MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcbcctr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcbcctr 25215
Description: Prime count of a central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcbcctr ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘

Proof of Theorem pcbcctr
StepHypRef Expression
1 2nn 11385 . . . . 5 2 ∈ ℕ
2 nnmulcl 11243 . . . . 5 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
31, 2mpan 670 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
43adantr 466 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
5 nnnn0 11499 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
6 fzctr 12652 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
75, 6syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
87adantr 466 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
9 simpr 471 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
10 pcbc 15804 . . 3 (((2 · 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
114, 8, 9, 10syl3anc 1476 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
12 nncn 11228 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
13122timesd 11475 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
1413oveq1d 6806 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = ((𝑁 + 𝑁) − 𝑁))
1512, 12pncand 10593 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
1614, 15eqtrd 2805 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
1716fvoveq1d 6813 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃𝑘))) = (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))
1817oveq1d 6806 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))))
1918ad2antrr 705 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))))
20 nnre 11227 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2120ad2antrr 705 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℝ)
22 prmnn 15588 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2322adantl 467 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
24 elfznn 12570 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2524nnnn0d 11551 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
26 nnexpcl 13073 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ)
2723, 25, 26syl2an 583 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ)
2821, 27nndivred 11269 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ)
2928flcld 12800 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℤ)
3029zcnd 11683 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℂ)
31302timesd 11475 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))))
3219, 31eqtr4d 2808 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) = (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))))
3332oveq2d 6807 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
3433sumeq2dv 14634 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
3511, 34eqtrd 2805 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6029  (class class class)co 6791  cr 10135  0cc0 10136  1c1 10137   + caddc 10139   · cmul 10141  cmin 10466   / cdiv 10884  cn 11220  2c2 11270  0cn0 11492  ...cfz 12526  cfl 12792  cexp 13060  Ccbc 13286  Σcsu 14617  cprime 15585   pCnt cpc 15741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-sup 8502  df-inf 8503  df-oi 8569  df-card 8963  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-fl 12794  df-mod 12870  df-seq 13002  df-exp 13061  df-fac 13258  df-bc 13287  df-hash 13315  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-clim 14420  df-sum 14618  df-dvds 15183  df-gcd 15418  df-prm 15586  df-pc 15742
This theorem is referenced by:  bposlem1  25223  bposlem2  25224
  Copyright terms: Public domain W3C validator