![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > bcrpcl | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Closure of the binomial coefficient in the positive reals. (This is mostly a lemma before we have bccl2 14287.) (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
bcrpcl | โข (๐พ โ (0...๐) โ (๐C๐พ) โ โ+) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | bcval2 14269 | . 2 โข (๐พ โ (0...๐) โ (๐C๐พ) = ((!โ๐) / ((!โ(๐ โ ๐พ)) ยท (!โ๐พ)))) | |
2 | elfz3nn0 13599 | . . . 4 โข (๐พ โ (0...๐) โ ๐ โ โ0) | |
3 | 2 | faccld 14248 | . . 3 โข (๐พ โ (0...๐) โ (!โ๐) โ โ) |
4 | fznn0sub 13537 | . . . 4 โข (๐พ โ (0...๐) โ (๐ โ ๐พ) โ โ0) | |
5 | elfznn0 13598 | . . . 4 โข (๐พ โ (0...๐) โ ๐พ โ โ0) | |
6 | faccl 14247 | . . . . 5 โข ((๐ โ ๐พ) โ โ0 โ (!โ(๐ โ ๐พ)) โ โ) | |
7 | faccl 14247 | . . . . 5 โข (๐พ โ โ0 โ (!โ๐พ) โ โ) | |
8 | nnmulcl 12240 | . . . . 5 โข (((!โ(๐ โ ๐พ)) โ โ โง (!โ๐พ) โ โ) โ ((!โ(๐ โ ๐พ)) ยท (!โ๐พ)) โ โ) | |
9 | 6, 7, 8 | syl2an 594 | . . . 4 โข (((๐ โ ๐พ) โ โ0 โง ๐พ โ โ0) โ ((!โ(๐ โ ๐พ)) ยท (!โ๐พ)) โ โ) |
10 | 4, 5, 9 | syl2anc 582 | . . 3 โข (๐พ โ (0...๐) โ ((!โ(๐ โ ๐พ)) ยท (!โ๐พ)) โ โ) |
11 | nnrp 12989 | . . . 4 โข ((!โ๐) โ โ โ (!โ๐) โ โ+) | |
12 | nnrp 12989 | . . . 4 โข (((!โ(๐ โ ๐พ)) ยท (!โ๐พ)) โ โ โ ((!โ(๐ โ ๐พ)) ยท (!โ๐พ)) โ โ+) | |
13 | rpdivcl 13003 | . . . 4 โข (((!โ๐) โ โ+ โง ((!โ(๐ โ ๐พ)) ยท (!โ๐พ)) โ โ+) โ ((!โ๐) / ((!โ(๐ โ ๐พ)) ยท (!โ๐พ))) โ โ+) | |
14 | 11, 12, 13 | syl2an 594 | . . 3 โข (((!โ๐) โ โ โง ((!โ(๐ โ ๐พ)) ยท (!โ๐พ)) โ โ) โ ((!โ๐) / ((!โ(๐ โ ๐พ)) ยท (!โ๐พ))) โ โ+) |
15 | 3, 10, 14 | syl2anc 582 | . 2 โข (๐พ โ (0...๐) โ ((!โ๐) / ((!โ(๐ โ ๐พ)) ยท (!โ๐พ))) โ โ+) |
16 | 1, 15 | eqeltrd 2831 | 1 โข (๐พ โ (0...๐) โ (๐C๐พ) โ โ+) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wcel 2104 โcfv 6542 (class class class)co 7411 0cc0 11112 ยท cmul 11117 โ cmin 11448 / cdiv 11875 โcn 12216 โ0cn0 12476 โ+crp 12978 ...cfz 13488 !cfa 14237 Ccbc 14266 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2701 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7727 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2532 df-eu 2561 df-clab 2708 df-cleq 2722 df-clel 2808 df-nfc 2883 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3474 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-iun 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7367 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-om 7858 df-1st 7977 df-2nd 7978 df-frecs 8268 df-wrecs 8299 df-recs 8373 df-rdg 8412 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 df-nn 12217 df-n0 12477 df-z 12563 df-uz 12827 df-rp 12979 df-fz 13489 df-seq 13971 df-fac 14238 df-bc 14267 |
This theorem is referenced by: bcp1nk 14281 bcpasc 14285 bccl2 14287 bcm1n 32273 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |