MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zlem1lt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlem1lt 12551
Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 13-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
zlem1lt ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))

Proof of Theorem zlem1lt
StepHypRef Expression
1 peano2zm 12542 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
2 zltp1le 12549 . . 3 (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) < 𝑁 ↔ ((𝑀 − 1) + 1) ≤ 𝑁))
31, 2sylan 580 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) < 𝑁 ↔ ((𝑀 − 1) + 1) ≤ 𝑁))
4 zcn 12500 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
5 ax-1cn 11105 . . . . 5 1 ∈ ℂ
6 npcan 11406 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
74, 5, 6sylancl 586 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
87adantr 481 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
98breq1d 5113 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑀 − 1) + 1) ≤ 𝑁𝑀𝑁))
103, 9bitr2d 279 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5103  (class class class)co 7353  cc 11045  1c1 11048   + caddc 11050   < clt 11185  cle 11186  cmin 11381  cz 12495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-n0 12410  df-z 12496
This theorem is referenced by:  nn0lem1lt  12564  nnlem1lt  12565  zbtwnre  12863  uzdisj  13506  nn0disj  13549  fzon  13585  ssfzo12  13657  ceile  13746  cshwidxn  14689  bitsfzolem  16306  bitscmp  16310  bitsinv1lem  16313  hashdvds  16639  logf1o2  25989  ang180lem3  26145  lgsquadlem1  26712  fzsplit3  31580  ballotlemfc0  32961  ballotlemfcc  32962  ballotlemimin  32974  ballotlemfrceq  32997  ballotlemfrcn0  32998  0nn0m1nnn0  33572  poimirlem23  36068  poimirlem24  36069  sticksstones10  40530  metakunt7  40550  metakunt18  40561  metakunt30  40573  irrapxlem3  41085  hashnzfz2  42543  fzdifsuc2  43480  stoweidlem26  44199  fourierdlem12  44292  fzoopth  45491  fpprel2  45865  nnsum3primesle9  45918  evengpop3  45922  zgtp1leeq  46534  m1modmmod  46539  nnolog2flm1  46608
  Copyright terms: Public domain W3C validator