Theorem fzo1fzo0n0 13854

Description: An integer between 1 and an upper bound of a half-open integer range is not 0 and between 0 and the upper bound of the half-open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzo1fzo0n0	⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0))

Proof of Theorem fzo1fzo0n0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo2 13800	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2		elnnuz 13009	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘1))
3		nnnn0 12617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
4	3	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℕ0)
5	4	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
6		nngt0 12373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 0 < 𝐾)
7		0red 11315	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
8		nnre 12346	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
9	8	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
10		zre 12701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
11	10	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
12		lttr 11390	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
13	7, 9, 11, 12	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((0 < 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
14		elnnz 12707	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
15	14	simplbi2 506	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 < 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))
16	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (0 < 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))
17	13, 16	syld 48	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((0 < 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ))
18	17	exp4b 436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℕ → (0 < 𝐾 → (𝐾 < 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))))
19	18	com13 89	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 < 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))))
20	6, 19	mpcom 39	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ)))
21	20	imp31 423	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
22		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
23	5, 21, 22	3jca 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
24	23	exp31 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))))
25	2, 24	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))))
26	25	3imp 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
27		elfzo0 13839	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
28	26, 27	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
29		nnne0 12376	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≠ 0)
30	2, 29	sylbir 238	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝐾 ≠ 0)
31	30	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ≠ 0)
32	28, 31	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0))
33	1, 32	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0))
34		elnnne0 12624	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≠ 0))
35		nnge1 12370	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐾)
36	34, 35	sylbir 238	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≠ 0) → 1 ≤ 𝐾)
37	36	3ad2antl1 1204	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → 1 ≤ 𝐾)
38		simpl3 1212	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → 𝐾 < 𝑁)
39		nn0z 12721	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
40	39	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
41		1zzd 12731	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
42		nnz 12718	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
43	42	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
44	40, 41, 43	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
45	44	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
46	45	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
47		elfzo 13799	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)))
48	46, 47	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)))
49	37, 38, 48	mpbir2and 726	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → 𝐾 ∈ (1..^𝑁))
50	27, 49	sylanb 593	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → 𝐾 ∈ (1..^𝑁))
51	33, 50	impbii 212	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℝcr 11203  0cc0 11204  1c1 11205   < clt 11347   ≤ cle 11348  ℕcn 12339  ℕ₀cn0 12610  ℤcz 12697  ℤ_≥cuz 12969  ..^cfzo 13792

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-fzo 13793

This theorem is used by:  elfzodif0  13909  modprmn0modprm0  16991  chnind  18801  crctcshwlkn0  30416  clwwisshclwws  30612  upgr4cycl4dv4e  30792  cycpmco2lem4  33737  modn0mul  48527  iccpartigtl  48599  iccpartgt  48603