MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzossrbm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzossrbm1 12751
Description: Subset of a half-open range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
fzossrbm1 (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))

Proof of Theorem fzossrbm1
StepHypRef Expression
1 peano2zm 11709 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
2 id 22 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
3 zre 11669 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
43lem1d 11250 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
5 eluz2 11935 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ≤ 𝑁))
61, 2, 4, 5syl3anbrc 1444 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
7 fzoss2 12750 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
86, 7syl 17 1 (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2157  wss 3770   class class class wbr 4844  cfv 6102  (class class class)co 6879  0cc0 10225  1c1 10226  cle 10365  cmin 10557  cz 11665  cuz 11929  ..^cfzo 12719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-er 7983  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-n0 11580  df-z 11666  df-uz 11930  df-fz 12580  df-fzo 12720
This theorem is referenced by:  elfzom1elp1fzo  12789  elfzom1elfzo  12790  wrdred1  13579  wrdred1hash  13580  cshimadifsn0  13914  redwlk  26924  pthdlem1  27019  wwlksm1edg  27137  wwlksm1edgOLD  27138  clwwlkccatlem  27281  clwlkclwwlklem2  27292  signsvtn0  31164  signsvtn0OLD  31165  bgoldbtbndlem2  42471
  Copyright terms: Public domain W3C validator