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Theorem basellem2 26431
Description: Lemma for basel 26439. Show that 𝑃 is a polynomial of degree 𝑀, and compute its coefficient function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.n 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
basel.p 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
Assertion
Ref Expression
basellem2 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝑃) = 𝑀 ∧ (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑗,𝑛,𝑀   𝑗,𝑁,𝑛,𝑡   𝑃,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑗)

Proof of Theorem basellem2
StepHypRef Expression
1 basel.p . . 3 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
2 ssidd 3967 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ℂ ⊆ ℂ)
3 nnnn0 12420 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
4 elfznn0 13534 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ0)
5 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑗))
65oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑗 → (𝑁C(2 · 𝑛)) = (𝑁C(2 · 𝑗)))
7 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 → (𝑀𝑛) = (𝑀𝑗))
87oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑗 → (-1↑(𝑀𝑛)) = (-1↑(𝑀𝑗)))
96, 8oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑗 → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))))
10 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))
11 ovex 7390 . . . . . . . 8 ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) ∈ V
129, 10, 11fvmpt 6948 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))))
134, 12syl 17 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))))
1413adantl 482 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))))
15 basel.n . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
16 2nn 12226 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ
17 nnmulcl 12177 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
1816, 17mpan 688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
1918peano2nnd 12170 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
2015, 19eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
2120nnnn0d 12473 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
22 2z 12535 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
23 nn0z 12524 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
24 zmulcl 12552 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
2522, 23, 24sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
26 bccl 14222 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℤ) → (𝑁C(2 · 𝑛)) ∈ ℕ0)
2721, 25, 26syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁C(2 · 𝑛)) ∈ ℕ0)
2827nn0cnd 12475 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁C(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
29 neg1cn 12267 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
30 neg1ne0 12269 . . . . . . . . 9 -1 ≠ 0
31 nnz 12520 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
32 zsubcl 12545 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀𝑛) ∈ ℤ)
3331, 23, 32syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑛) ∈ ℤ)
34 expclz 13990 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (𝑀𝑛) ∈ ℤ) → (-1↑(𝑀𝑛)) ∈ ℂ)
3529, 30, 33, 34mp3an12i 1465 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑀𝑛)) ∈ ℂ)
3628, 35mulcld 11175 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))) ∈ ℂ)
3736fmpttd 7063 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))):ℕ0⟶ℂ)
38 ffvelcdm 7032 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) ∈ ℂ)
3937, 4, 38syl2an 596 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) ∈ ℂ)
4014, 39eqeltrrd 2839 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) ∈ ℂ)
412, 3, 40elplyd 25563 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗))) ∈ (Poly‘ℂ))
421, 41eqeltrid 2842 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ (Poly‘ℂ))
43 nnre 12160 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
44 nn0re 12422 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℝ)
45 ltnle 11234 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗𝑀))
4643, 44, 45syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗𝑀))
4712ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))))
4821ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑁 ∈ ℕ0)
49 nn0z 12524 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ)
5049ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
51 zmulcl 12552 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (2 · 𝑗) ∈ ℤ)
5222, 50, 51sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · 𝑗) ∈ ℤ)
53 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℂ
54532timesi 12291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · 1) = (1 + 1)
5554oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · 𝑀) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑀) + (1 + 1))
56 2cnd 12231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 2 ∈ ℂ)
57 nncn 12161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
5857ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑀 ∈ ℂ)
5953a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 1 ∈ ℂ)
6056, 58, 59adddid 11179 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · (𝑀 + 1)) = ((2 · 𝑀) + (2 · 1)))
6115oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 + 1) = (((2 · 𝑀) + 1) + 1)
6218ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
6362nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
6463, 59, 59addassd 11177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (((2 · 𝑀) + 1) + 1) = ((2 · 𝑀) + (1 + 1)))
6561, 64eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑁 + 1) = ((2 · 𝑀) + (1 + 1)))
6655, 60, 653eqtr4a 2802 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · (𝑀 + 1)) = (𝑁 + 1))
67 zltp1le 12553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑗 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑗))
6831, 49, 67syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑗 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑗))
6968biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑗)
7043ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑀 ∈ ℝ)
71 peano2re 11328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
7344ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
74 2re 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
75 2pos 12256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 2
7674, 75pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
78 lemul2 12008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑗 ↔ (2 · (𝑀 + 1)) ≤ (2 · 𝑗)))
7972, 73, 77, 78syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑗 ↔ (2 · (𝑀 + 1)) ≤ (2 · 𝑗)))
8069, 79mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · (𝑀 + 1)) ≤ (2 · 𝑗))
8166, 80eqbrtrrd 5129 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑗))
8220nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
8382ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑁 ∈ ℤ)
84 zltp1le 12553 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑗) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2 · 𝑗) ↔ (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑗)))
8583, 52, 84syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑁 < (2 · 𝑗) ↔ (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑗)))
8681, 85mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑁 < (2 · 𝑗))
8786olcd 872 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((2 · 𝑗) < 0 ∨ 𝑁 < (2 · 𝑗)))
88 bcval4 14207 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑗) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑗) < 0 ∨ 𝑁 < (2 · 𝑗))) → (𝑁C(2 · 𝑗)) = 0)
8948, 52, 87, 88syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑁C(2 · 𝑗)) = 0)
9089oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) = (0 · (-1↑(𝑀𝑗))))
91 zsubcl 12545 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑀𝑗) ∈ ℤ)
9231, 49, 91syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑗) ∈ ℤ)
93 expclz 13990 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (𝑀𝑗) ∈ ℤ) → (-1↑(𝑀𝑗)) ∈ ℂ)
9429, 30, 92, 93mp3an12i 1465 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑀𝑗)) ∈ ℂ)
9594adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (-1↑(𝑀𝑗)) ∈ ℂ)
9695mul02d 11353 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (0 · (-1↑(𝑀𝑗))) = 0)
9747, 90, 963eqtrd 2780 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) = 0)
9897ex 413 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑗 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) = 0))
9946, 98sylbird 259 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑗𝑀 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) = 0))
10099necon1ad 2960 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) ≠ 0 → 𝑗𝑀))
101100ralrimiva 3143 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) ≠ 0 → 𝑗𝑀))
102 plyco0 25553 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))):ℕ0⟶ℂ) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))) “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ0 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) ≠ 0 → 𝑗𝑀)))
1033, 37, 102syl2anc 584 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))) “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ0 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) ≠ 0 → 𝑗𝑀)))
104101, 103mpbird 256 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))) “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
10513oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) · (𝑡𝑗)) = (((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
106105sumeq2i 15584 . . . . . 6 Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) · (𝑡𝑗)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗))
107106mpteq2i 5210 . . . . 5 (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) · (𝑡𝑗))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
1081, 107eqtr4i 2767 . . . 4 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) · (𝑡𝑗)))
109108a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) · (𝑡𝑗))))
110 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑀))
111110oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (𝑁C(2 · 𝑛)) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
112 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → (𝑀𝑛) = (𝑀𝑀))
113112oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (-1↑(𝑀𝑛)) = (-1↑(𝑀𝑀)))
114111, 113oveq12d 7375 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))))
115 ovex 7390 . . . . . . 7 ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))) ∈ V
116114, 10, 115fvmpt 6948 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑀) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))))
1173, 116syl 17 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑀) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))))
11857subidd 11500 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀𝑀) = 0)
119118oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀𝑀)) = (-1↑0))
120 exp0 13971 . . . . . . . 8 (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
12129, 120ax-mp 5 . . . . . . 7 (-1↑0) = 1
122119, 121eqtrdi 2792 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀𝑀)) = 1)
123122oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · 1))
12418nnred 12168 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
125124lep1d 12086 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≤ ((2 · 𝑀) + 1))
126125, 15breqtrrdi 5147 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≤ 𝑁)
12718nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ0)
128 nn0uz 12805 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
129127, 128eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (ℤ‘0))
130 elfz5 13433 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑀) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁))
131129, 82, 130syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁))
132126, 131mpbird 256 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁))
133 bccl2 14223 . . . . . . . 8 ((2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
134132, 133syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
135134nncnd 12169 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
136135mulid1d 11172 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · 1) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
137117, 123, 1363eqtrd 2780 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑀) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
138134nnne0d 12203 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ≠ 0)
139137, 138eqnetrd 3011 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑀) ≠ 0)
14042, 3, 37, 104, 109, 139dgreq 25605 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) = 𝑀)
14142, 3, 37, 104, 109coeeq 25588 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))))
14242, 140, 1413jca 1128 1 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝑃) = 𝑀 ∧ (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cima 5636  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424  cexp 13967  Ccbc 14202  Σcsu 15570  Polycply 25545  coeffccoe 25547  degcdgr 25548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-0p 25034  df-ply 25549  df-coe 25551  df-dgr 25552
This theorem is referenced by:  basellem4  26433  basellem5  26434
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