Theorem elfz2nn0 12725

Description: Membership in a finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfz2nn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elfz2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0uz 12007	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
2	1	anbi1i 617	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
3		eluznn0 12040	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		eluzle 11981	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
5	4	adantl 475	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ≤ 𝑁)
6	3, 5	jca 507	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
7		nn0z 11728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
8		nn0z 11728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
9		eluz 11982	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
10	7, 8, 9	syl2an 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
11	10	biimprd 240	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
12	11	impr 448	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
13	6, 12	impbida 835	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
14	13	pm5.32i 570	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
15	2, 14	bitr3i 269	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
16		elfzuzb 12629	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
17		3anass 1120	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
18	15, 16, 17	3bitr4i 295	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4873  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  0cc0 10252   ≤ cle 10392  ℕ₀cn0 11618  ℤcz 11704  ℤ_≥cuz 11968  ...cfz 12619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620

This theorem is referenced by:  elfznn0  12727  elfz3nn0  12728  0elfz  12731  fz0to3un2pr  12736  elfz0ubfz0  12738  elfz0fzfz0  12739  fz0fzelfz0  12740  uzsubfz0  12742  fz0fzdiffz0  12743  elfzmlbm  12744  elfzmlbp  12745  difelfzle  12747  difelfznle  12748  fvffz0  12752  fzofzim  12810  elfzodifsumelfzo  12829  elfzom1elp1fzo  12830  fzo0to42pr  12850  fzo0sn0fzo1  12852  elfznelfzo  12868  fvinim0ffz  12882  ssnn0fi  13079  fsuppmapnn0fiub  13085  fsuppmapnn0fiub0  13087  suppssfz  13088  1elfz0hash  13469  swrdn0OLD  13717  swrdnd0  13722  swrdtrcfvOLD  13730  swrdeqOLD  13733  swrdlen2  13734  swrdfv2  13735  pfxn0  13765  pfxnd0  13767  pfxeq  13775  swrdswrdlem  13783  swrdswrd  13784  swrdccatwrdOLD  13800  swrdccatin1  13821  pfxccatin12lem1  13824  swrdccatin12lem2bOLD  13825  pfxccatin12lem2  13828  swrdccatin12lem2OLD  13829  swrdccatin12lem3  13830  pfxccatin12  13831  swrdccatin12OLD  13832  pfxccat3  13833  swrdccat3OLD  13834  swrdccat  13835  swrdccatOLD  13836  pfxccat3a  13839  swrdccat3blem  13841  swrdccatidOLD  13845  2cshwcshw  13946  cshwcshid  13948  cshwcsh2id  13949  swrds2  14061  pfx2  14068  prm23lt5  15890  psgnunilem2  18266  gsummoncoe1  20034  mp2pm2mplem4  20984  chfacfisf  21029  chfacfisfcpmat  21030  chfacfpmmulgsum2  21040  aannenlem2  24483  chtublem  25349  lgsquadlem2  25519  pntpbnd2  25689  usgrexmplef  26556  usgr2pthlem  27065  crctcshwlkn0lem4  27112  crctcshwlkn0lem7  27115  crctcshwlkn0  27120  wwlksm1edg  27180  wwlksm1edgOLD  27181  wwlksnred  27202  wwlksnredOLD  27203  wwlksnextproplem3  27236  wwlksnextproplem3OLD  27237  erclwwlkref  27358  clwwlkfOLD  27386  clwwlkf  27391  wwlksubclwwlk  27403  wwlksubclwwlkOLD  27404  clwlksfclwwlkOLD  27431  upgr4cycl4dv4e  27550  konigsbergiedgw  27616  konigsberglem1  27620  konigsberglem2  27621  konigsberglem3  27622  konigsberglem4  27623  numclwlk2lem2f  27769  numclwlk2lem2fOLD  27772  numclwlk2lem2fOLDOLD  27780  bcm1n  30090  eulerpartlemd  30962  ballotth  31134  plymulx0  31160  poimirlem6  33952  poimirlem7  33953  poimirlem28  33974  nnubfi  34081  nninfnub  34082  irrapxlem1  38223  jm2.27a  38408  stoweidlem17  41021  elfz2z  42206  2elfz3nn0  42207  2elfz2melfz  42209  iccpartigtl  42240  iccpartlt  42241  fmtnodvds  42279  fmtnole4prm  42313