Theorem prdsmgp 20103

Description: The multiplicative monoid of a product is the product of the multiplicative monoids of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsmgp.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsmgp.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
prdsmgp.z	⊢ 𝑍 = (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))
prdsmgp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
prdsmgp.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
prdsmgp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
prdsmgp	⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑀) = (Base‘𝑍) ∧ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑍)))

Proof of Theorem prdsmgp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘(𝑅‘𝑥)) = (mulGrp‘(𝑅‘𝑥))
2		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘(𝑅‘𝑥))
3	1, 2	mgpbas 20097	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅‘𝑥)))
4		prdsmgp.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
5		fvco2 6941	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥) = (mulGrp‘(𝑅‘𝑥)))
6	4, 5	sylan 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥) = (mulGrp‘(𝑅‘𝑥)))
7	6	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (mulGrp‘(𝑅‘𝑥)) = ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥))
8	7	fveq2d 6848	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(mulGrp‘(𝑅‘𝑥))) = (Base‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥)))
9	3, 8	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥)))
10	9	ixpeq2dva 8864	. . 3 ⊢ (𝜑 → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥)) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥)))
11		prdsmgp.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
12		prdsmgp.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
13		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
14	12, 13	mgpbas 20097	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑀)
15	14	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑌)
16		prdsmgp.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
17		prdsmgp.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
18	11, 15, 16, 17, 4	prdsbas2 17403	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑀) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥)))
19		prdsmgp.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))
20		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
21		fnmgp 20094	. . . . 5 ⊢ mulGrp Fn V
22		ssv 3960	. . . . . 6 ⊢ ran 𝑅 ⊆ V
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝑅 ⊆ V)
24		fnco 6620	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑅 ⊆ V) → (mulGrp ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
25	21, 4, 23, 24	mp3an2i 1469	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
26	19, 20, 16, 17, 25	prdsbas2 17403	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑍) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥)))
27	10, 18, 26	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑀) = (Base‘𝑍))
28		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑌) = (.r‘𝑌)
29	12, 28	mgpplusg 20096	. . 3 ⊢ (.r‘𝑌) = (+g‘𝑀)
30		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘(𝑅‘𝑧)) = (mulGrp‘(𝑅‘𝑧))
31		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘(𝑅‘𝑧)) = (.r‘(𝑅‘𝑧))
32	30, 31	mgpplusg 20096	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘(𝑅‘𝑧)) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅‘𝑧)))
33		fvco2 6941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧) = (mulGrp‘(𝑅‘𝑧)))
34	4, 33	sylan 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧) = (mulGrp‘(𝑅‘𝑧)))
35	34	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (mulGrp‘(𝑅‘𝑧)) = ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))
36	35	fveq2d 6848	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (+g‘(mulGrp‘(𝑅‘𝑧))) = (+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧)))
37	32, 36	eqtrid 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (.r‘(𝑅‘𝑧)) = (+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧)))
38	37	oveqd 7387	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑧)(.r‘(𝑅‘𝑧))(𝑦‘𝑧)) = ((𝑥‘𝑧)(+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))(𝑦‘𝑧)))
39	38	mpteq2dva 5193	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧)(.r‘(𝑅‘𝑧))(𝑦‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧)(+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))(𝑦‘𝑧))))
40	27, 27, 39	mpoeq123dv 7445	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀), 𝑦 ∈ (Base‘𝑀) ↦ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧)(.r‘(𝑅‘𝑧))(𝑦‘𝑧)))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑍), 𝑦 ∈ (Base‘𝑍) ↦ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧)(+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))(𝑦‘𝑧)))))
41		fnex 7175	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ V)
42	4, 17, 41	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
43	4	fndmd 6607	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
44	11, 16, 42, 15, 43, 28	prdsmulr 17393	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑌) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑀), 𝑦 ∈ (Base‘𝑀) ↦ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧)(.r‘(𝑅‘𝑧))(𝑦‘𝑧)))))
45		fnex 7175	. . . . . 6 ⊢ (((mulGrp ∘ 𝑅) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (mulGrp ∘ 𝑅) ∈ V)
46	25, 17, 45	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (mulGrp ∘ 𝑅) ∈ V)
47	25	fndmd 6607	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (mulGrp ∘ 𝑅) = 𝐼)
48		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑍) = (+g‘𝑍)
49	19, 16, 46, 20, 47, 48	prdsplusg 17392	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑍) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑍), 𝑦 ∈ (Base‘𝑍) ↦ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧)(+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))(𝑦‘𝑧)))))
50	40, 44, 49	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑌) = (+g‘𝑍))
51	29, 50	eqtr3id 2786	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑍))
52	27, 51	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑀) = (Base‘𝑍) ∧ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903   ↦ cmpt 5181  ran crn 5635   ∘ ccom 5638   Fn wfn 6497  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   ∈ cmpo 7372  Xcixp 8849  Basecbs 17150  +_gcplusg 17191  ._rcmulr 17192  X_scprds 17379  mulGrpcmgp 20092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-map 8779  df-ixp 8850  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-sup 9359  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-fz 13438  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-ip 17209  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-hom 17215  df-cco 17216  df-prds 17381  df-mgp 20093

This theorem is referenced by:  prdsrngd  20128  prdsringd  20273  prdscrngd  20274  prds1  20275  pwsmgp  20279