MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmgp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsmgp 20148
Description: The multiplicative monoid of a product is the product of the multiplicative monoids of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmgp.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsmgp.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
prdsmgp.z 𝑍 = (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))
prdsmgp.i (𝜑𝐼𝑉)
prdsmgp.s (𝜑𝑆𝑊)
prdsmgp.r (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
Assertion
Ref Expression
prdsmgp (𝜑 → ((Base‘𝑀) = (Base‘𝑍) ∧ (+g𝑀) = (+g𝑍)))

Proof of Theorem prdsmgp
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . . 6 (mulGrp‘(𝑅𝑥)) = (mulGrp‘(𝑅𝑥))
2 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘(𝑅𝑥)) = (Base‘(𝑅𝑥))
31, 2mgpbas 20142 . . . . 5 (Base‘(𝑅𝑥)) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅𝑥)))
4 prdsmgp.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
5 fvco2 7006 . . . . . . . 8 ((𝑅 Fn 𝐼𝑥𝐼) → ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥) = (mulGrp‘(𝑅𝑥)))
64, 5sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥) = (mulGrp‘(𝑅𝑥)))
76eqcomd 2743 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (mulGrp‘(𝑅𝑥)) = ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥))
87fveq2d 6910 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (Base‘(mulGrp‘(𝑅𝑥))) = (Base‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥)))
93, 8eqtrid 2789 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (Base‘(𝑅𝑥)) = (Base‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥)))
109ixpeq2dva 8952 . . 3 (𝜑X𝑥𝐼 (Base‘(𝑅𝑥)) = X𝑥𝐼 (Base‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥)))
11 prdsmgp.y . . . 4 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
12 prdsmgp.m . . . . . 6 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
13 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
1412, 13mgpbas 20142 . . . . 5 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑀)
1514eqcomi 2746 . . . 4 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑌)
16 prdsmgp.s . . . 4 (𝜑𝑆𝑊)
17 prdsmgp.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
1811, 15, 16, 17, 4prdsbas2 17514 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝑀) = X𝑥𝐼 (Base‘(𝑅𝑥)))
19 prdsmgp.z . . . 4 𝑍 = (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))
20 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
21 fnmgp 20139 . . . . 5 mulGrp Fn V
22 ssv 4008 . . . . . 6 ran 𝑅 ⊆ V
2322a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝑅 ⊆ V)
24 fnco 6686 . . . . 5 ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑅 ⊆ V) → (mulGrp ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
2521, 4, 23, 24mp3an2i 1468 . . . 4 (𝜑 → (mulGrp ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
2619, 20, 16, 17, 25prdsbas2 17514 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝑍) = X𝑥𝐼 (Base‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥)))
2710, 18, 263eqtr4d 2787 . 2 (𝜑 → (Base‘𝑀) = (Base‘𝑍))
28 eqid 2737 . . . 4 (.r𝑌) = (.r𝑌)
2912, 28mgpplusg 20141 . . 3 (.r𝑌) = (+g𝑀)
30 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘(𝑅𝑧)) = (mulGrp‘(𝑅𝑧))
31 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (.r‘(𝑅𝑧)) = (.r‘(𝑅𝑧))
3230, 31mgpplusg 20141 . . . . . . . 8 (.r‘(𝑅𝑧)) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅𝑧)))
33 fvco2 7006 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Fn 𝐼𝑧𝐼) → ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧) = (mulGrp‘(𝑅𝑧)))
344, 33sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐼) → ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧) = (mulGrp‘(𝑅𝑧)))
3534eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐼) → (mulGrp‘(𝑅𝑧)) = ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))
3635fveq2d 6910 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐼) → (+g‘(mulGrp‘(𝑅𝑧))) = (+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧)))
3732, 36eqtrid 2789 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐼) → (.r‘(𝑅𝑧)) = (+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧)))
3837oveqd 7448 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐼) → ((𝑥𝑧)(.r‘(𝑅𝑧))(𝑦𝑧)) = ((𝑥𝑧)(+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))(𝑦𝑧)))
3938mpteq2dva 5242 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧)(.r‘(𝑅𝑧))(𝑦𝑧))) = (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧)(+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))(𝑦𝑧))))
4027, 27, 39mpoeq123dv 7508 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀), 𝑦 ∈ (Base‘𝑀) ↦ (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧)(.r‘(𝑅𝑧))(𝑦𝑧)))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑍), 𝑦 ∈ (Base‘𝑍) ↦ (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧)(+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))(𝑦𝑧)))))
41 fnex 7237 . . . . . 6 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) → 𝑅 ∈ V)
424, 17, 41syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ V)
434fndmd 6673 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
4411, 16, 42, 15, 43, 28prdsmulr 17504 . . . 4 (𝜑 → (.r𝑌) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑀), 𝑦 ∈ (Base‘𝑀) ↦ (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧)(.r‘(𝑅𝑧))(𝑦𝑧)))))
45 fnex 7237 . . . . . 6 (((mulGrp ∘ 𝑅) Fn 𝐼𝐼𝑉) → (mulGrp ∘ 𝑅) ∈ V)
4625, 17, 45syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (mulGrp ∘ 𝑅) ∈ V)
4725fndmd 6673 . . . . 5 (𝜑 → dom (mulGrp ∘ 𝑅) = 𝐼)
48 eqid 2737 . . . . 5 (+g𝑍) = (+g𝑍)
4919, 16, 46, 20, 47, 48prdsplusg 17503 . . . 4 (𝜑 → (+g𝑍) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑍), 𝑦 ∈ (Base‘𝑍) ↦ (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧)(+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))(𝑦𝑧)))))
5040, 44, 493eqtr4d 2787 . . 3 (𝜑 → (.r𝑌) = (+g𝑍))
5129, 50eqtr3id 2791 . 2 (𝜑 → (+g𝑀) = (+g𝑍))
5227, 51jca 511 1 (𝜑 → ((Base‘𝑀) = (Base‘𝑍) ∧ (+g𝑀) = (+g𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  wss 3951  cmpt 5225  ran crn 5686  ccom 5689   Fn wfn 6556  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  Xcixp 8937  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  Xscprds 17490  mulGrpcmgp 20137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-prds 17492  df-mgp 20138
This theorem is referenced by:  prdsrngd  20173  prdsringd  20318  prdscrngd  20319  prds1  20320  pwsmgp  20324
  Copyright terms: Public domain W3C validator