MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcn1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcn1 14219
Description: Binomial coefficient: ๐‘ choose 1. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcn1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘C1) = ๐‘)

Proof of Theorem bcn1
StepHypRef Expression
1 elnn0 12420 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
2 1eluzge0 12822 . . . . . . 7 1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
32a1i 11 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
4 elnnuz 12812 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†” ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
54biimpi 215 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
6 elfzuzb 13441 . . . . . 6 (1 โˆˆ (0...๐‘) โ†” (1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)))
73, 5, 6sylanbrc 584 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ (0...๐‘))
8 bcval2 14211 . . . . 5 (1 โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘C1) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (!โ€˜1))))
97, 8syl 17 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘C1) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (!โ€˜1))))
10 facnn2 14188 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐‘) = ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ๐‘))
11 fac1 14183 . . . . . . 7 (!โ€˜1) = 1
1211oveq2i 7369 . . . . . 6 ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (!โ€˜1)) = ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) ยท 1)
13 nnm1nn0 12459 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
1413faccld 14190 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
1514nncnd 12174 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
1615mulid1d 11177 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) ยท 1) = (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))
1712, 16eqtrid 2785 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (!โ€˜1)) = (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))
1810, 17oveq12d 7376 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (!โ€˜1))) = (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ๐‘) / (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))))
19 nncn 12166 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2014nnne0d 12208 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) โ‰  0)
2119, 15, 20divcan3d 11941 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ๐‘) / (!โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) = ๐‘)
229, 18, 213eqtrd 2777 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘C1) = ๐‘)
23 0nn0 12433 . . . . 5 0 โˆˆ โ„•0
24 1z 12538 . . . . 5 1 โˆˆ โ„ค
25 0lt1 11682 . . . . . 6 0 < 1
2625olci 865 . . . . 5 (1 < 0 โˆจ 0 < 1)
27 bcval4 14213 . . . . 5 ((0 โˆˆ โ„•0 โˆง 1 โˆˆ โ„ค โˆง (1 < 0 โˆจ 0 < 1)) โ†’ (0C1) = 0)
2823, 24, 26, 27mp3an 1462 . . . 4 (0C1) = 0
29 oveq1 7365 . . . . 5 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘C1) = (0C1))
30 eqeq12 2750 . . . . 5 (((๐‘C1) = (0C1) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘C1) = ๐‘ โ†” (0C1) = 0))
3129, 30mpancom 687 . . . 4 (๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘C1) = ๐‘ โ†” (0C1) = 0))
3228, 31mpbiri 258 . . 3 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘C1) = ๐‘)
3322, 32jaoi 856 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘C1) = ๐‘)
341, 33sylbi 216 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘C1) = ๐‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  1c1 11057   ยท cmul 11061   < clt 11194   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  โ„คโ‰ฅcuz 12768  ...cfz 13430  !cfa 14179  Ccbc 14208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-seq 13913  df-fac 14180  df-bc 14209
This theorem is referenced by:  bcnp1n  14220  bcn2m1  14230  bcn2p1  14231  bcnm1  14233  bpoly2  15945  bpoly3  15946  bpoly4  15947  lcmineqlem12  40543  5bc2eq10  40596  jm2.23  41363
  Copyright terms: Public domain W3C validator