MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcrpcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcrpcl 14263
Description: Closure of the binomial coefficient in the positive reals. (This is mostly a lemma before we have bccl2 14278.) (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcrpcl (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem bcrpcl
StepHypRef Expression
1 bcval2 14260 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
2 elfz3nn0 13590 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
32faccld 14239 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
4 fznn0sub 13528 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
5 elfznn0 13589 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
6 faccl 14238 . . . . 5 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℕ)
7 faccl 14238 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
8 nnmulcl 12231 . . . . 5 (((!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℕ ∧ (!‘𝐾) ∈ ℕ) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
96, 7, 8syl2an 597 . . . 4 (((𝑁𝐾) ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
104, 5, 9syl2anc 585 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
11 nnrp 12980 . . . 4 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ+)
12 nnrp 12980 . . . 4 (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℝ+)
13 rpdivcl 12994 . . . 4 (((!‘𝑁) ∈ ℝ+ ∧ ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℝ+) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) ∈ ℝ+)
1411, 12, 13syl2an 597 . . 3 (((!‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) ∈ ℝ+)
153, 10, 14syl2anc 585 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) ∈ ℝ+)
161, 15eqeltrd 2834 1 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  cfv 6539  (class class class)co 7403  0cc0 11105   · cmul 11110  cmin 11439   / cdiv 11866  cn 12207  0cn0 12467  +crp 12969  ...cfz 13479  !cfa 14228  Ccbc 14257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-div 11867  df-nn 12208  df-n0 12468  df-z 12554  df-uz 12818  df-rp 12970  df-fz 13480  df-seq 13962  df-fac 14229  df-bc 14258
This theorem is referenced by:  bcp1nk  14272  bcpasc  14276  bccl2  14278  bcm1n  31983
  Copyright terms: Public domain W3C validator