Theorem elfzodif0 32724

Description: If an integer 𝑀 is in an open interval starting at 0, except 0, then (𝑀 − 1) is also in that interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elfzodif0.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {0}))
elfzodif0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
elfzodif0	⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ (0..^𝑁))

Proof of Theorem elfzodif0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzodif0.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 12562	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzossrbm1 13656	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
5		fzossz 13647	. . . 4 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ ℤ
6		elfzodif0.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {0}))
7	6	eldifad 3929	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0..^𝑁))
8	5, 7	sselid 3947	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9		eldifsni 4757	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {0}) → 𝑀 ≠ 0)
10	6, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
11		fzo1fzo0n0 13683	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑀 ≠ 0))
12	7, 10, 11	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1..^𝑁))
13		elfzom1b 13734	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1))))
14	13	biimpa 476	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
15	8, 2, 12, 14	syl21anc 837	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
16	4, 15	sseldd 3950	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ (0..^𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∖ cdif 3914   ⊆ wss 3917  {csn 4592  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   − cmin 11412  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ..^cfzo 13622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623

This theorem is referenced by:  chnccats1  32948