MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcn1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcn1 14349
Description: Binomial coefficient: 𝑁 choose 1. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcn1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C1) = 𝑁)

Proof of Theorem bcn1
StepHypRef Expression
1 elnn0 12526 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 1eluzge0 12932 . . . . . . 7 1 ∈ (ℤ‘0)
32a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (ℤ‘0))
4 elnnuz 12920 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
54biimpi 216 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
6 elfzuzb 13555 . . . . . 6 (1 ∈ (0...𝑁) ↔ (1 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘1)))
73, 5, 6sylanbrc 583 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (0...𝑁))
8 bcval2 14341 . . . . 5 (1 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C1) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1))))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁C1) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1))))
10 facnn2 14318 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁))
11 fac1 14313 . . . . . . 7 (!‘1) = 1
1211oveq2i 7442 . . . . . 6 ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1)) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 1)
13 nnm1nn0 12565 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
1413faccld 14320 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
1514nncnd 12280 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
1615mulridd 11276 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) · 1) = (!‘(𝑁 − 1)))
1712, 16eqtrid 2787 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1)) = (!‘(𝑁 − 1)))
1810, 17oveq12d 7449 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1))) = (((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁) / (!‘(𝑁 − 1))))
19 nncn 12272 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2014nnne0d 12314 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
2119, 15, 20divcan3d 12046 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁) / (!‘(𝑁 − 1))) = 𝑁)
229, 18, 213eqtrd 2779 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁C1) = 𝑁)
23 0nn0 12539 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
24 1z 12645 . . . . 5 1 ∈ ℤ
25 0lt1 11783 . . . . . 6 0 < 1
2625olci 866 . . . . 5 (1 < 0 ∨ 0 < 1)
27 bcval4 14343 . . . . 5 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ (1 < 0 ∨ 0 < 1)) → (0C1) = 0)
2823, 24, 26, 27mp3an 1460 . . . 4 (0C1) = 0
29 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑁C1) = (0C1))
30 eqeq12 2752 . . . . 5 (((𝑁C1) = (0C1) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁C1) = 𝑁 ↔ (0C1) = 0))
3129, 30mpancom 688 . . . 4 (𝑁 = 0 → ((𝑁C1) = 𝑁 ↔ (0C1) = 0))
3228, 31mpbiri 258 . . 3 (𝑁 = 0 → (𝑁C1) = 𝑁)
3322, 32jaoi 857 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑁C1) = 𝑁)
341, 33sylbi 217 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C1) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158   < clt 11293  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  !cfa 14309  Ccbc 14338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-fac 14310  df-bc 14339
This theorem is referenced by:  bcnp1n  14350  bcn2m1  14360  bcn2p1  14361  bcnm1  14363  bpoly2  16090  bpoly3  16091  bpoly4  16092  lcmineqlem12  42022  5bc2eq10  42124  jm2.23  42985
  Copyright terms: Public domain W3C validator