MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz2nn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfz2nn0 12986
Description: Membership in a finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfz2nn0 (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁))

Proof of Theorem elfz2nn0
StepHypRef Expression
1 elnn0uz 12271 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (ℤ‘0))
21anbi1i 623 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)))
3 eluznn0 12305 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4 eluzle 12244 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 𝐾𝑁)
54adantl 482 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾𝑁)
63, 5jca 512 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁))
7 nn0z 11993 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
8 nn0z 11993 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
9 eluz 12245 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ↔ 𝐾𝑁))
107, 8, 9syl2an 595 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ↔ 𝐾𝑁))
1110biimprd 249 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑁𝑁 ∈ (ℤ𝐾)))
1211impr 455 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
136, 12impbida 797 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁)))
1413pm5.32i 575 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁)))
152, 14bitr3i 278 . 2 ((𝐾 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁)))
16 elfzuzb 12890 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)))
17 3anass 1087 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁)))
1815, 16, 173bitr4i 304 1 (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396  w3a 1079  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  0cc0 10525  cle 10664  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  ...cfz 12880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881
This theorem is referenced by:  elfznn0  12988  elfz3nn0  12989  0elfz  12992  fz0to3un2pr  12997  elfz0ubfz0  12999  elfz0fzfz0  13000  fz0fzelfz0  13001  uzsubfz0  13003  fz0fzdiffz0  13004  elfzmlbm  13005  elfzmlbp  13006  difelfzle  13008  difelfznle  13009  fvffz0  13013  fzofzim  13072  elfzodifsumelfzo  13091  elfzom1elp1fzo  13092  fzo0to42pr  13112  fzo0sn0fzo1  13114  elfznelfzo  13130  fvinim0ffz  13144  ssnn0fi  13341  fsuppmapnn0fiub  13347  fsuppmapnn0fiub0  13349  suppssfz  13350  1elfz0hash  13739  swrdnd0  14007  swrdlen2  14010  swrdfv2  14011  pfxn0  14036  pfxnd0  14038  pfxeq  14046  swrdswrdlem  14054  swrdswrd  14055  swrdccatin1  14075  pfxccatin12lem1  14078  pfxccatin12lem2  14081  pfxccatin12lem3  14082  pfxccatin12  14083  pfxccat3  14084  swrdccat  14085  pfxccat3a  14088  swrdccat3blem  14089  2cshwcshw  14175  cshwcshid  14177  cshwcsh2id  14178  swrds2  14290  pfx2  14297  prm23lt5  16139  psgnunilem2  18552  gsummoncoe1  20400  mp2pm2mplem4  21345  chfacfisf  21390  chfacfisfcpmat  21391  chfacfpmmulgsum2  21401  aannenlem2  24845  chtublem  25714  lgsquadlem2  25884  pntpbnd2  26090  usgrexmplef  26968  usgr2pthlem  27471  crctcshwlkn0lem4  27518  crctcshwlkn0lem7  27521  crctcshwlkn0  27526  wwlksm1edg  27586  wwlksnred  27597  wwlksnextproplem3  27617  erclwwlkref  27725  clwwlkf  27753  wwlksubclwwlk  27764  upgr4cycl4dv4e  27891  konigsbergiedgw  27954  konigsberglem1  27958  konigsberglem2  27959  konigsberglem3  27960  konigsberglem4  27961  numclwlk2lem2f  28083  bcm1n  30444  eulerpartlemd  31523  ballotth  31694  plymulx0  31716  poimirlem6  34779  poimirlem7  34780  poimirlem28  34801  nnubfi  34906  nninfnub  34907  irrapxlem1  39297  jm2.27a  39480  stoweidlem17  42179  elfz2z  43392  2elfz3nn0  43393  2elfz2melfz  43395  iccpartigtl  43460  iccpartlt  43461  fmtnodvds  43583  fmtnole4prm  43617
  Copyright terms: Public domain W3C validator