Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ceile Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ceile 13215
 Description: The ceiling of a real number is the smallest integer greater than or equal to it. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Jun-2007.)
Assertion
Ref Expression
ceile ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) → -(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ceile
StepHypRef Expression
1 ceim1l 13213 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐴)
21adantr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐴)
3 ceicl 13209 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝐴) ∈ ℤ)
4 zre 11976 . . . . . . 7 (-(⌊‘-𝐴) ∈ ℤ → -(⌊‘-𝐴) ∈ ℝ)
5 peano2rem 10945 . . . . . . 7 (-(⌊‘-𝐴) ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) ∈ ℝ)
63, 4, 53syl 18 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) ∈ ℝ)
76adantr 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-(⌊‘-𝐴) − 1) ∈ ℝ)
8 simpl 486 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 zre 11976 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
109adantl 485 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
11 ltletr 10724 . . . . 5 (((-(⌊‘-𝐴) − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐴𝐴𝐵) → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐵))
127, 8, 10, 11syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐴𝐴𝐵) → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐵))
132, 12mpand 694 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵 → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐵))
14 zlem1lt 12025 . . . 4 ((-(⌊‘-𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐵))
153, 14sylan 583 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐵))
1613, 15sylibrd 262 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵 → -(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵))
17163impia 1114 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) → -(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5031  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  ℝcr 10528  1c1 10530   < clt 10667   ≤ cle 10668   − cmin 10862  -cneg 10863  ℤcz 11972  ⌊cfl 13158 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-sup 8893  df-inf 8894  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-fl 13160 This theorem is referenced by:  ceille  13216
 Copyright terms: Public domain W3C validator