Theorem cdj3lem3a 32262

Description: Lemma for cdj3i 32264. Closure of the second-component function 𝑇. (Contributed by NM, 26-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdj3lem2.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
cdj3lem2.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
cdj3lem3.3	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↦ (℩𝑤 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))

Assertion

Ref	Expression
cdj3lem3a	⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑇‘𝐶) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑤,𝐴   𝑥,𝐵,𝑧,𝑤   𝑥,𝐶,𝑧,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem cdj3lem3a

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdj3lem2.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2		cdj3lem2.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
3	1, 2	shseli 31139	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢))
4		cdj3lem3.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↦ (℩𝑤 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
5	1, 2, 4	cdj3lem3 32261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑇‘(𝑣 +ℎ 𝑢)) = 𝑢)
6		simp2 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → 𝑢 ∈ 𝐵)
7	5, 6	eqeltrd 2829	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑇‘(𝑣 +ℎ 𝑢)) ∈ 𝐵)
8	7	3expa 1116	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑇‘(𝑣 +ℎ 𝑢)) ∈ 𝐵)
9		fveq2 6897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (𝑇‘𝐶) = (𝑇‘(𝑣 +ℎ 𝑢)))
10	9	eleq1d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → ((𝑇‘𝐶) ∈ 𝐵 ↔ (𝑇‘(𝑣 +ℎ 𝑢)) ∈ 𝐵))
11	8, 10	imbitrrid 245	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑇‘𝐶) ∈ 𝐵))
12	11	expd 415	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → (𝑇‘𝐶) ∈ 𝐵)))
13	12	com13 88	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (𝑇‘𝐶) ∈ 𝐵)))
14	13	rexlimdvv 3207	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (𝑇‘𝐶) ∈ 𝐵))
15	3, 14	biimtrid 241	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → (𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑇‘𝐶) ∈ 𝐵))
16	15	impcom 407	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑇‘𝐶) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3067   ∩ cin 3946   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6548  ℩crio 7375  (class class class)co 7420   +_ℎ cva 30743   S_ℋ csh 30751   +_ℋ cph 30754  0_ℋc0h 30758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-hilex 30822  ax-hfvadd 30823  ax-hvcom 30824  ax-hvass 30825  ax-hv0cl 30826  ax-hvaddid 30827  ax-hfvmul 30828  ax-hvmulid 30829  ax-hvmulass 30830  ax-hvdistr1 30831  ax-hvdistr2 30832  ax-hvmul0 30833

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-grpo 30316  df-ablo 30368  df-hvsub 30794  df-sh 31030  df-ch0 31076  df-shs 31131

This theorem is referenced by: (None)