Theorem dvdsn1add 46694

Description: If 𝐾 divides 𝑁 but 𝐾 does not divide 𝑀, then 𝐾 does not divide (𝑀 + 𝑁). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsn1add	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((¬ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → ¬ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)))

Proof of Theorem dvdsn1add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		zaddcl 12652	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
3	2	3adant1 1148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
4		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	1, 3, 4	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
6	5	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
7		pm3.22 465	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∥ 𝑁 ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → (𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁))
8	7	adantll 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → (𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁))
9		dvds2sub 16374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)))
10	6, 8, 9	sylc 66	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → 𝐾 ∥ ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))
11		zcn 12614	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
12	11	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
13	12	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℂ)
14	4	zcnd 12719	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
15	14	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
16	13, 15	pncand 11588	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
17	10, 16	breqtrd 5142	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → 𝐾 ∥ 𝑀)
18	17	adantlrl 733	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (¬ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → 𝐾 ∥ 𝑀)
19		simplrl 789	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (¬ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → ¬ 𝐾 ∥ 𝑀)
20	18, 19	pm2.65da 829	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (¬ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)) → ¬ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁))
21	20	ex 418	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((¬ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → ¬ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  (class class class)co 7423  ℂcc 11116   + caddc 11121   − cmin 11459  ℤcz 12609   ∥ cdvds 16335

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-dvds 16336

This theorem is used by: (None)