Theorem decmul1 12780

Description: The product of a numeral with a number (no carry). (Contributed by AV, 22-Jul-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.) Remove hypothesis 𝐷 ∈ ℕ₀. (Revised by Steven Nguyen, 7-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmul1.p	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
decmul1.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decmul1.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decmul1.n	⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵
decmul1.c	⊢ (𝐴 · 𝑃) = 𝐶
decmul1.d	⊢ (𝐵 · 𝑃) = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
decmul1	⊢ (𝑁 · 𝑃) = ;𝐶𝐷

Proof of Theorem decmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decmul1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵
2		decmul1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		decmul1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12731	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0
5	1, 4	eqeltri 2829	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
6		decmul1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
7	5, 6	num0u 12727	. 2 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑁 · 𝑃) + 0)
8		0nn0 12524	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
9		decmul1.c	. . 3 ⊢ (𝐴 · 𝑃) = 𝐶
10	3, 6	nn0mulcli 12547	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 · 𝑃) ∈ ℕ0
11	10	nn0cni 12521	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑃) ∈ ℂ
12	11	addridi 11430	. . . 4 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 0) = (𝐵 · 𝑃)
13		decmul1.d	. . . 4 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = 𝐷
14	12, 13	eqtri 2757	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 0) = 𝐷
15	2, 3, 8, 1, 6, 9, 14	decrmanc 12773	. 2 ⊢ ((𝑁 · 𝑃) + 0) = ;𝐶𝐷
16	7, 15	eqtri 2757	1 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ;𝐶𝐷

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7413  0cc0 11137   + caddc 11140   · cmul 11142  ℕ₀cn0 12509  ;cdc 12716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7416  df-om 7870  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-ltxr 11282  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-dec 12717

This theorem is referenced by:  2exp7  17108  37prm  17141  1259lem3  17153  1259lem4  17154  2503lem1  17157  2503lem2  17158  4001lem1  17161  4001lem2  17162  4001lem3  17163  4001prm  17165  log2ublem3  26928  log2ub  26929  bpos1  27264  ex-prmo  30407  dpmul  32840  60gcd6e6  41980  decpmulnc  42301  sqdeccom12  42303  ex-decpmul  42319  fmtno5lem3  47515  fmtno4prmfac193  47533  fmtno4nprmfac193  47534  fmtno5faclem1  47539  fmtno5faclem2  47540