Theorem ellz1 43716

Description: Membership in a lower set of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ellz1	⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝐵 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

Proof of Theorem ellz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3908	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝐵 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 1))))
2		zltp1le 12715	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
3	2	notbid 321	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
4		zre 12666	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
5		zre 12666	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
6		lenlt 11359	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
7	4, 5, 6	syl2anr 609	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
8		peano2z 12706	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
9		eluz 12948	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 1)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
10	8, 9	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 1)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
11	10	notbid 321	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 1)) ↔ ¬ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
12	3, 7, 11	3bitr4rd 315	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 1)) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
13	12	pm5.32da 590	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(𝐵 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
14	1, 13	bitrid 286	1 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝐵 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3895   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℝcr 11170  1c1 11172   + caddc 11174   < clt 11314   ≤ cle 11315  ℤcz 12662  ℤ_≥cuz 12934

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935

This theorem is used by:  lzunuz  43717  fz1eqin  43718  lzenom  43719