Theorem ringlsmss2 33354

Description: The product with an ideal of a ring is a subset of that ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringlsmss.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringlsmss.2	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringlsmss.3	⊢ × = (LSSum‘𝐺)
ringlsmss2.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringlsmss2.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
ringlsmss2.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
ringlsmss2	⊢ (𝜑 → (𝐸 × 𝐼) ⊆ 𝐼)

Proof of Theorem ringlsmss2

Dummy variables 𝑎 𝑒 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐸 × 𝐼)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 = (𝑒(.r‘𝑅)𝑖)) → 𝑎 = (𝑒(.r‘𝑅)𝑖))
2		ringlsmss2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3	2	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
4		ringlsmss2.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
5	4	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
6		ringlsmss2.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
7	6	sselda 3929	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ 𝐵)
8	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑒 ∈ 𝐵)
9		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑖 ∈ 𝐼)
10		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
11		ringlsmss.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
13	10, 11, 12	lidlmcl 21157	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼)) → (𝑒(.r‘𝑅)𝑖) ∈ 𝐼)
14	3, 5, 8, 9, 13	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑒(.r‘𝑅)𝑖) ∈ 𝐼)
15	14	adantllr 719	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐸 × 𝐼)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑒(.r‘𝑅)𝑖) ∈ 𝐼)
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐸 × 𝐼)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 = (𝑒(.r‘𝑅)𝑖)) → (𝑒(.r‘𝑅)𝑖) ∈ 𝐼)
17	1, 16	eqeltrd 2831	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐸 × 𝐼)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 = (𝑒(.r‘𝑅)𝑖)) → 𝑎 ∈ 𝐼)
18		ringlsmss.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
19		ringlsmss.3	. . . . . 6 ⊢ × = (LSSum‘𝐺)
20	11, 10	lidlss 21144	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
21	4, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
22	11, 12, 18, 19, 6, 21	elringlsm 33350	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐸 × 𝐼) ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐸 ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑎 = (𝑒(.r‘𝑅)𝑖)))
23	22	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐸 × 𝐼)) → ∃𝑒 ∈ 𝐸 ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑎 = (𝑒(.r‘𝑅)𝑖))
24	17, 23	r19.29vva 3192	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐸 × 𝐼)) → 𝑎 ∈ 𝐼)
25	24	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐸 × 𝐼) → 𝑎 ∈ 𝐼))
26	25	ssrdv 3935	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 × 𝐼) ⊆ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3897  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Basecbs 17115  ._rcmulr 17157  LSSumclsm 19541  mulGrpcmgp 20053  Ringcrg 20146  LIdealclidl 21138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-0g 17340  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-subg 19031  df-lsm 19543  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-mgp 20054  df-rng 20066  df-ur 20095  df-ring 20148  df-subrg 20480  df-lmod 20790  df-lss 20860  df-sra 21102  df-rgmod 21103  df-lidl 21140

This theorem is referenced by:  idlsrgmulrss2  33469