Theorem bcn1 14362

Description: Binomial coefficient: 𝑁 choose 1. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bcn1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C1) = 𝑁)

Proof of Theorem bcn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12555	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		1eluzge0 12957	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘0)
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (ℤ≥‘0))
4		elnnuz 12947	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
5	4	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
6		elfzuzb 13578	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (0...𝑁) ↔ (1 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1)))
7	3, 5, 6	sylanbrc 582	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (0...𝑁))
8		bcval2 14354	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C1) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1))))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁C1) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1))))
10		facnn2 14331	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁))
11		fac1 14326	. . . . . . 7 ⊢ (!‘1) = 1
12	11	oveq2i 7459	. . . . . 6 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1)) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 1)
13		nnm1nn0 12594	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
14	13	faccld 14333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
15	14	nncnd 12309	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
16	15	mulridd 11307	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) · 1) = (!‘(𝑁 − 1)))
17	12, 16	eqtrid 2792	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1)) = (!‘(𝑁 − 1)))
18	10, 17	oveq12d 7466	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1))) = (((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁) / (!‘(𝑁 − 1))))
19		nncn 12301	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
20	14	nnne0d 12343	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
21	19, 15, 20	divcan3d 12075	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁) / (!‘(𝑁 − 1))) = 𝑁)
22	9, 18, 21	3eqtrd 2784	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁C1) = 𝑁)
23		0nn0 12568	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
24		1z 12673	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
25		0lt1 11812	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
26	25	olci 865	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 ∨ 0 < 1)
27		bcval4 14356	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ (1 < 0 ∨ 0 < 1)) → (0C1) = 0)
28	23, 24, 26, 27	mp3an 1461	. . . 4 ⊢ (0C1) = 0
29		oveq1 7455	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁C1) = (0C1))
30		eqeq12 2757	. . . . 5 ⊢ (((𝑁C1) = (0C1) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁C1) = 𝑁 ↔ (0C1) = 0))
31	29, 30	mpancom 687	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁C1) = 𝑁 ↔ (0C1) = 0))
32	28, 31	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁C1) = 𝑁)
33	22, 32	jaoi 856	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑁C1) = 𝑁)
34	1, 33	sylbi 217	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C1) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189   < clt 11324   − cmin 11520   / cdiv 11947  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ...cfz 13567  !cfa 14322  Ccbc 14351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-seq 14053  df-fac 14323  df-bc 14352

This theorem is referenced by:  bcnp1n  14363  bcn2m1  14373  bcn2p1  14374  bcnm1  14376  bpoly2  16105  bpoly3  16106  bpoly4  16107  lcmineqlem12  41997  5bc2eq10  42099  jm2.23  42953