  df-mod 13832  df-dvds 16195
This theorem is referenced by:  2lgslem3  27253
  Copyright terms: Public domain W3C validator