MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decmul1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decmul1 12614
Description: The product of a numeral with a number (no carry). (Contributed by AV, 22-Jul-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.) Remove hypothesis ๐ท โˆˆ โ„•0. (Revised by Steven Nguyen, 7-Dec-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
decmul1.p ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0
decmul1.a ๐ด โˆˆ โ„•0
decmul1.b ๐ต โˆˆ โ„•0
decmul1.n ๐‘ = ๐ด๐ต
decmul1.c (๐ด ยท ๐‘ƒ) = ๐ถ
decmul1.d (๐ต ยท ๐‘ƒ) = ๐ท
Assertion
Ref Expression
decmul1 (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ๐ถ๐ท

Proof of Theorem decmul1
StepHypRef Expression
1 decmul1.n . . . 4 ๐‘ = ๐ด๐ต
2 decmul1.a . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„•0
3 decmul1.b . . . . 5 ๐ต โˆˆ โ„•0
42, 3deccl 12565 . . . 4 ๐ด๐ต โˆˆ โ„•0
51, 4eqeltri 2834 . . 3 ๐‘ โˆˆ โ„•0
6 decmul1.p . . 3 ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0
75, 6num0u 12561 . 2 (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐‘ ยท ๐‘ƒ) + 0)
8 0nn0 12361 . . 3 0 โˆˆ โ„•0
9 decmul1.c . . 3 (๐ด ยท ๐‘ƒ) = ๐ถ
103, 6nn0mulcli 12384 . . . . . 6 (๐ต ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„•0
1110nn0cni 12358 . . . . 5 (๐ต ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚
1211addid1i 11275 . . . 4 ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + 0) = (๐ต ยท ๐‘ƒ)
13 decmul1.d . . . 4 (๐ต ยท ๐‘ƒ) = ๐ท
1412, 13eqtri 2765 . . 3 ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + 0) = ๐ท
152, 3, 8, 1, 6, 9, 14decrmanc 12607 . 2 ((๐‘ ยท ๐‘ƒ) + 0) = ๐ถ๐ท
167, 15eqtri 2765 1 (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ๐ถ๐ท
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  (class class class)co 7349  0cc0 10984   + caddc 10987   ยท cmul 10989  โ„•0cn0 12346  cdc 12550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7352  df-om 7793  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-ltxr 11127  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-4 12151  df-5 12152  df-6 12153  df-7 12154  df-8 12155  df-9 12156  df-n0 12347  df-dec 12551
This theorem is referenced by:  2exp7  16894  37prm  16927  1259lem3  16939  1259lem4  16940  2503lem1  16943  2503lem2  16944  4001lem1  16947  4001lem2  16948  4001lem3  16949  4001prm  16951  log2ublem3  26220  log2ub  26221  bpos1  26553  ex-prmo  29201  dpmul  31563  60gcd6e6  40356  decpmulnc  40669  sqdeccom12  40671  ex-decpmul  40674  fmtno5lem3  45496  fmtno4prmfac193  45514  fmtno4nprmfac193  45515  fmtno5faclem1  45520  fmtno5faclem2  45521
  Copyright terms: Public domain W3C validator