Theorem bcrpcl 14331

Description: Closure of the binomial coefficient in the positive reals. (This is mostly a lemma before we have bccl2 14346.) (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcrpcl	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem bcrpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcval2 14328	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
2		elfz3nn0 13643	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	2	faccld 14307	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
4		fznn0sub 13578	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
5		elfznn0 13642	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
6		faccl 14306	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℕ)
7		faccl 14306	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
8		nnmulcl 12269	. . . . 5 ⊢ (((!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℕ ∧ (!‘𝐾) ∈ ℕ) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
9	6, 7, 8	syl2an 596	. . . 4 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
10	4, 5, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
11		nnrp 13025	. . . 4 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ+)
12		nnrp 13025	. . . 4 ⊢ (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℝ+)
13		rpdivcl 13039	. . . 4 ⊢ (((!‘𝑁) ∈ ℝ+ ∧ ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℝ+) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) ∈ ℝ+)
14	11, 12, 13	syl2an 596	. . 3 ⊢ (((!‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) ∈ ℝ+)
15	3, 10, 14	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) ∈ ℝ+)
16	1, 15	eqeltrd 2835	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11134   · cmul 11139   − cmin 11471   / cdiv 11899  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12506  ℝ⁺crp 13013  ...cfz 13529  !cfa 14296  Ccbc 14325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fz 13530  df-seq 14025  df-fac 14297  df-bc 14326

This theorem is referenced by:  bcp1nk  14340  bcpasc  14344  bccl2  14346  bcm1n  32777