Theorem bcctr 25220

Description: Value of the central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcctr	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))

Proof of Theorem bcctr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzctr 12658	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
2		bcval2 13295	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
4		nn0cn 11503	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
5	4	2timesd 11476	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
6	5	oveq1d 6807	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = ((𝑁 + 𝑁) − 𝑁))
7	4, 4	pncand 10594	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
8	6, 7	eqtrd 2805	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
9	8	fveq2d 6336	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) = (!‘𝑁))
10	9	oveq1d 6807	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁)) = ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))
11	10	oveq2d 6808	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁))) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
12	3, 11	eqtrd 2805	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  0cc0 10137   + caddc 10140   · cmul 10142   − cmin 10467   / cdiv 10885  2c2 11271  ℕ₀cn0 11493  ...cfz 12532  !cfa 13263  Ccbc 13292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-bc 13293

This theorem is referenced by:  bposlem3  25231