MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcbcctr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcbcctr 26640
Description: Prime count of a central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcbcctr ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘˜

Proof of Theorem pcbcctr
StepHypRef Expression
1 2nn 12233 . . . . 5 2 โˆˆ โ„•
2 nnmulcl 12184 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
31, 2mpan 689 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
43adantr 482 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
5 nnnn0 12427 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
6 fzctr 13560 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ (0...(2 ยท ๐‘)))
75, 6syl 17 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ (0...(2 ยท ๐‘)))
87adantr 482 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ (0...(2 ยท ๐‘)))
9 simpr 486 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
10 pcbc 16779 . . 3 (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (0...(2 ยท ๐‘)) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ ((โŒŠโ€˜(((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
114, 8, 9, 10syl3anc 1372 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ ((โŒŠโ€˜(((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
12 nncn 12168 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
13122timesd 12403 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) = (๐‘ + ๐‘))
1412, 12, 13mvrladdd 11575 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) = ๐‘)
1514fvoveq1d 7384 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โŒŠโ€˜(((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
1615oveq1d 7377 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((โŒŠโ€˜(((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
1716ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
18 nnre 12167 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
20 prmnn 16557 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
2120adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
22 elfznn 13477 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
2322nnnn0d 12480 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
24 nnexpcl 13987 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
2521, 23, 24syl2an 597 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
2619, 25nndivred 12214 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
2726flcld 13710 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„ค)
2827zcnd 12615 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„‚)
29282timesd 12403 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
3017, 29eqtr4d 2780 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) = (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
3130oveq2d 7378 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ ((โŒŠโ€˜(((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) = ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
3231sumeq2dv 15595 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ ((โŒŠโ€˜(((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
3311, 32eqtrd 2777 1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„•0cn0 12420  ...cfz 13431  โŒŠcfl 13702  โ†‘cexp 13974  Ccbc 14209  ฮฃcsu 15577  โ„™cprime 16554   pCnt cpc 16715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-pc 16716
This theorem is referenced by:  bposlem1  26648  bposlem2  26649
  Copyright terms: Public domain W3C validator