Theorem elfz2nn0 13546

Description: Membership in a finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfz2nn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elfz2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0uz 12804	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
2	1	anbi1i 625	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
3		eluznn0 12842	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		eluzle 12776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
5	4	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ≤ 𝑁)
6	3, 5	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
7		nn0z 12524	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
8		nn0z 12524	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
9		eluz 12777	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
10	7, 8, 9	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
11	10	biimprd 248	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
12	11	impr 454	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
13	6, 12	impbida 801	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
14	13	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
15	2, 14	bitr3i 277	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
16		elfzuzb 13446	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
17		3anass 1095	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
18	15, 16, 17	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038   ≤ cle 11179  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436

This theorem is referenced by:  elfznn0  13548  elfz3nn0  13549  0elfz  13552  fz0to3un2pr  13557  elfz0ubfz0  13560  elfz0fzfz0  13561  fz0fzelfz0  13562  uzsubfz0  13564  fz0fzdiffz0  13565  elfzmlbm  13566  elfzmlbp  13567  difelfzle  13569  difelfznle  13570  fvffz0  13574  fzofzim  13637  elfzodifsumelfzo  13659  elfzom1elp1fzo  13660  fzo0to42pr  13681  fzo0sn0fzo1  13683  elfznelfzo  13701  fvinim0ffz  13717  ssnn0fi  13920  fsuppmapnn0fiub  13926  fsuppmapnn0fiub0  13928  suppssfz  13929  1elfz0hash  14325  swrdnd0  14593  swrdlen2  14596  swrdfv2  14597  pfxn0  14622  pfxnd0  14624  pfxeq  14631  swrdswrdlem  14639  swrdswrd  14640  swrdccatin1  14660  pfxccatin12lem1  14663  pfxccatin12lem2  14666  pfxccatin12lem3  14667  pfxccatin12  14668  pfxccat3  14669  swrdccat  14670  pfxccat3a  14673  swrdccat3blem  14674  2cshwcshw  14760  cshwcshid  14762  cshwcsh2id  14763  swrds2  14875  pfx2  14882  prm23lt5  16754  psgnunilem2  19436  gsummoncoe1  22264  mp2pm2mplem4  22765  chfacfisf  22810  chfacfisfcpmat  22811  chfacfpmmulgsum2  22821  aannenlem2  26305  chtublem  27190  lgsquadlem2  27360  pntpbnd2  27566  usgrexmplef  29344  usgr2pthlem  29848  crctcshwlkn0lem4  29898  crctcshwlkn0lem7  29901  crctcshwlkn0  29906  wwlksm1edg  29966  wwlksnred  29977  wwlksnextproplem3  29996  erclwwlkref  30107  clwwlkf  30134  wwlksubclwwlk  30145  upgr4cycl4dv4e  30272  konigsbergiedgw  30335  konigsberglem1  30339  konigsberglem2  30340  konigsberglem3  30341  konigsberglem4  30342  numclwlk2lem2f  30464  bcm1n  32886  1arithidomlem1  33628  1arithidomlem2  33629  1arithidom  33630  eulerpartlemd  34544  ballotth  34716  plymulx0  34725  poimirlem6  37877  poimirlem7  37878  poimirlem28  37899  nnubfi  38001  nninfnub  38002  irrapxlem1  43179  jm2.27a  43362  stoweidlem17  46375  elfz2z  47675  2elfz3nn0  47676  2elfz2melfz  47678  iccpartigtl  47783  iccpartlt  47784  fmtnodvds  47904  fmtnole4prm  47938  cycl3grtri  48307  usgrexmpl1lem  48381  usgrexmpl2lem  48386