Theorem dvdsn1add 42947

Description: If 𝐾 divides 𝑁 but 𝐾 does not divide 𝑀, then 𝐾 does not divide (𝑀 + 𝑁). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsn1add	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((¬ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → ¬ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)))

Proof of Theorem dvdsn1add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		zaddcl 12061	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
3	2	3adant1 1127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
4		simp3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	1, 3, 4	3jca 1125	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
6	5	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
7		pm3.22 463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∥ 𝑁 ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → (𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁))
8	7	adantll 713	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → (𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁))
9		dvds2sub 15692	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)))
10	6, 8, 9	sylc 65	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → 𝐾 ∥ ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))
11		zcn 12025	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
12	11	3ad2ant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
13	12	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℂ)
14	4	zcnd 12127	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
15	14	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
16	13, 15	pncand 11036	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
17	10, 16	breqtrd 5058	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → 𝐾 ∥ 𝑀)
18	17	adantlrl 719	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (¬ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → 𝐾 ∥ 𝑀)
19		simplrl 776	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (¬ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → ¬ 𝐾 ∥ 𝑀)
20	18, 19	pm2.65da 816	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (¬ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)) → ¬ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁))
21	20	ex 416	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((¬ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → ¬ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5032  (class class class)co 7150  ℂcc 10573   + caddc 10578   − cmin 10908  ℤcz 12020   ∥ cdvds 15655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-n0 11935  df-z 12021  df-dvds 15656

This theorem is referenced by: (None)