Theorem elfz2nn0 13674

Description: Membership in a finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfz2nn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elfz2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0uz 12929	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
2	1	anbi1i 636	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
3		eluznn0 12967	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		eluzle 12901	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
5	4	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ≤ 𝑁)
6	3, 5	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
7		nn0z 12640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
8		nn0z 12640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
9		eluz 12902	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
10	7, 8, 9	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
11	10	biimprd 251	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
12	11	impr 460	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
13	6, 12	impbida 813	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
14	13	pm5.32i 585	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
15	2, 14	bitr3i 280	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
16		elfzuzb 13573	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
17		3anass 1111	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
18	15, 16, 17	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  0cc0 11125   ≤ cle 11269  ℕ₀cn0 12529  ℤcz 12616  ℤ_≥cuz 12888  ...cfz 13562

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13563

This theorem is used by:  elfznn0  13676  elfz3nn0  13677  0elfz  13680  fz0to3un2pr  13685  elfz0ubfz0  13688  elfz0fzfz0  13689  fz0fzelfz0  13690  uzsubfz0  13692  fz0fzdiffz0  13693  elfzmlbm  13694  elfzmlbp  13695  difelfzle  13697  difelfznle  13698  fvffz0  13702  fzofzim  13766  elfzodifsumelfzo  13788  elfzom1elp1fzo  13789  fzo0to42pr  13810  fzo0sn0fzo1  13812  elfznelfzo  13830  fvinim0ffz  13846  ssnn0fi  14050  fsuppmapnn0fiub  14056  fsuppmapnn0fiub0  14058  suppssfz  14059  1elfz0hash  14455  swrdnd0  14728  swrdlen2  14731  swrdfv2  14732  pfxn0  14757  pfxnd0  14759  pfxeq  14766  swrdswrdlem  14774  swrdswrd  14775  swrdccatin1  14795  pfxccatin12lem1  14798  pfxccatin12lem2  14801  pfxccatin12lem3  14802  pfxccatin12  14803  pfxccat3  14804  swrdccat  14805  pfxccat3a  14808  swrdccat3blem  14809  2cshwcshw  14897  cshwcshid  14899  cshwcsh2id  14900  swrds2  15012  pfx2  15019  prm23lt5  16907  psgnunilem2  19623  gsummoncoe1  22534  mp2pm2mplem4  23035  chfacfisf  23080  chfacfisfcpmat  23081  chfacfpmmulgsum2  23091  plyn0mulidp  26512  aannenlem2  26566  chtublem  27448  lgsquadlem2  27618  pntpbnd2  27824  usgrexmplef  29720  usgr2pthlem  30229  crctcshwlkn0lem4  30282  crctcshwlkn0lem7  30285  crctcshwlkn0  30290  wwlksm1edg  30350  wwlksnred  30361  wwlksnextproplem3  30380  erclwwlkref  30491  clwwlkf  30518  wwlksubclwwlk  30529  upgr4cycl4dv4e  30666  konigsbergiedgw  30729  konigsberglem1  30733  konigsberglem2  30734  konigsberglem3  30735  konigsberglem4  30736  numclwlk2lem2f  30858  bcm1n  33267  1arithidomlem1  33946  1arithidomlem2  33947  1arithidom  33948  eulerpartlemd  34878  ballotth  35050  poimirlem6  38376  poimirlem7  38377  poimirlem28  38398  nnubfi  38501  nninfnub  38502  irrapxlem1  43664  jm2.27a  43847  stoweidlem17  46846  elfz2z  48204  2elfz3nn0  48205  2elfz2melfz  48207  iccpartigtl  48324  iccpartlt  48325  fmtnodvds  48448  fmtnole4prm  48482  cycl3grtri  48864  usgrexmpl1lem  48938  usgrexmpl2lem  48943