MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcn1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcn1 14298
Description: Binomial coefficient: ๐‘ choose 1. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcn1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘C1) = ๐‘)

Proof of Theorem bcn1
StepHypRef Expression
1 elnn0 12498 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
2 1eluzge0 12900 . . . . . . 7 1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
32a1i 11 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
4 elnnuz 12890 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†” ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
54biimpi 215 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
6 elfzuzb 13521 . . . . . 6 (1 โˆˆ (0...๐‘) โ†” (1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)))
73, 5, 6sylanbrc 582 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ (0...๐‘))
8 bcval2 14290 . . . . 5 (1 โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘C1) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (!โ€˜1))))
97, 8syl 17 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘C1) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (!โ€˜1))))
10 facnn2 14267 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐‘) = ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ๐‘))
11 fac1 14262 . . . . . . 7 (!โ€˜1) = 1
1211oveq2i 7425 . . . . . 6 ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (!โ€˜1)) = ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) ยท 1)
13 nnm1nn0 12537 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
1413faccld 14269 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
1514nncnd 12252 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
1615mulridd 11255 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) ยท 1) = (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))
1712, 16eqtrid 2780 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (!โ€˜1)) = (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))
1810, 17oveq12d 7432 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (!โ€˜1))) = (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ๐‘) / (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))))
19 nncn 12244 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2014nnne0d 12286 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) โ‰  0)
2119, 15, 20divcan3d 12019 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ๐‘) / (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) = ๐‘)
229, 18, 213eqtrd 2772 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘C1) = ๐‘)
23 0nn0 12511 . . . . 5 0 โˆˆ โ„•0
24 1z 12616 . . . . 5 1 โˆˆ โ„ค
25 0lt1 11760 . . . . . 6 0 < 1
2625olci 865 . . . . 5 (1 < 0 โˆจ 0 < 1)
27 bcval4 14292 . . . . 5 ((0 โˆˆ โ„•0 โˆง 1 โˆˆ โ„ค โˆง (1 < 0 โˆจ 0 < 1)) โ†’ (0C1) = 0)
2823, 24, 26, 27mp3an 1458 . . . 4 (0C1) = 0
29 oveq1 7421 . . . . 5 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘C1) = (0C1))
30 eqeq12 2745 . . . . 5 (((๐‘C1) = (0C1) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘C1) = ๐‘ โ†” (0C1) = 0))
3129, 30mpancom 687 . . . 4 (๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘C1) = ๐‘ โ†” (0C1) = 0))
3228, 31mpbiri 258 . . 3 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘C1) = ๐‘)
3322, 32jaoi 856 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘C1) = ๐‘)
341, 33sylbi 216 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘C1) = ๐‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆจ wo 846   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   class class class wbr 5142  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11132  1c1 11133   ยท cmul 11137   < clt 11272   โˆ’ cmin 11468   / cdiv 11895  โ„•cn 12236  โ„•0cn0 12496  โ„คcz 12582  โ„คโ‰ฅcuz 12846  ...cfz 13510  !cfa 14258  Ccbc 14287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-seq 13993  df-fac 14259  df-bc 14288
This theorem is referenced by:  bcnp1n  14299  bcn2m1  14309  bcn2p1  14310  bcnm1  14312  bpoly2  16027  bpoly3  16028  bpoly4  16029  lcmineqlem12  41505  5bc2eq10  41608  jm2.23  42411
  Copyright terms: Public domain W3C validator