Theorem cdj3lem2a 32399

Description: Lemma for cdj3i 32404. Closure of the first-component function 𝑆. (Contributed by NM, 25-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdj3lem2.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
cdj3lem2.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
cdj3lem2.3	⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))

Assertion

Ref	Expression
cdj3lem2a	⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑆‘𝐶) ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑤,𝐴   𝑥,𝐵,𝑧,𝑤   𝑥,𝐶,𝑧,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem cdj3lem2a

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdj3lem2.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2		cdj3lem2.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
3	1, 2	shseli 31279	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢))
4		cdj3lem2.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
5	1, 2, 4	cdj3lem2 32398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑆‘(𝑣 +ℎ 𝑢)) = 𝑣)
6		simp1 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → 𝑣 ∈ 𝐴)
7	5, 6	eqeltrd 2828	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑆‘(𝑣 +ℎ 𝑢)) ∈ 𝐴)
8	7	3expa 1118	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑆‘(𝑣 +ℎ 𝑢)) ∈ 𝐴)
9		fveq2 6826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (𝑆‘𝐶) = (𝑆‘(𝑣 +ℎ 𝑢)))
10	9	eleq1d 2813	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → ((𝑆‘𝐶) ∈ 𝐴 ↔ (𝑆‘(𝑣 +ℎ 𝑢)) ∈ 𝐴))
11	8, 10	imbitrrid 246	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑆‘𝐶) ∈ 𝐴))
12	11	expd 415	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → (𝑆‘𝐶) ∈ 𝐴)))
13	12	com13 88	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (𝑆‘𝐶) ∈ 𝐴)))
14	13	rexlimdvv 3185	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (𝑆‘𝐶) ∈ 𝐴))
15	3, 14	biimtrid 242	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → (𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑆‘𝐶) ∈ 𝐴))
16	15	impcom 407	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑆‘𝐶) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ∩ cin 3904   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6486  ℩crio 7309  (class class class)co 7353   +_ℎ cva 30883   S_ℋ csh 30891   +_ℋ cph 30894  0_ℋc0h 30898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-hilex 30962  ax-hfvadd 30963  ax-hvcom 30964  ax-hvass 30965  ax-hv0cl 30966  ax-hvaddid 30967  ax-hfvmul 30968  ax-hvmulid 30969  ax-hvmulass 30970  ax-hvdistr1 30971  ax-hvdistr2 30972  ax-hvmul0 30973

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-grpo 30456  df-ablo 30508  df-hvsub 30934  df-sh 31170  df-ch0 31216  df-shs 31271

This theorem is referenced by: (None)