Theorem ringlsmss1 32494

Description: The product of an ideal 𝐼 of a commutative ring 𝑅 with some set E is a subset of the ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringlsmss.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringlsmss.2	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringlsmss.3	⊢ × = (LSSum‘𝐺)
ringlsmss1.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ringlsmss1.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
ringlsmss1.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
ringlsmss1	⊢ (𝜑 → (𝐼 × 𝐸) ⊆ 𝐼)

Proof of Theorem ringlsmss1

Dummy variables 𝑎 𝑒 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑎 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒)) → 𝑎 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒))
2		ringlsmss1.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
3	2	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑅 ∈ CRing)
4		ringlsmss1.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
5	4	sselda 3981	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ 𝐵)
6	5	adantlr 713	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ 𝐵)
7		ringlsmss1.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
8		ringlsmss.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
10	8, 9	lidlss 20825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
11	7, 10	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
12	11	sselda 3981	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑖 ∈ 𝐵)
13	12	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑖 ∈ 𝐵)
14		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
15	8, 14	crngcom 20067	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵) → (𝑒(.r‘𝑅)𝑖) = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒))
16	3, 6, 13, 15	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝑒(.r‘𝑅)𝑖) = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒))
17		crngring 20061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
18	2, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
19	18	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑅 ∈ Ring)
20	7	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
21		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑖 ∈ 𝐼)
22	9, 8, 14	lidlmcl 20832	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼)) → (𝑒(.r‘𝑅)𝑖) ∈ 𝐼)
23	19, 20, 6, 21, 22	syl22anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝑒(.r‘𝑅)𝑖) ∈ 𝐼)
24	16, 23	eqeltrrd 2834	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝑖(.r‘𝑅)𝑒) ∈ 𝐼)
25	24	adantllr 717	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝑖(.r‘𝑅)𝑒) ∈ 𝐼)
26	25	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑎 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒)) → (𝑖(.r‘𝑅)𝑒) ∈ 𝐼)
27	1, 26	eqeltrd 2833	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑎 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒)) → 𝑎 ∈ 𝐼)
28		ringlsmss.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
29		ringlsmss.3	. . . . . 6 ⊢ × = (LSSum‘𝐺)
30	8, 14, 28, 29, 11, 4	elringlsm 32491	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝐼 ∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑎 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒)))
31	30	biimpa 477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 ∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑎 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒))
32	27, 31	r19.29vva 3213	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) → 𝑎 ∈ 𝐼)
33	32	ex 413	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸) → 𝑎 ∈ 𝐼))
34	33	ssrdv 3987	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 𝐸) ⊆ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  ._rcmulr 17194  LSSumclsm 19496  mulGrpcmgp 19981  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050  LIdealclidl 20775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-lsm 19498  df-cmn 19644  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-lidl 20779

This theorem is referenced by:  idlsrgmulrss1  32613