MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcn1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcn1 13523
Description: Binomial coefficient: 𝑁 choose 1. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcn1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C1) = 𝑁)

Proof of Theorem bcn1
StepHypRef Expression
1 elnn0 11747 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 1eluzge0 12141 . . . . . . 7 1 ∈ (ℤ‘0)
32a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (ℤ‘0))
4 elnnuz 12131 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
54biimpi 217 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
6 elfzuzb 12752 . . . . . 6 (1 ∈ (0...𝑁) ↔ (1 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘1)))
73, 5, 6sylanbrc 583 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (0...𝑁))
8 bcval2 13515 . . . . 5 (1 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C1) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1))))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁C1) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1))))
10 facnn2 13492 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁))
11 fac1 13487 . . . . . . 7 (!‘1) = 1
1211oveq2i 7027 . . . . . 6 ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1)) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 1)
13 nnm1nn0 11786 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
1413faccld 13494 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
1514nncnd 11502 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
1615mulid1d 10504 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) · 1) = (!‘(𝑁 − 1)))
1712, 16syl5eq 2843 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1)) = (!‘(𝑁 − 1)))
1810, 17oveq12d 7034 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1))) = (((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁) / (!‘(𝑁 − 1))))
19 nncn 11494 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2014nnne0d 11535 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
2119, 15, 20divcan3d 11269 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁) / (!‘(𝑁 − 1))) = 𝑁)
229, 18, 213eqtrd 2835 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁C1) = 𝑁)
23 0nn0 11760 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
24 1z 11861 . . . . 5 1 ∈ ℤ
25 0lt1 11010 . . . . . 6 0 < 1
2625olci 861 . . . . 5 (1 < 0 ∨ 0 < 1)
27 bcval4 13517 . . . . 5 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ (1 < 0 ∨ 0 < 1)) → (0C1) = 0)
2823, 24, 26, 27mp3an 1453 . . . 4 (0C1) = 0
29 oveq1 7023 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑁C1) = (0C1))
30 eqeq12 2808 . . . . 5 (((𝑁C1) = (0C1) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁C1) = 𝑁 ↔ (0C1) = 0))
3129, 30mpancom 684 . . . 4 (𝑁 = 0 → ((𝑁C1) = 𝑁 ↔ (0C1) = 0))
3228, 31mpbiri 259 . . 3 (𝑁 = 0 → (𝑁C1) = 𝑁)
3322, 32jaoi 852 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑁C1) = 𝑁)
341, 33sylbi 218 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C1) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wo 842   = wceq 1522  wcel 2081   class class class wbr 4962  cfv 6225  (class class class)co 7016  0cc0 10383  1c1 10384   · cmul 10388   < clt 10521  cmin 10717   / cdiv 11145  cn 11486  0cn0 11745  cz 11829  cuz 12093  ...cfz 12742  !cfa 13483  Ccbc 13512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-seq 13220  df-fac 13484  df-bc 13513
This theorem is referenced by:  bcnp1n  13524  bcn2m1  13534  bcn2p1  13535  bcnm1  13537  bpoly2  15244  bpoly3  15245  bpoly4  15246  jm2.23  39097
  Copyright terms: Public domain W3C validator