Theorem ringlsmss2 34000

Description: The product with an ideal of a ring is a subset of that ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringlsmss.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringlsmss.2	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringlsmss.3	⊢ × = (LSSum‘𝐺)
ringlsmss2.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringlsmss2.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
ringlsmss2.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
ringlsmss2	⊢ (𝜑 → (𝐸 × 𝐼) ⊆ 𝐼)

Proof of Theorem ringlsmss2

Dummy variables 𝑎 𝑒 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐸 × 𝐼)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 = (𝑒(.r‘𝑅)𝑖)) → 𝑎 = (𝑒(.r‘𝑅)𝑖))
2		ringlsmss2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3	2	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
4		ringlsmss2.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
5	4	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
6		ringlsmss2.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
7	6	sselda 3909	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ 𝐵)
8	7	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑒 ∈ 𝐵)
9		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑖 ∈ 𝐼)
10		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
11		ringlsmss.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
13	10, 11, 12	lidlmcl 21513	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼)) → (𝑒(.r‘𝑅)𝑖) ∈ 𝐼)
14	3, 5, 8, 9, 13	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑒(.r‘𝑅)𝑖) ∈ 𝐼)
15	14	adantllr 732	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐸 × 𝐼)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑒(.r‘𝑅)𝑖) ∈ 𝐼)
16	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐸 × 𝐼)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 = (𝑒(.r‘𝑅)𝑖)) → (𝑒(.r‘𝑅)𝑖) ∈ 𝐼)
17	1, 16	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐸 × 𝐼)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 = (𝑒(.r‘𝑅)𝑖)) → 𝑎 ∈ 𝐼)
18		ringlsmss.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
19		ringlsmss.3	. . . . . 6 ⊢ × = (LSSum‘𝐺)
20	11, 10	lidlss 21499	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
21	4, 20	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
22	11, 12, 18, 19, 6, 21	elmgplsm 20381	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐸 × 𝐼) ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐸 ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑎 = (𝑒(.r‘𝑅)𝑖)))
23	22	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐸 × 𝐼)) → ∃𝑒 ∈ 𝐸 ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑎 = (𝑒(.r‘𝑅)𝑖))
24	17, 23	r19.29vva 3222	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐸 × 𝐼)) → 𝑎 ∈ 𝐼)
25	24	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐸 × 𝐼) → 𝑎 ∈ 𝐼))
26	25	ssrdv 3915	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 × 𝐼) ⊆ 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3896  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Basecbs 17396  ._rcmulr 17438  LSSumclsm 19857  mulGrpcmgp 20369  Ringcrg 20468  LIdealclidl 21493

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-0g 17621  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-subg 19342  df-lsm 19859  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-rng 20384  df-ur 20417  df-ring 20470  df-subrg 20831  df-lmod 21146  df-lss 21216  df-sra 21457  df-rgmod 21458  df-lidl 21495

This theorem is used by:  idlsrgmulrss2  34094