Theorem basellem2 27283

Description: Lemma for basel 27291. Show that 𝑃 is a polynomial of degree 𝑀, and compute its coefficient function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
basel.n	⊢ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
basel.p	⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) · (𝑡↑𝑗)))

Assertion

Ref	Expression
basellem2	⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝑃) = 𝑀 ∧ (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑗,𝑛,𝑀   𝑗,𝑁,𝑛,𝑡   𝑃,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡, 𝑗)

Proof of Theorem basellem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basel.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) · (𝑡↑𝑗)))
2		ssidd 3963	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ℂ ⊆ ℂ)
3		nnnn0 12529	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		elfznn0 13667	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ0)
5		oveq2 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑗))
6	5	oveq2d 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑁C(2 · 𝑛)) = (𝑁C(2 · 𝑗)))
7		oveq2 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑀 − 𝑛) = (𝑀 − 𝑗))
8	7	oveq2d 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (-1↑(𝑀 − 𝑛)) = (-1↑(𝑀 − 𝑗)))
9	6, 8	oveq12d 7441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))))
10		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))
11		ovex 7456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) ∈ V
12	9, 10, 11	fvmpt 6996	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))))
13	4, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))))
14	13	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))))
15		basel.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
16		2nn 12332	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
17		nnmulcl 12275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
18	16, 17	mpan 703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
19	18	peano2nnd 12268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
20	15, 19	eqeltrid 2870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
21	20	nnnn0d 12583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
22		2z 12644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
23		nn0z 12633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
24		zmulcl 12661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
25	22, 23, 24	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
26		bccl 14378	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℤ) → (𝑁C(2 · 𝑛)) ∈ ℕ0)
27	21, 25, 26	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁C(2 · 𝑛)) ∈ ℕ0)
28	27	nn0cnd 12585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁C(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
29		neg1cn 12221	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
30		neg1ne0 12223	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ≠ 0
31		nnz 12630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
32		zsubcl 12654	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑛) ∈ ℤ)
33	31, 23, 32	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝑛) ∈ ℤ)
34		expclz 14140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (𝑀 − 𝑛) ∈ ℤ) → (-1↑(𝑀 − 𝑛)) ∈ ℂ)
35	29, 30, 33, 34	mp3an12i 1494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑀 − 𝑛)) ∈ ℂ)
36	28, 35	mulcld 11247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))) ∈ ℂ)
37	36	fmpttd 7117	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))):ℕ0⟶ℂ)
38		ffvelcdm 7083	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) ∈ ℂ)
39	37, 4, 38	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) ∈ ℂ)
40	14, 39	eqeltrrd 2867	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) ∈ ℂ)
41	2, 3, 40	elplyd 26396	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) · (𝑡↑𝑗))) ∈ (Poly‘ℂ))
42	1, 41	eqeltrid 2870	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ (Poly‘ℂ))
43		nnre 12258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
44		nn0re 12531	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → 𝑗 ∈ ℝ)
45		ltnle 11307	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗 ≤ 𝑀))
46	43, 44, 45	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗 ≤ 𝑀))
47	12	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))))
48	21	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑁 ∈ ℕ0)
49		nn0z 12633	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → 𝑗 ∈ ℤ)
50	49	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
51		zmulcl 12661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (2 · 𝑗) ∈ ℤ)
52	22, 50, 51	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · 𝑗) ∈ ℤ)
53		ax-1cn 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℂ
54	53	2timesi 12396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
55	54	oveq2i 7434	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · 𝑀) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑀) + (1 + 1))
56		2cnd 12337	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 2 ∈ ℂ)
57		nncn 12259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
58	57	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑀 ∈ ℂ)
59	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 1 ∈ ℂ)
60	56, 58, 59	adddid 11251	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · (𝑀 + 1)) = ((2 · 𝑀) + (2 · 1)))
61	15	oveq1i 7433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 + 1) = (((2 · 𝑀) + 1) + 1)
62	18	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
63	62	nncnd 12267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
64	63, 59, 59	addassd 11249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (((2 · 𝑀) + 1) + 1) = ((2 · 𝑀) + (1 + 1)))
65	61, 64	eqtrid 2813	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑁 + 1) = ((2 · 𝑀) + (1 + 1)))
66	55, 60, 65	3eqtr4a 2827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · (𝑀 + 1)) = (𝑁 + 1))
67		zltp1le 12662	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑗 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑗))
68	31, 49, 67	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑗 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑗))
69	68	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑗)
70	43	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑀 ∈ ℝ)
71		peano2re 11401	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
72	70, 71	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
73	44	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
74		2re 12333	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℝ
75		2pos 12363	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < 2
76	74, 75	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
78		lemul2 12086	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑗 ↔ (2 · (𝑀 + 1)) ≤ (2 · 𝑗)))
79	72, 73, 77, 78	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑗 ↔ (2 · (𝑀 + 1)) ≤ (2 · 𝑗)))
80	69, 79	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · (𝑀 + 1)) ≤ (2 · 𝑗))
81	66, 80	eqbrtrrd 5140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑗))
82	20	nnzd 12635	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
83	82	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑁 ∈ ℤ)
84		zltp1le 12662	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑗) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2 · 𝑗) ↔ (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑗)))
85	83, 52, 84	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑁 < (2 · 𝑗) ↔ (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑗)))
86	81, 85	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑁 < (2 · 𝑗))
87	86	olcd 888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((2 · 𝑗) < 0 ∨ 𝑁 < (2 · 𝑗)))
88		bcval4 14363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑗) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑗) < 0 ∨ 𝑁 < (2 · 𝑗))) → (𝑁C(2 · 𝑗)) = 0)
89	48, 52, 87, 88	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑁C(2 · 𝑗)) = 0)
90	89	oveq1d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) = (0 · (-1↑(𝑀 − 𝑗))))
91		zsubcl 12654	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑗) ∈ ℤ)
92	31, 49, 91	syl2an 608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝑗) ∈ ℤ)
93		expclz 14140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (𝑀 − 𝑗) ∈ ℤ) → (-1↑(𝑀 − 𝑗)) ∈ ℂ)
94	29, 30, 92, 93	mp3an12i 1494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑀 − 𝑗)) ∈ ℂ)
95	94	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (-1↑(𝑀 − 𝑗)) ∈ ℂ)
96	95	mul02d 11426	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (0 · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) = 0)
97	47, 90, 96	3eqtrd 2805	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) = 0)
98	97	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑗 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) = 0))
99	46, 98	sylbird 263	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑗 ≤ 𝑀 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) = 0))
100	99	necon1ad 2978	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) ≠ 0 → 𝑗 ≤ 𝑀))
101	100	ralrimiva 3160	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) ≠ 0 → 𝑗 ≤ 𝑀))
102		plyco0 26386	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))):ℕ0⟶ℂ) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))) “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ0 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) ≠ 0 → 𝑗 ≤ 𝑀)))
103	3, 37, 102	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))) “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ0 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) ≠ 0 → 𝑗 ≤ 𝑀)))
104	101, 103	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))) “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
105	13	oveq1d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) · (𝑡↑𝑗)) = (((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) · (𝑡↑𝑗)))
106	105	sumeq2i 15775	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) · (𝑡↑𝑗)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) · (𝑡↑𝑗))
107	106	mpteq2i 5212	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) · (𝑡↑𝑗))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) · (𝑡↑𝑗)))
108	1, 107	eqtr4i 2792	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) · (𝑡↑𝑗)))
109	108	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) · (𝑡↑𝑗))))
110		oveq2 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑀))
111	110	oveq2d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑁C(2 · 𝑛)) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
112		oveq2 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑀 − 𝑛) = (𝑀 − 𝑀))
113	112	oveq2d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (-1↑(𝑀 − 𝑛)) = (-1↑(𝑀 − 𝑀)))
114	111, 113	oveq12d 7441	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))))
115		ovex 7456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))) ∈ V
116	114, 10, 115	fvmpt 6996	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑀) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))))
117	3, 116	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑀) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))))
118	57	subidd 11575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 𝑀) = 0)
119	118	oveq2d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀 − 𝑀)) = (-1↑0))
120		exp0 14121	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
121	29, 120	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (-1↑0) = 1
122	119, 121	eqtrdi 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀 − 𝑀)) = 1)
123	122	oveq2d 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · 1))
124	18	nnred 12266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
125	124	lep1d 12164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≤ ((2 · 𝑀) + 1))
126	125, 15	breqtrrdi 5158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≤ 𝑁)
127	18	nnnn0d 12583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ0)
128		nn0uz 12918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
129	127, 128	eleqtrdi 2876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (ℤ≥‘0))
130		elfz5 13562	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑀) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁))
131	129, 82, 130	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁))
132	126, 131	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁))
133		bccl2 14379	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
134	132, 133	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
135	134	nncnd 12267	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
136	135	mulridd 11244	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · 1) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
137	117, 123, 136	3eqtrd 2805	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑀) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
138	134	nnne0d 12304	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ≠ 0)
139	137, 138	eqnetrd 3028	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑀) ≠ 0)
140	42, 3, 37, 104, 109, 139	dgreq 26438	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) = 𝑀)
141	42, 3, 37, 104, 109	coeeq 26421	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))))
142	42, 140, 141	3jca 1146	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝑃) = 𝑀 ∧ (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082  {csn 4594   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197   “ cima 5669  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123   < clt 11261   ≤ cle 11262   − cmin 11459  -cneg 11460  ℕcn 12251  2c2 12313  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880  ...cfz 13553  ↑cexp 14117  Ccbc 14358  Σcsu 15763  Polycply 26378  coeffccoe 26380  degcdgr 26381

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-0p 25866  df-ply 26382  df-coe 26384  df-dgr 26385

This theorem is used by:  basellem4  27285  basellem5  27286