Theorem pcbcctr 27214

Description: Prime count of a central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcbcctr	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘

Proof of Theorem pcbcctr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12198	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		nnmulcl 12149	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
5		nnnn0 12388	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		fzctr 13540	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
9		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
10		pcbc 16812	. . 3 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))))
11	4, 8, 9, 10	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))))
12		nncn 12133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
13	12	2timesd 12364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
14	12, 12, 13	mvrladdd 11530	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
15	14	fvoveq1d 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) = (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))
16	15	oveq1d 7361	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))))
17	16	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))))
18		nnre 12132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
19	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℝ)
20		prmnn 16585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
22		elfznn 13453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
23	22	nnnn0d 12442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
24		nnexpcl 13981	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℕ)
25	21, 23, 24	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℕ)
26	19, 25	nndivred 12179	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℝ)
27	26	flcld 13702	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) ∈ ℤ)
28	27	zcnd 12578	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) ∈ ℂ)
29	28	2timesd 12364	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))))
30	17, 29	eqtr4d 2769	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) = (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))))
31	30	oveq2d 7362	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))))
32	31	sumeq2dv 15609	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))))
33	11, 32	eqtrd 2766	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011   − cmin 11344   / cdiv 11774  ℕcn 12125  2c2 12180  ℕ₀cn0 12381  ...cfz 13407  ⌊cfl 13694  ↑cexp 13968  Ccbc 14209  Σcsu 15593  ℙcprime 16582   pCnt cpc 16748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-dvds 16164  df-gcd 16406  df-prm 16583  df-pc 16749

This theorem is referenced by:  bposlem1  27222  bposlem2  27223