MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem3b1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem3b1 25988
Description: Lemma 2 for 2lgslem3 25991. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2lgslem2.n 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
Assertion
Ref Expression
2lgslem3b1 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 3) → (𝑁 mod 2) = 1)

Proof of Theorem 2lgslem3b1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11896 . . . 4 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
2 8nn 11724 . . . . 5 8 ∈ ℕ
3 nnrp 12392 . . . . 5 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
42, 3ax-mp 5 . . . 4 8 ∈ ℝ+
5 modmuladdnn0 13282 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 8 ∈ ℝ+) → ((𝑃 mod 8) = 3 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 3)))
61, 4, 5sylancl 589 . . 3 (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 3 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 3)))
7 simpr 488 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8 nn0cn 11899 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
9 8cn 11726 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℂ
109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
118, 10mulcomd 10655 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
1211adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
1312oveq1d 7154 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 · 8) + 3) = ((8 · 𝑘) + 3))
1413eqeq2d 2812 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃 = ((𝑘 · 8) + 3) ↔ 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 3)))
1514biimpa 480 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 3)) → 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 3))
16 2lgslem2.n . . . . . . 7 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
17162lgslem3b 25984 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 = ((8 · 𝑘) + 3)) → 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1))
187, 15, 17syl2an2r 684 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 3)) → 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1))
19 oveq1 7146 . . . . . 6 (𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1) → (𝑁 mod 2) = (((2 · 𝑘) + 1) mod 2))
20 nn0z 11997 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
21 eqidd 2802 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
22 2tp1odd 15696 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1)) → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1))
2320, 21, 22syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1))
24 2z 12006 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℤ)
2625, 20zmulcld 12085 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) ∈ ℤ)
2726peano2zd 12082 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℤ)
28 mod2eq1n2dvds 15691 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℤ → ((((2 · 𝑘) + 1) mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1)))
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((((2 · 𝑘) + 1) mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1)))
3023, 29mpbird 260 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) mod 2) = 1)
3119, 30sylan9eqr 2858 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1)) → (𝑁 mod 2) = 1)
327, 18, 31syl2an2r 684 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 3)) → (𝑁 mod 2) = 1)
3332rexlimdva2 3249 . . 3 (𝑃 ∈ ℕ → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 3) → (𝑁 mod 2) = 1))
346, 33syld 47 . 2 (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 3 → (𝑁 mod 2) = 1))
3534imp 410 1 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 3) → (𝑁 mod 2) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wrex 3110   class class class wbr 5033  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  cmin 10863   / cdiv 11290  cn 11629  2c2 11684  3c3 11685  4c4 11686  8c8 11690  0cn0 11889  cz 11973  +crp 12381  cfl 13159   mod cmo 13236  cdvds 15602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-ico 12736  df-fl 13161  df-mod 13237  df-dvds 15603
This theorem is referenced by:  2lgslem3  25991
  Copyright terms: Public domain W3C validator