Theorem pcbcctr 25569

Description: Prime count of a central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcbcctr	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘

Proof of Theorem pcbcctr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 11511	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		nnmulcl 11462	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan 678	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
4	3	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
5		nnnn0 11713	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		fzctr 12833	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
8	7	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
9		simpr 477	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
10		pcbc 16090	. . 3 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))))
11	4, 8, 9, 10	syl3anc 1352	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))))
12		nncn 11446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
13	12	2timesd 11688	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
14	12, 12, 13	mvrladdd 10852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
15	14	fvoveq1d 6996	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) = (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))
16	15	oveq1d 6989	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))))
17	16	ad2antrr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))))
18		nnre 11445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
19	18	ad2antrr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℝ)
20		prmnn 15872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21	20	adantl 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
22		elfznn 12750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
23	22	nnnn0d 11765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
24		nnexpcl 13255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℕ)
25	21, 23, 24	syl2an 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℕ)
26	19, 25	nndivred 11492	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℝ)
27	26	flcld 12981	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) ∈ ℤ)
28	27	zcnd 11899	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) ∈ ℂ)
29	28	2timesd 11688	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))))
30	17, 29	eqtr4d 2810	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) = (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))))
31	30	oveq2d 6990	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))))
32	31	sumeq2dv 14918	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))))
33	11, 32	eqtrd 2807	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974  ℝcr 10332  0cc0 10333  1c1 10334   + caddc 10336   · cmul 10338   − cmin 10668   / cdiv 11096  ℕcn 11437  2c2 11493  ℕ₀cn0 11705  ...cfz 12706  ⌊cfl 12973  ↑cexp 13242  Ccbc 13475  Σcsu 14901  ℙcprime 15869   pCnt cpc 16027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-inf2 8896  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-se 5363  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-isom 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-2o 7904  df-oadd 7907  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-sup 8699  df-inf 8700  df-oi 8767  df-card 9160  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-q 12161  df-rp 12203  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-fl 12975  df-mod 13051  df-seq 13183  df-exp 13243  df-fac 13447  df-bc 13476  df-hash 13504  df-cj 14317  df-re 14318  df-im 14319  df-sqrt 14453  df-abs 14454  df-clim 14704  df-sum 14902  df-dvds 15466  df-gcd 15702  df-prm 15870  df-pc 16028

This theorem is referenced by:  bposlem1  25577  bposlem2  25578