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Theorem basellem2 27140
Description: Lemma for basel 27148. Show that 𝑃 is a polynomial of degree 𝑀, and compute its coefficient function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.n 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
basel.p 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
Assertion
Ref Expression
basellem2 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝑃) = 𝑀 ∧ (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑗,𝑛,𝑀   𝑗,𝑁,𝑛,𝑡   𝑃,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑗)

Proof of Theorem basellem2
StepHypRef Expression
1 basel.p . . 3 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
2 ssidd 4019 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ℂ ⊆ ℂ)
3 nnnn0 12531 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
4 elfznn0 13657 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ0)
5 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑗))
65oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑗 → (𝑁C(2 · 𝑛)) = (𝑁C(2 · 𝑗)))
7 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 → (𝑀𝑛) = (𝑀𝑗))
87oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑗 → (-1↑(𝑀𝑛)) = (-1↑(𝑀𝑗)))
96, 8oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑗 → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))))
10 eqid 2735 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))
11 ovex 7464 . . . . . . . 8 ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) ∈ V
129, 10, 11fvmpt 7016 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))))
134, 12syl 17 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))))
1413adantl 481 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))))
15 basel.n . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
16 2nn 12337 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ
17 nnmulcl 12288 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
1816, 17mpan 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
1918peano2nnd 12281 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
2015, 19eqeltrid 2843 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
2120nnnn0d 12585 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
22 2z 12647 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
23 nn0z 12636 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
24 zmulcl 12664 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
2522, 23, 24sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
26 bccl 14358 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℤ) → (𝑁C(2 · 𝑛)) ∈ ℕ0)
2721, 25, 26syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁C(2 · 𝑛)) ∈ ℕ0)
2827nn0cnd 12587 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁C(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
29 neg1cn 12378 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
30 neg1ne0 12380 . . . . . . . . 9 -1 ≠ 0
31 nnz 12632 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
32 zsubcl 12657 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀𝑛) ∈ ℤ)
3331, 23, 32syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑛) ∈ ℤ)
34 expclz 14122 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (𝑀𝑛) ∈ ℤ) → (-1↑(𝑀𝑛)) ∈ ℂ)
3529, 30, 33, 34mp3an12i 1464 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑀𝑛)) ∈ ℂ)
3628, 35mulcld 11279 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))) ∈ ℂ)
3736fmpttd 7135 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))):ℕ0⟶ℂ)
38 ffvelcdm 7101 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) ∈ ℂ)
3937, 4, 38syl2an 596 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) ∈ ℂ)
4014, 39eqeltrrd 2840 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) ∈ ℂ)
412, 3, 40elplyd 26256 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗))) ∈ (Poly‘ℂ))
421, 41eqeltrid 2843 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ (Poly‘ℂ))
43 nnre 12271 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
44 nn0re 12533 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℝ)
45 ltnle 11338 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗𝑀))
4643, 44, 45syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗𝑀))
4712ad2antlr 727 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))))
4821ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑁 ∈ ℕ0)
49 nn0z 12636 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ)
5049ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
51 zmulcl 12664 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (2 · 𝑗) ∈ ℤ)
5222, 50, 51sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · 𝑗) ∈ ℤ)
53 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℂ
54532timesi 12402 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · 1) = (1 + 1)
5554oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · 𝑀) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑀) + (1 + 1))
56 2cnd 12342 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 2 ∈ ℂ)
57 nncn 12272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
5857ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑀 ∈ ℂ)
5953a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 1 ∈ ℂ)
6056, 58, 59adddid 11283 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · (𝑀 + 1)) = ((2 · 𝑀) + (2 · 1)))
6115oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 + 1) = (((2 · 𝑀) + 1) + 1)
6218ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
6362nncnd 12280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
6463, 59, 59addassd 11281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (((2 · 𝑀) + 1) + 1) = ((2 · 𝑀) + (1 + 1)))
6561, 64eqtrid 2787 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑁 + 1) = ((2 · 𝑀) + (1 + 1)))
6655, 60, 653eqtr4a 2801 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · (𝑀 + 1)) = (𝑁 + 1))
67 zltp1le 12665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑗 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑗))
6831, 49, 67syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑗 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑗))
6968biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑗)
7043ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑀 ∈ ℝ)
71 peano2re 11432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
7344ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
74 2re 12338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
75 2pos 12367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 2
7674, 75pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
78 lemul2 12118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑗 ↔ (2 · (𝑀 + 1)) ≤ (2 · 𝑗)))
7972, 73, 77, 78syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑗 ↔ (2 · (𝑀 + 1)) ≤ (2 · 𝑗)))
8069, 79mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · (𝑀 + 1)) ≤ (2 · 𝑗))
8166, 80eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑗))
8220nnzd 12638 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
8382ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑁 ∈ ℤ)
84 zltp1le 12665 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑗) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2 · 𝑗) ↔ (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑗)))
8583, 52, 84syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑁 < (2 · 𝑗) ↔ (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑗)))
8681, 85mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑁 < (2 · 𝑗))
8786olcd 874 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((2 · 𝑗) < 0 ∨ 𝑁 < (2 · 𝑗)))
88 bcval4 14343 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑗) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑗) < 0 ∨ 𝑁 < (2 · 𝑗))) → (𝑁C(2 · 𝑗)) = 0)
8948, 52, 87, 88syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑁C(2 · 𝑗)) = 0)
9089oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) = (0 · (-1↑(𝑀𝑗))))
91 zsubcl 12657 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑀𝑗) ∈ ℤ)
9231, 49, 91syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑗) ∈ ℤ)
93 expclz 14122 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (𝑀𝑗) ∈ ℤ) → (-1↑(𝑀𝑗)) ∈ ℂ)
9429, 30, 92, 93mp3an12i 1464 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑀𝑗)) ∈ ℂ)
9594adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (-1↑(𝑀𝑗)) ∈ ℂ)
9695mul02d 11457 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (0 · (-1↑(𝑀𝑗))) = 0)
9747, 90, 963eqtrd 2779 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) = 0)
9897ex 412 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑗 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) = 0))
9946, 98sylbird 260 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑗𝑀 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) = 0))
10099necon1ad 2955 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) ≠ 0 → 𝑗𝑀))
101100ralrimiva 3144 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) ≠ 0 → 𝑗𝑀))
102 plyco0 26246 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))):ℕ0⟶ℂ) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))) “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ0 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) ≠ 0 → 𝑗𝑀)))
1033, 37, 102syl2anc 584 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))) “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ0 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) ≠ 0 → 𝑗𝑀)))
104101, 103mpbird 257 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))) “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
10513oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) · (𝑡𝑗)) = (((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
106105sumeq2i 15731 . . . . . 6 Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) · (𝑡𝑗)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗))
107106mpteq2i 5253 . . . . 5 (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) · (𝑡𝑗))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
1081, 107eqtr4i 2766 . . . 4 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) · (𝑡𝑗)))
109108a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) · (𝑡𝑗))))
110 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑀))
111110oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (𝑁C(2 · 𝑛)) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
112 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → (𝑀𝑛) = (𝑀𝑀))
113112oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (-1↑(𝑀𝑛)) = (-1↑(𝑀𝑀)))
114111, 113oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))))
115 ovex 7464 . . . . . . 7 ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))) ∈ V
116114, 10, 115fvmpt 7016 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑀) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))))
1173, 116syl 17 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑀) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))))
11857subidd 11606 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀𝑀) = 0)
119118oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀𝑀)) = (-1↑0))
120 exp0 14103 . . . . . . . 8 (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
12129, 120ax-mp 5 . . . . . . 7 (-1↑0) = 1
122119, 121eqtrdi 2791 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀𝑀)) = 1)
123122oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · 1))
12418nnred 12279 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
125124lep1d 12197 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≤ ((2 · 𝑀) + 1))
126125, 15breqtrrdi 5190 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≤ 𝑁)
12718nnnn0d 12585 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ0)
128 nn0uz 12918 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
129127, 128eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (ℤ‘0))
130 elfz5 13553 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑀) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁))
131129, 82, 130syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁))
132126, 131mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁))
133 bccl2 14359 . . . . . . . 8 ((2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
134132, 133syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
135134nncnd 12280 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
136135mulridd 11276 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · 1) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
137117, 123, 1363eqtrd 2779 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑀) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
138134nnne0d 12314 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ≠ 0)
139137, 138eqnetrd 3006 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑀) ≠ 0)
14042, 3, 37, 104, 109, 139dgreq 26298 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) = 𝑀)
14142, 3, 37, 104, 109coeeq 26281 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))))
14242, 140, 1413jca 1127 1 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝑃) = 𝑀 ∧ (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  {csn 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cima 5692  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  -cneg 11491  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  cexp 14099  Ccbc 14338  Σcsu 15719  Polycply 26238  coeffccoe 26240  degcdgr 26241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-0p 25719  df-ply 26242  df-coe 26244  df-dgr 26245
This theorem is referenced by:  basellem4  27142  basellem5  27143
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