Theorem ringlsmss2 33154

Description: The product with an ideal of a ring is a subset of that ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringlsmss.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringlsmss.2	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringlsmss.3	⊢ × = (LSSum‘𝐺)
ringlsmss2.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringlsmss2.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
ringlsmss2.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
ringlsmss2	⊢ (𝜑 → (𝐸 × 𝐼) ⊆ 𝐼)

Proof of Theorem ringlsmss2

Dummy variables 𝑎 𝑒 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 483	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐸 × 𝐼)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 = (𝑒(.r‘𝑅)𝑖)) → 𝑎 = (𝑒(.r‘𝑅)𝑖))
2		ringlsmss2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3	2	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
4		ringlsmss2.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
5	4	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
6		ringlsmss2.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
7	6	sselda 3972	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ 𝐵)
8	7	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑒 ∈ 𝐵)
9		simpr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑖 ∈ 𝐼)
10		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
11		ringlsmss.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
13	10, 11, 12	lidlmcl 21123	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼)) → (𝑒(.r‘𝑅)𝑖) ∈ 𝐼)
14	3, 5, 8, 9, 13	syl22anc 837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑒(.r‘𝑅)𝑖) ∈ 𝐼)
15	14	adantllr 717	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐸 × 𝐼)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑒(.r‘𝑅)𝑖) ∈ 𝐼)
16	15	adantr 479	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐸 × 𝐼)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 = (𝑒(.r‘𝑅)𝑖)) → (𝑒(.r‘𝑅)𝑖) ∈ 𝐼)
17	1, 16	eqeltrd 2825	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐸 × 𝐼)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 = (𝑒(.r‘𝑅)𝑖)) → 𝑎 ∈ 𝐼)
18		ringlsmss.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
19		ringlsmss.3	. . . . . 6 ⊢ × = (LSSum‘𝐺)
20	11, 10	lidlss 21110	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
21	4, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
22	11, 12, 18, 19, 6, 21	elringlsm 33150	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐸 × 𝐼) ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐸 ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑎 = (𝑒(.r‘𝑅)𝑖)))
23	22	biimpa 475	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐸 × 𝐼)) → ∃𝑒 ∈ 𝐸 ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑎 = (𝑒(.r‘𝑅)𝑖))
24	17, 23	r19.29vva 3204	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐸 × 𝐼)) → 𝑎 ∈ 𝐼)
25	24	ex 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐸 × 𝐼) → 𝑎 ∈ 𝐼))
26	25	ssrdv 3978	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 × 𝐼) ⊆ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3940  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  ._rcmulr 17231  LSSumclsm 19591  mulGrpcmgp 20076  Ringcrg 20175  LIdealclidl 21104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-lsm 19593  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-subrg 20510  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-lidl 21106

This theorem is referenced by:  idlsrgmulrss2  33271