Theorem nn0zd 12516

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0zd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0zd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 12513	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2		nn0zd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	1, 2	sselid 3935	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ℕ₀cn0 12403  ℤcz 12490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491

This theorem is referenced by:  nnzd  12517  eluzmn  12761  difelfznle  13564  zmodfz  13816  expnegz  14022  expaddzlem  14031  expaddz  14032  expmulz  14034  faclbnd  14216  bcpasc  14247  hashf1  14383  fz1isolem  14387  hashge2el2dif  14406  hashtpg  14411  wrdffz  14461  ffz0iswrd  14467  wrdsymb0  14475  wrdlenge1n0  14476  ccatcl  14500  ccatval3  14505  ccatsymb  14508  ccatval21sw  14511  ccatass  14514  ccatrn  14515  lswccatn0lsw  14517  ccats1val2  14553  swrdnd  14580  swrdccat2  14595  pfxtrcfv0  14619  pfxtrcfvl  14622  pfxccat1  14627  swrdccatin2  14654  pfxccatin12  14658  pfxccatpfx2  14662  pfxccat3a  14663  splfv2a  14681  splval2  14682  revcl  14686  revccat  14691  revrev  14692  cshwmodn  14720  cshwsublen  14721  cshwn  14722  cshwidxmod  14728  2cshwid  14739  3cshw  14743  cshweqdif2  14744  revco  14760  ccatco  14761  ccat2s1fvwALT  14881  ofccat  14895  zabscl  15239  absrdbnd  15268  iseraltlem3  15610  fsum0diaglem  15702  modfsummods  15719  binomlem  15755  binom1p  15757  incexc2  15764  climcndslem1  15775  geoser  15793  pwm1geoser  15795  geolim2  15797  mertenslem1  15810  mertenslem2  15811  mertens  15812  binomfallfaclem2  15966  binomrisefac  15968  fallfacval4  15969  bpolydiflem  15980  ruclem10  16167  sumodd  16318  divalglem9  16331  divalgmod  16336  bitsfzolem  16364  bitsfzo  16365  bitsmod  16366  bitsfi  16367  bitsinv1lem  16371  sadcaddlem  16387  sadadd3  16391  sadaddlem  16396  sadadd  16397  sadasslem  16400  sadass  16401  sadeq  16402  bitsres  16403  bitsuz  16404  bitsshft  16405  smuval2  16412  smupvallem  16413  smupval  16418  smueqlem  16420  smumullem  16422  smumul  16423  gcdcllem1  16429  zeqzmulgcd  16440  gcd0id  16449  gcdneg  16452  modgcd  16462  gcdmultipled  16464  bezoutlem4  16472  dvdsgcdb  16475  gcdass  16477  mulgcd  16478  gcdzeq  16482  dvdsmulgcd  16486  bezoutr  16498  bezoutr1  16499  nn0seqcvgd  16500  algfx  16510  eucalginv  16514  eucalg  16517  gcddvdslcm  16532  lcmneg  16533  lcmgcdlem  16536  lcmdvds  16538  lcmgcdeq  16542  lcmdvdsb  16543  lcmass  16544  lcmftp  16566  lcmfunsnlem1  16567  lcmfunsnlem2lem1  16568  lcmfunsnlem2lem2  16569  lcmfunsnlem2  16570  lcmfdvdsb  16573  lcmfun  16575  lcmfass  16576  mulgcddvds  16585  rpmulgcd2  16586  qredeu  16588  divgcdcoprm0  16595  sqnprm  16632  prmdvdsbc  16656  divnumden  16678  powm2modprm  16734  coprimeprodsq  16739  iserodd  16766  pclem  16769  pcpre1  16773  pcpremul  16774  pcqcl  16787  pcdvdsb  16800  pcidlem  16803  pc2dvds  16810  pcprmpw2  16813  dvdsprmpweqle  16817  pcadd  16820  pcfac  16830  pcbc  16831  pockthlem  16836  prmreclem2  16848  prmreclem3  16849  mul4sqlem  16884  4sqlem11  16886  4sqlem12  16887  4sqlem14  16889  vdwapun  16905  prmgaplcmlem1  16982  lagsubg  19093  psgnuni  19397  psgnran  19413  odmodnn0  19438  mndodconglem  19439  mndodcong  19440  odm1inv  19451  odmulg2  19453  odmulg  19454  odmulgeq  19455  odbezout  19456  odinv  19459  odf1  19460  gexod  19484  gexdvds3  19488  sylow1lem1  19496  sylow1lem3  19498  pgpfi  19503  pgpssslw  19512  sylow2alem2  19516  sylow2blem3  19520  fislw  19523  sylow3lem4  19528  sylow3lem6  19530  efginvrel2  19625  efgredlemf  19639  efgredlemd  19642  efgredlemc  19643  efgredlem  19645  efgcpbllemb  19653  odadd1  19746  odadd2  19747  gexexlem  19750  gexex  19751  torsubg  19752  lt6abl  19793  gsummulg  19840  ablfacrplem  19965  ablfacrp  19966  ablfacrp2  19967  ablfac1b  19970  ablfac1c  19971  ablfac1eulem  19972  ablfac1eu  19973  pgpfac1lem2  19975  pgpfaclem1  19981  ablfaclem3  19987  srgbinomlem3  20132  srgbinomlem4  20133  chrid  21451  znunit  21489  freshmansdream  21500  psgnghm  21506  asclmulg  21828  psrbaglefi  21852  psdvsca  22068  psdmul  22070  chfacfscmulfsupp  22763  chfacfpmmulfsupp  22767  cpmadugsumlemF  22780  dyadss  25512  dyaddisjlem  25513  ply1divex  26059  ply1termlem  26125  plyeq0lem  26132  plyaddlem1  26135  plymullem1  26136  coeeulem  26146  coeidlem  26159  coeeq2  26164  coemulhi  26176  dvply1  26208  dvply2g  26209  dvply2gOLD  26210  plydivex  26222  elqaalem2  26245  aareccl  26251  aannenlem1  26253  aalioulem1  26257  taylplem1  26287  taylplem2  26288  taylpfval  26289  dvtaylp  26295  taylthlem2  26299  taylthlem2OLD  26300  dvradcnv  26347  abelthlem7  26365  cxpeq  26684  birthdaylem2  26879  ftalem1  27000  basellem3  27010  isppw2  27042  isnsqf  27062  mule1  27075  ppinncl  27101  musum  27118  chtublem  27139  pclogsum  27143  vmasum  27144  dchrabs  27188  bcmax  27206  bposlem1  27212  bposlem6  27217  lgsval2lem  27235  lgsmod  27251  lgsne0  27263  gausslemma2dlem0h  27291  gausslemma2dlem0i  27292  gausslemma2dlem2  27295  gausslemma2dlem6  27300  gausslemma2d  27302  lgseisenlem1  27303  lgseisenlem2  27304  lgseisenlem3  27305  lgseisenlem4  27306  lgsquadlem1  27308  m1lgs  27316  2lgslem1a  27319  2lgslem3a  27324  2lgslem3b  27325  2lgslem3c  27326  2lgslem3d  27327  2lgslem3d1  27331  2lgsoddprmlem2  27337  2sqlem8  27354  2sqcoprm  27363  2sqmod  27364  chebbnd1lem1  27397  dchrisumlem1  27417  dchrisum0flblem1  27436  selberg2lem  27478  ostth2lem2  27562  ostth2lem3  27563  finsumvtxdg2sstep  29514  finsumvtxdgeven  29517  vtxdgoddnumeven  29518  redwlklem  29634  wlkdlem1  29645  pthdlem1  29730  crctcshwlkn0lem4  29777  wwlksnredwwlkn0  29860  wwlksnextproplem2  29874  clwwlkccatlem  29952  clwlkclwwlkfo  29972  clwwlkwwlksb  30017  clwwlkndivn  30043  eupth2lem3lem3  30193  eupth2lem3lem4  30194  eupth2lem3  30199  eupth2lems  30201  numclwwlk5  30351  numclwwlk6  30353  ex-ind-dvds  30424  nndiffz1  32748  elfzodif0  32756  fzo0opth  32767  ccatf1  32909  ccatdmss  32910  pfxlsw2ccat  32911  wrdt2ind  32914  chnind  32972  chnub  32973  gsumwrd2dccatlem  33038  cycpmfv1  33074  cycpmco2lem2  33088  cycpmco2lem3  33089  cycpmco2lem4  33090  cycpmco2lem5  33091  cycpmco2lem6  33092  cycpmco2  33094  cycpmrn  33104  cyc3genpm  33113  cycpmconjslem2  33116  cyc3conja  33118  archirng  33149  archirngz  33150  archiabllem1a  33152  elrspunidl  33384  ply1degltel  33546  ply1degltdimlem  33608  fldextrspundgdvds  33667  algextdeglem8  33710  rtelextdg2  33713  constrext2chnlem  33736  cos9thpiminplylem2  33769  cos9thpiminplylem3  33770  cos9thpiminplylem6  33773  cos9thpiminply  33774  madjusmdetlem4  33816  zrhcntr  33965  qqhval2lem  33967  oddpwdc  34341  eulerpartlems  34347  eulerpartlemb  34355  sseqfv1  34376  sseqfn  34377  sseqmw  34378  sseqf  34379  sseqfv2  34381  sseqp1  34382  ccatmulgnn0dir  34529  signsplypnf  34537  signsply0  34538  signslema  34549  signstfvn  34556  signstfvp  34558  signstfvc  34561  fsum2dsub  34594  reprinfz1  34609  reprfi2  34610  hashrepr  34612  reprdifc  34614  breprexplema  34617  breprexplemc  34619  circlemeth  34627  circlevma  34629  circlemethhgt  34630  hgt750lema  34644  tgoldbachgtde  34647  lpadlem3  34665  revpfxsfxrev  35108  revwlk  35117  subfacval3  35181  bcprod  35730  bccolsum  35731  fwddifnp1  36158  knoppndvlem6  36510  knoppndvlem7  36511  knoppndvlem10  36514  knoppndvlem14  36518  knoppndvlem15  36519  knoppndvlem16  36520  knoppndvlem17  36521  knoppndvlem19  36523  knoppndvlem21  36525  dfgcd3  37317  poimirlem3  37622  poimirlem4  37623  poimirlem6  37625  poimirlem13  37632  poimirlem14  37633  poimirlem17  37636  poimirlem21  37640  poimirlem22  37641  poimirlem23  37642  poimirlem26  37645  poimirlem27  37646  poimirlem31  37650  geomcau  37758  bccl2d  41984  lcmineqlem12  42033  lcmineqlem17  42038  dvrelogpow2b  42061  aks4d1p1p2  42063  aks4d1p1p4  42064  aks4d1p1p6  42066  aks4d1p1p7  42067  aks4d1p1p5  42068  aks4d1p1  42069  aks4d1p3  42071  aks4d1p6  42074  aks4d1p8d2  42078  aks4d1p8d3  42079  aks4d1p8  42080  primrootscoprmpow  42092  primrootlekpowne0  42098  aks6d1c1  42109  aks6d1c2p2  42112  aks6d1c2lem4  42120  aks6d1c2  42123  aks6d1c5lem3  42130  aks6d1c5lem2  42131  2np3bcnp1  42137  sticksstones5  42143  sticksstones6  42144  sticksstones7  42145  sticksstones10  42148  sticksstones11  42149  sticksstones12a  42150  sticksstones12  42151  sticksstones22  42161  aks6d1c6lem3  42165  bcled  42171  bcle2d  42172  aks6d1c7lem1  42173  aks6d1c7lem2  42174  grpods  42187  unitscyglem2  42189  unitscyglem4  42191  aks5lem8  42194  sumcubes  42306  gcdle1d  42323  gcdle2d  42324  frlmvscadiccat  42499  fltdiv  42629  flt4lem4  42642  fltnltalem  42655  eldioph2lem1  42753  pellexlem5  42826  congrep  42966  jm2.18  42981  jm2.19lem1  42982  jm2.19lem2  42983  jm2.19  42986  jm2.22  42988  jm2.23  42989  jm2.20nn  42990  jm2.25  42992  jm2.26a  42993  jm2.26lem3  42994  jm2.26  42995  jm2.27a  42998  jm2.27b  42999  jm2.27c  43000  jm3.1  43013  expdiophlem1  43014  hbtlem5  43121  radcnvrat  44307  nzin  44311  bccbc  44338  binomcxplemnn0  44342  binomcxplemnotnn0  44349  fprodexp  45595  mccllem  45598  ioodvbdlimc1lem2  45933  ioodvbdlimc2lem  45935  dvnxpaek  45943  dvnmul  45944  dvnprodlem1  45947  dvnprodlem2  45948  wallispilem1  46066  wallispilem5  46070  stirlinglem3  46077  stirlinglem5  46079  stirlinglem7  46081  stirlinglem8  46082  fourierdlem102  46209  fourierdlem114  46221  sqwvfoura  46229  elaa2lem  46234  etransclem10  46245  etransclem20  46255  etransclem21  46256  etransclem22  46257  etransclem23  46258  etransclem24  46259  etransclem27  46262  etransclem28  46263  etransclem35  46270  etransclem38  46273  etransclem44  46279  etransclem45  46280  etransclem46  46281  sge0ad2en  46432  fsummmodsnunz  47379  fmtnoge3  47534  fmtnof1  47539  fmtnorec1  47541  sqrtpwpw2p  47542  fmtnodvds  47548  goldbachthlem2  47550  fmtnoprmfac2lem1  47570  lighneallem3  47611  lighneallem4b  47613  lighneallem4  47614  ssnn0ssfz  48353  altgsumbcALT  48357  flnn0ohalf  48539  dig2nn1st  48610  0dig2nn0o  48618  aacllem  49806