MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmgp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsmgp 20019
Description: The multiplicative monoid of a product is the product of the multiplicative monoids of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmgp.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsmgp.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
prdsmgp.z 𝑍 = (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))
prdsmgp.i (𝜑𝐼𝑉)
prdsmgp.s (𝜑𝑆𝑊)
prdsmgp.r (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
Assertion
Ref Expression
prdsmgp (𝜑 → ((Base‘𝑀) = (Base‘𝑍) ∧ (+g𝑀) = (+g𝑍)))

Proof of Theorem prdsmgp
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . . . 6 (mulGrp‘(𝑅𝑥)) = (mulGrp‘(𝑅𝑥))
2 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘(𝑅𝑥)) = (Base‘(𝑅𝑥))
31, 2mgpbas 19893 . . . . 5 (Base‘(𝑅𝑥)) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅𝑥)))
4 prdsmgp.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
5 fvco2 6935 . . . . . . . 8 ((𝑅 Fn 𝐼𝑥𝐼) → ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥) = (mulGrp‘(𝑅𝑥)))
64, 5sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥) = (mulGrp‘(𝑅𝑥)))
76eqcomd 2742 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (mulGrp‘(𝑅𝑥)) = ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥))
87fveq2d 6843 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (Base‘(mulGrp‘(𝑅𝑥))) = (Base‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥)))
93, 8eqtrid 2788 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (Base‘(𝑅𝑥)) = (Base‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥)))
109ixpeq2dva 8846 . . 3 (𝜑X𝑥𝐼 (Base‘(𝑅𝑥)) = X𝑥𝐼 (Base‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥)))
11 prdsmgp.y . . . 4 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
12 prdsmgp.m . . . . . 6 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
13 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
1412, 13mgpbas 19893 . . . . 5 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑀)
1514eqcomi 2745 . . . 4 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑌)
16 prdsmgp.s . . . 4 (𝜑𝑆𝑊)
17 prdsmgp.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
1811, 15, 16, 17, 4prdsbas2 17343 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝑀) = X𝑥𝐼 (Base‘(𝑅𝑥)))
19 prdsmgp.z . . . 4 𝑍 = (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))
20 eqid 2736 . . . 4 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
21 fnmgp 19889 . . . . 5 mulGrp Fn V
22 ssv 3966 . . . . . 6 ran 𝑅 ⊆ V
2322a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝑅 ⊆ V)
24 fnco 6615 . . . . 5 ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑅 ⊆ V) → (mulGrp ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
2521, 4, 23, 24mp3an2i 1466 . . . 4 (𝜑 → (mulGrp ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
2619, 20, 16, 17, 25prdsbas2 17343 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝑍) = X𝑥𝐼 (Base‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥)))
2710, 18, 263eqtr4d 2786 . 2 (𝜑 → (Base‘𝑀) = (Base‘𝑍))
28 eqid 2736 . . . 4 (.r𝑌) = (.r𝑌)
2912, 28mgpplusg 19891 . . 3 (.r𝑌) = (+g𝑀)
30 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘(𝑅𝑧)) = (mulGrp‘(𝑅𝑧))
31 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (.r‘(𝑅𝑧)) = (.r‘(𝑅𝑧))
3230, 31mgpplusg 19891 . . . . . . . 8 (.r‘(𝑅𝑧)) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅𝑧)))
33 fvco2 6935 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Fn 𝐼𝑧𝐼) → ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧) = (mulGrp‘(𝑅𝑧)))
344, 33sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐼) → ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧) = (mulGrp‘(𝑅𝑧)))
3534eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐼) → (mulGrp‘(𝑅𝑧)) = ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))
3635fveq2d 6843 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐼) → (+g‘(mulGrp‘(𝑅𝑧))) = (+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧)))
3732, 36eqtrid 2788 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐼) → (.r‘(𝑅𝑧)) = (+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧)))
3837oveqd 7370 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐼) → ((𝑥𝑧)(.r‘(𝑅𝑧))(𝑦𝑧)) = ((𝑥𝑧)(+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))(𝑦𝑧)))
3938mpteq2dva 5203 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧)(.r‘(𝑅𝑧))(𝑦𝑧))) = (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧)(+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))(𝑦𝑧))))
4027, 27, 39mpoeq123dv 7428 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀), 𝑦 ∈ (Base‘𝑀) ↦ (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧)(.r‘(𝑅𝑧))(𝑦𝑧)))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑍), 𝑦 ∈ (Base‘𝑍) ↦ (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧)(+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))(𝑦𝑧)))))
41 fnex 7163 . . . . . 6 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) → 𝑅 ∈ V)
424, 17, 41syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ V)
434fndmd 6604 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
4411, 16, 42, 15, 43, 28prdsmulr 17333 . . . 4 (𝜑 → (.r𝑌) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑀), 𝑦 ∈ (Base‘𝑀) ↦ (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧)(.r‘(𝑅𝑧))(𝑦𝑧)))))
45 fnex 7163 . . . . . 6 (((mulGrp ∘ 𝑅) Fn 𝐼𝐼𝑉) → (mulGrp ∘ 𝑅) ∈ V)
4625, 17, 45syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (mulGrp ∘ 𝑅) ∈ V)
4725fndmd 6604 . . . . 5 (𝜑 → dom (mulGrp ∘ 𝑅) = 𝐼)
48 eqid 2736 . . . . 5 (+g𝑍) = (+g𝑍)
4919, 16, 46, 20, 47, 48prdsplusg 17332 . . . 4 (𝜑 → (+g𝑍) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑍), 𝑦 ∈ (Base‘𝑍) ↦ (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧)(+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))(𝑦𝑧)))))
5040, 44, 493eqtr4d 2786 . . 3 (𝜑 → (.r𝑌) = (+g𝑍))
5129, 50eqtr3id 2790 . 2 (𝜑 → (+g𝑀) = (+g𝑍))
5227, 51jca 512 1 (𝜑 → ((Base‘𝑀) = (Base‘𝑍) ∧ (+g𝑀) = (+g𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3443  wss 3908  cmpt 5186  ran crn 5632  ccom 5635   Fn wfn 6488  cfv 6493  (class class class)co 7353  cmpo 7355  Xcixp 8831  Basecbs 17075  +gcplusg 17125  .rcmulr 17126  Xscprds 17319  mulGrpcmgp 19887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-map 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9374  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12410  df-z 12496  df-dec 12615  df-uz 12760  df-fz 13417  df-struct 17011  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-sca 17141  df-vsca 17142  df-ip 17143  df-tset 17144  df-ple 17145  df-ds 17147  df-hom 17149  df-cco 17150  df-prds 17321  df-mgp 19888
This theorem is referenced by:  prdsringd  20021  prdscrngd  20022  prds1  20023  pwsmgp  20027
  Copyright terms: Public domain W3C validator