Theorem ceim1l 13908

Description: One less than the ceiling of a real number is strictly less than that number. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ceim1l	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ceim1l

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 11545	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2		reflcl 13857	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐴) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11261	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐴) ∈ ℂ)
5		ax-1cn 11182	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		negdi 11539	. . . 4 ⊢ (((⌊‘-𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((⌊‘-𝐴) + 1) = (-(⌊‘-𝐴) + -1))
7	4, 5, 6	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -((⌊‘-𝐴) + 1) = (-(⌊‘-𝐴) + -1))
8	4	negcld 11580	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝐴) ∈ ℂ)
9		negsub 11530	. . . 4 ⊢ ((-(⌊‘-𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (-(⌊‘-𝐴) + -1) = (-(⌊‘-𝐴) − 1))
10	8, 5, 9	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐴) + -1) = (-(⌊‘-𝐴) − 1))
11	7, 10	eqtr2d 2796	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) = -((⌊‘-𝐴) + 1))
12		peano2re 11407	. . . 4 ⊢ ((⌊‘-𝐴) ∈ ℝ → ((⌊‘-𝐴) + 1) ∈ ℝ)
13	3, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘-𝐴) + 1) ∈ ℝ)
14		flltp1 13861	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 < ((⌊‘-𝐴) + 1))
15	1, 14	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 < ((⌊‘-𝐴) + 1))
16	15	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘-𝐴) + 1) ∈ ℝ) → -𝐴 < ((⌊‘-𝐴) + 1))
17		ltnegcon1 11739	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘-𝐴) + 1) ∈ ℝ) → (-𝐴 < ((⌊‘-𝐴) + 1) ↔ -((⌊‘-𝐴) + 1) < 𝐴))
18	16, 17	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘-𝐴) + 1) ∈ ℝ) → -((⌊‘-𝐴) + 1) < 𝐴)
19	13, 18	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -((⌊‘-𝐴) + 1) < 𝐴)
20	11, 19	eqbrtrd 5127	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  ℝcr 11123  1c1 11125   + caddc 11127   < clt 11267   − cmin 11465  -cneg 11466  ⌊cfl 13851

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fl 13853

This theorem is used by:  ceilm1lt  13909  ceile  13910  ltflcei  38362