![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > bcn1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Binomial coefficient: ๐ choose 1. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
bcn1 | โข (๐ โ โ0 โ (๐C1) = ๐) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | elnn0 12473 | . 2 โข (๐ โ โ0 โ (๐ โ โ โจ ๐ = 0)) | |
2 | 1eluzge0 12875 | . . . . . . 7 โข 1 โ (โคโฅโ0) | |
3 | 2 | a1i 11 | . . . . . 6 โข (๐ โ โ โ 1 โ (โคโฅโ0)) |
4 | elnnuz 12865 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โ โ ๐ โ (โคโฅโ1)) | |
5 | 4 | biimpi 215 | . . . . . 6 โข (๐ โ โ โ ๐ โ (โคโฅโ1)) |
6 | elfzuzb 13496 | . . . . . 6 โข (1 โ (0...๐) โ (1 โ (โคโฅโ0) โง ๐ โ (โคโฅโ1))) | |
7 | 3, 5, 6 | sylanbrc 582 | . . . . 5 โข (๐ โ โ โ 1 โ (0...๐)) |
8 | bcval2 14266 | . . . . 5 โข (1 โ (0...๐) โ (๐C1) = ((!โ๐) / ((!โ(๐ โ 1)) ยท (!โ1)))) | |
9 | 7, 8 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ โ โ (๐C1) = ((!โ๐) / ((!โ(๐ โ 1)) ยท (!โ1)))) |
10 | facnn2 14243 | . . . . 5 โข (๐ โ โ โ (!โ๐) = ((!โ(๐ โ 1)) ยท ๐)) | |
11 | fac1 14238 | . . . . . . 7 โข (!โ1) = 1 | |
12 | 11 | oveq2i 7413 | . . . . . 6 โข ((!โ(๐ โ 1)) ยท (!โ1)) = ((!โ(๐ โ 1)) ยท 1) |
13 | nnm1nn0 12512 | . . . . . . . . 9 โข (๐ โ โ โ (๐ โ 1) โ โ0) | |
14 | 13 | faccld 14245 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ โ โ (!โ(๐ โ 1)) โ โ) |
15 | 14 | nncnd 12227 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โ โ (!โ(๐ โ 1)) โ โ) |
16 | 15 | mulridd 11230 | . . . . . 6 โข (๐ โ โ โ ((!โ(๐ โ 1)) ยท 1) = (!โ(๐ โ 1))) |
17 | 12, 16 | eqtrid 2776 | . . . . 5 โข (๐ โ โ โ ((!โ(๐ โ 1)) ยท (!โ1)) = (!โ(๐ โ 1))) |
18 | 10, 17 | oveq12d 7420 | . . . 4 โข (๐ โ โ โ ((!โ๐) / ((!โ(๐ โ 1)) ยท (!โ1))) = (((!โ(๐ โ 1)) ยท ๐) / (!โ(๐ โ 1)))) |
19 | nncn 12219 | . . . . 5 โข (๐ โ โ โ ๐ โ โ) | |
20 | 14 | nnne0d 12261 | . . . . 5 โข (๐ โ โ โ (!โ(๐ โ 1)) โ 0) |
21 | 19, 15, 20 | divcan3d 11994 | . . . 4 โข (๐ โ โ โ (((!โ(๐ โ 1)) ยท ๐) / (!โ(๐ โ 1))) = ๐) |
22 | 9, 18, 21 | 3eqtrd 2768 | . . 3 โข (๐ โ โ โ (๐C1) = ๐) |
23 | 0nn0 12486 | . . . . 5 โข 0 โ โ0 | |
24 | 1z 12591 | . . . . 5 โข 1 โ โค | |
25 | 0lt1 11735 | . . . . . 6 โข 0 < 1 | |
26 | 25 | olci 863 | . . . . 5 โข (1 < 0 โจ 0 < 1) |
27 | bcval4 14268 | . . . . 5 โข ((0 โ โ0 โง 1 โ โค โง (1 < 0 โจ 0 < 1)) โ (0C1) = 0) | |
28 | 23, 24, 26, 27 | mp3an 1457 | . . . 4 โข (0C1) = 0 |
29 | oveq1 7409 | . . . . 5 โข (๐ = 0 โ (๐C1) = (0C1)) | |
30 | eqeq12 2741 | . . . . 5 โข (((๐C1) = (0C1) โง ๐ = 0) โ ((๐C1) = ๐ โ (0C1) = 0)) | |
31 | 29, 30 | mpancom 685 | . . . 4 โข (๐ = 0 โ ((๐C1) = ๐ โ (0C1) = 0)) |
32 | 28, 31 | mpbiri 258 | . . 3 โข (๐ = 0 โ (๐C1) = ๐) |
33 | 22, 32 | jaoi 854 | . 2 โข ((๐ โ โ โจ ๐ = 0) โ (๐C1) = ๐) |
34 | 1, 33 | sylbi 216 | 1 โข (๐ โ โ0 โ (๐C1) = ๐) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โจ wo 844 = wceq 1533 โ wcel 2098 class class class wbr 5139 โcfv 6534 (class class class)co 7402 0cc0 11107 1c1 11108 ยท cmul 11112 < clt 11247 โ cmin 11443 / cdiv 11870 โcn 12211 โ0cn0 12471 โคcz 12557 โคโฅcuz 12821 ...cfz 13485 !cfa 14234 Ccbc 14263 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pow 5354 ax-pr 5418 ax-un 7719 ax-cnex 11163 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 ax-pre-mulgt0 11184 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3960 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-op 4628 df-uni 4901 df-iun 4990 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-tr 5257 df-id 5565 df-eprel 5571 df-po 5579 df-so 5580 df-fr 5622 df-we 5624 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-pred 6291 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-riota 7358 df-ov 7405 df-oprab 7406 df-mpo 7407 df-om 7850 df-1st 7969 df-2nd 7970 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-er 8700 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11445 df-neg 11446 df-div 11871 df-nn 12212 df-n0 12472 df-z 12558 df-uz 12822 df-fz 13486 df-seq 13968 df-fac 14235 df-bc 14264 |
This theorem is referenced by: bcnp1n 14275 bcn2m1 14285 bcn2p1 14286 bcnm1 14288 bpoly2 16003 bpoly3 16004 bpoly4 16005 lcmineqlem12 41411 5bc2eq10 41491 jm2.23 42285 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |