![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > bcn1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Binomial coefficient: ๐ choose 1. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
bcn1 | โข (๐ โ โ0 โ (๐C1) = ๐) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | elnn0 12420 | . 2 โข (๐ โ โ0 โ (๐ โ โ โจ ๐ = 0)) | |
2 | 1eluzge0 12822 | . . . . . . 7 โข 1 โ (โคโฅโ0) | |
3 | 2 | a1i 11 | . . . . . 6 โข (๐ โ โ โ 1 โ (โคโฅโ0)) |
4 | elnnuz 12812 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โ โ ๐ โ (โคโฅโ1)) | |
5 | 4 | biimpi 215 | . . . . . 6 โข (๐ โ โ โ ๐ โ (โคโฅโ1)) |
6 | elfzuzb 13441 | . . . . . 6 โข (1 โ (0...๐) โ (1 โ (โคโฅโ0) โง ๐ โ (โคโฅโ1))) | |
7 | 3, 5, 6 | sylanbrc 584 | . . . . 5 โข (๐ โ โ โ 1 โ (0...๐)) |
8 | bcval2 14211 | . . . . 5 โข (1 โ (0...๐) โ (๐C1) = ((!โ๐) / ((!โ(๐ โ 1)) ยท (!โ1)))) | |
9 | 7, 8 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ โ โ (๐C1) = ((!โ๐) / ((!โ(๐ โ 1)) ยท (!โ1)))) |
10 | facnn2 14188 | . . . . 5 โข (๐ โ โ โ (!โ๐) = ((!โ(๐ โ 1)) ยท ๐)) | |
11 | fac1 14183 | . . . . . . 7 โข (!โ1) = 1 | |
12 | 11 | oveq2i 7369 | . . . . . 6 โข ((!โ(๐ โ 1)) ยท (!โ1)) = ((!โ(๐ โ 1)) ยท 1) |
13 | nnm1nn0 12459 | . . . . . . . . 9 โข (๐ โ โ โ (๐ โ 1) โ โ0) | |
14 | 13 | faccld 14190 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ โ โ (!โ(๐ โ 1)) โ โ) |
15 | 14 | nncnd 12174 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โ โ (!โ(๐ โ 1)) โ โ) |
16 | 15 | mulid1d 11177 | . . . . . 6 โข (๐ โ โ โ ((!โ(๐ โ 1)) ยท 1) = (!โ(๐ โ 1))) |
17 | 12, 16 | eqtrid 2785 | . . . . 5 โข (๐ โ โ โ ((!โ(๐ โ 1)) ยท (!โ1)) = (!โ(๐ โ 1))) |
18 | 10, 17 | oveq12d 7376 | . . . 4 โข (๐ โ โ โ ((!โ๐) / ((!โ(๐ โ 1)) ยท (!โ1))) = (((!โ(๐ โ 1)) ยท ๐) / (!โ(๐ โ 1)))) |
19 | nncn 12166 | . . . . 5 โข (๐ โ โ โ ๐ โ โ) | |
20 | 14 | nnne0d 12208 | . . . . 5 โข (๐ โ โ โ (!โ(๐ โ 1)) โ 0) |
21 | 19, 15, 20 | divcan3d 11941 | . . . 4 โข (๐ โ โ โ (((!โ(๐ โ 1)) ยท ๐) / (!โ(๐ โ 1))) = ๐) |
22 | 9, 18, 21 | 3eqtrd 2777 | . . 3 โข (๐ โ โ โ (๐C1) = ๐) |
23 | 0nn0 12433 | . . . . 5 โข 0 โ โ0 | |
24 | 1z 12538 | . . . . 5 โข 1 โ โค | |
25 | 0lt1 11682 | . . . . . 6 โข 0 < 1 | |
26 | 25 | olci 865 | . . . . 5 โข (1 < 0 โจ 0 < 1) |
27 | bcval4 14213 | . . . . 5 โข ((0 โ โ0 โง 1 โ โค โง (1 < 0 โจ 0 < 1)) โ (0C1) = 0) | |
28 | 23, 24, 26, 27 | mp3an 1462 | . . . 4 โข (0C1) = 0 |
29 | oveq1 7365 | . . . . 5 โข (๐ = 0 โ (๐C1) = (0C1)) | |
30 | eqeq12 2750 | . . . . 5 โข (((๐C1) = (0C1) โง ๐ = 0) โ ((๐C1) = ๐ โ (0C1) = 0)) | |
31 | 29, 30 | mpancom 687 | . . . 4 โข (๐ = 0 โ ((๐C1) = ๐ โ (0C1) = 0)) |
32 | 28, 31 | mpbiri 258 | . . 3 โข (๐ = 0 โ (๐C1) = ๐) |
33 | 22, 32 | jaoi 856 | . 2 โข ((๐ โ โ โจ ๐ = 0) โ (๐C1) = ๐) |
34 | 1, 33 | sylbi 216 | 1 โข (๐ โ โ0 โ (๐C1) = ๐) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โจ wo 846 = wceq 1542 โ wcel 2107 class class class wbr 5106 โcfv 6497 (class class class)co 7358 0cc0 11056 1c1 11057 ยท cmul 11061 < clt 11194 โ cmin 11390 / cdiv 11817 โcn 12158 โ0cn0 12418 โคcz 12504 โคโฅcuz 12768 ...cfz 13430 !cfa 14179 Ccbc 14208 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-cnex 11112 ax-resscn 11113 ax-1cn 11114 ax-icn 11115 ax-addcl 11116 ax-addrcl 11117 ax-mulcl 11118 ax-mulrcl 11119 ax-mulcom 11120 ax-addass 11121 ax-mulass 11122 ax-distr 11123 ax-i2m1 11124 ax-1ne0 11125 ax-1rid 11126 ax-rnegex 11127 ax-rrecex 11128 ax-cnre 11129 ax-pre-lttri 11130 ax-pre-lttrn 11131 ax-pre-ltadd 11132 ax-pre-mulgt0 11133 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7804 df-1st 7922 df-2nd 7923 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-er 8651 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-pnf 11196 df-mnf 11197 df-xr 11198 df-ltxr 11199 df-le 11200 df-sub 11392 df-neg 11393 df-div 11818 df-nn 12159 df-n0 12419 df-z 12505 df-uz 12769 df-fz 13431 df-seq 13913 df-fac 14180 df-bc 14209 |
This theorem is referenced by: bcnp1n 14220 bcn2m1 14230 bcn2p1 14231 bcnm1 14233 bpoly2 15945 bpoly3 15946 bpoly4 15947 lcmineqlem12 40543 5bc2eq10 40596 jm2.23 41363 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |