MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcbcctr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcbcctr 27227
Description: Prime count of a central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcbcctr ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘˜

Proof of Theorem pcbcctr
StepHypRef Expression
1 2nn 12321 . . . . 5 2 โˆˆ โ„•
2 nnmulcl 12272 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
31, 2mpan 688 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
43adantr 479 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
5 nnnn0 12515 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
6 fzctr 13651 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ (0...(2 ยท ๐‘)))
75, 6syl 17 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ (0...(2 ยท ๐‘)))
87adantr 479 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ (0...(2 ยท ๐‘)))
9 simpr 483 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
10 pcbc 16874 . . 3 (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (0...(2 ยท ๐‘)) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ ((โŒŠโ€˜(((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
114, 8, 9, 10syl3anc 1368 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ ((โŒŠโ€˜(((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
12 nncn 12256 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
13122timesd 12491 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) = (๐‘ + ๐‘))
1412, 12, 13mvrladdd 11663 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) = ๐‘)
1514fvoveq1d 7446 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โŒŠโ€˜(((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
1615oveq1d 7439 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((โŒŠโ€˜(((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
1716ad2antrr 724 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
18 nnre 12255 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1918ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
20 prmnn 16650 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
2120adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
22 elfznn 13568 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
2322nnnn0d 12568 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
24 nnexpcl 14077 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
2521, 23, 24syl2an 594 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
2619, 25nndivred 12302 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
2726flcld 13801 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„ค)
2827zcnd 12703 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„‚)
29282timesd 12491 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
3017, 29eqtr4d 2770 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) = (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
3130oveq2d 7440 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ ((โŒŠโ€˜(((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) = ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
3231sumeq2dv 15687 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ ((โŒŠโ€˜(((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
3311, 32eqtrd 2767 1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  โ„cr 11143  0cc0 11144  1c1 11145   + caddc 11147   ยท cmul 11149   โˆ’ cmin 11480   / cdiv 11907  โ„•cn 12248  2c2 12303  โ„•0cn0 12508  ...cfz 13522  โŒŠcfl 13793  โ†‘cexp 14064  Ccbc 14299  ฮฃcsu 15670  โ„™cprime 16647   pCnt cpc 16810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14005  df-exp 14065  df-fac 14271  df-bc 14300  df-hash 14328  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-clim 15470  df-sum 15671  df-dvds 16237  df-gcd 16475  df-prm 16648  df-pc 16811
This theorem is referenced by:  bposlem1  27235  bposlem2  27236
  Copyright terms: Public domain W3C validator