Theorem atanneg 26859

Description: The arctangent function is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atanneg	⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘-𝐴) = -(arctan‘𝐴))

Proof of Theorem atanneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11205	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
2		atandm2 26829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
3	2	simp1bi 1142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mulneg2 11689	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
5	1, 3, 4	sylancr 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
6	5	oveq2d 7442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · -𝐴)) = (1 − -(i · 𝐴)))
7		ax-1cn 11204	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		mulcl 11230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
9	1, 3, 8	sylancr 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
10		subneg 11547	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − -(i · 𝐴)) = (1 + (i · 𝐴)))
11	7, 9, 10	sylancr 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − -(i · 𝐴)) = (1 + (i · 𝐴)))
12	6, 11	eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · -𝐴)) = (1 + (i · 𝐴)))
13	12	fveq2d 6906	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · -𝐴))) = (log‘(1 + (i · 𝐴))))
14	5	oveq2d 7442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · -𝐴)) = (1 + -(i · 𝐴)))
15		negsub 11546	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + -(i · 𝐴)) = (1 − (i · 𝐴)))
16	7, 9, 15	sylancr 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + -(i · 𝐴)) = (1 − (i · 𝐴)))
17	14, 16	eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · -𝐴)) = (1 − (i · 𝐴)))
18	17	fveq2d 6906	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · -𝐴))) = (log‘(1 − (i · 𝐴))))
19	13, 18	oveq12d 7444	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 − (i · -𝐴))) − (log‘(1 + (i · -𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
20		subcl 11497	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
21	7, 9, 20	sylancr 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
22	2	simp2bi 1143	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
23	21, 22	logcld 26524	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
24		addcl 11228	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
25	7, 9, 24	sylancr 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
26	2	simp3bi 1144	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
27	25, 26	logcld 26524	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
28	23, 27	negsubdi2d 11625	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
29	19, 28	eqtr4d 2771	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 − (i · -𝐴))) − (log‘(1 + (i · -𝐴)))) = -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
30	29	oveq2d 7442	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · -𝐴))) − (log‘(1 + (i · -𝐴))))) = ((i / 2) · -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
31		halfcl 12475	. . . . 5 ⊢ (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
32	1, 31	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (i / 2) ∈ ℂ
33	23, 27	subcld 11609	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
34		mulneg2 11689	. . . 4 ⊢ (((i / 2) ∈ ℂ ∧ ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ) → ((i / 2) · -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = -((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
35	32, 33, 34	sylancr 585	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i / 2) · -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = -((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
36	30, 35	eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · -𝐴))) − (log‘(1 + (i · -𝐴))))) = -((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
37		atandmneg 26858	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -𝐴 ∈ dom arctan)
38		atanval 26836	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘-𝐴) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · -𝐴))) − (log‘(1 + (i · -𝐴))))))
39	37, 38	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘-𝐴) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · -𝐴))) − (log‘(1 + (i · -𝐴))))))
40		atanval 26836	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
41	40	negeqd 11492	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -(arctan‘𝐴) = -((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
42	36, 39, 41	3eqtr4d 2778	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘-𝐴) = -(arctan‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  dom cdm 5682  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℂcc 11144  0cc0 11146  1c1 11147  ici 11148   + caddc 11149   · cmul 11151   − cmin 11482  -cneg 11483   / cdiv 11909  2c2 12305  logclog 26508  arctancatan 26816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-ef 16051  df-sin 16053  df-cos 16054  df-pi 16056  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-lp 23060  df-perf 23061  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-haus 23239  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24818  df-limc 25815  df-dv 25816  df-log 26510  df-atan 26819

This theorem is referenced by:  atan0  26860  cosatan  26873  atanbnd  26878