Theorem dfz12s2 28659

Description: The set of dyadic fractions is the same as the old set of ω. (Contributed by Scott Fenton, 26-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dfz12s2	⊢ ℤs[1/2] = ( O ‘ω)

Proof of Theorem dfz12s2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		z12no 28647	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤs[1/2] → 𝑥 ∈ No )
2		oldno 28015	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ( O ‘ω) → 𝑥 ∈ No )
3		bdayfin 28658	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ No → (𝑥 ∈ ℤs[1/2] ↔ ( bday ‘𝑥) ∈ ω))
4		omelon 9616	. . . . 5 ⊢ ω ∈ On
5		oldbday 28072	. . . . 5 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ No ) → (𝑥 ∈ ( O ‘ω) ↔ ( bday ‘𝑥) ∈ ω))
6	4, 5	mpan 702	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ No → (𝑥 ∈ ( O ‘ω) ↔ ( bday ‘𝑥) ∈ ω))
7	3, 6	bitr4d 285	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ No → (𝑥 ∈ ℤs[1/2] ↔ 𝑥 ∈ ( O ‘ω)))
8	1, 2, 7	pm5.21nii 381	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℤs[1/2] ↔ 𝑥 ∈ ( O ‘ω))
9	8	eqriv 2760	1 ⊢ ℤs[1/2] = ( O ‘ω)

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Oncon0 6362  ‘cfv 6538  ωcom 7863   No csur 27782   bday cbday 27784   O cold 27994  ℤ_s[1/2]cz12s 28585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-dc 10431  ax-ac2 10448

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-nadd 8653  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-fin 8948  df-card 9926  df-acn 9929  df-ac 10101  df-no 27785  df-lts 27786  df-bday 27787  df-les 27887  df-slts 27929  df-cuts 27931  df-0s 27978  df-1s 27979  df-made 27998  df-old 27999  df-left 28001  df-right 28002  df-norec 28109  df-norec2 28120  df-adds 28131  df-negs 28192  df-subs 28193  df-muls 28278  df-divs 28359  df-ons 28423  df-seqs 28455  df-n0s 28485  df-nns 28486  df-zs 28550  df-2s 28582  df-exps 28584  df-z12s 28586

This theorem is referenced by: (None)