Theorem cdj3lem3a 33034

Description: Lemma for cdj3i 33036. Closure of the second-component function 𝑇. (Contributed by NM, 26-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdj3lem2.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
cdj3lem2.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
cdj3lem3.3	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↦ (℩𝑤 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))

Assertion

Ref	Expression
cdj3lem3a	⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑇‘𝐶) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑤,𝐴   𝑥,𝐵,𝑧,𝑤   𝑥,𝐶,𝑧,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥, 𝑧, 𝑤)

Proof of Theorem cdj3lem3a

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdj3lem2.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2		cdj3lem2.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
3	1, 2	shseli 31911	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢))
4		cdj3lem3.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↦ (℩𝑤 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
5	1, 2, 4	cdj3lem3 33033	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑇‘(𝑣 +ℎ 𝑢)) = 𝑢)
6		simp2 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → 𝑢 ∈ 𝐵)
7	5, 6	eqeltrd 2861	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑇‘(𝑣 +ℎ 𝑢)) ∈ 𝐵)
8	7	3expa 1136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑇‘(𝑣 +ℎ 𝑢)) ∈ 𝐵)
9		fveq2 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (𝑇‘𝐶) = (𝑇‘(𝑣 +ℎ 𝑢)))
10	9	eleq1d 2846	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → ((𝑇‘𝐶) ∈ 𝐵 ↔ (𝑇‘(𝑣 +ℎ 𝑢)) ∈ 𝐵))
11	8, 10	imbitrrid 249	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑇‘𝐶) ∈ 𝐵))
12	11	expd 421	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → (𝑇‘𝐶) ∈ 𝐵)))
13	12	com13 89	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (𝑇‘𝐶) ∈ 𝐵)))
14	13	rexlimdvv 3219	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (𝑇‘𝐶) ∈ 𝐵))
15	3, 14	biimtrid 245	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → (𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑇‘𝐶) ∈ 𝐵))
16	15	impcom 413	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑇‘𝐶) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   ∩ cin 3898   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6537  ℩crio 7374  (class class class)co 7418   +_ℎ cva 31515   S_ℋ csh 31523   +_ℋ cph 31526  0_ℋc0h 31530

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-hilex 31594  ax-hfvadd 31595  ax-hvcom 31596  ax-hvass 31597  ax-hv0cl 31598  ax-hvaddid 31599  ax-hfvmul 31600  ax-hvmulid 31601  ax-hvmulass 31602  ax-hvdistr1 31603  ax-hvdistr2 31604  ax-hvmul0 31605

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-grpo 31088  df-ablo 31140  df-hvsub 31566  df-sh 31802  df-ch0 31848  df-shs 31903

This theorem is used by: (None)