Theorem atanneg 27038

Description: The arctangent function is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atanneg	⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘-𝐴) = -(arctan‘𝐴))

Proof of Theorem atanneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11159	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
2		atandm2 27008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
3	2	simp1bi 1161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mulneg2 11651	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
5	1, 3, 4	sylancr 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
6	5	oveq2d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · -𝐴)) = (1 − -(i · 𝐴)))
7		ax-1cn 11158	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		mulcl 11184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
9	1, 3, 8	sylancr 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
10		subneg 11507	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − -(i · 𝐴)) = (1 + (i · 𝐴)))
11	7, 9, 10	sylancr 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − -(i · 𝐴)) = (1 + (i · 𝐴)))
12	6, 11	eqtrd 2804	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · -𝐴)) = (1 + (i · 𝐴)))
13	12	fveq2d 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · -𝐴))) = (log‘(1 + (i · 𝐴))))
14	5	oveq2d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · -𝐴)) = (1 + -(i · 𝐴)))
15		negsub 11506	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + -(i · 𝐴)) = (1 − (i · 𝐴)))
16	7, 9, 15	sylancr 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + -(i · 𝐴)) = (1 − (i · 𝐴)))
17	14, 16	eqtrd 2804	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · -𝐴)) = (1 − (i · 𝐴)))
18	17	fveq2d 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · -𝐴))) = (log‘(1 − (i · 𝐴))))
19	13, 18	oveq12d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 − (i · -𝐴))) − (log‘(1 + (i · -𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
20		subcl 11456	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
21	7, 9, 20	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
22	2	simp2bi 1162	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
23	21, 22	logcld 26701	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
24		addcl 11182	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
25	7, 9, 24	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
26	2	simp3bi 1163	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
27	25, 26	logcld 26701	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
28	23, 27	negsubdi2d 11585	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
29	19, 28	eqtr4d 2807	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 − (i · -𝐴))) − (log‘(1 + (i · -𝐴)))) = -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
30	29	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · -𝐴))) − (log‘(1 + (i · -𝐴))))) = ((i / 2) · -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
31		halfcl 12470	. . . . 5 ⊢ (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
32	1, 31	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (i / 2) ∈ ℂ
33	23, 27	subcld 11569	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
34		mulneg2 11651	. . . 4 ⊢ (((i / 2) ∈ ℂ ∧ ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ) → ((i / 2) · -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = -((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
35	32, 33, 34	sylancr 598	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i / 2) · -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = -((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
36	30, 35	eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · -𝐴))) − (log‘(1 + (i · -𝐴))))) = -((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
37		atandmneg 27037	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -𝐴 ∈ dom arctan)
38		atanval 27015	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘-𝐴) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · -𝐴))) − (log‘(1 + (i · -𝐴))))))
39	37, 38	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘-𝐴) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · -𝐴))) − (log‘(1 + (i · -𝐴))))))
40		atanval 27015	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
41	40	negeqd 11451	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -(arctan‘𝐴) = -((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
42	36, 39, 41	3eqtr4d 2814	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘-𝐴) = -(arctan‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  dom cdm 5662  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  0cc0 11100  1c1 11101  ici 11102   + caddc 11103   · cmul 11105   − cmin 11441  -cneg 11442   / cdiv 11871  2c2 12295  logclog 26685  arctancatan 26995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13376  df-ioc 13377  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15104  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-limsup 15522  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738  df-ef 16121  df-sin 16123  df-cos 16124  df-pi 16126  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-rest 17475  df-topn 17476  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-topgen 17496  df-pt 17497  df-prds 17500  df-xrs 17556  df-qtop 17561  df-imas 17562  df-xps 17564  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-mulg 19134  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-fbas 21488  df-fg 21489  df-cnfld 21492  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-cld 23145  df-ntr 23146  df-cls 23147  df-nei 23224  df-lp 23262  df-perf 23263  df-cn 23353  df-cnp 23354  df-haus 23441  df-tx 23688  df-hmeo 23881  df-fil 23972  df-fm 24064  df-flim 24065  df-flf 24066  df-xms 24446  df-ms 24447  df-tms 24448  df-cncf 25006  df-limc 25994  df-dv 25995  df-log 26687  df-atan 26998

This theorem is referenced by:  atan0  27039  cosatan  27052  atanbnd  27057