Theorem basellem2 27326

Description: Lemma for basel 27334. Show that 𝑃 is a polynomial of degree 𝑀, and compute its coefficient function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
basel.n	⊢ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
basel.p	⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) · (𝑡↑𝑗)))

Assertion

Ref	Expression
basellem2	⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝑃) = 𝑀 ∧ (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑗,𝑛,𝑀   𝑗,𝑁,𝑛,𝑡   𝑃,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡, 𝑗)

Proof of Theorem basellem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basel.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) · (𝑡↑𝑗)))
2		ssidd 3957	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ℂ ⊆ ℂ)
3		nnnn0 12539	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		elfznn0 13679	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ0)
5		oveq2 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑗))
6	5	oveq2d 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑁C(2 · 𝑛)) = (𝑁C(2 · 𝑗)))
7		oveq2 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑀 − 𝑛) = (𝑀 − 𝑗))
8	7	oveq2d 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (-1↑(𝑀 − 𝑛)) = (-1↑(𝑀 − 𝑗)))
9	6, 8	oveq12d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))))
10		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))
11		ovex 7450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) ∈ V
12	9, 10, 11	fvmpt 6990	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))))
13	4, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))))
14	13	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))))
15		basel.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
16		2nn 12342	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
17		nnmulcl 12285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
18	16, 17	mpan 703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
19	18	peano2nnd 12278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
20	15, 19	eqeltrid 2866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
21	20	nnnn0d 12593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
22		2z 12654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
23		nn0z 12643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
24		zmulcl 12671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
25	22, 23, 24	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
26		bccl 14390	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℤ) → (𝑁C(2 · 𝑛)) ∈ ℕ0)
27	21, 25, 26	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁C(2 · 𝑛)) ∈ ℕ0)
28	27	nn0cnd 12595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁C(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
29		neg1cn 12231	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
30		neg1ne0 12233	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ≠ 0
31		nnz 12640	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
32		zsubcl 12664	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑛) ∈ ℤ)
33	31, 23, 32	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝑛) ∈ ℤ)
34		expclz 14152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (𝑀 − 𝑛) ∈ ℤ) → (-1↑(𝑀 − 𝑛)) ∈ ℂ)
35	29, 30, 33, 34	mp3an12i 1494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑀 − 𝑛)) ∈ ℂ)
36	28, 35	mulcld 11257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))) ∈ ℂ)
37	36	fmpttd 7112	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))):ℕ0⟶ℂ)
38		ffvelcdm 7078	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) ∈ ℂ)
39	37, 4, 38	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) ∈ ℂ)
40	14, 39	eqeltrrd 2863	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) ∈ ℂ)
41	2, 3, 40	elplyd 26434	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) · (𝑡↑𝑗))) ∈ (Poly‘ℂ))
42	1, 41	eqeltrid 2866	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ (Poly‘ℂ))
43		nnre 12268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
44		nn0re 12541	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → 𝑗 ∈ ℝ)
45		ltnle 11317	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗 ≤ 𝑀))
46	43, 44, 45	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗 ≤ 𝑀))
47	12	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))))
48	21	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑁 ∈ ℕ0)
49		nn0z 12643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → 𝑗 ∈ ℤ)
50	49	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
51		zmulcl 12671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (2 · 𝑗) ∈ ℤ)
52	22, 50, 51	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · 𝑗) ∈ ℤ)
53		ax-1cn 11186	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℂ
54	53	2timesi 12406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
55	54	oveq2i 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · 𝑀) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑀) + (1 + 1))
56		2cnd 12347	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 2 ∈ ℂ)
57		nncn 12269	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
58	57	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑀 ∈ ℂ)
59	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 1 ∈ ℂ)
60	56, 58, 59	adddid 11261	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · (𝑀 + 1)) = ((2 · 𝑀) + (2 · 1)))
61	15	oveq1i 7427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 + 1) = (((2 · 𝑀) + 1) + 1)
62	18	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
63	62	nncnd 12277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
64	63, 59, 59	addassd 11259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (((2 · 𝑀) + 1) + 1) = ((2 · 𝑀) + (1 + 1)))
65	61, 64	eqtrid 2809	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑁 + 1) = ((2 · 𝑀) + (1 + 1)))
66	55, 60, 65	3eqtr4a 2823	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · (𝑀 + 1)) = (𝑁 + 1))
67		zltp1le 12672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑗 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑗))
68	31, 49, 67	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑗 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑗))
69	68	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑗)
70	43	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑀 ∈ ℝ)
71		peano2re 11411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
72	70, 71	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
73	44	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
74		2re 12343	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℝ
75		2pos 12373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < 2
76	74, 75	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
78		lemul2 12096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑗 ↔ (2 · (𝑀 + 1)) ≤ (2 · 𝑗)))
79	72, 73, 77, 78	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑗 ↔ (2 · (𝑀 + 1)) ≤ (2 · 𝑗)))
80	69, 79	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · (𝑀 + 1)) ≤ (2 · 𝑗))
81	66, 80	eqbrtrrd 5133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑗))
82	20	nnzd 12645	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
83	82	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑁 ∈ ℤ)
84		zltp1le 12672	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑗) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2 · 𝑗) ↔ (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑗)))
85	83, 52, 84	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑁 < (2 · 𝑗) ↔ (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑗)))
86	81, 85	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑁 < (2 · 𝑗))
87	86	olcd 888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((2 · 𝑗) < 0 ∨ 𝑁 < (2 · 𝑗)))
88		bcval4 14375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑗) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑗) < 0 ∨ 𝑁 < (2 · 𝑗))) → (𝑁C(2 · 𝑗)) = 0)
89	48, 52, 87, 88	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑁C(2 · 𝑗)) = 0)
90	89	oveq1d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) = (0 · (-1↑(𝑀 − 𝑗))))
91		zsubcl 12664	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑗) ∈ ℤ)
92	31, 49, 91	syl2an 608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝑗) ∈ ℤ)
93		expclz 14152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (𝑀 − 𝑗) ∈ ℤ) → (-1↑(𝑀 − 𝑗)) ∈ ℂ)
94	29, 30, 92, 93	mp3an12i 1494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑀 − 𝑗)) ∈ ℂ)
95	94	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (-1↑(𝑀 − 𝑗)) ∈ ℂ)
96	95	mul02d 11436	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (0 · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) = 0)
97	47, 90, 96	3eqtrd 2801	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) = 0)
98	97	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑗 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) = 0))
99	46, 98	sylbird 263	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑗 ≤ 𝑀 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) = 0))
100	99	necon1ad 2974	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) ≠ 0 → 𝑗 ≤ 𝑀))
101	100	ralrimiva 3156	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) ≠ 0 → 𝑗 ≤ 𝑀))
102		plyco0 26424	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))):ℕ0⟶ℂ) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))) “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ0 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) ≠ 0 → 𝑗 ≤ 𝑀)))
103	3, 37, 102	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))) “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ0 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) ≠ 0 → 𝑗 ≤ 𝑀)))
104	101, 103	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))) “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
105	13	oveq1d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) · (𝑡↑𝑗)) = (((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) · (𝑡↑𝑗)))
106	105	sumeq2i 15789	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) · (𝑡↑𝑗)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) · (𝑡↑𝑗))
107	106	mpteq2i 5205	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) · (𝑡↑𝑗))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀 − 𝑗))) · (𝑡↑𝑗)))
108	1, 107	eqtr4i 2788	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) · (𝑡↑𝑗)))
109	108	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑗) · (𝑡↑𝑗))))
110		oveq2 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑀))
111	110	oveq2d 7433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑁C(2 · 𝑛)) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
112		oveq2 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑀 − 𝑛) = (𝑀 − 𝑀))
113	112	oveq2d 7433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (-1↑(𝑀 − 𝑛)) = (-1↑(𝑀 − 𝑀)))
114	111, 113	oveq12d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))))
115		ovex 7450	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))) ∈ V
116	114, 10, 115	fvmpt 6990	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑀) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))))
117	3, 116	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑀) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))))
118	57	subidd 11585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 𝑀) = 0)
119	118	oveq2d 7433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀 − 𝑀)) = (-1↑0))
120		exp0 14133	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
121	29, 120	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (-1↑0) = 1
122	119, 121	eqtrdi 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀 − 𝑀)) = 1)
123	122	oveq2d 7433	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀 − 𝑀))) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · 1))
124	18	nnred 12276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
125	124	lep1d 12174	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≤ ((2 · 𝑀) + 1))
126	125, 15	breqtrrdi 5151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≤ 𝑁)
127	18	nnnn0d 12593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ0)
128		nn0uz 12929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
129	127, 128	eleqtrdi 2872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (ℤ≥‘0))
130		elfz5 13574	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑀) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁))
131	129, 82, 130	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁))
132	126, 131	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁))
133		bccl2 14391	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
134	132, 133	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
135	134	nncnd 12277	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
136	135	mulridd 11254	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · 1) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
137	117, 123, 136	3eqtrd 2801	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑀) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
138	134	nnne0d 12314	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ≠ 0)
139	137, 138	eqnetrd 3024	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))‘𝑀) ≠ 0)
140	42, 3, 37, 104, 109, 139	dgreq 26477	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) = 𝑀)
141	42, 3, 37, 104, 109	coeeq 26460	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛)))))
142	42, 140, 141	3jca 1146	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝑃) = 𝑀 ∧ (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀 − 𝑛))))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  {csn 4587   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190   “ cima 5662  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  ℝcr 11127  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131   · cmul 11133   < clt 11271   ≤ cle 11272   − cmin 11469  -cneg 11470  ℕcn 12261  2c2 12323  ℕ₀cn0 12532  ℤcz 12619  ℤ_≥cuz 12891  ...cfz 13565  ↑cexp 14129  Ccbc 14370  Σcsu 15777  Polycply 26416  coeffccoe 26418  degcdgr 26419

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-seq 14070  df-exp 14130  df-fac 14342  df-bc 14371  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-rlim 15580  df-sum 15778  df-0p 25904  df-ply 26420  df-coe 26422  df-dgr 26423

This theorem is used by:  basellem4  27328  basellem5  27329