Theorem ceile 13642

Description: The ceiling of a real number is the smallest integer greater than or equal to it. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ceile	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → -(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ceile

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ceim1l 13640	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐴)
2	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐴)
3		ceicl 13634	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝐴) ∈ ℤ)
4		zre 12396	. . . . . . 7 ⊢ (-(⌊‘-𝐴) ∈ ℤ → -(⌊‘-𝐴) ∈ ℝ)
5		peano2rem 11361	. . . . . . 7 ⊢ (-(⌊‘-𝐴) ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) ∈ ℝ)
7	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-(⌊‘-𝐴) − 1) ∈ ℝ)
8		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		zre 12396	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
11		ltletr 11140	. . . . 5 ⊢ (((-(⌊‘-𝐴) − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐵))
12	7, 8, 10, 11	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐵))
13	2, 12	mpand 692	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐵))
14		zlem1lt 12445	. . . 4 ⊢ ((-(⌊‘-𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐵))
15	3, 14	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐵))
16	13, 15	sylibrd 258	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → -(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵))
17	16	3impia 1116	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → -(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5087  ‘cfv 6465  (class class class)co 7315  ℝcr 10943  1c1 10945   < clt 11082   ≤ cle 11083   − cmin 11278  -cneg 11279  ℤcz 12392  ⌊cfl 13583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021  ax-pre-sup 11022

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-om 7758  df-2nd 7877  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-er 8546  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-sup 9271  df-inf 9272  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-nn 12047  df-n0 12307  df-z 12393  df-uz 12656  df-fl 13585

This theorem is referenced by:  ceille  13643