Theorem cdj3lem3 32462

Description: Lemma for cdj3i 32465. Value of the second-component function 𝑇. (Contributed by NM, 23-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdj3lem2.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
cdj3lem2.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
cdj3lem3.3	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↦ (℩𝑤 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))

Assertion

Ref	Expression
cdj3lem3	⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑇‘(𝐶 +ℎ 𝐷)) = 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑤,𝐴   𝑥,𝐵,𝑧,𝑤   𝑥,𝐶,𝑧,𝑤   𝑥,𝐷,𝑧,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem cdj3lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 4159	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐴)
2	1	eqeq1i 2739	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ↔ (𝐵 ∩ 𝐴) = 0ℋ)
3		cdj3lem2.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
4	3	sheli 31238	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝐵 → 𝐷 ∈ ℋ)
5		cdj3lem2.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
6	5	sheli 31238	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ ℋ)
7		ax-hvcom 31025	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐷 +ℎ 𝐶) = (𝐶 +ℎ 𝐷))
8	4, 6, 7	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐷 +ℎ 𝐶) = (𝐶 +ℎ 𝐷))
9	8	fveq2d 6836	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝑇‘(𝐷 +ℎ 𝐶)) = (𝑇‘(𝐶 +ℎ 𝐷)))
10	9	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 ∩ 𝐴) = 0ℋ) → (𝑇‘(𝐷 +ℎ 𝐶)) = (𝑇‘(𝐶 +ℎ 𝐷)))
11		cdj3lem3.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↦ (℩𝑤 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
12	3, 5	shscomi 31387	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 +ℋ 𝐴) = (𝐴 +ℋ 𝐵)
13	3	sheli 31238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ ℋ)
14	5	sheli 31238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ ℋ)
15		ax-hvcom 31025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑤 +ℎ 𝑧) = (𝑧 +ℎ 𝑤))
16	13, 14, 15	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑤 +ℎ 𝑧) = (𝑧 +ℎ 𝑤))
17	16	eqeq2d 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 = (𝑤 +ℎ 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
18	17	rexbidva 3156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑤 +ℎ 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
19	18	riotabiia 7333	. . . . . . 7 ⊢ (℩𝑤 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑤 +ℎ 𝑧)) = (℩𝑤 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
20	12, 19	mpteq12i 5193	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 +ℋ 𝐴) ↦ (℩𝑤 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑤 +ℎ 𝑧))) = (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↦ (℩𝑤 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
21	11, 20	eqtr4i 2760	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ (𝐵 +ℋ 𝐴) ↦ (℩𝑤 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑤 +ℎ 𝑧)))
22	3, 5, 21	cdj3lem2 32459	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 ∩ 𝐴) = 0ℋ) → (𝑇‘(𝐷 +ℎ 𝐶)) = 𝐷)
23	10, 22	eqtr3d 2771	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 ∩ 𝐴) = 0ℋ) → (𝑇‘(𝐶 +ℎ 𝐷)) = 𝐷)
24	2, 23	syl3an3b 1407	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑇‘(𝐶 +ℎ 𝐷)) = 𝐷)
25	24	3com12 1123	1 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑇‘(𝐶 +ℎ 𝐷)) = 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3058   ∩ cin 3898   ↦ cmpt 5177  ‘cfv 6490  ℩crio 7312  (class class class)co 7356   ℋchba 30943   +_ℎ cva 30944   S_ℋ csh 30952   +_ℋ cph 30955  0_ℋc0h 30959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-hilex 31023  ax-hfvadd 31024  ax-hvcom 31025  ax-hvass 31026  ax-hv0cl 31027  ax-hvaddid 31028  ax-hfvmul 31029  ax-hvmulid 31030  ax-hvmulass 31031  ax-hvdistr1 31032  ax-hvdistr2 31033  ax-hvmul0 31034

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-grpo 30517  df-ablo 30569  df-hvsub 30995  df-sh 31231  df-ch0 31277  df-shs 31332

This theorem is referenced by:  cdj3lem3a  32463  cdj3i  32465