MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcbcctr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcbcctr 27335
Description: Prime count of a central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcbcctr ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘

Proof of Theorem pcbcctr
StepHypRef Expression
1 2nn 12337 . . . . 5 2 ∈ ℕ
2 nnmulcl 12288 . . . . 5 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
31, 2mpan 690 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
43adantr 480 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
5 nnnn0 12531 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
6 fzctr 13677 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
75, 6syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
87adantr 480 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
9 simpr 484 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
10 pcbc 16934 . . 3 (((2 · 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
114, 8, 9, 10syl3anc 1370 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
12 nncn 12272 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
13122timesd 12507 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
1412, 12, 13mvrladdd 11674 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
1514fvoveq1d 7453 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃𝑘))) = (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))
1615oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))))
1716ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))))
18 nnre 12271 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
1918ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℝ)
20 prmnn 16708 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2120adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
22 elfznn 13590 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2322nnnn0d 12585 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
24 nnexpcl 14112 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ)
2521, 23, 24syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ)
2619, 25nndivred 12318 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ)
2726flcld 13835 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℤ)
2827zcnd 12721 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℂ)
29282timesd 12507 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))))
3017, 29eqtr4d 2778 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) = (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))))
3130oveq2d 7447 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
3231sumeq2dv 15735 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
3311, 32eqtrd 2775 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  ...cfz 13544  cfl 13827  cexp 14099  Ccbc 14338  Σcsu 15719  cprime 16705   pCnt cpc 16870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-pc 16871
This theorem is referenced by:  bposlem1  27343  bposlem2  27344
  Copyright terms: Public domain W3C validator