Theorem elfz2nn0 13663

Description: Membership in a finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfz2nn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elfz2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0uz 12919	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
2	1	anbi1i 636	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
3		eluznn0 12957	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		eluzle 12891	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
5	4	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ≤ 𝑁)
6	3, 5	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
7		nn0z 12630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
8		nn0z 12630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
9		eluz 12892	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
10	7, 8, 9	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
11	10	biimprd 251	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
12	11	impr 460	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
13	6, 12	impbida 813	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
14	13	pm5.32i 585	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
15	2, 14	bitr3i 280	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
16		elfzuzb 13562	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
17		3anass 1111	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
18	15, 16, 17	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11115   ≤ cle 11259  ℕ₀cn0 12519  ℤcz 12606  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13551

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552

This theorem is used by:  elfznn0  13665  elfz3nn0  13666  0elfz  13669  fz0to3un2pr  13674  elfz0ubfz0  13677  elfz0fzfz0  13678  fz0fzelfz0  13679  uzsubfz0  13681  fz0fzdiffz0  13682  elfzmlbm  13683  elfzmlbp  13684  difelfzle  13686  difelfznle  13687  fvffz0  13691  fzofzim  13755  elfzodifsumelfzo  13777  elfzom1elp1fzo  13778  fzo0to42pr  13799  fzo0sn0fzo1  13801  elfznelfzo  13819  fvinim0ffz  13835  ssnn0fi  14039  fsuppmapnn0fiub  14045  fsuppmapnn0fiub0  14047  suppssfz  14048  1elfz0hash  14444  swrdnd0  14717  swrdlen2  14720  swrdfv2  14721  pfxn0  14746  pfxnd0  14748  pfxeq  14755  swrdswrdlem  14763  swrdswrd  14764  swrdccatin1  14784  pfxccatin12lem1  14787  pfxccatin12lem2  14790  pfxccatin12lem3  14791  pfxccatin12  14792  pfxccat3  14793  swrdccat  14794  pfxccat3a  14797  swrdccat3blem  14798  2cshwcshw  14886  cshwcshid  14888  cshwcsh2id  14889  swrds2  15001  pfx2  15008  prm23lt5  16896  psgnunilem2  19609  gsummoncoe1  22518  mp2pm2mplem4  23016  chfacfisf  23061  chfacfisfcpmat  23062  chfacfpmmulgsum2  23072  plyn0mulidp  26493  aannenlem2  26543  chtublem  27426  lgsquadlem2  27596  pntpbnd2  27802  usgrexmplef  29667  usgr2pthlem  30176  crctcshwlkn0lem4  30229  crctcshwlkn0lem7  30232  crctcshwlkn0  30237  wwlksm1edg  30297  wwlksnred  30308  wwlksnextproplem3  30327  erclwwlkref  30438  clwwlkf  30465  wwlksubclwwlk  30476  upgr4cycl4dv4e  30607  konigsbergiedgw  30670  konigsberglem1  30674  konigsberglem2  30675  konigsberglem3  30676  konigsberglem4  30677  numclwlk2lem2f  30799  bcm1n  33210  1arithidomlem1  33889  1arithidomlem2  33890  1arithidom  33891  eulerpartlemd  34821  ballotth  34993  poimirlem6  38334  poimirlem7  38335  poimirlem28  38356  nnubfi  38459  nninfnub  38460  irrapxlem1  43607  jm2.27a  43790  stoweidlem17  46789  elfz2z  48110  2elfz3nn0  48111  2elfz2melfz  48113  iccpartigtl  48230  iccpartlt  48231  fmtnodvds  48354  fmtnole4prm  48388  cycl3grtri  48770  usgrexmpl1lem  48844  usgrexmpl2lem  48849