Theorem pcbcctr 27203

Description: Prime count of a central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcbcctr	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘

Proof of Theorem pcbcctr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12219	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		nnmulcl 12170	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
5		nnnn0 12409	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		fzctr 13561	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
9		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
10		pcbc 16830	. . 3 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))))
11	4, 8, 9, 10	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))))
12		nncn 12154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
13	12	2timesd 12385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
14	12, 12, 13	mvrladdd 11551	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
15	14	fvoveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) = (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))
16	15	oveq1d 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))))
17	16	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))))
18		nnre 12153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
19	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℝ)
20		prmnn 16603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
22		elfznn 13474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
23	22	nnnn0d 12463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
24		nnexpcl 13999	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℕ)
25	21, 23, 24	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℕ)
26	19, 25	nndivred 12200	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℝ)
27	26	flcld 13720	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) ∈ ℤ)
28	27	zcnd 12599	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) ∈ ℂ)
29	28	2timesd 12385	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))))
30	17, 29	eqtr4d 2767	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) = (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))))
31	30	oveq2d 7369	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))))
32	31	sumeq2dv 15627	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − ((⌊‘(((2 · 𝑁) − 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))))
33	11, 32	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   − cmin 11365   / cdiv 11795  ℕcn 12146  2c2 12201  ℕ₀cn0 12402  ...cfz 13428  ⌊cfl 13712  ↑cexp 13986  Ccbc 14227  Σcsu 15611  ℙcprime 16600   pCnt cpc 16766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612  df-dvds 16182  df-gcd 16424  df-prm 16601  df-pc 16767

This theorem is referenced by:  bposlem1  27211  bposlem2  27212