Theorem zlem1lt 12646

Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 13-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zlem1lt	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))

Proof of Theorem zlem1lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 12637	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
2		zltp1le 12644	. . 3 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) < 𝑁 ↔ ((𝑀 − 1) + 1) ≤ 𝑁))
3	1, 2	sylan 591	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) < 𝑁 ↔ ((𝑀 − 1) + 1) ≤ 𝑁))
4		zcn 12596	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
5		ax-1cn 11158	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		npcan 11466	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
7	4, 5, 6	sylancl 597	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
8	7	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
9	8	breq1d 5123	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑀 − 1) + 1) ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
10	3, 9	bitr2d 283	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  1c1 11101   + caddc 11103   < clt 11243   ≤ cle 11244   − cmin 11441  ℤcz 12591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592

This theorem is referenced by:  nn0lem1lt  12661  nnlem1lt  12662  zbtwnre  12970  uzdisj  13625  nn0disj  13672  fzon  13709  ssfzo12  13788  fzoopth  13791  ceile  13882  cshwidxn  14846  bitsfzolem  16492  bitscmp  16496  bitsinv1lem  16499  hashdvds  16834  logf1o2  26781  ang180lem3  26942  lgsquadlem1  27510  fzsplit3  33079  cos9thpiminplylem1  34117  ballotlemfc0  34828  ballotlemfcc  34829  ballotlemimin  34841  ballotlemfrceq  34864  ballotlemfrcn0  34865  0nn0m1nnn0  35537  poimirlem23  38216  poimirlem24  38217  sticksstones10  42846  irrapxlem3  43477  hashnzfz2  44957  fzdifsuc2  45955  stoweidlem26  46666  fourierdlem12  46759  m1modmmod  48024  fpprel2  48429  nnsum3primesle9  48482  evengpop3  48486  zgtp1leeq  49220  nnolog2flm1  49289