MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcn1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcn1 14352
Description: Binomial coefficient: 𝑁 choose 1. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcn1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C1) = 𝑁)

Proof of Theorem bcn1
StepHypRef Expression
1 elnn0 12528 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 1eluzge0 12934 . . . . . . 7 1 ∈ (ℤ‘0)
32a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (ℤ‘0))
4 elnnuz 12922 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
54biimpi 216 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
6 elfzuzb 13558 . . . . . 6 (1 ∈ (0...𝑁) ↔ (1 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘1)))
73, 5, 6sylanbrc 583 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (0...𝑁))
8 bcval2 14344 . . . . 5 (1 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C1) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1))))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁C1) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1))))
10 facnn2 14321 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁))
11 fac1 14316 . . . . . . 7 (!‘1) = 1
1211oveq2i 7442 . . . . . 6 ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1)) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 1)
13 nnm1nn0 12567 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
1413faccld 14323 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
1514nncnd 12282 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
1615mulridd 11278 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) · 1) = (!‘(𝑁 − 1)))
1712, 16eqtrid 2789 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1)) = (!‘(𝑁 − 1)))
1810, 17oveq12d 7449 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1))) = (((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁) / (!‘(𝑁 − 1))))
19 nncn 12274 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2014nnne0d 12316 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
2119, 15, 20divcan3d 12048 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁) / (!‘(𝑁 − 1))) = 𝑁)
229, 18, 213eqtrd 2781 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁C1) = 𝑁)
23 0nn0 12541 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
24 1z 12647 . . . . 5 1 ∈ ℤ
25 0lt1 11785 . . . . . 6 0 < 1
2625olci 867 . . . . 5 (1 < 0 ∨ 0 < 1)
27 bcval4 14346 . . . . 5 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ (1 < 0 ∨ 0 < 1)) → (0C1) = 0)
2823, 24, 26, 27mp3an 1463 . . . 4 (0C1) = 0
29 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑁C1) = (0C1))
30 eqeq12 2754 . . . . 5 (((𝑁C1) = (0C1) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁C1) = 𝑁 ↔ (0C1) = 0))
3129, 30mpancom 688 . . . 4 (𝑁 = 0 → ((𝑁C1) = 𝑁 ↔ (0C1) = 0))
3228, 31mpbiri 258 . . 3 (𝑁 = 0 → (𝑁C1) = 𝑁)
3322, 32jaoi 858 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑁C1) = 𝑁)
341, 33sylbi 217 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C1) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   < clt 11295  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  !cfa 14312  Ccbc 14341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-fac 14313  df-bc 14342
This theorem is referenced by:  bcnp1n  14353  bcn2m1  14363  bcn2p1  14364  bcnm1  14366  bpoly2  16093  bpoly3  16094  bpoly4  16095  lcmineqlem12  42041  5bc2eq10  42143  jm2.23  43008
  Copyright terms: Public domain W3C validator