Theorem elfzodif0 32717

Description: If an integer 𝑀 is in an open interval starting at 0, except 0, then (𝑀 − 1) is also in that interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elfzodif0.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {0}))
elfzodif0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
elfzodif0	⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ (0..^𝑁))

Proof of Theorem elfzodif0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzodif0.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 12612	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzossrbm1 13703	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
5		fzossz 13694	. . . 4 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ ℤ
6		elfzodif0.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {0}))
7	6	eldifad 3938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0..^𝑁))
8	5, 7	sselid 3956	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9		eldifsni 4766	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {0}) → 𝑀 ≠ 0)
10	6, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
11		fzo1fzo0n0 13729	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑀 ≠ 0))
12	7, 10, 11	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1..^𝑁))
13		elfzom1b 13780	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1))))
14	13	biimpa 476	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
15	8, 2, 12, 14	syl21anc 837	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
16	4, 15	sseldd 3959	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ (0..^𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3923   ⊆ wss 3926  {csn 4601  (class class class)co 7403  0cc0 11127  1c1 11128   − cmin 11464  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586  ..^cfzo 13669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13523  df-fzo 13670

This theorem is referenced by:  chnccats1  32941