Theorem atanf 26846

Description: Domain and codoamin of the arctan function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atanf	⊢ arctan:(ℂ ∖ {-i, i})⟶ℂ

Proof of Theorem atanf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-atan 26833	. 2 ⊢ arctan = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))
2		ovex 7402	. . . . 5 ⊢ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))) ∈ V
3	2, 1	dmmpti 6644	. . . 4 ⊢ dom arctan = (ℂ ∖ {-i, i})
4	3	eleq2i 2829	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom arctan ↔ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}))
5		ax-icn 11099	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6		halfcl 12405	. . . . 5 ⊢ (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (i / 2) ∈ ℂ
8		ax-1cn 11098	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		atandm2 26843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ dom arctan ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝑥)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝑥)) ≠ 0))
10	9	simp1bi 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ dom arctan → 𝑥 ∈ ℂ)
11		mulcl 11124	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
12	5, 10, 11	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ dom arctan → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
13		subcl 11394	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑥) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
14	8, 12, 13	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
15	9	simp2bi 1147	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝑥)) ≠ 0)
16	14, 15	logcld 26536	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · 𝑥))) ∈ ℂ)
17		addcl 11122	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑥) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
18	8, 12, 17	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
19	9	simp3bi 1148	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝑥)) ≠ 0)
20	18, 19	logcld 26536	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · 𝑥))) ∈ ℂ)
21	16, 20	subcld 11507	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom arctan → ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))) ∈ ℂ)
22		mulcl 11124	. . . 4 ⊢ (((i / 2) ∈ ℂ ∧ ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))) ∈ ℂ) → ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))) ∈ ℂ)
23	7, 21, 22	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom arctan → ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))) ∈ ℂ)
24	4, 23	sylbir 235	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) → ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))) ∈ ℂ)
25	1, 24	fmpti 7066	1 ⊢ arctan:(ℂ ∖ {-i, i})⟶ℂ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3887  {cpr 4570  dom cdm 5632  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7369  ℂcc 11038  0cc0 11040  1c1 11041  ici 11042   + caddc 11043   · cmul 11045   − cmin 11379  -cneg 11380   / cdiv 11809  2c2 12238  logclog 26520  arctancatan 26830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7691  ax-inf2 9564  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118  ax-addf 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7820  df-1st 7944  df-2nd 7945  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9865  df-pnf 11183  df-mnf 11184  df-xr 11185  df-ltxr 11186  df-le 11187  df-sub 11381  df-neg 11382  df-div 11810  df-nn 12177  df-2 12246  df-3 12247  df-4 12248  df-5 12249  df-6 12250  df-7 12251  df-8 12252  df-9 12253  df-n0 12440  df-z 12527  df-dec 12647  df-uz 12791  df-q 12901  df-rp 12945  df-xneg 13065  df-xadd 13066  df-xmul 13067  df-ioo 13304  df-ioc 13305  df-ico 13306  df-icc 13307  df-fz 13464  df-fzo 13611  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13966  df-exp 14026  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15031  df-cj 15063  df-re 15064  df-im 15065  df-sqrt 15199  df-abs 15200  df-limsup 15435  df-clim 15452  df-rlim 15453  df-sum 15651  df-ef 16034  df-sin 16036  df-cos 16037  df-pi 16039  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17182  df-ress 17203  df-plusg 17235  df-mulr 17236  df-starv 17237  df-sca 17238  df-vsca 17239  df-ip 17240  df-tset 17241  df-ple 17242  df-ds 17244  df-unif 17245  df-hom 17246  df-cco 17247  df-rest 17387  df-topn 17388  df-0g 17406  df-gsum 17407  df-topgen 17408  df-pt 17409  df-prds 17412  df-xrs 17468  df-qtop 17473  df-imas 17474  df-xps 17476  df-mre 17550  df-mrc 17551  df-acs 17553  df-mgm 18610  df-sgrp 18689  df-mnd 18705  df-submnd 18754  df-mulg 19046  df-cntz 19294  df-cmn 19759  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-fbas 21351  df-fg 21352  df-cnfld 21355  df-top 22861  df-topon 22878  df-topsp 22900  df-bases 22913  df-cld 22986  df-ntr 22987  df-cls 22988  df-nei 23065  df-lp 23103  df-perf 23104  df-cn 23194  df-cnp 23195  df-haus 23282  df-tx 23529  df-hmeo 23722  df-fil 23813  df-fm 23905  df-flim 23906  df-flf 23907  df-xms 24287  df-ms 24288  df-tms 24289  df-cncf 24847  df-limc 25835  df-dv 25836  df-log 26522  df-atan 26833

This theorem is referenced by:  atancl  26847  atanval  26850  dvatan  26901  atancn  26902