Theorem nn0zd 11923

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0zd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0zd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 11841	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2		nn0zd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	1, 2	sseldi 3882	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2079  ℕ₀cn0 11734  ℤcz 11818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-ov 7010  df-om 7428  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-neg 10709  df-nn 11476  df-n0 11735  df-z 11819

This theorem is referenced by:  nnzd  11924  eluzmn  12089  difelfznle  12860  zmodfz  13099  expnegz  13301  expaddzlem  13310  expaddz  13311  expmulz  13313  faclbnd  13488  bcpasc  13519  hashf1  13651  fz1isolem  13655  hashge2el2dif  13672  hashtpg  13677  wrdffz  13719  ffz0iswrd  13725  wrdsymb0  13735  wrdlenge1n0  13736  ccatcl  13760  ccatval3  13765  ccatsymb  13768  ccatval21sw  13771  ccatass  13774  ccatrn  13775  lswccatn0lsw  13777  ccats1val2  13813  swrdnd  13840  swrdccat2  13855  pfxtrcfv0  13880  pfxtrcfvl  13883  pfxccat1  13888  swrdccatin2  13915  pfxccatin12  13919  pfxccatpfx2  13923  pfxccat3a  13924  splfv2a  13942  splval2  13943  revcl  13947  revccat  13952  revrev  13953  cshwmodn  13981  cshwsublen  13982  cshwn  13983  cshwidxmod  13989  2cshwid  14000  3cshw  14004  cshweqdif2  14005  revco  14020  ccatco  14021  ccat2s1fvwALT  14141  ofccat  14151  zabscl  14495  absrdbnd  14523  iseraltlem3  14862  fsum0diaglem  14952  modfsummods  14969  binomlem  15005  binom1p  15007  incexc2  15014  climcndslem1  15025  geoser  15043  pwm1geoser  15045  pwm1geoserOLD  15046  geolim2  15048  mertenslem1  15061  mertenslem2  15062  mertens  15063  binomfallfaclem2  15215  binomrisefac  15217  fallfacval4  15218  bpolydiflem  15229  ruclem10  15413  sumodd  15560  divalglem9  15573  divalgmod  15578  bitsfzolem  15604  bitsfzo  15605  bitsmod  15606  bitsfi  15607  bitsinv1lem  15611  sadcaddlem  15627  sadadd3  15631  sadaddlem  15636  sadadd  15637  sadasslem  15640  sadass  15641  sadeq  15642  bitsres  15643  bitsuz  15644  bitsshft  15645  smuval2  15652  smupvallem  15653  smupval  15658  smueqlem  15660  smumullem  15662  smumul  15663  gcdcllem1  15669  zeqzmulgcd  15680  gcd0id  15688  gcdneg  15691  modgcd  15701  bezoutlem4  15707  dvdsgcdb  15710  gcdass  15712  mulgcd  15713  gcdzeq  15719  dvdsmulgcd  15722  bezoutr  15729  bezoutr1  15730  nn0seqcvgd  15731  algfx  15741  eucalginv  15745  eucalg  15748  gcddvdslcm  15763  lcmneg  15764  lcmgcdlem  15767  lcmdvds  15769  lcmgcdeq  15773  lcmdvdsb  15774  lcmass  15775  lcmftp  15797  lcmfunsnlem1  15798  lcmfunsnlem2lem1  15799  lcmfunsnlem2lem2  15800  lcmfunsnlem2  15801  lcmfdvdsb  15804  lcmfun  15806  lcmfass  15807  mulgcddvds  15816  rpmulgcd2  15817  qredeu  15819  divgcdcoprm0  15826  sqnprm  15863  divnumden  15905  powm2modprm  15957  coprimeprodsq  15962  iserodd  15989  pclem  15992  pcpre1  15996  pcpremul  15997  pcqcl  16010  pcdvdsb  16022  pcidlem  16025  pc2dvds  16032  pcprmpw2  16035  dvdsprmpweqle  16039  pcadd  16042  pcfac  16052  pcbc  16053  pockthlem  16058  prmreclem2  16070  prmreclem3  16071  mul4sqlem  16106  4sqlem11  16108  4sqlem12  16109  4sqlem14  16111  vdwapun  16127  prmgaplcmlem1  16204  lagsubg  18083  psgnuni  18346  psgnran  18362  odmodnn0  18387  mndodconglem  18388  mndodcong  18389  odmulg2  18400  odmulg  18401  odmulgeq  18402  odbezout  18403  odinv  18406  odf1  18407  gexod  18429  gexdvds3  18433  sylow1lem1  18441  sylow1lem3  18443  pgpfi  18448  pgpssslw  18457  sylow2alem2  18461  sylow2blem3  18465  fislw  18468  sylow3lem4  18473  sylow3lem6  18475  efginvrel2  18568  efgredlemf  18582  efgredlemd  18585  efgredlemc  18586  efgredlem  18588  efgcpbllemb  18596  odadd1  18679  odadd2  18680  gexexlem  18683  gexex  18684  torsubg  18685  lt6abl  18724  gsummulg  18770  ablfacrplem  18892  ablfacrp  18893  ablfacrp2  18894  ablfac1b  18897  ablfac1c  18898  ablfac1eulem  18899  ablfac1eu  18900  pgpfac1lem2  18902  pgpfaclem1  18908  ablfaclem3  18914  srgbinomlem3  18970  srgbinomlem4  18971  psrbaglefi  19828  chrid  20344  znunit  20380  psgnghm  20394  chfacfscmulfsupp  21139  chfacfpmmulfsupp  21143  cpmadugsumlemF  21156  dyadss  23866  dyaddisjlem  23867  ply1divex  24401  ply1termlem  24464  plyeq0lem  24471  plyaddlem1  24474  plymullem1  24475  coeeulem  24485  coeidlem  24498  coeeq2  24503  coemulhi  24515  dvply1  24544  dvply2g  24545  plydivex  24557  elqaalem2  24580  aareccl  24586  aannenlem1  24588  aalioulem1  24592  taylplem1  24622  taylplem2  24623  taylpfval  24624  dvtaylp  24629  taylthlem2  24633  dvradcnv  24680  abelthlem7  24697  cxpeq  25007  birthdaylem2  25200  ftalem1  25320  basellem3  25330  isppw2  25362  isnsqf  25382  mule1  25395  ppinncl  25421  musum  25438  chtublem  25457  pclogsum  25461  vmasum  25462  dchrabs  25506  bcmax  25524  bposlem1  25530  bposlem6  25535  lgsval2lem  25553  lgsmod  25569  lgsne0  25581  gausslemma2dlem0h  25609  gausslemma2dlem0i  25610  gausslemma2dlem2  25613  gausslemma2dlem6  25618  gausslemma2d  25620  lgseisenlem1  25621  lgseisenlem2  25622  lgseisenlem3  25623  lgseisenlem4  25624  lgsquadlem1  25626  m1lgs  25634  2lgslem1a  25637  2lgslem3a  25642  2lgslem3b  25643  2lgslem3c  25644  2lgslem3d  25645  2lgslem3d1  25649  2lgsoddprmlem2  25655  2sqlem8  25672  2sqcoprm  25681  2sqmod  25682  chebbnd1lem1  25715  dchrisumlem1  25735  dchrisum0flblem1  25754  selberg2lem  25796  ostth2lem2  25880  ostth2lem3  25881  finsumvtxdg2sstep  27002  finsumvtxdgeven  27005  vtxdgoddnumeven  27006  redwlklem  27126  wlkdlem1  27137  pthdlem1  27222  crctcshwlkn0lem4  27266  wwlksnredwwlkn0  27349  wwlksnextproplem2  27364  clwwlkccatlem  27442  clwlkclwwlkfo  27462  clwwlkwwlksb  27508  clwwlkndivn  27534  eupth2lem3lem3  27685  eupth2lem3lem4  27686  eupth2lem3  27691  eupth2lems  27693  numclwwlk5  27847  numclwwlk6  27849  ex-ind-dvds  27920  nndiffz1  30169  prmdvdsbc  30187  pfxlsw2ccat  30276  wrdt2ind  30277  cycpmfv1  30366  cyc3genpm  30390  cycpmconjslem2  30393  cyc3conja  30395  archirng  30413  archirngz  30414  archiabllem1a  30416  freshmansdream  30468  madjusmdetlem4  30666  qqhval2lem  30795  oddpwdc  31185  eulerpartlems  31191  eulerpartlemb  31199  sseqfv1  31220  sseqfn  31221  sseqmw  31222  sseqf  31223  sseqfv2  31225  sseqp1  31226  ccatmulgnn0dir  31385  signsplypnf  31393  signsply0  31394  signslema  31405  signstfvn  31412  signstfvp  31414  signstfvc  31417  fsum2dsub  31451  reprinfz1  31466  reprfi2  31467  hashrepr  31469  reprdifc  31471  breprexplema  31474  breprexplemc  31476  circlemeth  31484  circlevma  31486  circlemethhgt  31487  hgt750lema  31501  tgoldbachgtde  31504  lpadlem3  31522  subfacval3  32000  bcprod  32523  bccolsum  32524  fwddifnp1  33180  knoppndvlem6  33409  knoppndvlem7  33410  knoppndvlem10  33413  knoppndvlem14  33417  knoppndvlem15  33418  knoppndvlem16  33419  knoppndvlem17  33420  knoppndvlem19  33422  knoppndvlem21  33424  dfgcd3  34082  poimirlem3  34372  poimirlem4  34373  poimirlem6  34375  poimirlem13  34382  poimirlem14  34383  poimirlem17  34386  poimirlem21  34390  poimirlem22  34391  poimirlem23  34392  poimirlem24  34393  poimirlem26  34395  poimirlem27  34396  poimirlem31  34400  geomcau  34512  frlmvscadiccat  38622  fltnltalem  38721  eldioph2lem1  38792  pellexlem5  38866  congrep  39006  jm2.18  39021  jm2.19lem1  39022  jm2.19lem2  39023  jm2.19  39026  jm2.22  39028  jm2.23  39029  jm2.20nn  39030  jm2.25  39032  jm2.26a  39033  jm2.26lem3  39034  jm2.26  39035  jm2.27a  39038  jm2.27b  39039  jm2.27c  39040  jm3.1  39053  expdiophlem1  39054  hbtlem5  39164  gcdmuld  40010  radcnvrat  40136  nzin  40140  bccbc  40167  binomcxplemnn0  40171  binomcxplemnotnn0  40178  fprodexp  41371  mccllem  41374  ioodvbdlimc1lem2  41712  ioodvbdlimc2lem  41714  dvnxpaek  41722  dvnmul  41723  dvnprodlem1  41726  dvnprodlem2  41727  wallispilem1  41846  wallispilem5  41850  stirlinglem3  41857  stirlinglem5  41859  stirlinglem7  41861  stirlinglem8  41862  fourierdlem102  41989  fourierdlem114  42001  sqwvfoura  42009  elaa2lem  42014  etransclem10  42025  etransclem20  42035  etransclem21  42036  etransclem22  42037  etransclem23  42038  etransclem24  42039  etransclem27  42042  etransclem28  42043  etransclem35  42050  etransclem38  42053  etransclem44  42059  etransclem45  42060  etransclem46  42061  sge0ad2en  42209  fsummmodsnunz  43005  fmtnoge3  43128  fmtnof1  43133  fmtnorec1  43135  sqrtpwpw2p  43136  fmtnodvds  43142  goldbachthlem2  43144  fmtnoprmfac2lem1  43164  lighneallem3  43208  lighneallem4b  43210  lighneallem4  43211  ssnn0ssfz  43829  altgsumbcALT  43833  flnn0ohalf  44029  dig2nn1st  44100  0dig2nn0o  44108  aacllem  44336