Theorem elfz2nn0 13642

Description: Membership in a finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfz2nn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elfz2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0uz 12898	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
2	1	anbi1i 635	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
3		eluznn0 12936	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		eluzle 12870	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
5	4	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ≤ 𝑁)
6	3, 5	jca 520	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
7		nn0z 12610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
8		nn0z 12610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
9		eluz 12871	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
10	7, 8, 9	syl2an 607	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
11	10	biimprd 251	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
12	11	impr 459	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
13	6, 12	impbida 812	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
14	13	pm5.32i 584	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
15	2, 14	bitr3i 280	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
16		elfzuzb 13541	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
17		3anass 1111	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
18	15, 16, 17	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11095   ≤ cle 11239  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12857  ...cfz 13530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531

This theorem is referenced by:  elfznn0  13644  elfz3nn0  13645  0elfz  13648  fz0to3un2pr  13653  elfz0ubfz0  13656  elfz0fzfz0  13657  fz0fzelfz0  13658  uzsubfz0  13660  fz0fzdiffz0  13661  elfzmlbm  13662  elfzmlbp  13663  difelfzle  13665  difelfznle  13666  fvffz0  13670  fzofzim  13734  elfzodifsumelfzo  13756  elfzom1elp1fzo  13757  fzo0to42pr  13778  fzo0sn0fzo1  13780  elfznelfzo  13798  fvinim0ffz  13814  ssnn0fi  14017  fsuppmapnn0fiub  14023  fsuppmapnn0fiub0  14025  suppssfz  14026  1elfz0hash  14422  swrdnd0  14691  swrdlen2  14694  swrdfv2  14695  pfxn0  14720  pfxnd0  14722  pfxeq  14729  swrdswrdlem  14737  swrdswrd  14738  swrdccatin1  14758  pfxccatin12lem1  14761  pfxccatin12lem2  14764  pfxccatin12lem3  14765  pfxccatin12  14766  pfxccat3  14767  swrdccat  14768  pfxccat3a  14771  swrdccat3blem  14772  2cshwcshw  14858  cshwcshid  14860  cshwcsh2id  14861  swrds2  14973  pfx2  14980  prm23lt5  16869  psgnunilem2  19560  gsummoncoe1  22468  mp2pm2mplem4  22966  chfacfisf  23011  chfacfisfcpmat  23012  chfacfpmmulgsum2  23022  plyn0mulidp  26442  aannenlem2  26492  chtublem  27375  lgsquadlem2  27545  pntpbnd2  27751  usgrexmplef  29609  usgr2pthlem  30112  crctcshwlkn0lem4  30162  crctcshwlkn0lem7  30165  crctcshwlkn0  30170  wwlksm1edg  30230  wwlksnred  30241  wwlksnextproplem3  30260  erclwwlkref  30371  clwwlkf  30398  wwlksubclwwlk  30409  upgr4cycl4dv4e  30536  konigsbergiedgw  30599  konigsberglem1  30603  konigsberglem2  30604  konigsberglem3  30605  konigsberglem4  30606  numclwlk2lem2f  30728  bcm1n  33140  1arithidomlem1  33825  1arithidomlem2  33826  1arithidom  33827  eulerpartlemd  34756  ballotth  34928  poimirlem6  38277  poimirlem7  38278  poimirlem28  38299  nnubfi  38401  nninfnub  38402  irrapxlem1  43549  jm2.27a  43732  stoweidlem17  46731  elfz2z  48052  2elfz3nn0  48053  2elfz2melfz  48055  iccpartigtl  48172  iccpartlt  48173  fmtnodvds  48296  fmtnole4prm  48330  cycl3grtri  48712  usgrexmpl1lem  48786  usgrexmpl2lem  48791