Theorem dvdsn1add 43370

Description: If 𝐾 divides 𝑁 but 𝐾 does not divide 𝑀, then 𝐾 does not divide (𝑀 + 𝑁). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsn1add	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((¬ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → ¬ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)))

Proof of Theorem dvdsn1add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		zaddcl 12290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
3	2	3adant1 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
4		simp3 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	1, 3, 4	3jca 1126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
6	5	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
7		pm3.22 459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∥ 𝑁 ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → (𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁))
8	7	adantll 710	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → (𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁))
9		dvds2sub 15928	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)))
10	6, 8, 9	sylc 65	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → 𝐾 ∥ ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))
11		zcn 12254	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
12	11	3ad2ant2 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
13	12	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℂ)
14	4	zcnd 12356	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
15	14	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
16	13, 15	pncand 11263	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
17	10, 16	breqtrd 5096	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → 𝐾 ∥ 𝑀)
18	17	adantlrl 716	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (¬ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → 𝐾 ∥ 𝑀)
19		simplrl 773	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (¬ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → ¬ 𝐾 ∥ 𝑀)
20	18, 19	pm2.65da 813	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (¬ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)) → ¬ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁))
21	20	ex 412	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((¬ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → ¬ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℂcc 10800   + caddc 10805   − cmin 11135  ℤcz 12249   ∥ cdvds 15891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-dvds 15892

This theorem is referenced by: (None)