Theorem ellz1 40612

Description: Membership in a lower set of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ellz1	⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝐵 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

Proof of Theorem ellz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3899	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝐵 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 1))))
2		zltp1le 12398	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
3	2	notbid 317	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
4		zre 12351	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
5		zre 12351	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
6		lenlt 11081	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
7	4, 5, 6	syl2anr 596	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
8		peano2z 12389	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
9		eluz 12624	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 1)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
10	8, 9	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 1)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
11	10	notbid 317	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 1)) ↔ ¬ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
12	3, 7, 11	3bitr4rd 311	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 1)) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
13	12	pm5.32da 578	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
14	1, 13	bitrid 282	1 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝐵 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2101   ∖ cdif 3886   class class class wbr 5077  ‘cfv 6447  (class class class)co 7295  ℝcr 10898  1c1 10900   + caddc 10902   < clt 11037   ≤ cle 11038  ℤcz 12347  ℤ_≥cuz 12610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-er 8518  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-nn 12002  df-n0 12262  df-z 12348  df-uz 12611

This theorem is referenced by:  lzunuz  40613  fz1eqin  40614  lzenom  40615