MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz2nn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfz2nn0 13658
Description: Membership in a finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfz2nn0 (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁))

Proof of Theorem elfz2nn0
StepHypRef Expression
1 elnn0uz 12923 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (ℤ‘0))
21anbi1i 624 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)))
3 eluznn0 12959 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4 eluzle 12891 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 𝐾𝑁)
54adantl 481 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾𝑁)
63, 5jca 511 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁))
7 nn0z 12638 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
8 nn0z 12638 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
9 eluz 12892 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ↔ 𝐾𝑁))
107, 8, 9syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ↔ 𝐾𝑁))
1110biimprd 248 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑁𝑁 ∈ (ℤ𝐾)))
1211impr 454 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
136, 12impbida 801 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁)))
1413pm5.32i 574 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁)))
152, 14bitr3i 277 . 2 ((𝐾 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁)))
16 elfzuzb 13558 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)))
17 3anass 1095 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁)))
1815, 16, 173bitr4i 303 1 (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  w3a 1087  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  cle 11296  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548
This theorem is referenced by:  elfznn0  13660  elfz3nn0  13661  0elfz  13664  fz0to3un2pr  13669  elfz0ubfz0  13672  elfz0fzfz0  13673  fz0fzelfz0  13674  uzsubfz0  13676  fz0fzdiffz0  13677  elfzmlbm  13678  elfzmlbp  13679  difelfzle  13681  difelfznle  13682  fvffz0  13686  fzofzim  13749  elfzodifsumelfzo  13770  elfzom1elp1fzo  13771  fzo0to42pr  13792  fzo0sn0fzo1  13794  elfznelfzo  13811  fvinim0ffz  13825  ssnn0fi  14026  fsuppmapnn0fiub  14032  fsuppmapnn0fiub0  14034  suppssfz  14035  1elfz0hash  14429  swrdnd0  14695  swrdlen2  14698  swrdfv2  14699  pfxn0  14724  pfxnd0  14726  pfxeq  14734  swrdswrdlem  14742  swrdswrd  14743  swrdccatin1  14763  pfxccatin12lem1  14766  pfxccatin12lem2  14769  pfxccatin12lem3  14770  pfxccatin12  14771  pfxccat3  14772  swrdccat  14773  pfxccat3a  14776  swrdccat3blem  14777  2cshwcshw  14864  cshwcshid  14866  cshwcsh2id  14867  swrds2  14979  pfx2  14986  prm23lt5  16852  psgnunilem2  19513  gsummoncoe1  22312  mp2pm2mplem4  22815  chfacfisf  22860  chfacfisfcpmat  22861  chfacfpmmulgsum2  22871  aannenlem2  26371  chtublem  27255  lgsquadlem2  27425  pntpbnd2  27631  usgrexmplef  29276  usgr2pthlem  29783  crctcshwlkn0lem4  29833  crctcshwlkn0lem7  29836  crctcshwlkn0  29841  wwlksm1edg  29901  wwlksnred  29912  wwlksnextproplem3  29931  erclwwlkref  30039  clwwlkf  30066  wwlksubclwwlk  30077  upgr4cycl4dv4e  30204  konigsbergiedgw  30267  konigsberglem1  30271  konigsberglem2  30272  konigsberglem3  30273  konigsberglem4  30274  numclwlk2lem2f  30396  bcm1n  32797  1arithidomlem1  33563  1arithidomlem2  33564  1arithidom  33565  eulerpartlemd  34368  ballotth  34540  plymulx0  34562  poimirlem6  37633  poimirlem7  37634  poimirlem28  37655  nnubfi  37757  nninfnub  37758  irrapxlem1  42833  jm2.27a  43017  stoweidlem17  46032  elfz2z  47327  2elfz3nn0  47328  2elfz2melfz  47330  iccpartigtl  47410  iccpartlt  47411  fmtnodvds  47531  fmtnole4prm  47565  cycl3grtri  47914  usgrexmpl1lem  47980  usgrexmpl2lem  47985
  Copyright terms: Public domain W3C validator