Theorem prdsmgp 20199

Description: The multiplicative monoid of a product is the product of the multiplicative monoids of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsmgp.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsmgp.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
prdsmgp.z	⊢ 𝑍 = (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))
prdsmgp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
prdsmgp.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
prdsmgp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
prdsmgp	⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑀) = (Base‘𝑍) ∧ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑍)))

Proof of Theorem prdsmgp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘(𝑅‘𝑥)) = (mulGrp‘(𝑅‘𝑥))
2		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘(𝑅‘𝑥))
3	1, 2	mgpbas 20193	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅‘𝑥)))
4		prdsmgp.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
5		fvco2 6966	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥) = (mulGrp‘(𝑅‘𝑥)))
6	4, 5	sylan 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥) = (mulGrp‘(𝑅‘𝑥)))
7	6	eqcomd 2770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (mulGrp‘(𝑅‘𝑥)) = ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥))
8	7	fveq2d 6873	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(mulGrp‘(𝑅‘𝑥))) = (Base‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥)))
9	3, 8	eqtrid 2811	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥)))
10	9	ixpeq2dva 8896	. . 3 ⊢ (𝜑 → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥)) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥)))
11		prdsmgp.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
12		prdsmgp.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
13		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
14	12, 13	mgpbas 20193	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑀)
15	14	eqcomi 2773	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑌)
16		prdsmgp.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
17		prdsmgp.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
18	11, 15, 16, 17, 4	prdsbas2 17500	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑀) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥)))
19		prdsmgp.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))
20		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
21		fnmgp 20190	. . . . 5 ⊢ mulGrp Fn V
22		ssv 3962	. . . . . 6 ⊢ ran 𝑅 ⊆ V
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝑅 ⊆ V)
24		fnco 6641	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑅 ⊆ V) → (mulGrp ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
25	21, 4, 23, 24	mp3an2i 1489	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
26	19, 20, 16, 17, 25	prdsbas2 17500	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑍) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥)))
27	10, 18, 26	3eqtr4d 2809	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑀) = (Base‘𝑍))
28		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑌) = (.r‘𝑌)
29	12, 28	mgpplusg 20192	. . 3 ⊢ (.r‘𝑌) = (+g‘𝑀)
30		eqid 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘(𝑅‘𝑧)) = (mulGrp‘(𝑅‘𝑧))
31		eqid 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘(𝑅‘𝑧)) = (.r‘(𝑅‘𝑧))
32	30, 31	mgpplusg 20192	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘(𝑅‘𝑧)) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅‘𝑧)))
33		fvco2 6966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧) = (mulGrp‘(𝑅‘𝑧)))
34	4, 33	sylan 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧) = (mulGrp‘(𝑅‘𝑧)))
35	34	eqcomd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (mulGrp‘(𝑅‘𝑧)) = ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))
36	35	fveq2d 6873	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (+g‘(mulGrp‘(𝑅‘𝑧))) = (+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧)))
37	32, 36	eqtrid 2811	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (.r‘(𝑅‘𝑧)) = (+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧)))
38	37	oveqd 7415	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑧)(.r‘(𝑅‘𝑧))(𝑦‘𝑧)) = ((𝑥‘𝑧)(+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))(𝑦‘𝑧)))
39	38	mpteq2dva 5195	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧)(.r‘(𝑅‘𝑧))(𝑦‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧)(+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))(𝑦‘𝑧))))
40	27, 27, 39	mpoeq123dv 7473	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀), 𝑦 ∈ (Base‘𝑀) ↦ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧)(.r‘(𝑅‘𝑧))(𝑦‘𝑧)))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑍), 𝑦 ∈ (Base‘𝑍) ↦ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧)(+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))(𝑦‘𝑧)))))
41		fnex 7203	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ V)
42	4, 17, 41	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
43	4	fndmd 6628	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
44	11, 16, 42, 15, 43, 28	prdsmulr 17490	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑌) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑀), 𝑦 ∈ (Base‘𝑀) ↦ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧)(.r‘(𝑅‘𝑧))(𝑦‘𝑧)))))
45		fnex 7203	. . . . . 6 ⊢ (((mulGrp ∘ 𝑅) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (mulGrp ∘ 𝑅) ∈ V)
46	25, 17, 45	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (mulGrp ∘ 𝑅) ∈ V)
47	25	fndmd 6628	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (mulGrp ∘ 𝑅) = 𝐼)
48		eqid 2764	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑍) = (+g‘𝑍)
49	19, 16, 46, 20, 47, 48	prdsplusg 17489	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑍) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑍), 𝑦 ∈ (Base‘𝑍) ↦ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧)(+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))(𝑦‘𝑧)))))
50	40, 44, 49	3eqtr4d 2809	. . 3 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑌) = (+g‘𝑍))
51	29, 50	eqtr3id 2813	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑍))
52	27, 51	jca 519	1 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑀) = (Base‘𝑍) ∧ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  Vcvv 3456   ⊆ wss 3906   ↦ cmpt 5183  ran crn 5650   ∘ ccom 5653   Fn wfn 6518  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398   ∈ cmpo 7400  Xcixp 8881  Basecbs 17247  +_gcplusg 17288  ._rcmulr 17289  X_scprds 17476  mulGrpcmgp 20188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-map 8812  df-ixp 8882  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-sup 9390  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-fz 13515  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-ip 17306  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-hom 17312  df-cco 17313  df-prds 17478  df-mgp 20189

This theorem is referenced by:  prdsrngd  20224  prdsringd  20371  prdscrngd  20372  prds1  20373  pwsmgp  20377