MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcbcctr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcbcctr 25779
Description: Prime count of a central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcbcctr ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘

Proof of Theorem pcbcctr
StepHypRef Expression
1 2nn 11698 . . . . 5 2 ∈ ℕ
2 nnmulcl 11649 . . . . 5 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
31, 2mpan 686 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
43adantr 481 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
5 nnnn0 11892 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
6 fzctr 13007 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
75, 6syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
87adantr 481 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
9 simpr 485 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
10 pcbc 16224 . . 3 (((2 · 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
114, 8, 9, 10syl3anc 1363 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
12 nncn 11634 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
13122timesd 11868 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
1412, 12, 13mvrladdd 11041 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
1514fvoveq1d 7167 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃𝑘))) = (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))
1615oveq1d 7160 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))))
1716ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))))
18 nnre 11633 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
1918ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℝ)
20 prmnn 16006 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2120adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
22 elfznn 12924 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2322nnnn0d 11943 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
24 nnexpcl 13430 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ)
2521, 23, 24syl2an 595 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ)
2619, 25nndivred 11679 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ)
2726flcld 13156 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℤ)
2827zcnd 12076 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℂ)
29282timesd 11868 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))))
3017, 29eqtr4d 2856 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) = (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))))
3130oveq2d 7161 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
3231sumeq2dv 15048 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
3311, 32eqtrd 2853 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  0cn0 11885  ...cfz 12880  cfl 13148  cexp 13417  Ccbc 13650  Σcsu 15030  cprime 16003   pCnt cpc 16161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-prm 16004  df-pc 16162
This theorem is referenced by:  bposlem1  25787  bposlem2  25788
  Copyright terms: Public domain W3C validator