Theorem decmul1 12913

Description: The product of a numeral with a number (no carry). (Contributed by AV, 22-Jul-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.) Remove hypothesis 𝐷 ∈ ℕ₀. (Revised by Steven Nguyen, 7-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmul1.p	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
decmul1.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decmul1.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decmul1.n	⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵
decmul1.c	⊢ (𝐴 · 𝑃) = 𝐶
decmul1.d	⊢ (𝐵 · 𝑃) = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
decmul1	⊢ (𝑁 · 𝑃) = ;𝐶𝐷

Proof of Theorem decmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decmul1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵
2		decmul1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		decmul1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12859	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0
5	1, 4	eqeltri 2860	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
6		decmul1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
7	5, 6	num0u 12855	. 2 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑁 · 𝑃) + 0)
8		0nn0 12651	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
9		decmul1.c	. . 3 ⊢ (𝐴 · 𝑃) = 𝐶
10	3, 6	nn0mulcli 12674	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 · 𝑃) ∈ ℕ0
11	10	nn0cni 12648	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑃) ∈ ℂ
12	11	addridi 11527	. . . 4 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 0) = (𝐵 · 𝑃)
13		decmul1.d	. . . 4 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = 𝐷
14	12, 13	eqtri 2786	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 0) = 𝐷
15	2, 3, 8, 1, 6, 9, 14	decrmanc 12906	. 2 ⊢ ((𝑁 · 𝑃) + 0) = ;𝐶𝐷
16	7, 15	eqtri 2786	1 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ;𝐶𝐷

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7446  0cc0 11230   + caddc 11233   · cmul 11235  ℕ₀cn0 12636  ;cdc 12844

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-ltxr 11378  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-dec 12845

This theorem is used by:  2exp7  17297  37prm  17331  1259lem3  17343  1259lem4  17344  2503lem1  17347  2503lem2  17348  4001lem1  17351  4001lem2  17352  4001lem3  17353  4001prm  17355  log2ublem3  27309  log2ub  27310  bpos1  27643  ex-prmo  31093  dpmul  33552  60gcd6e6  43257  decpmulnc  43548  sqdeccom12  43550  ex-decpmul  43567  fmtno5lem3  48855  fmtno4prmfac193  48873  fmtno4nprmfac193  48874  fmtno5faclem1  48879  fmtno5faclem2  48880