MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ceile Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ceile 13847
Description: The ceiling of a real number is the smallest integer greater than or equal to it. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Jun-2007.)
Assertion
Ref Expression
ceile ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) → -(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ceile
StepHypRef Expression
1 ceim1l 13845 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐴)
21adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐴)
3 ceicl 13839 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝐴) ∈ ℤ)
4 zre 12593 . . . . . . 7 (-(⌊‘-𝐴) ∈ ℤ → -(⌊‘-𝐴) ∈ ℝ)
5 peano2rem 11558 . . . . . . 7 (-(⌊‘-𝐴) ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) ∈ ℝ)
63, 4, 53syl 18 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) ∈ ℝ)
76adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-(⌊‘-𝐴) − 1) ∈ ℝ)
8 simpl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 zre 12593 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
109adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
11 ltletr 11337 . . . . 5 (((-(⌊‘-𝐴) − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐴𝐴𝐵) → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐵))
127, 8, 10, 11syl3anc 1369 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐴𝐴𝐵) → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐵))
132, 12mpand 694 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵 → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐵))
14 zlem1lt 12645 . . . 4 ((-(⌊‘-𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐵))
153, 14sylan 579 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐵))
1613, 15sylibrd 259 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵 → -(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵))
17163impia 1115 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) → -(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085  wcel 2099   class class class wbr 5148  cfv 6548  (class class class)co 7420  cr 11138  1c1 11140   < clt 11279  cle 11280  cmin 11475  -cneg 11476  cz 12589  cfl 13788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fl 13790
This theorem is referenced by:  ceille  13848
  Copyright terms: Public domain W3C validator