HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cdj3lem3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdj3lem3a 32468
Description: Lemma for cdj3i 32470. Closure of the second-component function 𝑇. (Contributed by NM, 26-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj3lem2.1 𝐴S
cdj3lem2.2 𝐵S
cdj3lem3.3 𝑇 = (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↦ (𝑤𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
Assertion
Ref Expression
cdj3lem3a ((𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑇𝐶) ∈ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑤,𝐴   𝑥,𝐵,𝑧,𝑤   𝑥,𝐶,𝑧,𝑤
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem cdj3lem3a
Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdj3lem2.1 . . . 4 𝐴S
2 cdj3lem2.2 . . . 4 𝐵S
31, 2shseli 31345 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑣𝐴𝑢𝐵 𝐶 = (𝑣 + 𝑢))
4 cdj3lem3.3 . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↦ (𝑤𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
51, 2, 4cdj3lem3 32467 . . . . . . . . 9 ((𝑣𝐴𝑢𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑇‘(𝑣 + 𝑢)) = 𝑢)
6 simp2 1136 . . . . . . . . 9 ((𝑣𝐴𝑢𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → 𝑢𝐵)
75, 6eqeltrd 2839 . . . . . . . 8 ((𝑣𝐴𝑢𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑇‘(𝑣 + 𝑢)) ∈ 𝐵)
873expa 1117 . . . . . . 7 (((𝑣𝐴𝑢𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑇‘(𝑣 + 𝑢)) ∈ 𝐵)
9 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝐶 = (𝑣 + 𝑢) → (𝑇𝐶) = (𝑇‘(𝑣 + 𝑢)))
109eleq1d 2824 . . . . . . 7 (𝐶 = (𝑣 + 𝑢) → ((𝑇𝐶) ∈ 𝐵 ↔ (𝑇‘(𝑣 + 𝑢)) ∈ 𝐵))
118, 10imbitrrid 246 . . . . . 6 (𝐶 = (𝑣 + 𝑢) → (((𝑣𝐴𝑢𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑇𝐶) ∈ 𝐵))
1211expd 415 . . . . 5 (𝐶 = (𝑣 + 𝑢) → ((𝑣𝐴𝑢𝐵) → ((𝐴𝐵) = 0 → (𝑇𝐶) ∈ 𝐵)))
1312com13 88 . . . 4 ((𝐴𝐵) = 0 → ((𝑣𝐴𝑢𝐵) → (𝐶 = (𝑣 + 𝑢) → (𝑇𝐶) ∈ 𝐵)))
1413rexlimdvv 3210 . . 3 ((𝐴𝐵) = 0 → (∃𝑣𝐴𝑢𝐵 𝐶 = (𝑣 + 𝑢) → (𝑇𝐶) ∈ 𝐵))
153, 14biimtrid 242 . 2 ((𝐴𝐵) = 0 → (𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) → (𝑇𝐶) ∈ 𝐵))
1615impcom 407 1 ((𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑇𝐶) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  cin 3962  cmpt 5231  cfv 6563  crio 7387  (class class class)co 7431   + cva 30949   S csh 30957   + cph 30960  0c0h 30964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvmulass 31036  ax-hvdistr1 31037  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-grpo 30522  df-ablo 30574  df-hvsub 31000  df-sh 31236  df-ch0 31282  df-shs 31337
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator