Theorem prdsmgp 20111

Description: The multiplicative monoid of a product is the product of the multiplicative monoids of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsmgp.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsmgp.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
prdsmgp.z	⊢ 𝑍 = (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))
prdsmgp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
prdsmgp.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
prdsmgp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
prdsmgp	⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑀) = (Base‘𝑍) ∧ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑍)))

Proof of Theorem prdsmgp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘(𝑅‘𝑥)) = (mulGrp‘(𝑅‘𝑥))
2		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘(𝑅‘𝑥))
3	1, 2	mgpbas 20105	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅‘𝑥)))
4		prdsmgp.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
5		fvco2 6976	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥) = (mulGrp‘(𝑅‘𝑥)))
6	4, 5	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥) = (mulGrp‘(𝑅‘𝑥)))
7	6	eqcomd 2741	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (mulGrp‘(𝑅‘𝑥)) = ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥))
8	7	fveq2d 6880	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(mulGrp‘(𝑅‘𝑥))) = (Base‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥)))
9	3, 8	eqtrid 2782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥)))
10	9	ixpeq2dva 8926	. . 3 ⊢ (𝜑 → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥)) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥)))
11		prdsmgp.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
12		prdsmgp.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
13		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
14	12, 13	mgpbas 20105	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑀)
15	14	eqcomi 2744	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑌)
16		prdsmgp.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
17		prdsmgp.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
18	11, 15, 16, 17, 4	prdsbas2 17483	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑀) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥)))
19		prdsmgp.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))
20		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
21		fnmgp 20102	. . . . 5 ⊢ mulGrp Fn V
22		ssv 3983	. . . . . 6 ⊢ ran 𝑅 ⊆ V
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝑅 ⊆ V)
24		fnco 6656	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑅 ⊆ V) → (mulGrp ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
25	21, 4, 23, 24	mp3an2i 1468	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
26	19, 20, 16, 17, 25	prdsbas2 17483	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑍) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥)))
27	10, 18, 26	3eqtr4d 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑀) = (Base‘𝑍))
28		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑌) = (.r‘𝑌)
29	12, 28	mgpplusg 20104	. . 3 ⊢ (.r‘𝑌) = (+g‘𝑀)
30		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘(𝑅‘𝑧)) = (mulGrp‘(𝑅‘𝑧))
31		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘(𝑅‘𝑧)) = (.r‘(𝑅‘𝑧))
32	30, 31	mgpplusg 20104	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘(𝑅‘𝑧)) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅‘𝑧)))
33		fvco2 6976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧) = (mulGrp‘(𝑅‘𝑧)))
34	4, 33	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧) = (mulGrp‘(𝑅‘𝑧)))
35	34	eqcomd 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (mulGrp‘(𝑅‘𝑧)) = ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))
36	35	fveq2d 6880	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (+g‘(mulGrp‘(𝑅‘𝑧))) = (+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧)))
37	32, 36	eqtrid 2782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (.r‘(𝑅‘𝑧)) = (+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧)))
38	37	oveqd 7422	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑧)(.r‘(𝑅‘𝑧))(𝑦‘𝑧)) = ((𝑥‘𝑧)(+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))(𝑦‘𝑧)))
39	38	mpteq2dva 5214	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧)(.r‘(𝑅‘𝑧))(𝑦‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧)(+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))(𝑦‘𝑧))))
40	27, 27, 39	mpoeq123dv 7482	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀), 𝑦 ∈ (Base‘𝑀) ↦ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧)(.r‘(𝑅‘𝑧))(𝑦‘𝑧)))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑍), 𝑦 ∈ (Base‘𝑍) ↦ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧)(+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))(𝑦‘𝑧)))))
41		fnex 7209	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ V)
42	4, 17, 41	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
43	4	fndmd 6643	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
44	11, 16, 42, 15, 43, 28	prdsmulr 17473	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑌) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑀), 𝑦 ∈ (Base‘𝑀) ↦ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧)(.r‘(𝑅‘𝑧))(𝑦‘𝑧)))))
45		fnex 7209	. . . . . 6 ⊢ (((mulGrp ∘ 𝑅) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (mulGrp ∘ 𝑅) ∈ V)
46	25, 17, 45	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (mulGrp ∘ 𝑅) ∈ V)
47	25	fndmd 6643	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (mulGrp ∘ 𝑅) = 𝐼)
48		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑍) = (+g‘𝑍)
49	19, 16, 46, 20, 47, 48	prdsplusg 17472	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑍) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑍), 𝑦 ∈ (Base‘𝑍) ↦ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧)(+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))(𝑦‘𝑧)))))
50	40, 44, 49	3eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑌) = (+g‘𝑍))
51	29, 50	eqtr3id 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑍))
52	27, 51	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑀) = (Base‘𝑍) ∧ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926   ↦ cmpt 5201  ran crn 5655   ∘ ccom 5658   Fn wfn 6526  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  Xcixp 8911  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  ._rcmulr 17272  X_scprds 17459  mulGrpcmgp 20100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-hom 17295  df-cco 17296  df-prds 17461  df-mgp 20101

This theorem is referenced by:  prdsrngd  20136  prdsringd  20281  prdscrngd  20282  prds1  20283  pwsmgp  20287