Theorem elfzodif0 32796

Description: If an integer 𝑀 is in an open interval starting at 0, except 0, then (𝑀 − 1) is also in that interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elfzodif0.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {0}))
elfzodif0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
elfzodif0	⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ (0..^𝑁))

Proof of Theorem elfzodif0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzodif0.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 12639	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzossrbm1 13728	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
5		fzossz 13719	. . . 4 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ ℤ
6		elfzodif0.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {0}))
7	6	eldifad 3963	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0..^𝑁))
8	5, 7	sselid 3981	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9		eldifsni 4790	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {0}) → 𝑀 ≠ 0)
10	6, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
11		fzo1fzo0n0 13754	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑀 ≠ 0))
12	7, 10, 11	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1..^𝑁))
13		elfzom1b 13805	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1))))
14	13	biimpa 476	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
15	8, 2, 12, 14	syl21anc 838	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
16	4, 15	sseldd 3984	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ (0..^𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3948   ⊆ wss 3951  {csn 4626  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   − cmin 11492  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ..^cfzo 13694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695

This theorem is referenced by:  chnccats1  33005