MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz2nn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfz2nn0 12991
Description: Membership in a finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfz2nn0 (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁))

Proof of Theorem elfz2nn0
StepHypRef Expression
1 elnn0uz 12275 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (ℤ‘0))
21anbi1i 623 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)))
3 eluznn0 12309 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4 eluzle 12248 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 𝐾𝑁)
54adantl 482 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾𝑁)
63, 5jca 512 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁))
7 nn0z 11997 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
8 nn0z 11997 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
9 eluz 12249 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ↔ 𝐾𝑁))
107, 8, 9syl2an 595 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ↔ 𝐾𝑁))
1110biimprd 249 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑁𝑁 ∈ (ℤ𝐾)))
1211impr 455 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
136, 12impbida 797 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁)))
1413pm5.32i 575 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁)))
152, 14bitr3i 278 . 2 ((𝐾 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁)))
16 elfzuzb 12895 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)))
17 3anass 1089 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁)))
1815, 16, 173bitr4i 304 1 (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396  w3a 1081  wcel 2106   class class class wbr 5062  cfv 6351  (class class class)co 7151  0cc0 10529  cle 10668  0cn0 11889  cz 11973  cuz 12235  ...cfz 12885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886
This theorem is referenced by:  elfznn0  12993  elfz3nn0  12994  0elfz  12997  fz0to3un2pr  13002  elfz0ubfz0  13004  elfz0fzfz0  13005  fz0fzelfz0  13006  uzsubfz0  13008  fz0fzdiffz0  13009  elfzmlbm  13010  elfzmlbp  13011  difelfzle  13013  difelfznle  13014  fvffz0  13018  fzofzim  13077  elfzodifsumelfzo  13096  elfzom1elp1fzo  13097  fzo0to42pr  13117  fzo0sn0fzo1  13119  elfznelfzo  13135  fvinim0ffz  13149  ssnn0fi  13346  fsuppmapnn0fiub  13352  fsuppmapnn0fiub0  13354  suppssfz  13355  1elfz0hash  13744  swrdnd0  14012  swrdlen2  14015  swrdfv2  14016  pfxn0  14041  pfxnd0  14043  pfxeq  14051  swrdswrdlem  14059  swrdswrd  14060  swrdccatin1  14080  pfxccatin12lem1  14083  pfxccatin12lem2  14086  pfxccatin12lem3  14087  pfxccatin12  14088  pfxccat3  14089  swrdccat  14090  pfxccat3a  14093  swrdccat3blem  14094  2cshwcshw  14180  cshwcshid  14182  cshwcsh2id  14183  swrds2  14295  pfx2  14302  prm23lt5  16143  psgnunilem2  18545  gsummoncoe1  20389  mp2pm2mplem4  21333  chfacfisf  21378  chfacfisfcpmat  21379  chfacfpmmulgsum2  21389  aannenlem2  24833  chtublem  25701  lgsquadlem2  25871  pntpbnd2  26077  usgrexmplef  26956  usgr2pthlem  27459  crctcshwlkn0lem4  27506  crctcshwlkn0lem7  27509  crctcshwlkn0  27514  wwlksm1edg  27574  wwlksnred  27585  wwlksnextproplem3  27605  erclwwlkref  27713  clwwlkf  27741  wwlksubclwwlk  27752  upgr4cycl4dv4e  27879  konigsbergiedgw  27942  konigsberglem1  27946  konigsberglem2  27947  konigsberglem3  27948  konigsberglem4  27949  numclwlk2lem2f  28071  bcm1n  30432  eulerpartlemd  31511  ballotth  31682  plymulx0  31704  poimirlem6  34766  poimirlem7  34767  poimirlem28  34788  nnubfi  34894  nninfnub  34895  irrapxlem1  39281  jm2.27a  39464  stoweidlem17  42165  elfz2z  43378  2elfz3nn0  43379  2elfz2melfz  43381  iccpartigtl  43412  iccpartlt  43413  fmtnodvds  43535  fmtnole4prm  43569
  Copyright terms: Public domain W3C validator