MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decmul1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decmul1 12236
Description: The product of a numeral with a number (no carry). (Contributed by AV, 22-Jul-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.) Remove hypothesis 𝐷 ∈ ℕ0. (Revised by Steven Nguyen, 7-Dec-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
decmul1.p 𝑃 ∈ ℕ0
decmul1.a 𝐴 ∈ ℕ0
decmul1.b 𝐵 ∈ ℕ0
decmul1.n 𝑁 = 𝐴𝐵
decmul1.c (𝐴 · 𝑃) = 𝐶
decmul1.d (𝐵 · 𝑃) = 𝐷
Assertion
Ref Expression
decmul1 (𝑁 · 𝑃) = 𝐶𝐷

Proof of Theorem decmul1
StepHypRef Expression
1 decmul1.n . . . 4 𝑁 = 𝐴𝐵
2 decmul1.a . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
3 decmul1.b . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12187 . . . 4 𝐴𝐵 ∈ ℕ0
51, 4eqeltri 2829 . . 3 𝑁 ∈ ℕ0
6 decmul1.p . . 3 𝑃 ∈ ℕ0
75, 6num0u 12183 . 2 (𝑁 · 𝑃) = ((𝑁 · 𝑃) + 0)
8 0nn0 11984 . . 3 0 ∈ ℕ0
9 decmul1.c . . 3 (𝐴 · 𝑃) = 𝐶
103, 6nn0mulcli 12007 . . . . . 6 (𝐵 · 𝑃) ∈ ℕ0
1110nn0cni 11981 . . . . 5 (𝐵 · 𝑃) ∈ ℂ
1211addid1i 10898 . . . 4 ((𝐵 · 𝑃) + 0) = (𝐵 · 𝑃)
13 decmul1.d . . . 4 (𝐵 · 𝑃) = 𝐷
1412, 13eqtri 2761 . . 3 ((𝐵 · 𝑃) + 0) = 𝐷
152, 3, 8, 1, 6, 9, 14decrmanc 12229 . 2 ((𝑁 · 𝑃) + 0) = 𝐶𝐷
167, 15eqtri 2761 1 (𝑁 · 𝑃) = 𝐶𝐷
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2113  (class class class)co 7164  0cc0 10608   + caddc 10611   · cmul 10613  0cn0 11969  cdc 12172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-ov 7167  df-om 7594  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-ltxr 10751  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-dec 12173
This theorem is referenced by:  2exp7  16517  37prm  16550  1259lem3  16562  1259lem4  16563  2503lem1  16566  2503lem2  16567  4001lem1  16570  4001lem2  16571  4001lem3  16572  4001prm  16574  log2ublem3  25678  log2ub  25679  bpos1  26011  ex-prmo  28388  dpmul  30754  60gcd6e6  39621  decpmulnc  39875  sqdeccom12  39877  ex-decpmul  39880  fmtno5lem3  44525  fmtno4prmfac193  44543  fmtno4nprmfac193  44544  fmtno5faclem1  44549  fmtno5faclem2  44550
  Copyright terms: Public domain W3C validator