MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem2 26593
Description: Lemma for basel 26601. Show that 𝑃 is a polynomial of degree 𝑀, and compute its coefficient function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.n 𝑁 = ((2 Β· 𝑀) + 1)
basel.p 𝑃 = (𝑑 ∈ β„‚ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (𝑑↑𝑗)))
Assertion
Ref Expression
basellem2 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜π‘ƒ) = 𝑀 ∧ (coeffβ€˜π‘ƒ) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))))))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑗,𝑛,𝑀   𝑗,𝑁,𝑛,𝑑   𝑃,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑑,𝑗)

Proof of Theorem basellem2
StepHypRef Expression
1 basel.p . . 3 𝑃 = (𝑑 ∈ β„‚ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (𝑑↑𝑗)))
2 ssidd 4005 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
3 nnnn0 12481 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
4 elfznn0 13596 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
5 oveq2 7419 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 β†’ (2 Β· 𝑛) = (2 Β· 𝑗))
65oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑗 β†’ (𝑁C(2 Β· 𝑛)) = (𝑁C(2 Β· 𝑗)))
7 oveq2 7419 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 β†’ (𝑀 βˆ’ 𝑛) = (𝑀 βˆ’ 𝑗))
87oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑗 β†’ (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛)) = (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗)))
96, 8oveq12d 7429 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑗 β†’ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))) = ((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))))
10 eqid 2732 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛)))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))))
11 ovex 7444 . . . . . . . 8 ((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) ∈ V
129, 10, 11fvmpt 6998 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ β„•0 β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))))β€˜π‘—) = ((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))))
134, 12syl 17 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))))β€˜π‘—) = ((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))))
1413adantl 482 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))))β€˜π‘—) = ((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))))
15 basel.n . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = ((2 Β· 𝑀) + 1)
16 2nn 12287 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ β„•
17 nnmulcl 12238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝑀) ∈ β„•)
1816, 17mpan 688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑀) ∈ β„•)
1918peano2nnd 12231 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑀) + 1) ∈ β„•)
2015, 19eqeltrid 2837 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2120nnnn0d 12534 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
22 2z 12596 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„€
23 nn0z 12585 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„€)
24 zmulcl 12613 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„€)
2522, 23, 24sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„€)
26 bccl 14284 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (2 Β· 𝑛) ∈ β„€) β†’ (𝑁C(2 Β· 𝑛)) ∈ β„•0)
2721, 25, 26syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑁C(2 Β· 𝑛)) ∈ β„•0)
2827nn0cnd 12536 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑁C(2 Β· 𝑛)) ∈ β„‚)
29 neg1cn 12328 . . . . . . . . 9 -1 ∈ β„‚
30 neg1ne0 12330 . . . . . . . . 9 -1 β‰  0
31 nnz 12581 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„€)
32 zsubcl 12606 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (𝑀 βˆ’ 𝑛) ∈ β„€)
3331, 23, 32syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 βˆ’ 𝑛) ∈ β„€)
34 expclz 14052 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ β„‚ ∧ -1 β‰  0 ∧ (𝑀 βˆ’ 𝑛) ∈ β„€) β†’ (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛)) ∈ β„‚)
3529, 30, 33, 34mp3an12i 1465 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛)) ∈ β„‚)
3628, 35mulcld 11236 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))) ∈ β„‚)
3736fmpttd 7116 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛)))):β„•0βŸΆβ„‚)
38 ffvelcdm 7083 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛)))):β„•0βŸΆβ„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))))β€˜π‘—) ∈ β„‚)
3937, 4, 38syl2an 596 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))))β€˜π‘—) ∈ β„‚)
4014, 39eqeltrrd 2834 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) ∈ β„‚)
412, 3, 40elplyd 25723 . . 3 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (𝑑↑𝑗))) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
421, 41eqeltrid 2837 . 2 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
43 nnre 12221 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
44 nn0re 12483 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ β„•0 β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
45 ltnle 11295 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) β†’ (𝑀 < 𝑗 ↔ Β¬ 𝑗 ≀ 𝑀))
4643, 44, 45syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 < 𝑗 ↔ Β¬ 𝑗 ≀ 𝑀))
4712ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 < 𝑗) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))))β€˜π‘—) = ((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))))
4821ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 < 𝑗) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
49 nn0z 12585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„•0 β†’ 𝑗 ∈ β„€)
5049ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 < 𝑗) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
51 zmulcl 12613 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ β„€ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (2 Β· 𝑗) ∈ β„€)
5222, 50, 51sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 < 𝑗) β†’ (2 Β· 𝑗) ∈ β„€)
53 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ β„‚
54532timesi 12352 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 Β· 1) = (1 + 1)
5554oveq2i 7422 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 Β· 𝑀) + (2 Β· 1)) = ((2 Β· 𝑀) + (1 + 1))
56 2cnd 12292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 < 𝑗) β†’ 2 ∈ β„‚)
57 nncn 12222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
5857ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 < 𝑗) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
5953a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 < 𝑗) β†’ 1 ∈ β„‚)
6056, 58, 59adddid 11240 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 < 𝑗) β†’ (2 Β· (𝑀 + 1)) = ((2 Β· 𝑀) + (2 Β· 1)))
6115oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 + 1) = (((2 Β· 𝑀) + 1) + 1)
6218ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 < 𝑗) β†’ (2 Β· 𝑀) ∈ β„•)
6362nncnd 12230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 < 𝑗) β†’ (2 Β· 𝑀) ∈ β„‚)
6463, 59, 59addassd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 < 𝑗) β†’ (((2 Β· 𝑀) + 1) + 1) = ((2 Β· 𝑀) + (1 + 1)))
6561, 64eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 < 𝑗) β†’ (𝑁 + 1) = ((2 Β· 𝑀) + (1 + 1)))
6655, 60, 653eqtr4a 2798 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 < 𝑗) β†’ (2 Β· (𝑀 + 1)) = (𝑁 + 1))
67 zltp1le 12614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (𝑀 < 𝑗 ↔ (𝑀 + 1) ≀ 𝑗))
6831, 49, 67syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 < 𝑗 ↔ (𝑀 + 1) ≀ 𝑗))
6968biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 < 𝑗) β†’ (𝑀 + 1) ≀ 𝑗)
7043ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 < 𝑗) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
71 peano2re 11389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 < 𝑗) β†’ (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
7344ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 < 𝑗) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
74 2re 12288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
75 2pos 12317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 2
7674, 75pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 < 𝑗) β†’ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
78 lemul2 12069 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ ((𝑀 + 1) ≀ 𝑗 ↔ (2 Β· (𝑀 + 1)) ≀ (2 Β· 𝑗)))
7972, 73, 77, 78syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 < 𝑗) β†’ ((𝑀 + 1) ≀ 𝑗 ↔ (2 Β· (𝑀 + 1)) ≀ (2 Β· 𝑗)))
8069, 79mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 < 𝑗) β†’ (2 Β· (𝑀 + 1)) ≀ (2 Β· 𝑗))
8166, 80eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 < 𝑗) β†’ (𝑁 + 1) ≀ (2 Β· 𝑗))
8220nnzd 12587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
8382ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 < 𝑗) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
84 zltp1le 12614 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ (2 Β· 𝑗) ∈ β„€) β†’ (𝑁 < (2 Β· 𝑗) ↔ (𝑁 + 1) ≀ (2 Β· 𝑗)))
8583, 52, 84syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 < 𝑗) β†’ (𝑁 < (2 Β· 𝑗) ↔ (𝑁 + 1) ≀ (2 Β· 𝑗)))
8681, 85mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 < 𝑗) β†’ 𝑁 < (2 Β· 𝑗))
8786olcd 872 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 < 𝑗) β†’ ((2 Β· 𝑗) < 0 ∨ 𝑁 < (2 Β· 𝑗)))
88 bcval4 14269 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (2 Β· 𝑗) ∈ β„€ ∧ ((2 Β· 𝑗) < 0 ∨ 𝑁 < (2 Β· 𝑗))) β†’ (𝑁C(2 Β· 𝑗)) = 0)
8948, 52, 87, 88syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 < 𝑗) β†’ (𝑁C(2 Β· 𝑗)) = 0)
9089oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 < 𝑗) β†’ ((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) = (0 Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))))
91 zsubcl 12606 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (𝑀 βˆ’ 𝑗) ∈ β„€)
9231, 49, 91syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 βˆ’ 𝑗) ∈ β„€)
93 expclz 14052 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 ∈ β„‚ ∧ -1 β‰  0 ∧ (𝑀 βˆ’ 𝑗) ∈ β„€) β†’ (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗)) ∈ β„‚)
9429, 30, 92, 93mp3an12i 1465 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗)) ∈ β„‚)
9594adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 < 𝑗) β†’ (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗)) ∈ β„‚)
9695mul02d 11414 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 < 𝑗) β†’ (0 Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) = 0)
9747, 90, 963eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 < 𝑗) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))))β€˜π‘—) = 0)
9897ex 413 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 < 𝑗 β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))))β€˜π‘—) = 0))
9946, 98sylbird 259 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (Β¬ 𝑗 ≀ 𝑀 β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))))β€˜π‘—) = 0))
10099necon1ad 2957 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))))β€˜π‘—) β‰  0 β†’ 𝑗 ≀ 𝑀))
101100ralrimiva 3146 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘— ∈ β„•0 (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))))β€˜π‘—) β‰  0 β†’ 𝑗 ≀ 𝑀))
102 plyco0 25713 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛)))):β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛)))) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘— ∈ β„•0 (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))))β€˜π‘—) β‰  0 β†’ 𝑗 ≀ 𝑀)))
1033, 37, 102syl2anc 584 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛)))) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘— ∈ β„•0 (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))))β€˜π‘—) β‰  0 β†’ 𝑗 ≀ 𝑀)))
104101, 103mpbird 256 . . 3 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛)))) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0})
10513oveq1d 7426 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))))β€˜π‘—) Β· (𝑑↑𝑗)) = (((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (𝑑↑𝑗)))
106105sumeq2i 15647 . . . . . 6 Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))))β€˜π‘—) Β· (𝑑↑𝑗)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (𝑑↑𝑗))
107106mpteq2i 5253 . . . . 5 (𝑑 ∈ β„‚ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))))β€˜π‘—) Β· (𝑑↑𝑗))) = (𝑑 ∈ β„‚ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (𝑑↑𝑗)))
1081, 107eqtr4i 2763 . . . 4 𝑃 = (𝑑 ∈ β„‚ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))))β€˜π‘—) Β· (𝑑↑𝑗)))
109108a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑃 = (𝑑 ∈ β„‚ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))))β€˜π‘—) Β· (𝑑↑𝑗))))
110 oveq2 7419 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 β†’ (2 Β· 𝑛) = (2 Β· 𝑀))
111110oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 β†’ (𝑁C(2 Β· 𝑛)) = (𝑁C(2 Β· 𝑀)))
112 oveq2 7419 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 β†’ (𝑀 βˆ’ 𝑛) = (𝑀 βˆ’ 𝑀))
113112oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 β†’ (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛)) = (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑀)))
114111, 113oveq12d 7429 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 β†’ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))) = ((𝑁C(2 Β· 𝑀)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑀))))
115 ovex 7444 . . . . . . 7 ((𝑁C(2 Β· 𝑀)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑀))) ∈ V
116114, 10, 115fvmpt 6998 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))))β€˜π‘€) = ((𝑁C(2 Β· 𝑀)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑀))))
1173, 116syl 17 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))))β€˜π‘€) = ((𝑁C(2 Β· 𝑀)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑀))))
11857subidd 11561 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 βˆ’ 𝑀) = 0)
119118oveq2d 7427 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑀)) = (-1↑0))
120 exp0 14033 . . . . . . . 8 (-1 ∈ β„‚ β†’ (-1↑0) = 1)
12129, 120ax-mp 5 . . . . . . 7 (-1↑0) = 1
122119, 121eqtrdi 2788 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑀)) = 1)
123122oveq2d 7427 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁C(2 Β· 𝑀)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑀))) = ((𝑁C(2 Β· 𝑀)) Β· 1))
12418nnred 12229 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑀) ∈ ℝ)
125124lep1d 12147 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑀) ≀ ((2 Β· 𝑀) + 1))
126125, 15breqtrrdi 5190 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑀) ≀ 𝑁)
12718nnnn0d 12534 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑀) ∈ β„•0)
128 nn0uz 12866 . . . . . . . . . . 11 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
129127, 128eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑀) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
130 elfz5 13495 . . . . . . . . . 10 (((2 Β· 𝑀) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((2 Β· 𝑀) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 Β· 𝑀) ≀ 𝑁))
131129, 82, 130syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑀) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 Β· 𝑀) ≀ 𝑁))
132126, 131mpbird 256 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑀) ∈ (0...𝑁))
133 bccl2 14285 . . . . . . . 8 ((2 Β· 𝑀) ∈ (0...𝑁) β†’ (𝑁C(2 Β· 𝑀)) ∈ β„•)
134132, 133syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁C(2 Β· 𝑀)) ∈ β„•)
135134nncnd 12230 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁C(2 Β· 𝑀)) ∈ β„‚)
136135mulridd 11233 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁C(2 Β· 𝑀)) Β· 1) = (𝑁C(2 Β· 𝑀)))
137117, 123, 1363eqtrd 2776 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))))β€˜π‘€) = (𝑁C(2 Β· 𝑀)))
138134nnne0d 12264 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁C(2 Β· 𝑀)) β‰  0)
139137, 138eqnetrd 3008 . . 3 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))))β€˜π‘€) β‰  0)
14042, 3, 37, 104, 109, 139dgreq 25765 . 2 (𝑀 ∈ β„• β†’ (degβ€˜π‘ƒ) = 𝑀)
14142, 3, 37, 104, 109coeeq 25748 . 2 (𝑀 ∈ β„• β†’ (coeffβ€˜π‘ƒ) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛)))))
14242, 140, 1413jca 1128 1 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜π‘ƒ) = 𝑀 ∧ (coeffβ€˜π‘ƒ) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑁C(2 Β· 𝑛)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑛))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11250   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446  -cneg 11447  β„•cn 12214  2c2 12269  β„•0cn0 12474  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824  ...cfz 13486  β†‘cexp 14029  Ccbc 14264  Ξ£csu 15634  Polycply 25705  coeffccoe 25707  degcdgr 25708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-0p 25194  df-ply 25709  df-coe 25711  df-dgr 25712
This theorem is referenced by:  basellem4  26595  basellem5  26596
  Copyright terms: Public domain W3C validator