Theorem elfzodif0 13700

Description: If an integer 𝑀 is in an open interval starting at 0, except 0, then (𝑀 − 1) is also in that interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elfzodif0.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {0}))
elfzodif0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
elfzodif0	⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ (0..^𝑁))

Proof of Theorem elfzodif0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzodif0.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 12527	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzossrbm1 13618	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
5		fzossz 13609	. . . 4 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ ℤ
6		elfzodif0.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {0}))
7	6	eldifad 3915	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0..^𝑁))
8	5, 7	sselid 3933	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9		eldifsni 4748	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {0}) → 𝑀 ≠ 0)
10	6, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
11		fzo1fzo0n0 13645	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑀 ≠ 0))
12	7, 10, 11	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1..^𝑁))
13		elfzom1b 13696	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1))))
14	13	biimpa 476	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
15	8, 2, 12, 14	syl21anc 838	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
16	4, 15	sseldd 3936	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ (0..^𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  {csn 4582  (class class class)co 7370  0cc0 11040  1c1 11041   − cmin 11378  ℕ₀cn0 12415  ℤcz 12502  ..^cfzo 13584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-fzo 13585

This theorem is referenced by:  chnccats1  18562  chnccat  18563