Theorem ellz1 40547

Description: Membership in a lower set of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ellz1	⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝐵 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

Proof of Theorem ellz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3898	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝐵 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 1))))
2		zltp1le 12316	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
3	2	notbid 317	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
4		zre 12269	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
5		zre 12269	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
6		lenlt 11000	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
7	4, 5, 6	syl2anr 596	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
8		peano2z 12307	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
9		eluz 12541	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 1)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
10	8, 9	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 1)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
11	10	notbid 317	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 1)) ↔ ¬ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
12	3, 7, 11	3bitr4rd 311	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 1)) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
13	12	pm5.32da 578	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
14	1, 13	syl5bb 282	1 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝐵 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3885   class class class wbr 5075  ‘cfv 6423  (class class class)co 7260  ℝcr 10817  1c1 10819   + caddc 10821   < clt 10956   ≤ cle 10957  ℤcz 12265  ℤ_≥cuz 12527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7571  ax-cnex 10874  ax-resscn 10875  ax-1cn 10876  ax-icn 10877  ax-addcl 10878  ax-addrcl 10879  ax-mulcl 10880  ax-mulrcl 10881  ax-mulcom 10882  ax-addass 10883  ax-mulass 10884  ax-distr 10885  ax-i2m1 10886  ax-1ne0 10887  ax-1rid 10888  ax-rnegex 10889  ax-rrecex 10890  ax-cnre 10891  ax-pre-lttri 10892  ax-pre-lttrn 10893  ax-pre-ltadd 10894  ax-pre-mulgt0 10895

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rab 3071  df-v 3429  df-sbc 3717  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6259  df-on 6260  df-lim 6261  df-suc 6262  df-iota 6381  df-fun 6425  df-fn 6426  df-f 6427  df-f1 6428  df-fo 6429  df-f1o 6430  df-fv 6431  df-riota 7217  df-ov 7263  df-oprab 7264  df-mpo 7265  df-om 7693  df-2nd 7810  df-frecs 8073  df-wrecs 8104  df-recs 8178  df-rdg 8217  df-er 8461  df-en 8697  df-dom 8698  df-sdom 8699  df-pnf 10958  df-mnf 10959  df-xr 10960  df-ltxr 10961  df-le 10962  df-sub 11153  df-neg 11154  df-nn 11920  df-n0 12180  df-z 12266  df-uz 12528

This theorem is referenced by:  lzunuz  40548  fz1eqin  40549  lzenom  40550