Theorem nn0zd 12612

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0zd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0zd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 12609	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2		nn0zd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	1, 2	sselid 3956	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-ov 7406  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-neg 11467  df-nn 12239  df-n0 12500  df-z 12587

This theorem is referenced by:  nnzd  12613  eluzmn  12857  difelfznle  13657  zmodfz  13908  expnegz  14112  expaddzlem  14121  expaddz  14122  expmulz  14124  faclbnd  14306  bcpasc  14337  hashf1  14473  fz1isolem  14477  hashge2el2dif  14496  hashtpg  14501  wrdffz  14551  ffz0iswrd  14557  wrdsymb0  14565  wrdlenge1n0  14566  ccatcl  14590  ccatval3  14595  ccatsymb  14598  ccatval21sw  14601  ccatass  14604  ccatrn  14605  lswccatn0lsw  14607  ccats1val2  14643  swrdnd  14670  swrdccat2  14685  pfxtrcfv0  14710  pfxtrcfvl  14713  pfxccat1  14718  swrdccatin2  14745  pfxccatin12  14749  pfxccatpfx2  14753  pfxccat3a  14754  splfv2a  14772  splval2  14773  revcl  14777  revccat  14782  revrev  14783  cshwmodn  14811  cshwsublen  14812  cshwn  14813  cshwidxmod  14819  2cshwid  14830  3cshw  14834  cshweqdif2  14835  revco  14851  ccatco  14852  ccat2s1fvwALT  14972  ofccat  14986  zabscl  15330  absrdbnd  15358  iseraltlem3  15698  fsum0diaglem  15790  modfsummods  15807  binomlem  15843  binom1p  15845  incexc2  15852  climcndslem1  15863  geoser  15881  pwm1geoser  15883  geolim2  15885  mertenslem1  15898  mertenslem2  15899  mertens  15900  binomfallfaclem2  16054  binomrisefac  16056  fallfacval4  16057  bpolydiflem  16068  ruclem10  16255  sumodd  16405  divalglem9  16418  divalgmod  16423  bitsfzolem  16451  bitsfzo  16452  bitsmod  16453  bitsfi  16454  bitsinv1lem  16458  sadcaddlem  16474  sadadd3  16478  sadaddlem  16483  sadadd  16484  sadasslem  16487  sadass  16488  sadeq  16489  bitsres  16490  bitsuz  16491  bitsshft  16492  smuval2  16499  smupvallem  16500  smupval  16505  smueqlem  16507  smumullem  16509  smumul  16510  gcdcllem1  16516  zeqzmulgcd  16527  gcd0id  16536  gcdneg  16539  modgcd  16549  gcdmultipled  16551  bezoutlem4  16559  dvdsgcdb  16562  gcdass  16564  mulgcd  16565  gcdzeq  16569  dvdsmulgcd  16573  bezoutr  16585  bezoutr1  16586  nn0seqcvgd  16587  algfx  16597  eucalginv  16601  eucalg  16604  gcddvdslcm  16619  lcmneg  16620  lcmgcdlem  16623  lcmdvds  16625  lcmgcdeq  16629  lcmdvdsb  16630  lcmass  16631  lcmftp  16653  lcmfunsnlem1  16654  lcmfunsnlem2lem1  16655  lcmfunsnlem2lem2  16656  lcmfunsnlem2  16657  lcmfdvdsb  16660  lcmfun  16662  lcmfass  16663  mulgcddvds  16672  rpmulgcd2  16673  qredeu  16675  divgcdcoprm0  16682  sqnprm  16719  prmdvdsbc  16743  divnumden  16765  powm2modprm  16821  coprimeprodsq  16826  iserodd  16853  pclem  16856  pcpre1  16860  pcpremul  16861  pcqcl  16874  pcdvdsb  16887  pcidlem  16890  pc2dvds  16897  pcprmpw2  16900  dvdsprmpweqle  16904  pcadd  16907  pcfac  16917  pcbc  16918  pockthlem  16923  prmreclem2  16935  prmreclem3  16936  mul4sqlem  16971  4sqlem11  16973  4sqlem12  16974  4sqlem14  16976  vdwapun  16992  prmgaplcmlem1  17069  lagsubg  19176  psgnuni  19478  psgnran  19494  odmodnn0  19519  mndodconglem  19520  mndodcong  19521  odm1inv  19532  odmulg2  19534  odmulg  19535  odmulgeq  19536  odbezout  19537  odinv  19540  odf1  19541  gexod  19565  gexdvds3  19569  sylow1lem1  19577  sylow1lem3  19579  pgpfi  19584  pgpssslw  19593  sylow2alem2  19597  sylow2blem3  19601  fislw  19604  sylow3lem4  19609  sylow3lem6  19611  efginvrel2  19706  efgredlemf  19720  efgredlemd  19723  efgredlemc  19724  efgredlem  19726  efgcpbllemb  19734  odadd1  19827  odadd2  19828  gexexlem  19831  gexex  19832  torsubg  19833  lt6abl  19874  gsummulg  19921  ablfacrplem  20046  ablfacrp  20047  ablfacrp2  20048  ablfac1b  20051  ablfac1c  20052  ablfac1eulem  20053  ablfac1eu  20054  pgpfac1lem2  20056  pgpfaclem1  20062  ablfaclem3  20068  srgbinomlem3  20186  srgbinomlem4  20187  chrid  21484  znunit  21522  freshmansdream  21533  psgnghm  21538  asclmulg  21860  psrbaglefi  21884  psdvsca  22100  psdmul  22102  chfacfscmulfsupp  22795  chfacfpmmulfsupp  22799  cpmadugsumlemF  22812  dyadss  25545  dyaddisjlem  25546  ply1divex  26092  ply1termlem  26158  plyeq0lem  26165  plyaddlem1  26168  plymullem1  26169  coeeulem  26179  coeidlem  26192  coeeq2  26197  coemulhi  26209  dvply1  26241  dvply2g  26242  dvply2gOLD  26243  plydivex  26255  elqaalem2  26278  aareccl  26284  aannenlem1  26286  aalioulem1  26290  taylplem1  26320  taylplem2  26321  taylpfval  26322  dvtaylp  26328  taylthlem2  26332  taylthlem2OLD  26333  dvradcnv  26380  abelthlem7  26398  cxpeq  26717  birthdaylem2  26912  ftalem1  27033  basellem3  27043  isppw2  27075  isnsqf  27095  mule1  27108  ppinncl  27134  musum  27151  chtublem  27172  pclogsum  27176  vmasum  27177  dchrabs  27221  bcmax  27239  bposlem1  27245  bposlem6  27250  lgsval2lem  27268  lgsmod  27284  lgsne0  27296  gausslemma2dlem0h  27324  gausslemma2dlem0i  27325  gausslemma2dlem2  27328  gausslemma2dlem6  27333  gausslemma2d  27335  lgseisenlem1  27336  lgseisenlem2  27337  lgseisenlem3  27338  lgseisenlem4  27339  lgsquadlem1  27341  m1lgs  27349  2lgslem1a  27352  2lgslem3a  27357  2lgslem3b  27358  2lgslem3c  27359  2lgslem3d  27360  2lgslem3d1  27364  2lgsoddprmlem2  27370  2sqlem8  27387  2sqcoprm  27396  2sqmod  27397  chebbnd1lem1  27430  dchrisumlem1  27450  dchrisum0flblem1  27469  selberg2lem  27511  ostth2lem2  27595  ostth2lem3  27596  finsumvtxdg2sstep  29475  finsumvtxdgeven  29478  vtxdgoddnumeven  29479  redwlklem  29597  wlkdlem1  29608  pthdlem1  29694  crctcshwlkn0lem4  29741  wwlksnredwwlkn0  29824  wwlksnextproplem2  29838  clwwlkccatlem  29916  clwlkclwwlkfo  29936  clwwlkwwlksb  29981  clwwlkndivn  30007  eupth2lem3lem3  30157  eupth2lem3lem4  30158  eupth2lem3  30163  eupth2lems  30165  numclwwlk5  30315  numclwwlk6  30317  ex-ind-dvds  30388  nndiffz1  32709  elfzodif0  32717  fzo0opth  32728  ccatf1  32870  ccatdmss  32871  pfxlsw2ccat  32872  wrdt2ind  32875  chnind  32937  chnub  32938  gsumwrd2dccatlem  33006  cycpmfv1  33070  cycpmco2lem2  33084  cycpmco2lem3  33085  cycpmco2lem4  33086  cycpmco2lem5  33087  cycpmco2lem6  33088  cycpmco2  33090  cycpmrn  33100  cyc3genpm  33109  cycpmconjslem2  33112  cyc3conja  33114  archirng  33132  archirngz  33133  archiabllem1a  33135  elrspunidl  33389  ply1degltel  33550  ply1degltdimlem  33608  fldextrspundgdvds  33668  algextdeglem8  33704  rtelextdg2  33707  constrext2chnlem  33730  cos9thpiminplylem2  33763  cos9thpiminplylem3  33764  cos9thpiminplylem6  33767  cos9thpiminply  33768  madjusmdetlem4  33807  zrhcntr  33956  qqhval2lem  33958  oddpwdc  34332  eulerpartlems  34338  eulerpartlemb  34346  sseqfv1  34367  sseqfn  34368  sseqmw  34369  sseqf  34370  sseqfv2  34372  sseqp1  34373  ccatmulgnn0dir  34520  signsplypnf  34528  signsply0  34529  signslema  34540  signstfvn  34547  signstfvp  34549  signstfvc  34552  fsum2dsub  34585  reprinfz1  34600  reprfi2  34601  hashrepr  34603  reprdifc  34605  breprexplema  34608  breprexplemc  34610  circlemeth  34618  circlevma  34620  circlemethhgt  34621  hgt750lema  34635  tgoldbachgtde  34638  lpadlem3  34656  revpfxsfxrev  35084  revwlk  35093  subfacval3  35157  bcprod  35701  bccolsum  35702  fwddifnp1  36129  knoppndvlem6  36481  knoppndvlem7  36482  knoppndvlem10  36485  knoppndvlem14  36489  knoppndvlem15  36490  knoppndvlem16  36491  knoppndvlem17  36492  knoppndvlem19  36494  knoppndvlem21  36496  dfgcd3  37288  poimirlem3  37593  poimirlem4  37594  poimirlem6  37596  poimirlem13  37603  poimirlem14  37604  poimirlem17  37607  poimirlem21  37611  poimirlem22  37612  poimirlem23  37613  poimirlem26  37616  poimirlem27  37617  poimirlem31  37621  geomcau  37729  bccl2d  41950  lcmineqlem12  41999  lcmineqlem17  42004  dvrelogpow2b  42027  aks4d1p1p2  42029  aks4d1p1p4  42030  aks4d1p1p6  42032  aks4d1p1p7  42033  aks4d1p1p5  42034  aks4d1p1  42035  aks4d1p3  42037  aks4d1p6  42040  aks4d1p8d2  42044  aks4d1p8d3  42045  aks4d1p8  42046  primrootscoprmpow  42058  primrootlekpowne0  42064  aks6d1c1  42075  aks6d1c2p2  42078  aks6d1c2lem4  42086  aks6d1c2  42089  aks6d1c5lem3  42096  aks6d1c5lem2  42097  2np3bcnp1  42103  sticksstones5  42109  sticksstones6  42110  sticksstones7  42111  sticksstones10  42114  sticksstones11  42115  sticksstones12a  42116  sticksstones12  42117  sticksstones22  42127  aks6d1c6lem3  42131  bcled  42137  bcle2d  42138  aks6d1c7lem1  42139  aks6d1c7lem2  42140  grpods  42153  unitscyglem2  42155  unitscyglem4  42157  aks5lem8  42160  prodsplit  42199  sumcubes  42309  gcdle1d  42326  gcdle2d  42327  frlmvscadiccat  42476  fltdiv  42606  flt4lem4  42619  fltnltalem  42632  eldioph2lem1  42730  pellexlem5  42803  congrep  42944  jm2.18  42959  jm2.19lem1  42960  jm2.19lem2  42961  jm2.19  42964  jm2.22  42966  jm2.23  42967  jm2.20nn  42968  jm2.25  42970  jm2.26a  42971  jm2.26lem3  42972  jm2.26  42973  jm2.27a  42976  jm2.27b  42977  jm2.27c  42978  jm3.1  42991  expdiophlem1  42992  hbtlem5  43099  radcnvrat  44286  nzin  44290  bccbc  44317  binomcxplemnn0  44321  binomcxplemnotnn0  44328  fprodexp  45571  mccllem  45574  ioodvbdlimc1lem2  45909  ioodvbdlimc2lem  45911  dvnxpaek  45919  dvnmul  45920  dvnprodlem1  45923  dvnprodlem2  45924  wallispilem1  46042  wallispilem5  46046  stirlinglem3  46053  stirlinglem5  46055  stirlinglem7  46057  stirlinglem8  46058  fourierdlem102  46185  fourierdlem114  46197  sqwvfoura  46205  elaa2lem  46210  etransclem10  46221  etransclem20  46231  etransclem21  46232  etransclem22  46233  etransclem23  46234  etransclem24  46235  etransclem27  46238  etransclem28  46239  etransclem35  46246  etransclem38  46249  etransclem44  46255  etransclem45  46256  etransclem46  46257  sge0ad2en  46408  fsummmodsnunz  47337  fmtnoge3  47492  fmtnof1  47497  fmtnorec1  47499  sqrtpwpw2p  47500  fmtnodvds  47506  goldbachthlem2  47508  fmtnoprmfac2lem1  47528  lighneallem3  47569  lighneallem4b  47571  lighneallem4  47572  ssnn0ssfz  48272  altgsumbcALT  48276  flnn0ohalf  48462  dig2nn1st  48533  0dig2nn0o  48541  aacllem  49613