Theorem ellz1 43446

Description: Membership in a lower set of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ellz1	⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝐵 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

Proof of Theorem ellz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3914	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝐵 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 1))))
2		zltp1le 12643	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
3	2	notbid 321	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
4		zre 12594	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
5		zre 12594	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
6		lenlt 11287	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
7	4, 5, 6	syl2anr 608	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
8		peano2z 12634	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
9		eluz 12875	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 1)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
10	8, 9	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 1)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
11	10	notbid 321	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 1)) ↔ ¬ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
12	3, 7, 11	3bitr4rd 315	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 1)) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
13	12	pm5.32da 589	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
14	1, 13	bitrid 286	1 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝐵 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2141   ∖ cdif 3901   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11098  1c1 11100   + caddc 11102   < clt 11242   ≤ cle 11243  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862

This theorem is referenced by:  lzunuz  43447  fz1eqin  43448  lzenom  43449