Theorem cdj3lem3 32527

Description: Lemma for cdj3i 32530. Value of the second-component function 𝑇. (Contributed by NM, 23-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdj3lem2.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
cdj3lem2.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
cdj3lem3.3	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↦ (℩𝑤 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))

Assertion

Ref	Expression
cdj3lem3	⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑇‘(𝐶 +ℎ 𝐷)) = 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑤,𝐴   𝑥,𝐵,𝑧,𝑤   𝑥,𝐶,𝑧,𝑤   𝑥,𝐷,𝑧,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem cdj3lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 4138	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐴)
2	1	eqeq1i 2744	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ↔ (𝐵 ∩ 𝐴) = 0ℋ)
3		cdj3lem2.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
4	3	sheli 31303	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝐵 → 𝐷 ∈ ℋ)
5		cdj3lem2.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
6	5	sheli 31303	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ ℋ)
7		ax-hvcom 31090	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐷 +ℎ 𝐶) = (𝐶 +ℎ 𝐷))
8	4, 6, 7	syl2an 602	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐷 +ℎ 𝐶) = (𝐶 +ℎ 𝐷))
9	8	fveq2d 6831	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝑇‘(𝐷 +ℎ 𝐶)) = (𝑇‘(𝐶 +ℎ 𝐷)))
10	9	3adant3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 ∩ 𝐴) = 0ℋ) → (𝑇‘(𝐷 +ℎ 𝐶)) = (𝑇‘(𝐶 +ℎ 𝐷)))
11		cdj3lem3.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↦ (℩𝑤 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
12	3, 5	shscomi 31452	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 +ℋ 𝐴) = (𝐴 +ℋ 𝐵)
13	3	sheli 31303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ ℋ)
14	5	sheli 31303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ ℋ)
15		ax-hvcom 31090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑤 +ℎ 𝑧) = (𝑧 +ℎ 𝑤))
16	13, 14, 15	syl2an 602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑤 +ℎ 𝑧) = (𝑧 +ℎ 𝑤))
17	16	eqeq2d 2750	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 = (𝑤 +ℎ 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
18	17	rexbidva 3161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑤 +ℎ 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
19	18	riotabiia 7333	. . . . . . 7 ⊢ (℩𝑤 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑤 +ℎ 𝑧)) = (℩𝑤 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
20	12, 19	mpteq12i 5169	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 +ℋ 𝐴) ↦ (℩𝑤 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑤 +ℎ 𝑧))) = (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↦ (℩𝑤 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
21	11, 20	eqtr4i 2765	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ (𝐵 +ℋ 𝐴) ↦ (℩𝑤 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑤 +ℎ 𝑧)))
22	3, 5, 21	cdj3lem2 32524	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 ∩ 𝐴) = 0ℋ) → (𝑇‘(𝐷 +ℎ 𝐶)) = 𝐷)
23	10, 22	eqtr3d 2776	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 ∩ 𝐴) = 0ℋ) → (𝑇‘(𝐶 +ℎ 𝐷)) = 𝐷)
24	2, 23	syl3an3b 1413	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑇‘(𝐶 +ℎ 𝐷)) = 𝐷)
25	24	3com12 1129	1 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑇‘(𝐶 +ℎ 𝐷)) = 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063   ∩ cin 3882   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6485  ℩crio 7312  (class class class)co 7356   ℋchba 31008   +_ℎ cva 31009   S_ℋ csh 31017   +_ℋ cph 31020  0_ℋc0h 31024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-hilex 31088  ax-hfvadd 31089  ax-hvcom 31090  ax-hvass 31091  ax-hv0cl 31092  ax-hvaddid 31093  ax-hfvmul 31094  ax-hvmulid 31095  ax-hvmulass 31096  ax-hvdistr1 31097  ax-hvdistr2 31098  ax-hvmul0 31099

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-grpo 30582  df-ablo 30634  df-hvsub 31060  df-sh 31296  df-ch0 31342  df-shs 31397

This theorem is referenced by:  cdj3lem3a  32528  cdj3i  32530