Theorem bcn1 14248

Description: Binomial coefficient: 𝑁 choose 1. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bcn1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C1) = 𝑁)

Proof of Theorem bcn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12415	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		1eluzge0 12805	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘0)
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (ℤ≥‘0))
4		elnnuz 12803	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
5	4	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
6		elfzuzb 13446	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (0...𝑁) ↔ (1 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1)))
7	3, 5, 6	sylanbrc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (0...𝑁))
8		bcval2 14240	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C1) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1))))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁C1) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1))))
10		facnn2 14217	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁))
11		fac1 14212	. . . . . . 7 ⊢ (!‘1) = 1
12	11	oveq2i 7379	. . . . . 6 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1)) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 1)
13		nnm1nn0 12454	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
14	13	faccld 14219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
15	14	nncnd 12173	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
16	15	mulridd 11161	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) · 1) = (!‘(𝑁 − 1)))
17	12, 16	eqtrid 2784	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1)) = (!‘(𝑁 − 1)))
18	10, 17	oveq12d 7386	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1))) = (((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁) / (!‘(𝑁 − 1))))
19		nncn 12165	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
20	14	nnne0d 12207	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
21	19, 15, 20	divcan3d 11934	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁) / (!‘(𝑁 − 1))) = 𝑁)
22	9, 18, 21	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁C1) = 𝑁)
23		0nn0 12428	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
24		1z 12533	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
25		0lt1 11671	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
26	25	olci 867	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 ∨ 0 < 1)
27		bcval4 14242	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ (1 < 0 ∨ 0 < 1)) → (0C1) = 0)
28	23, 24, 26, 27	mp3an 1464	. . . 4 ⊢ (0C1) = 0
29		oveq1 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁C1) = (0C1))
30		eqeq12 2754	. . . . 5 ⊢ (((𝑁C1) = (0C1) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁C1) = 𝑁 ↔ (0C1) = 0))
31	29, 30	mpancom 689	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁C1) = 𝑁 ↔ (0C1) = 0))
32	28, 31	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁C1) = 𝑁)
33	22, 32	jaoi 858	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑁C1) = 𝑁)
34	1, 33	sylbi 217	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C1) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   < clt 11178   − cmin 11376   / cdiv 11806  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13435  !cfa 14208  Ccbc 14237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-seq 13937  df-fac 14209  df-bc 14238

This theorem is referenced by:  bcnp1n  14249  bcn2m1  14259  bcn2p1  14260  bcnm1  14262  bpoly2  15992  bpoly3  15993  bpoly4  15994  lcmineqlem12  42410  5bc2eq10  42512  jm2.23  43353