Theorem cdj3lem2a 32408

Description: Lemma for cdj3i 32413. Closure of the first-component function 𝑆. (Contributed by NM, 25-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdj3lem2.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
cdj3lem2.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
cdj3lem2.3	⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))

Assertion

Ref	Expression
cdj3lem2a	⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑆‘𝐶) ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑤,𝐴   𝑥,𝐵,𝑧,𝑤   𝑥,𝐶,𝑧,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem cdj3lem2a

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdj3lem2.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2		cdj3lem2.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
3	1, 2	shseli 31288	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢))
4		cdj3lem2.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
5	1, 2, 4	cdj3lem2 32407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑆‘(𝑣 +ℎ 𝑢)) = 𝑣)
6		simp1 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → 𝑣 ∈ 𝐴)
7	5, 6	eqeltrd 2831	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑆‘(𝑣 +ℎ 𝑢)) ∈ 𝐴)
8	7	3expa 1118	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑆‘(𝑣 +ℎ 𝑢)) ∈ 𝐴)
9		fveq2 6817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (𝑆‘𝐶) = (𝑆‘(𝑣 +ℎ 𝑢)))
10	9	eleq1d 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → ((𝑆‘𝐶) ∈ 𝐴 ↔ (𝑆‘(𝑣 +ℎ 𝑢)) ∈ 𝐴))
11	8, 10	imbitrrid 246	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑆‘𝐶) ∈ 𝐴))
12	11	expd 415	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → (𝑆‘𝐶) ∈ 𝐴)))
13	12	com13 88	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (𝑆‘𝐶) ∈ 𝐴)))
14	13	rexlimdvv 3188	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (𝑆‘𝐶) ∈ 𝐴))
15	3, 14	biimtrid 242	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → (𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑆‘𝐶) ∈ 𝐴))
16	15	impcom 407	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑆‘𝐶) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   ∩ cin 3896   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6476  ℩crio 7297  (class class class)co 7341   +_ℎ cva 30892   S_ℋ csh 30900   +_ℋ cph 30903  0_ℋc0h 30907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-hilex 30971  ax-hfvadd 30972  ax-hvcom 30973  ax-hvass 30974  ax-hv0cl 30975  ax-hvaddid 30976  ax-hfvmul 30977  ax-hvmulid 30978  ax-hvmulass 30979  ax-hvdistr1 30980  ax-hvdistr2 30981  ax-hvmul0 30982

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-grpo 30465  df-ablo 30517  df-hvsub 30943  df-sh 31179  df-ch0 31225  df-shs 31280

This theorem is referenced by: (None)