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Theorem basellem2 27125
Description: Lemma for basel 27133. Show that 𝑃 is a polynomial of degree 𝑀, and compute its coefficient function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.n 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
basel.p 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
Assertion
Ref Expression
basellem2 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝑃) = 𝑀 ∧ (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑗,𝑛,𝑀   𝑗,𝑁,𝑛,𝑡   𝑃,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑗)

Proof of Theorem basellem2
StepHypRef Expression
1 basel.p . . 3 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
2 ssidd 4007 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ℂ ⊆ ℂ)
3 nnnn0 12533 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
4 elfznn0 13660 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ0)
5 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑗))
65oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑗 → (𝑁C(2 · 𝑛)) = (𝑁C(2 · 𝑗)))
7 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 → (𝑀𝑛) = (𝑀𝑗))
87oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑗 → (-1↑(𝑀𝑛)) = (-1↑(𝑀𝑗)))
96, 8oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑗 → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))))
10 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))
11 ovex 7464 . . . . . . . 8 ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) ∈ V
129, 10, 11fvmpt 7016 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))))
134, 12syl 17 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))))
1413adantl 481 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))))
15 basel.n . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
16 2nn 12339 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ
17 nnmulcl 12290 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
1816, 17mpan 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
1918peano2nnd 12283 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
2015, 19eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
2120nnnn0d 12587 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
22 2z 12649 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
23 nn0z 12638 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
24 zmulcl 12666 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
2522, 23, 24sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
26 bccl 14361 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℤ) → (𝑁C(2 · 𝑛)) ∈ ℕ0)
2721, 25, 26syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁C(2 · 𝑛)) ∈ ℕ0)
2827nn0cnd 12589 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁C(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
29 neg1cn 12380 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
30 neg1ne0 12382 . . . . . . . . 9 -1 ≠ 0
31 nnz 12634 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
32 zsubcl 12659 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀𝑛) ∈ ℤ)
3331, 23, 32syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑛) ∈ ℤ)
34 expclz 14125 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (𝑀𝑛) ∈ ℤ) → (-1↑(𝑀𝑛)) ∈ ℂ)
3529, 30, 33, 34mp3an12i 1467 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑀𝑛)) ∈ ℂ)
3628, 35mulcld 11281 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))) ∈ ℂ)
3736fmpttd 7135 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))):ℕ0⟶ℂ)
38 ffvelcdm 7101 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) ∈ ℂ)
3937, 4, 38syl2an 596 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) ∈ ℂ)
4014, 39eqeltrrd 2842 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) ∈ ℂ)
412, 3, 40elplyd 26241 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗))) ∈ (Poly‘ℂ))
421, 41eqeltrid 2845 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ (Poly‘ℂ))
43 nnre 12273 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
44 nn0re 12535 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℝ)
45 ltnle 11340 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗𝑀))
4643, 44, 45syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗𝑀))
4712ad2antlr 727 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))))
4821ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑁 ∈ ℕ0)
49 nn0z 12638 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ)
5049ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
51 zmulcl 12666 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (2 · 𝑗) ∈ ℤ)
5222, 50, 51sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · 𝑗) ∈ ℤ)
53 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℂ
54532timesi 12404 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · 1) = (1 + 1)
5554oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · 𝑀) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑀) + (1 + 1))
56 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 2 ∈ ℂ)
57 nncn 12274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
5857ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑀 ∈ ℂ)
5953a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 1 ∈ ℂ)
6056, 58, 59adddid 11285 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · (𝑀 + 1)) = ((2 · 𝑀) + (2 · 1)))
6115oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 + 1) = (((2 · 𝑀) + 1) + 1)
6218ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
6362nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
6463, 59, 59addassd 11283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (((2 · 𝑀) + 1) + 1) = ((2 · 𝑀) + (1 + 1)))
6561, 64eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑁 + 1) = ((2 · 𝑀) + (1 + 1)))
6655, 60, 653eqtr4a 2803 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · (𝑀 + 1)) = (𝑁 + 1))
67 zltp1le 12667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑗 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑗))
6831, 49, 67syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑗 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑗))
6968biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑗)
7043ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑀 ∈ ℝ)
71 peano2re 11434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
7344ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
74 2re 12340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
75 2pos 12369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 2
7674, 75pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
78 lemul2 12120 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑗 ↔ (2 · (𝑀 + 1)) ≤ (2 · 𝑗)))
7972, 73, 77, 78syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑗 ↔ (2 · (𝑀 + 1)) ≤ (2 · 𝑗)))
8069, 79mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · (𝑀 + 1)) ≤ (2 · 𝑗))
8166, 80eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑗))
8220nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
8382ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑁 ∈ ℤ)
84 zltp1le 12667 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑗) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2 · 𝑗) ↔ (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑗)))
8583, 52, 84syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑁 < (2 · 𝑗) ↔ (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑗)))
8681, 85mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑁 < (2 · 𝑗))
8786olcd 875 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((2 · 𝑗) < 0 ∨ 𝑁 < (2 · 𝑗)))
88 bcval4 14346 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑗) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑗) < 0 ∨ 𝑁 < (2 · 𝑗))) → (𝑁C(2 · 𝑗)) = 0)
8948, 52, 87, 88syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑁C(2 · 𝑗)) = 0)
9089oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) = (0 · (-1↑(𝑀𝑗))))
91 zsubcl 12659 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑀𝑗) ∈ ℤ)
9231, 49, 91syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑗) ∈ ℤ)
93 expclz 14125 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (𝑀𝑗) ∈ ℤ) → (-1↑(𝑀𝑗)) ∈ ℂ)
9429, 30, 92, 93mp3an12i 1467 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑀𝑗)) ∈ ℂ)
9594adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (-1↑(𝑀𝑗)) ∈ ℂ)
9695mul02d 11459 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (0 · (-1↑(𝑀𝑗))) = 0)
9747, 90, 963eqtrd 2781 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) = 0)
9897ex 412 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑗 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) = 0))
9946, 98sylbird 260 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑗𝑀 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) = 0))
10099necon1ad 2957 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) ≠ 0 → 𝑗𝑀))
101100ralrimiva 3146 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) ≠ 0 → 𝑗𝑀))
102 plyco0 26231 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))):ℕ0⟶ℂ) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))) “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ0 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) ≠ 0 → 𝑗𝑀)))
1033, 37, 102syl2anc 584 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))) “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ0 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) ≠ 0 → 𝑗𝑀)))
104101, 103mpbird 257 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))) “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
10513oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) · (𝑡𝑗)) = (((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
106105sumeq2i 15734 . . . . . 6 Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) · (𝑡𝑗)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗))
107106mpteq2i 5247 . . . . 5 (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) · (𝑡𝑗))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
1081, 107eqtr4i 2768 . . . 4 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) · (𝑡𝑗)))
109108a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) · (𝑡𝑗))))
110 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑀))
111110oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (𝑁C(2 · 𝑛)) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
112 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → (𝑀𝑛) = (𝑀𝑀))
113112oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (-1↑(𝑀𝑛)) = (-1↑(𝑀𝑀)))
114111, 113oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))))
115 ovex 7464 . . . . . . 7 ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))) ∈ V
116114, 10, 115fvmpt 7016 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑀) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))))
1173, 116syl 17 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑀) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))))
11857subidd 11608 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀𝑀) = 0)
119118oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀𝑀)) = (-1↑0))
120 exp0 14106 . . . . . . . 8 (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
12129, 120ax-mp 5 . . . . . . 7 (-1↑0) = 1
122119, 121eqtrdi 2793 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀𝑀)) = 1)
123122oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · 1))
12418nnred 12281 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
125124lep1d 12199 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≤ ((2 · 𝑀) + 1))
126125, 15breqtrrdi 5185 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≤ 𝑁)
12718nnnn0d 12587 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ0)
128 nn0uz 12920 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
129127, 128eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (ℤ‘0))
130 elfz5 13556 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑀) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁))
131129, 82, 130syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁))
132126, 131mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁))
133 bccl2 14362 . . . . . . . 8 ((2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
134132, 133syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
135134nncnd 12282 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
136135mulridd 11278 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · 1) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
137117, 123, 1363eqtrd 2781 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑀) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
138134nnne0d 12316 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ≠ 0)
139137, 138eqnetrd 3008 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑀) ≠ 0)
14042, 3, 37, 104, 109, 139dgreq 26283 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) = 𝑀)
14142, 3, 37, 104, 109coeeq 26266 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))))
14242, 140, 1413jca 1129 1 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝑃) = 𝑀 ∧ (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cima 5688  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  cexp 14102  Ccbc 14341  Σcsu 15722  Polycply 26223  coeffccoe 26225  degcdgr 26226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-0p 25705  df-ply 26227  df-coe 26229  df-dgr 26230
This theorem is referenced by:  basellem4  27127  basellem5  27128
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