Theorem prdsmgp 20227

Description: The multiplicative monoid of a product is the product of the multiplicative monoids of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsmgp.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsmgp.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
prdsmgp.z	⊢ 𝑍 = (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))
prdsmgp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
prdsmgp.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
prdsmgp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
prdsmgp	⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑀) = (Base‘𝑍) ∧ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑍)))

Proof of Theorem prdsmgp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘(𝑅‘𝑥)) = (mulGrp‘(𝑅‘𝑥))
2		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘(𝑅‘𝑥))
3	1, 2	mgpbas 20221	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅‘𝑥)))
4		prdsmgp.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
5		fvco2 6979	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥) = (mulGrp‘(𝑅‘𝑥)))
6	4, 5	sylan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥) = (mulGrp‘(𝑅‘𝑥)))
7	6	eqcomd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (mulGrp‘(𝑅‘𝑥)) = ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥))
8	7	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(mulGrp‘(𝑅‘𝑥))) = (Base‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥)))
9	3, 8	eqtrid 2816	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥)))
10	9	ixpeq2dva 8910	. . 3 ⊢ (𝜑 → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥)) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥)))
11		prdsmgp.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
12		prdsmgp.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
13		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
14	12, 13	mgpbas 20221	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑀)
15	14	eqcomi 2778	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑌)
16		prdsmgp.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
17		prdsmgp.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
18	11, 15, 16, 17, 4	prdsbas2 17522	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑀) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥)))
19		prdsmgp.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))
20		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
21		fnmgp 20218	. . . . 5 ⊢ mulGrp Fn V
22		ssv 3967	. . . . . 6 ⊢ ran 𝑅 ⊆ V
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝑅 ⊆ V)
24		fnco 6654	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑅 ⊆ V) → (mulGrp ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
25	21, 4, 23, 24	mp3an2i 1492	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
26	19, 20, 16, 17, 25	prdsbas2 17522	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑍) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥)))
27	10, 18, 26	3eqtr4d 2814	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑀) = (Base‘𝑍))
28		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑌) = (.r‘𝑌)
29	12, 28	mgpplusg 20220	. . 3 ⊢ (.r‘𝑌) = (+g‘𝑀)
30		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘(𝑅‘𝑧)) = (mulGrp‘(𝑅‘𝑧))
31		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘(𝑅‘𝑧)) = (.r‘(𝑅‘𝑧))
32	30, 31	mgpplusg 20220	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘(𝑅‘𝑧)) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅‘𝑧)))
33		fvco2 6979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧) = (mulGrp‘(𝑅‘𝑧)))
34	4, 33	sylan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧) = (mulGrp‘(𝑅‘𝑧)))
35	34	eqcomd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (mulGrp‘(𝑅‘𝑧)) = ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))
36	35	fveq2d 6886	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (+g‘(mulGrp‘(𝑅‘𝑧))) = (+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧)))
37	32, 36	eqtrid 2816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (.r‘(𝑅‘𝑧)) = (+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧)))
38	37	oveqd 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑧)(.r‘(𝑅‘𝑧))(𝑦‘𝑧)) = ((𝑥‘𝑧)(+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))(𝑦‘𝑧)))
39	38	mpteq2dva 5206	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧)(.r‘(𝑅‘𝑧))(𝑦‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧)(+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))(𝑦‘𝑧))))
40	27, 27, 39	mpoeq123dv 7486	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀), 𝑦 ∈ (Base‘𝑀) ↦ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧)(.r‘(𝑅‘𝑧))(𝑦‘𝑧)))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑍), 𝑦 ∈ (Base‘𝑍) ↦ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧)(+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))(𝑦‘𝑧)))))
41		fnex 7216	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ V)
42	4, 17, 41	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
43	4	fndmd 6641	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
44	11, 16, 42, 15, 43, 28	prdsmulr 17512	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑌) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑀), 𝑦 ∈ (Base‘𝑀) ↦ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧)(.r‘(𝑅‘𝑧))(𝑦‘𝑧)))))
45		fnex 7216	. . . . . 6 ⊢ (((mulGrp ∘ 𝑅) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (mulGrp ∘ 𝑅) ∈ V)
46	25, 17, 45	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (mulGrp ∘ 𝑅) ∈ V)
47	25	fndmd 6641	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (mulGrp ∘ 𝑅) = 𝐼)
48		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑍) = (+g‘𝑍)
49	19, 16, 46, 20, 47, 48	prdsplusg 17511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑍) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑍), 𝑦 ∈ (Base‘𝑍) ↦ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧)(+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))(𝑦‘𝑧)))))
50	40, 44, 49	3eqtr4d 2814	. . 3 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑌) = (+g‘𝑍))
51	29, 50	eqtr3id 2818	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑍))
52	27, 51	jca 520	1 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑀) = (Base‘𝑍) ∧ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3461   ⊆ wss 3911   ↦ cmpt 5194  ran crn 5663   ∘ ccom 5666   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  Xcixp 8895  Basecbs 17269  +_gcplusg 17310  ._rcmulr 17311  X_scprds 17498  mulGrpcmgp 20216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-hom 17334  df-cco 17335  df-prds 17500  df-mgp 20217

This theorem is referenced by:  prdsrngd  20254  prdsringd  20402  prdscrngd  20403  prds1  20404  pwsmgp  20408