MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcbcctr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcbcctr 27160
Description: Prime count of a central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcbcctr ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘˜

Proof of Theorem pcbcctr
StepHypRef Expression
1 2nn 12286 . . . . 5 2 โˆˆ โ„•
2 nnmulcl 12237 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
31, 2mpan 687 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
43adantr 480 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
5 nnnn0 12480 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
6 fzctr 13616 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ (0...(2 ยท ๐‘)))
75, 6syl 17 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ (0...(2 ยท ๐‘)))
87adantr 480 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ (0...(2 ยท ๐‘)))
9 simpr 484 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
10 pcbc 16840 . . 3 (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (0...(2 ยท ๐‘)) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ ((โŒŠโ€˜(((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
114, 8, 9, 10syl3anc 1368 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ ((โŒŠโ€˜(((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
12 nncn 12221 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
13122timesd 12456 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) = (๐‘ + ๐‘))
1412, 12, 13mvrladdd 11628 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) = ๐‘)
1514fvoveq1d 7426 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โŒŠโ€˜(((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
1615oveq1d 7419 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((โŒŠโ€˜(((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
1716ad2antrr 723 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
18 nnre 12220 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1918ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
20 prmnn 16616 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
2120adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
22 elfznn 13533 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
2322nnnn0d 12533 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
24 nnexpcl 14043 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
2521, 23, 24syl2an 595 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
2619, 25nndivred 12267 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
2726flcld 13766 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„ค)
2827zcnd 12668 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„‚)
29282timesd 12456 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
3017, 29eqtr4d 2769 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) = (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
3130oveq2d 7420 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ ((โŒŠโ€˜(((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) = ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
3231sumeq2dv 15653 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ ((โŒŠโ€˜(((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
3311, 32eqtrd 2766 1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โˆ’ cmin 11445   / cdiv 11872  โ„•cn 12213  2c2 12268  โ„•0cn0 12473  ...cfz 13487  โŒŠcfl 13758  โ†‘cexp 14030  Ccbc 14265  ฮฃcsu 15636  โ„™cprime 16613   pCnt cpc 16776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-fac 14237  df-bc 14266  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-pc 16777
This theorem is referenced by:  bposlem1  27168  bposlem2  27169
  Copyright terms: Public domain W3C validator