Theorem pcbcctr 27255

Description: Prime count of a central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcbcctr	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘

Proof of Theorem pcbcctr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12230	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		nnmulcl 12181	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan 691	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
5		nnnn0 12420	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		fzctr 13568	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
9		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
10		pcbc 16840	. . 3 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))))
11	4, 8, 9, 10	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))))
12		nncn 12165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
13	12	2timesd 12396	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
14	12, 12, 13	mvrladdd 11562	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
15	14	fvoveq1d 7390	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) = (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))
16	15	oveq1d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))))
17	16	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))))
18		nnre 12164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
19	18	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℝ)
20		prmnn 16613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
22		elfznn 13481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
23	22	nnnn0d 12474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
24		nnexpcl 14009	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℕ)
25	21, 23, 24	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℕ)
26	19, 25	nndivred 12211	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℝ)
27	26	flcld 13730	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) ∈ ℤ)
28	27	zcnd 12609	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) ∈ ℂ)
29	28	2timesd 12396	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))))
30	17, 29	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) = (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))))
31	30	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))))
32	31	sumeq2dv 15637	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))))
33	11, 32	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11376   / cdiv 11806  ℕcn 12157  2c2 12212  ℕ₀cn0 12413  ...cfz 13435  ⌊cfl 13722  ↑cexp 13996  Ccbc 14237  Σcsu 15621  ℙcprime 16610   pCnt cpc 16776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622  df-dvds 16192  df-gcd 16434  df-prm 16611  df-pc 16777

This theorem is referenced by:  bposlem1  27263  bposlem2  27264