Theorem decmul1 12430

Description: The product of a numeral with a number (no carry). (Contributed by AV, 22-Jul-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.) Remove hypothesis 𝐷 ∈ ℕ₀. (Revised by Steven Nguyen, 7-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmul1.p	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
decmul1.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decmul1.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decmul1.n	⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵
decmul1.c	⊢ (𝐴 · 𝑃) = 𝐶
decmul1.d	⊢ (𝐵 · 𝑃) = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
decmul1	⊢ (𝑁 · 𝑃) = ;𝐶𝐷

Proof of Theorem decmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decmul1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵
2		decmul1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		decmul1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12381	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0
5	1, 4	eqeltri 2835	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
6		decmul1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
7	5, 6	num0u 12377	. 2 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑁 · 𝑃) + 0)
8		0nn0 12178	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
9		decmul1.c	. . 3 ⊢ (𝐴 · 𝑃) = 𝐶
10	3, 6	nn0mulcli 12201	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 · 𝑃) ∈ ℕ0
11	10	nn0cni 12175	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑃) ∈ ℂ
12	11	addid1i 11092	. . . 4 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 0) = (𝐵 · 𝑃)
13		decmul1.d	. . . 4 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = 𝐷
14	12, 13	eqtri 2766	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 0) = 𝐷
15	2, 3, 8, 1, 6, 9, 14	decrmanc 12423	. 2 ⊢ ((𝑁 · 𝑃) + 0) = ;𝐶𝐷
16	7, 15	eqtri 2766	1 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ;𝐶𝐷

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  0cc0 10802   + caddc 10805   · cmul 10807  ℕ₀cn0 12163  ;cdc 12366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-dec 12367

This theorem is referenced by:  2exp7  16717  37prm  16750  1259lem3  16762  1259lem4  16763  2503lem1  16766  2503lem2  16767  4001lem1  16770  4001lem2  16771  4001lem3  16772  4001prm  16774  log2ublem3  26003  log2ub  26004  bpos1  26336  ex-prmo  28724  dpmul  31089  60gcd6e6  39940  decpmulnc  40236  sqdeccom12  40238  ex-decpmul  40241  fmtno5lem3  44895  fmtno4prmfac193  44913  fmtno4nprmfac193  44914  fmtno5faclem1  44919  fmtno5faclem2  44920