Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ringlsmss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringlsmss2 32495
Description: The product with an ideal of a ring is a subset of that ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ringlsmss.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
ringlsmss.2 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘…)
ringlsmss.3 Γ— = (LSSumβ€˜πΊ)
ringlsmss2.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
ringlsmss2.2 (πœ‘ β†’ 𝐸 βŠ† 𝐡)
ringlsmss2.3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
Assertion
Ref Expression
ringlsmss2 (πœ‘ β†’ (𝐸 Γ— 𝐼) βŠ† 𝐼)

Proof of Theorem ringlsmss2
Dummy variables π‘Ž 𝑒 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐸 Γ— 𝐼)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ π‘Ž = (𝑒(.rβ€˜π‘…)𝑖)) β†’ π‘Ž = (𝑒(.rβ€˜π‘…)𝑖))
2 ringlsmss2.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
32ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 ringlsmss2.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
54ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
6 ringlsmss2.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐸 βŠ† 𝐡)
76sselda 3981 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
87adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
9 simpr 485 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝑖 ∈ 𝐼)
10 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
11 ringlsmss.1 . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
12 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
1310, 11, 12lidlmcl 20832 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼)) β†’ (𝑒(.rβ€˜π‘…)𝑖) ∈ 𝐼)
143, 5, 8, 9, 13syl22anc 837 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (𝑒(.rβ€˜π‘…)𝑖) ∈ 𝐼)
1514adantllr 717 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐸 Γ— 𝐼)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (𝑒(.rβ€˜π‘…)𝑖) ∈ 𝐼)
1615adantr 481 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐸 Γ— 𝐼)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ π‘Ž = (𝑒(.rβ€˜π‘…)𝑖)) β†’ (𝑒(.rβ€˜π‘…)𝑖) ∈ 𝐼)
171, 16eqeltrd 2833 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐸 Γ— 𝐼)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ π‘Ž = (𝑒(.rβ€˜π‘…)𝑖)) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)
18 ringlsmss.2 . . . . . 6 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘…)
19 ringlsmss.3 . . . . . 6 Γ— = (LSSumβ€˜πΊ)
2011, 10lidlss 20825 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) β†’ 𝐼 βŠ† 𝐡)
214, 20syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† 𝐡)
2211, 12, 18, 19, 6, 21elringlsm 32491 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ (𝐸 Γ— 𝐼) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐸 βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 π‘Ž = (𝑒(.rβ€˜π‘…)𝑖)))
2322biimpa 477 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐸 Γ— 𝐼)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐸 βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 π‘Ž = (𝑒(.rβ€˜π‘…)𝑖))
2417, 23r19.29vva 3213 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐸 Γ— 𝐼)) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)
2524ex 413 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ (𝐸 Γ— 𝐼) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))
2625ssrdv 3987 1 (πœ‘ β†’ (𝐸 Γ— 𝐼) βŠ† 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3947  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  .rcmulr 17194  LSSumclsm 19496  mulGrpcmgp 19981  Ringcrg 20049  LIdealclidl 20775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-lsm 19498  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-lidl 20779
This theorem is referenced by:  idlsrgmulrss2  32614
  Copyright terms: Public domain W3C validator