MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decmul1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decmul1 12154
Description: The product of a numeral with a number (no carry). (Contributed by AV, 22-Jul-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.) Remove hypothesis 𝐷 ∈ ℕ0. (Revised by Steven Nguyen, 7-Dec-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
decmul1.p 𝑃 ∈ ℕ0
decmul1.a 𝐴 ∈ ℕ0
decmul1.b 𝐵 ∈ ℕ0
decmul1.n 𝑁 = 𝐴𝐵
decmul1.c (𝐴 · 𝑃) = 𝐶
decmul1.d (𝐵 · 𝑃) = 𝐷
Assertion
Ref Expression
decmul1 (𝑁 · 𝑃) = 𝐶𝐷

Proof of Theorem decmul1
StepHypRef Expression
1 decmul1.n . . . 4 𝑁 = 𝐴𝐵
2 decmul1.a . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
3 decmul1.b . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12105 . . . 4 𝐴𝐵 ∈ ℕ0
51, 4eqeltri 2913 . . 3 𝑁 ∈ ℕ0
6 decmul1.p . . 3 𝑃 ∈ ℕ0
75, 6num0u 12101 . 2 (𝑁 · 𝑃) = ((𝑁 · 𝑃) + 0)
8 0nn0 11904 . . 3 0 ∈ ℕ0
9 decmul1.c . . 3 (𝐴 · 𝑃) = 𝐶
103, 6nn0mulcli 11927 . . . . . 6 (𝐵 · 𝑃) ∈ ℕ0
1110nn0cni 11901 . . . . 5 (𝐵 · 𝑃) ∈ ℂ
1211addid1i 10819 . . . 4 ((𝐵 · 𝑃) + 0) = (𝐵 · 𝑃)
13 decmul1.d . . . 4 (𝐵 · 𝑃) = 𝐷
1412, 13eqtri 2848 . . 3 ((𝐵 · 𝑃) + 0) = 𝐷
152, 3, 8, 1, 6, 9, 14decrmanc 12147 . 2 ((𝑁 · 𝑃) + 0) = 𝐶𝐷
167, 15eqtri 2848 1 (𝑁 · 𝑃) = 𝐶𝐷
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1530  wcel 2107  (class class class)co 7151  0cc0 10529   + caddc 10532   · cmul 10534  0cn0 11889  cdc 12090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-ov 7154  df-om 7572  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-ltxr 10672  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-dec 12091
This theorem is referenced by:  37prm  16446  1259lem3  16458  1259lem4  16459  2503lem1  16462  2503lem2  16463  4001lem1  16466  4001lem2  16467  4001lem3  16468  4001prm  16470  log2ublem3  25440  log2ub  25441  bpos1  25773  ex-prmo  28152  dpmul  30503  decpmulnc  39036  sqdeccom12  39038  ex-decpmul  39041  fmtno5lem3  43545  fmtno4prmfac193  43563  fmtno4nprmfac193  43564  fmtno5faclem1  43569  fmtno5faclem2  43570  2exp7  43590
  Copyright terms: Public domain W3C validator