Theorem ringlsmss1 34005

Description: The product of an ideal 𝐼 of a commutative ring 𝑅 with some set E is a subset of the ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringlsmss.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringlsmss.2	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringlsmss.3	⊢ × = (LSSum‘𝐺)
ringlsmss1.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ringlsmss1.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
ringlsmss1.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
ringlsmss1	⊢ (𝜑 → (𝐼 × 𝐸) ⊆ 𝐼)

Proof of Theorem ringlsmss1

Dummy variables 𝑎 𝑒 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑎 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒)) → 𝑎 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒))
2		ringlsmss1.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
3	2	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑅 ∈ CRing)
4		ringlsmss1.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
5	4	sselda 3913	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ 𝐵)
6	5	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ 𝐵)
7		ringlsmss1.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
8		ringlsmss.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
10	8, 9	lidlss 21505	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
11	7, 10	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
12	11	sselda 3913	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑖 ∈ 𝐵)
13	12	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑖 ∈ 𝐵)
14		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
15	8, 14	crngcom 20493	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵) → (𝑒(.r‘𝑅)𝑖) = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒))
16	3, 6, 13, 15	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝑒(.r‘𝑅)𝑖) = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒))
17		crngring 20487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
18	2, 17	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
19	18	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑅 ∈ Ring)
20	7	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
21		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑖 ∈ 𝐼)
22	9, 8, 14	lidlmcl 21519	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼)) → (𝑒(.r‘𝑅)𝑖) ∈ 𝐼)
23	19, 20, 6, 21, 22	syl22anc 852	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝑒(.r‘𝑅)𝑖) ∈ 𝐼)
24	16, 23	eqeltrrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝑖(.r‘𝑅)𝑒) ∈ 𝐼)
25	24	adantllr 732	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝑖(.r‘𝑅)𝑒) ∈ 𝐼)
26	25	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑎 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒)) → (𝑖(.r‘𝑅)𝑒) ∈ 𝐼)
27	1, 26	eqeltrd 2864	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑎 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒)) → 𝑎 ∈ 𝐼)
28		ringlsmss.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
29		ringlsmss.3	. . . . . 6 ⊢ × = (LSSum‘𝐺)
30	8, 14, 28, 29, 11, 4	elmgplsm 20387	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝐼 ∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑎 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒)))
31	30	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 ∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑎 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒))
32	27, 31	r19.29vva 3226	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) → 𝑎 ∈ 𝐼)
33	32	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸) → 𝑎 ∈ 𝐼))
34	33	ssrdv 3919	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 𝐸) ⊆ 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  Basecbs 17402  ._rcmulr 17444  LSSumclsm 19863  mulGrpcmgp 20375  Ringcrg 20474  CRingccrg 20475  LIdealclidl 21499

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-ip 17461  df-0g 17627  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-sbg 19164  df-subg 19348  df-lsm 19865  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-rng 20390  df-ur 20423  df-ring 20476  df-cring 20477  df-subrg 20837  df-lmod 21152  df-lss 21222  df-sra 21463  df-rgmod 21464  df-lidl 21501

This theorem is used by:  idlsrgmulrss1  34099