Theorem basellem2 26337

Description: Lemma for basel 26345. Show that 𝑃 is a polynomial of degree 𝑀, and compute its coefficient function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
basel.n	⊢ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
basel.p	⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) · (𝑡↑𝑗)))

Assertion

Ref	Expression
basellem2	⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝑃) = 𝑀 ∧ (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑗,𝑛,𝑀   𝑗,𝑁,𝑛,𝑡   𝑃,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑗)

Proof of Theorem basellem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basel.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) · (𝑡↑𝑗)))
2		ssidd 3959	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ℂ ⊆ ℂ)
3		nnnn0 12346	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		elfznn0 13455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ0)
5		oveq2 7350	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑗))
6	5	oveq2d 7358	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑁C(2 · 𝑛)) = (𝑁C(2 · 𝑗)))
7		oveq2 7350	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑀 − 𝑛) = (𝑀 − 𝑗))
8	7	oveq2d 7358	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (-1↑(𝑀 − 𝑛)) = (-1↑(𝑀 − 𝑗)))
9	6, 8	oveq12d 7360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))))
10		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))
11		ovex 7375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) ∈ V
12	9, 10, 11	fvmpt 6936	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))))
13	4, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))))
14	13	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))))
15		basel.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
16		2nn 12152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
17		nnmulcl 12103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
18	16, 17	mpan 688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
19	18	peano2nnd 12096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
20	15, 19	eqeltrid 2842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
21	20	nnnn0d 12399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
22		2z 12458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
23		nn0z 12449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
24		zmulcl 12475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
25	22, 23, 24	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
26		bccl 14142	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℤ) → (𝑁C(2 · 𝑛)) ∈ ℕ0)
27	21, 25, 26	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁C(2 · 𝑛)) ∈ ℕ0)
28	27	nn0cnd 12401	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁C(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
29		neg1cn 12193	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
30		neg1ne0 12195	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ≠ 0
31		nnz 12448	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
32		zsubcl 12468	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑛) ∈ ℤ)
33	31, 23, 32	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝑛) ∈ ℤ)
34		expclz 13913	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (𝑀 − 𝑛) ∈ ℤ) → (-1↑(𝑀 − 𝑛)) ∈ ℂ)
35	29, 30, 33, 34	mp3an12i 1465	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑀 − 𝑛)) ∈ ℂ)
36	28, 35	mulcld 11101	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))) ∈ ℂ)
37	36	fmpttd 7050	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))):ℕ0⟶ℂ)
38		ffvelcdm 7020	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) ∈ ℂ)
39	37, 4, 38	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) ∈ ℂ)
40	14, 39	eqeltrrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) ∈ ℂ)
41	2, 3, 40	elplyd 25469	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) · (𝑡↑𝑗))) ∈ (Poly‘ℂ))
42	1, 41	eqeltrid 2842	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ (Poly‘ℂ))
43		nnre 12086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
44		nn0re 12348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → 𝑗 ∈ ℝ)
45		ltnle 11160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗 ≤ 𝑀))
46	43, 44, 45	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗 ≤ 𝑀))
47	12	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))))
48	21	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑁 ∈ ℕ0)
49		nn0z 12449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → 𝑗 ∈ ℤ)
50	49	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
51		zmulcl 12475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (2 · 𝑗) ∈ ℤ)
52	22, 50, 51	sylancr 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · 𝑗) ∈ ℤ)
53		ax-1cn 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℂ
54	53	2timesi 12217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
55	54	oveq2i 7353	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · 𝑀) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑀) + (1 + 1))
56		2cnd 12157	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 2 ∈ ℂ)
57		nncn 12087	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
58	57	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑀 ∈ ℂ)
59	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 1 ∈ ℂ)
60	56, 58, 59	adddid 11105	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · (𝑀 + 1)) = ((2 · 𝑀) + (2 · 1)))
61	15	oveq1i 7352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 + 1) = (((2 · 𝑀) + 1) + 1)
62	18	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
63	62	nncnd 12095	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
64	63, 59, 59	addassd 11103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (((2 · 𝑀) + 1) + 1) = ((2 · 𝑀) + (1 + 1)))
65	61, 64	eqtrid 2789	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑁 + 1) = ((2 · 𝑀) + (1 + 1)))
66	55, 60, 65	3eqtr4a 2803	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · (𝑀 + 1)) = (𝑁 + 1))
67		zltp1le 12476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑗 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑗))
68	31, 49, 67	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑗 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑗))
69	68	biimpa 478	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑗)
70	43	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑀 ∈ ℝ)
71		peano2re 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
73	44	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
74		2re 12153	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℝ
75		2pos 12182	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < 2
76	74, 75	pm3.2i 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
78		lemul2 11934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑗 ↔ (2 · (𝑀 + 1)) ≤ (2 · 𝑗)))
79	72, 73, 77, 78	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑗 ↔ (2 · (𝑀 + 1)) ≤ (2 · 𝑗)))
80	69, 79	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · (𝑀 + 1)) ≤ (2 · 𝑗))
81	66, 80	eqbrtrrd 5121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑗))
82	20	nnzd 12531	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
83	82	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑁 ∈ ℤ)
84		zltp1le 12476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑗) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2 · 𝑗) ↔ (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑗)))
85	83, 52, 84	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑁 < (2 · 𝑗) ↔ (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑗)))
86	81, 85	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑁 < (2 · 𝑗))
87	86	olcd 872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((2 · 𝑗) < 0 ∨ 𝑁 < (2 · 𝑗)))
88		bcval4 14127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑗) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑗) < 0 ∨ 𝑁 < (2 · 𝑗))) → (𝑁C(2 · 𝑗)) = 0)
89	48, 52, 87, 88	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑁C(2 · 𝑗)) = 0)
90	89	oveq1d 7357	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) = (0 · (-1↑(𝑀 − 𝑗))))
91		zsubcl 12468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑗) ∈ ℤ)
92	31, 49, 91	syl2an 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝑗) ∈ ℤ)
93		expclz 13913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (𝑀 − 𝑗) ∈ ℤ) → (-1↑(𝑀 − 𝑗)) ∈ ℂ)
94	29, 30, 92, 93	mp3an12i 1465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑀 − 𝑗)) ∈ ℂ)
95	94	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (-1↑(𝑀 − 𝑗)) ∈ ℂ)
96	95	mul02d 11279	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (0 · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) = 0)
97	47, 90, 96	3eqtrd 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) = 0)
98	97	ex 414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑗 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) = 0))
99	46, 98	sylbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑗 ≤ 𝑀 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) = 0))
100	99	necon1ad 2958	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) ≠ 0 → 𝑗 ≤ 𝑀))
101	100	ralrimiva 3140	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) ≠ 0 → 𝑗 ≤ 𝑀))
102		plyco0 25459	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))):ℕ0⟶ℂ) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))) “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ0 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) ≠ 0 → 𝑗 ≤ 𝑀)))
103	3, 37, 102	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))) “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ0 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) ≠ 0 → 𝑗 ≤ 𝑀)))
104	101, 103	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))) “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
105	13	oveq1d 7357	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) · (𝑡↑𝑗)) = (((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) · (𝑡↑𝑗)))
106	105	sumeq2i 15511	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) · (𝑡↑𝑗)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) · (𝑡↑𝑗))
107	106	mpteq2i 5202	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) · (𝑡↑𝑗))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) · (𝑡↑𝑗)))
108	1, 107	eqtr4i 2768	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) · (𝑡↑𝑗)))
109	108	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) · (𝑡↑𝑗))))
110		oveq2 7350	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑀))
111	110	oveq2d 7358	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑁C(2 · 𝑛)) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
112		oveq2 7350	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑀 − 𝑛) = (𝑀 − 𝑀))
113	112	oveq2d 7358	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (-1↑(𝑀 − 𝑛)) = (-1↑(𝑀 − 𝑀)))
114	111, 113	oveq12d 7360	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))))
115		ovex 7375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))) ∈ V
116	114, 10, 115	fvmpt 6936	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑀) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))))
117	3, 116	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑀) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))))
118	57	subidd 11426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 𝑀) = 0)
119	118	oveq2d 7358	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀 − 𝑀)) = (-1↑0))
120		exp0 13892	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
121	29, 120	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (-1↑0) = 1
122	119, 121	eqtrdi 2793	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀 − 𝑀)) = 1)
123	122	oveq2d 7358	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · 1))
124	18	nnred 12094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
125	124	lep1d 12012	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≤ ((2 · 𝑀) + 1))
126	125, 15	breqtrrdi 5139	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≤ 𝑁)
127	18	nnnn0d 12399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ0)
128		nn0uz 12726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
129	127, 128	eleqtrdi 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (ℤ≥‘0))
130		elfz5 13354	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑀) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁))
131	129, 82, 130	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁))
132	126, 131	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁))
133		bccl2 14143	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
134	132, 133	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
135	134	nncnd 12095	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
136	135	mulid1d 11098	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · 1) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
137	117, 123, 136	3eqtrd 2781	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑀) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
138	134	nnne0d 12129	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ≠ 0)
139	137, 138	eqnetrd 3009	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑀) ≠ 0)
140	42, 3, 37, 104, 109, 139	dgreq 25511	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) = 𝑀)
141	42, 3, 37, 104, 109	coeeq 25494	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))))
142	42, 140, 141	3jca 1128	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝑃) = 𝑀 ∧ (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  {csn 4578   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5180   “ cima 5628  ⟶wf 6480  ‘cfv 6484  (class class class)co 7342  ℂcc 10975  ℝcr 10976  0cc0 10977  1c1 10978   + caddc 10980   · cmul 10982   < clt 11115   ≤ cle 11116   − cmin 11311  -cneg 11312  ℕcn 12079  2c2 12134  ℕ₀cn0 12339  ℤcz 12425  ℤ_≥cuz 12688  ...cfz 13345  ↑cexp 13888  Ccbc 14122  Σcsu 15497  Polycply 25451  coeffccoe 25453  degcdgr 25454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-inf2 9503  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-pre-sup 11055

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-se 5581  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-isom 6493  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-of 7600  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-er 8574  df-map 8693  df-pm 8694  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-sup 9304  df-inf 9305  df-oi 9372  df-card 9801  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-div 11739  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-n0 12340  df-z 12426  df-uz 12689  df-rp 12837  df-fz 13346  df-fzo 13489  df-fl 13618  df-seq 13828  df-exp 13889  df-fac 14094  df-bc 14123  df-hash 14151  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047  df-clim 15297  df-rlim 15298  df-sum 15498  df-0p 24940  df-ply 25455  df-coe 25457  df-dgr 25458

This theorem is referenced by:  basellem4  26339  basellem5  26340