Theorem dfz12s2 28505

Description: The set of dyadic fractions is the same as the old set of ω. (Contributed by Scott Fenton, 26-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dfz12s2	⊢ ℤs[1/2] = ( O ‘ω)

Proof of Theorem dfz12s2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		z12no 28493	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤs[1/2] → 𝑥 ∈ No )
2		oldno 27861	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ( O ‘ω) → 𝑥 ∈ No )
3		bdayfin 28504	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ No → (𝑥 ∈ ℤs[1/2] ↔ ( bday ‘𝑥) ∈ ω))
4		omelon 9565	. . . . 5 ⊢ ω ∈ On
5		oldbday 27918	. . . . 5 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ No ) → (𝑥 ∈ ( O ‘ω) ↔ ( bday ‘𝑥) ∈ ω))
6	4, 5	mpan 696	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ No → (𝑥 ∈ ( O ‘ω) ↔ ( bday ‘𝑥) ∈ ω))
7	3, 6	bitr4d 283	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ No → (𝑥 ∈ ℤs[1/2] ↔ 𝑥 ∈ ( O ‘ω)))
8	1, 2, 7	pm5.21nii 379	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℤs[1/2] ↔ 𝑥 ∈ ( O ‘ω))
9	8	eqriv 2737	1 ⊢ ℤs[1/2] = ( O ‘ω)

Syntax hints:   ↔ wb 207   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Oncon0 6317  ‘cfv 6492  ωcom 7813   No csur 27628   bday cbday 27630   O cold 27840  ℤ_s[1/2]cz12s 28431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-dc 10366  ax-ac2 10383

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-ot 4571  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-nadd 8599  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-fin 8894  df-card 9861  df-acn 9864  df-ac 10036  df-no 27631  df-lts 27632  df-bday 27633  df-les 27734  df-slts 27775  df-cuts 27777  df-0s 27824  df-1s 27825  df-made 27844  df-old 27845  df-left 27847  df-right 27848  df-norec 27955  df-norec2 27966  df-adds 27977  df-negs 28038  df-subs 28039  df-muls 28124  df-divs 28205  df-ons 28269  df-seqs 28301  df-n0s 28331  df-nns 28332  df-zs 28396  df-2s 28428  df-exps 28430  df-z12s 28432

This theorem is referenced by: (None)