Theorem decmul1 12798

Description: The product of a numeral with a number (no carry). (Contributed by AV, 22-Jul-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.) Remove hypothesis 𝐷 ∈ ℕ₀. (Revised by Steven Nguyen, 7-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmul1.p	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
decmul1.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decmul1.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decmul1.n	⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵
decmul1.c	⊢ (𝐴 · 𝑃) = 𝐶
decmul1.d	⊢ (𝐵 · 𝑃) = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
decmul1	⊢ (𝑁 · 𝑃) = ;𝐶𝐷

Proof of Theorem decmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decmul1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵
2		decmul1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		decmul1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12744	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0
5	1, 4	eqeltri 2862	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
6		decmul1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
7	5, 6	num0u 12740	. 2 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑁 · 𝑃) + 0)
8		0nn0 12537	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
9		decmul1.c	. . 3 ⊢ (𝐴 · 𝑃) = 𝐶
10	3, 6	nn0mulcli 12560	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 · 𝑃) ∈ ℕ0
11	10	nn0cni 12534	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑃) ∈ ℂ
12	11	addridi 11415	. . . 4 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 0) = (𝐵 · 𝑃)
13		decmul1.d	. . . 4 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = 𝐷
14	12, 13	eqtri 2789	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 0) = 𝐷
15	2, 3, 8, 1, 6, 9, 14	decrmanc 12791	. 2 ⊢ ((𝑁 · 𝑃) + 0) = ;𝐶𝐷
16	7, 15	eqtri 2789	1 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ;𝐶𝐷

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423  0cc0 11118   + caddc 11121   · cmul 11123  ℕ₀cn0 12522  ;cdc 12729

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-dec 12730

This theorem is used by:  2exp7  17172  37prm  17206  1259lem3  17218  1259lem4  17219  2503lem1  17222  2503lem2  17223  4001lem1  17226  4001lem2  17227  4001lem3  17228  4001prm  17230  log2ublem3  27150  log2ub  27151  bpos1  27484  ex-prmo  30847  dpmul  33269  60gcd6e6  42812  decpmulnc  43089  sqdeccom12  43091  ex-decpmul  43108  fmtno5lem3  48348  fmtno4prmfac193  48366  fmtno4nprmfac193  48367  fmtno5faclem1  48372  fmtno5faclem2  48373