Theorem basellem2 27391

Description: Lemma for basel 27399. Show that 𝑃 is a polynomial of degree 𝑀, and compute its coefficient function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
basel.n	⊢ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
basel.p	⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) · (𝑡↑𝑗)))

Assertion

Ref	Expression
basellem2	⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝑃) = 𝑀 ∧ (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑗,𝑛,𝑀   𝑗,𝑁,𝑛,𝑡   𝑃,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡, 𝑗)

Proof of Theorem basellem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basel.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) · (𝑡↑𝑗)))
2		ssidd 3954	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ℂ ⊆ ℂ)
3		nnnn0 12594	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		elfznn0 13734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ0)
5		oveq2 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑗))
6	5	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑁C(2 · 𝑛)) = (𝑁C(2 · 𝑗)))
7		oveq2 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑀 − 𝑛) = (𝑀 − 𝑗))
8	7	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (-1↑(𝑀 − 𝑛)) = (-1↑(𝑀 − 𝑗)))
9	6, 8	oveq12d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))))
10		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))
11		ovex 7445	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) ∈ V
12	9, 10, 11	fvmpt 6985	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))))
13	4, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))))
14	13	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))))
15		basel.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
16		2nn 12397	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
17		nnmulcl 12340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
18	16, 17	mpan 703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
19	18	peano2nnd 12333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
20	15, 19	eqeltrid 2865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
21	20	nnnn0d 12648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
22		2z 12709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
23		nn0z 12698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
24		zmulcl 12726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
25	22, 23, 24	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
26		bccl 14446	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℤ) → (𝑁C(2 · 𝑛)) ∈ ℕ0)
27	21, 25, 26	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁C(2 · 𝑛)) ∈ ℕ0)
28	27	nn0cnd 12650	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁C(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
29		neg1cn 12286	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
30		neg1ne0 12288	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ≠ 0
31		nnz 12695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
32		zsubcl 12719	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑛) ∈ ℤ)
33	31, 23, 32	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝑛) ∈ ℤ)
34		expclz 14207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (𝑀 − 𝑛) ∈ ℤ) → (-1↑(𝑀 − 𝑛)) ∈ ℂ)
35	29, 30, 33, 34	mp3an12i 1494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑀 − 𝑛)) ∈ ℂ)
36	28, 35	mulcld 11310	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))) ∈ ℂ)
37	36	fmpttd 7107	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))):ℕ0⟶ℂ)
38		ffvelcdm 7073	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) ∈ ℂ)
39	37, 4, 38	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) ∈ ℂ)
40	14, 39	eqeltrrd 2862	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) ∈ ℂ)
41	2, 3, 40	elplyd 26500	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) · (𝑡↑𝑗))) ∈ (Poly‘ℂ))
42	1, 41	eqeltrid 2865	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ (Poly‘ℂ))
43		nnre 12323	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
44		nn0re 12596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → 𝑗 ∈ ℝ)
45		ltnle 11370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗 ≤ 𝑀))
46	43, 44, 45	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗 ≤ 𝑀))
47	12	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))))
48	21	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑁 ∈ ℕ0)
49		nn0z 12698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → 𝑗 ∈ ℤ)
50	49	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
51		zmulcl 12726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (2 · 𝑗) ∈ ℤ)
52	22, 50, 51	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · 𝑗) ∈ ℤ)
53		ax-1cn 11239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℂ
54	53	2timesi 12461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
55	54	oveq2i 7423	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · 𝑀) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑀) + (1 + 1))
56		2cnd 12402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 2 ∈ ℂ)
57		nncn 12324	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
58	57	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑀 ∈ ℂ)
59	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 1 ∈ ℂ)
60	56, 58, 59	adddid 11314	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · (𝑀 + 1)) = ((2 · 𝑀) + (2 · 1)))
61	15	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 + 1) = (((2 · 𝑀) + 1) + 1)
62	18	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
63	62	nncnd 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
64	63, 59, 59	addassd 11312	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (((2 · 𝑀) + 1) + 1) = ((2 · 𝑀) + (1 + 1)))
65	61, 64	eqtrid 2808	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑁 + 1) = ((2 · 𝑀) + (1 + 1)))
66	55, 60, 65	3eqtr4a 2822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · (𝑀 + 1)) = (𝑁 + 1))
67		zltp1le 12727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑗 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑗))
68	31, 49, 67	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑗 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑗))
69	68	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑗)
70	43	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑀 ∈ ℝ)
71		peano2re 11464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
72	70, 71	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
73	44	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
74		2re 12398	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℝ
75		2pos 12428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < 2
76	74, 75	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
78		lemul2 12151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑗 ↔ (2 · (𝑀 + 1)) ≤ (2 · 𝑗)))
79	72, 73, 77, 78	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑗 ↔ (2 · (𝑀 + 1)) ≤ (2 · 𝑗)))
80	69, 79	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · (𝑀 + 1)) ≤ (2 · 𝑗))
81	66, 80	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑗))
82	20	nnzd 12700	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
83	82	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑁 ∈ ℤ)
84		zltp1le 12727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑗) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2 · 𝑗) ↔ (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑗)))
85	83, 52, 84	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑁 < (2 · 𝑗) ↔ (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑗)))
86	81, 85	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑁 < (2 · 𝑗))
87	86	olcd 888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((2 · 𝑗) < 0 ∨ 𝑁 < (2 · 𝑗)))
88		bcval4 14431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑗) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑗) < 0 ∨ 𝑁 < (2 · 𝑗))) → (𝑁C(2 · 𝑗)) = 0)
89	48, 52, 87, 88	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑁C(2 · 𝑗)) = 0)
90	89	oveq1d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) = (0 · (-1↑(𝑀 − 𝑗))))
91		zsubcl 12719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑗) ∈ ℤ)
92	31, 49, 91	syl2an 608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝑗) ∈ ℤ)
93		expclz 14207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (𝑀 − 𝑗) ∈ ℤ) → (-1↑(𝑀 − 𝑗)) ∈ ℂ)
94	29, 30, 92, 93	mp3an12i 1494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑀 − 𝑗)) ∈ ℂ)
95	94	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (-1↑(𝑀 − 𝑗)) ∈ ℂ)
96	95	mul02d 11489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (0 · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) = 0)
97	47, 90, 96	3eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) = 0)
98	97	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑗 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) = 0))
99	46, 98	sylbird 263	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑗 ≤ 𝑀 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) = 0))
100	99	necon1ad 2973	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) ≠ 0 → 𝑗 ≤ 𝑀))
101	100	ralrimiva 3155	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) ≠ 0 → 𝑗 ≤ 𝑀))
102		plyco0 26490	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))):ℕ0⟶ℂ) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))) “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ0 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) ≠ 0 → 𝑗 ≤ 𝑀)))
103	3, 37, 102	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))) “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ0 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) ≠ 0 → 𝑗 ≤ 𝑀)))
104	101, 103	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))) “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
105	13	oveq1d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) · (𝑡↑𝑗)) = (((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) · (𝑡↑𝑗)))
106	105	sumeq2i 15845	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) · (𝑡↑𝑗)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) · (𝑡↑𝑗))
107	106	mpteq2i 5201	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) · (𝑡↑𝑗))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) · (𝑡↑𝑗)))
108	1, 107	eqtr4i 2787	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) · (𝑡↑𝑗)))
109	108	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) · (𝑡↑𝑗))))
110		oveq2 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑀))
111	110	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑁C(2 · 𝑛)) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
112		oveq2 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑀 − 𝑛) = (𝑀 − 𝑀))
113	112	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (-1↑(𝑀 − 𝑛)) = (-1↑(𝑀 − 𝑀)))
114	111, 113	oveq12d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))))
115		ovex 7445	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))) ∈ V
116	114, 10, 115	fvmpt 6985	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑀) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))))
117	3, 116	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑀) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))))
118	57	subidd 11638	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 𝑀) = 0)
119	118	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀 − 𝑀)) = (-1↑0))
120		exp0 14188	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
121	29, 120	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (-1↑0) = 1
122	119, 121	eqtrdi 2812	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀 − 𝑀)) = 1)
123	122	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · 1))
124	18	nnred 12331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
125	124	lep1d 12229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≤ ((2 · 𝑀) + 1))
126	125, 15	breqtrrdi 5147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≤ 𝑁)
127	18	nnnn0d 12648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ0)
128		nn0uz 12984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
129	127, 128	eleqtrdi 2871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (ℤ≥‘0))
130		elfz5 13629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑀) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁))
131	129, 82, 130	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁))
132	126, 131	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁))
133		bccl2 14447	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
134	132, 133	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
135	134	nncnd 12332	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
136	135	mulridd 11307	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · 1) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
137	117, 123, 136	3eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑀) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
138	134	nnne0d 12369	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ≠ 0)
139	137, 138	eqnetrd 3023	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑀) ≠ 0)
140	42, 3, 37, 104, 109, 139	dgreq 26543	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) = 𝑀)
141	42, 3, 37, 104, 109	coeeq 26526	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))))
142	42, 140, 141	3jca 1146	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝑃) = 𝑀 ∧ (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   “ cima 5654  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11522  -cneg 11523  ℕcn 12316  2c2 12378  ℕ₀cn0 12587  ℤcz 12674  ℤ_≥cuz 12946  ...cfz 13620  ↑cexp 14184  Ccbc 14426  Σcsu 15833  Polycply 26482  coeffccoe 26484  degcdgr 26485

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-seq 14125  df-exp 14185  df-fac 14398  df-bc 14427  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-sum 15834  df-0p 25971  df-ply 26486  df-coe 26488  df-dgr 26489

This theorem is used by:  basellem4  27393  basellem5  27394