HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cdj3lem3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdj3lem3a 32262
Description: Lemma for cdj3i 32264. Closure of the second-component function 𝑇. (Contributed by NM, 26-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj3lem2.1 𝐴S
cdj3lem2.2 𝐵S
cdj3lem3.3 𝑇 = (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↦ (𝑤𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
Assertion
Ref Expression
cdj3lem3a ((𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑇𝐶) ∈ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑤,𝐴   𝑥,𝐵,𝑧,𝑤   𝑥,𝐶,𝑧,𝑤
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem cdj3lem3a
Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdj3lem2.1 . . . 4 𝐴S
2 cdj3lem2.2 . . . 4 𝐵S
31, 2shseli 31139 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑣𝐴𝑢𝐵 𝐶 = (𝑣 + 𝑢))
4 cdj3lem3.3 . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↦ (𝑤𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
51, 2, 4cdj3lem3 32261 . . . . . . . . 9 ((𝑣𝐴𝑢𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑇‘(𝑣 + 𝑢)) = 𝑢)
6 simp2 1135 . . . . . . . . 9 ((𝑣𝐴𝑢𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → 𝑢𝐵)
75, 6eqeltrd 2829 . . . . . . . 8 ((𝑣𝐴𝑢𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑇‘(𝑣 + 𝑢)) ∈ 𝐵)
873expa 1116 . . . . . . 7 (((𝑣𝐴𝑢𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑇‘(𝑣 + 𝑢)) ∈ 𝐵)
9 fveq2 6897 . . . . . . . 8 (𝐶 = (𝑣 + 𝑢) → (𝑇𝐶) = (𝑇‘(𝑣 + 𝑢)))
109eleq1d 2814 . . . . . . 7 (𝐶 = (𝑣 + 𝑢) → ((𝑇𝐶) ∈ 𝐵 ↔ (𝑇‘(𝑣 + 𝑢)) ∈ 𝐵))
118, 10imbitrrid 245 . . . . . 6 (𝐶 = (𝑣 + 𝑢) → (((𝑣𝐴𝑢𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑇𝐶) ∈ 𝐵))
1211expd 415 . . . . 5 (𝐶 = (𝑣 + 𝑢) → ((𝑣𝐴𝑢𝐵) → ((𝐴𝐵) = 0 → (𝑇𝐶) ∈ 𝐵)))
1312com13 88 . . . 4 ((𝐴𝐵) = 0 → ((𝑣𝐴𝑢𝐵) → (𝐶 = (𝑣 + 𝑢) → (𝑇𝐶) ∈ 𝐵)))
1413rexlimdvv 3207 . . 3 ((𝐴𝐵) = 0 → (∃𝑣𝐴𝑢𝐵 𝐶 = (𝑣 + 𝑢) → (𝑇𝐶) ∈ 𝐵))
153, 14biimtrid 241 . 2 ((𝐴𝐵) = 0 → (𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) → (𝑇𝐶) ∈ 𝐵))
1615impcom 407 1 ((𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑇𝐶) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3067  cin 3946  cmpt 5231  cfv 6548  crio 7375  (class class class)co 7420   + cva 30743   S csh 30751   + cph 30754  0c0h 30758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-hilex 30822  ax-hfvadd 30823  ax-hvcom 30824  ax-hvass 30825  ax-hv0cl 30826  ax-hvaddid 30827  ax-hfvmul 30828  ax-hvmulid 30829  ax-hvmulass 30830  ax-hvdistr1 30831  ax-hvdistr2 30832  ax-hvmul0 30833
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-grpo 30316  df-ablo 30368  df-hvsub 30794  df-sh 31030  df-ch0 31076  df-shs 31131
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator