Theorem bcn1 14498

Description: Binomial coefficient: 𝑁 choose 1. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bcn1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C1) = 𝑁)

Proof of Theorem bcn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12648	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		1eluzge0 13047	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘0)
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (ℤ≥‘0))
4		elnnuz 13045	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
5	4	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
6		elfzuzb 13690	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (0...𝑁) ↔ (1 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1)))
7	3, 5, 6	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (0...𝑁))
8		bcval2 14490	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C1) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1))))
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁C1) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1))))
10		facnn2 14467	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁))
11		fac1 14462	. . . . . . 7 ⊢ (!‘1) = 1
12	11	oveq2i 7462	. . . . . 6 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1)) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 1)
13		nnm1nn0 12687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
14	13	faccld 14469	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
15	14	nncnd 12391	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
16	15	mulridd 11365	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) · 1) = (!‘(𝑁 − 1)))
17	12, 16	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1)) = (!‘(𝑁 − 1)))
18	10, 17	oveq12d 7469	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1))) = (((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁) / (!‘(𝑁 − 1))))
19		nncn 12383	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
20	14	nnne0d 12428	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
21	19, 15, 20	divcan3d 12138	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁) / (!‘(𝑁 − 1))) = 𝑁)
22	9, 18, 21	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁C1) = 𝑁)
23		0nn0 12661	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
24		1z 12766	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
25		0lt1 11878	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
26	25	olci 880	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 ∨ 0 < 1)
27		bcval4 14492	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ (1 < 0 ∨ 0 < 1)) → (0C1) = 0)
28	23, 24, 26, 27	mp3an 1491	. . . 4 ⊢ (0C1) = 0
29		oveq1 7458	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁C1) = (0C1))
30		eqeq12 2780	. . . . 5 ⊢ (((𝑁C1) = (0C1) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁C1) = 𝑁 ↔ (0C1) = 0))
31	29, 30	mpancom 701	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁C1) = 𝑁 ↔ (0C1) = 0))
32	28, 31	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁C1) = 𝑁)
33	22, 32	jaoi 871	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑁C1) = 𝑁)
34	1, 33	sylbi 220	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C1) = 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240   · cmul 11244   < clt 11382   − cmin 11580   / cdiv 12013  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  ℤ_≥cuz 13005  ...cfz 13679  !cfa 14458  Ccbc 14487

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-seq 14185  df-fac 14459  df-bc 14488

This theorem is used by:  bcnp1n  14499  bcn2m1  14509  bcn2p1  14510  bcnm1  14512  bpoly2  16267  bpoly3  16268  bpoly4  16269  lcmineqlem12  43356  5bc2eq10  43458  jm2.23  44269