![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > bcn1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Binomial coefficient: ๐ choose 1. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
bcn1 | โข (๐ โ โ0 โ (๐C1) = ๐) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | elnn0 12498 | . 2 โข (๐ โ โ0 โ (๐ โ โ โจ ๐ = 0)) | |
2 | 1eluzge0 12900 | . . . . . . 7 โข 1 โ (โคโฅโ0) | |
3 | 2 | a1i 11 | . . . . . 6 โข (๐ โ โ โ 1 โ (โคโฅโ0)) |
4 | elnnuz 12890 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โ โ ๐ โ (โคโฅโ1)) | |
5 | 4 | biimpi 215 | . . . . . 6 โข (๐ โ โ โ ๐ โ (โคโฅโ1)) |
6 | elfzuzb 13521 | . . . . . 6 โข (1 โ (0...๐) โ (1 โ (โคโฅโ0) โง ๐ โ (โคโฅโ1))) | |
7 | 3, 5, 6 | sylanbrc 582 | . . . . 5 โข (๐ โ โ โ 1 โ (0...๐)) |
8 | bcval2 14290 | . . . . 5 โข (1 โ (0...๐) โ (๐C1) = ((!โ๐) / ((!โ(๐ โ 1)) ยท (!โ1)))) | |
9 | 7, 8 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ โ โ (๐C1) = ((!โ๐) / ((!โ(๐ โ 1)) ยท (!โ1)))) |
10 | facnn2 14267 | . . . . 5 โข (๐ โ โ โ (!โ๐) = ((!โ(๐ โ 1)) ยท ๐)) | |
11 | fac1 14262 | . . . . . . 7 โข (!โ1) = 1 | |
12 | 11 | oveq2i 7425 | . . . . . 6 โข ((!โ(๐ โ 1)) ยท (!โ1)) = ((!โ(๐ โ 1)) ยท 1) |
13 | nnm1nn0 12537 | . . . . . . . . 9 โข (๐ โ โ โ (๐ โ 1) โ โ0) | |
14 | 13 | faccld 14269 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ โ โ (!โ(๐ โ 1)) โ โ) |
15 | 14 | nncnd 12252 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โ โ (!โ(๐ โ 1)) โ โ) |
16 | 15 | mulridd 11255 | . . . . . 6 โข (๐ โ โ โ ((!โ(๐ โ 1)) ยท 1) = (!โ(๐ โ 1))) |
17 | 12, 16 | eqtrid 2780 | . . . . 5 โข (๐ โ โ โ ((!โ(๐ โ 1)) ยท (!โ1)) = (!โ(๐ โ 1))) |
18 | 10, 17 | oveq12d 7432 | . . . 4 โข (๐ โ โ โ ((!โ๐) / ((!โ(๐ โ 1)) ยท (!โ1))) = (((!โ(๐ โ 1)) ยท ๐) / (!โ(๐ โ 1)))) |
19 | nncn 12244 | . . . . 5 โข (๐ โ โ โ ๐ โ โ) | |
20 | 14 | nnne0d 12286 | . . . . 5 โข (๐ โ โ โ (!โ(๐ โ 1)) โ 0) |
21 | 19, 15, 20 | divcan3d 12019 | . . . 4 โข (๐ โ โ โ (((!โ(๐ โ 1)) ยท ๐) / (!โ(๐ โ 1))) = ๐) |
22 | 9, 18, 21 | 3eqtrd 2772 | . . 3 โข (๐ โ โ โ (๐C1) = ๐) |
23 | 0nn0 12511 | . . . . 5 โข 0 โ โ0 | |
24 | 1z 12616 | . . . . 5 โข 1 โ โค | |
25 | 0lt1 11760 | . . . . . 6 โข 0 < 1 | |
26 | 25 | olci 865 | . . . . 5 โข (1 < 0 โจ 0 < 1) |
27 | bcval4 14292 | . . . . 5 โข ((0 โ โ0 โง 1 โ โค โง (1 < 0 โจ 0 < 1)) โ (0C1) = 0) | |
28 | 23, 24, 26, 27 | mp3an 1458 | . . . 4 โข (0C1) = 0 |
29 | oveq1 7421 | . . . . 5 โข (๐ = 0 โ (๐C1) = (0C1)) | |
30 | eqeq12 2745 | . . . . 5 โข (((๐C1) = (0C1) โง ๐ = 0) โ ((๐C1) = ๐ โ (0C1) = 0)) | |
31 | 29, 30 | mpancom 687 | . . . 4 โข (๐ = 0 โ ((๐C1) = ๐ โ (0C1) = 0)) |
32 | 28, 31 | mpbiri 258 | . . 3 โข (๐ = 0 โ (๐C1) = ๐) |
33 | 22, 32 | jaoi 856 | . 2 โข ((๐ โ โ โจ ๐ = 0) โ (๐C1) = ๐) |
34 | 1, 33 | sylbi 216 | 1 โข (๐ โ โ0 โ (๐C1) = ๐) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โจ wo 846 = wceq 1534 โ wcel 2099 class class class wbr 5142 โcfv 6542 (class class class)co 7414 0cc0 11132 1c1 11133 ยท cmul 11137 < clt 11272 โ cmin 11468 / cdiv 11895 โcn 12236 โ0cn0 12496 โคcz 12582 โคโฅcuz 12846 ...cfz 13510 !cfa 14258 Ccbc 14287 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7734 ax-cnex 11188 ax-resscn 11189 ax-1cn 11190 ax-icn 11191 ax-addcl 11192 ax-addrcl 11193 ax-mulcl 11194 ax-mulrcl 11195 ax-mulcom 11196 ax-addass 11197 ax-mulass 11198 ax-distr 11199 ax-i2m1 11200 ax-1ne0 11201 ax-1rid 11202 ax-rnegex 11203 ax-rrecex 11204 ax-cnre 11205 ax-pre-lttri 11206 ax-pre-lttrn 11207 ax-pre-ltadd 11208 ax-pre-mulgt0 11209 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2937 df-nel 3043 df-ral 3058 df-rex 3067 df-rmo 3372 df-reu 3373 df-rab 3429 df-v 3472 df-sbc 3776 df-csb 3891 df-dif 3948 df-un 3950 df-in 3952 df-ss 3962 df-pss 3964 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-om 7865 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-er 8718 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-pnf 11274 df-mnf 11275 df-xr 11276 df-ltxr 11277 df-le 11278 df-sub 11470 df-neg 11471 df-div 11896 df-nn 12237 df-n0 12497 df-z 12583 df-uz 12847 df-fz 13511 df-seq 13993 df-fac 14259 df-bc 14288 |
This theorem is referenced by: bcnp1n 14299 bcn2m1 14309 bcn2p1 14310 bcnm1 14312 bpoly2 16027 bpoly3 16028 bpoly4 16029 lcmineqlem12 41505 5bc2eq10 41608 jm2.23 42411 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |