Theorem fzo1fzo0n0 13890

Description: An integer between 1 and an upper bound of a half-open integer range is not 0 and between 0 and the upper bound of the half-open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzo1fzo0n0	⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0))

Proof of Theorem fzo1fzo0n0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo2 13836	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2		elnnuz 13045	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘1))
3		nnnn0 12653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
4	3	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℕ0)
5	4	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
6		nngt0 12409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 0 < 𝐾)
7		0red 11350	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
8		nnre 12382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
9	8	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
10		zre 12737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
11	10	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
12		lttr 11425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
13	7, 9, 11, 12	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((0 < 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
14		elnnz 12743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
15	14	simplbi2 506	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 < 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))
16	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (0 < 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))
17	13, 16	syld 48	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((0 < 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ))
18	17	exp4b 436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℕ → (0 < 𝐾 → (𝐾 < 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))))
19	18	com13 89	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 < 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))))
20	6, 19	mpcom 39	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ)))
21	20	imp31 423	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
22		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
23	5, 21, 22	3jca 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
24	23	exp31 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))))
25	2, 24	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))))
26	25	3imp 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
27		elfzo0 13875	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
28	26, 27	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
29		nnne0 12412	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≠ 0)
30	2, 29	sylbir 238	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝐾 ≠ 0)
31	30	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ≠ 0)
32	28, 31	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0))
33	1, 32	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0))
34		elnnne0 12660	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≠ 0))
35		nnge1 12406	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐾)
36	34, 35	sylbir 238	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≠ 0) → 1 ≤ 𝐾)
37	36	3ad2antl1 1204	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → 1 ≤ 𝐾)
38		simpl3 1212	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → 𝐾 < 𝑁)
39		nn0z 12757	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
40	39	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
41		1zzd 12767	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
42		nnz 12754	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
43	42	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
44	40, 41, 43	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
45	44	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
46	45	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
47		elfzo 13835	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)))
48	46, 47	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)))
49	37, 38, 48	mpbir2and 726	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → 𝐾 ∈ (1..^𝑁))
50	27, 49	sylanb 593	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → 𝐾 ∈ (1..^𝑁))
51	33, 50	impbii 212	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   < clt 11382   ≤ cle 11383  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  ℤ_≥cuz 13005  ..^cfzo 13828

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829

This theorem is used by:  elfzodif0  13945  modprmn0modprm0  17029  chnind  18845  crctcshwlkn0  30467  clwwisshclwws  30663  upgr4cycl4dv4e  30843  cycpmco2lem4  33789  modn0mul  48706  iccpartigtl  48778  iccpartgt  48782