Theorem ringlsmss1 33475

Description: The product of an ideal 𝐼 of a commutative ring 𝑅 with some set E is a subset of the ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringlsmss.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringlsmss.2	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringlsmss.3	⊢ × = (LSSum‘𝐺)
ringlsmss1.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ringlsmss1.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
ringlsmss1.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
ringlsmss1	⊢ (𝜑 → (𝐼 × 𝐸) ⊆ 𝐼)

Proof of Theorem ringlsmss1

Dummy variables 𝑎 𝑒 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑎 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒)) → 𝑎 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒))
2		ringlsmss1.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
3	2	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑅 ∈ CRing)
4		ringlsmss1.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
5	4	sselda 3922	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ 𝐵)
6	5	adantlr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ 𝐵)
7		ringlsmss1.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
8		ringlsmss.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
10	8, 9	lidlss 21206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
11	7, 10	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
12	11	sselda 3922	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑖 ∈ 𝐵)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑖 ∈ 𝐵)
14		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
15	8, 14	crngcom 20227	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵) → (𝑒(.r‘𝑅)𝑖) = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒))
16	3, 6, 13, 15	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝑒(.r‘𝑅)𝑖) = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒))
17		crngring 20221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
18	2, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
19	18	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑅 ∈ Ring)
20	7	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
21		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑖 ∈ 𝐼)
22	9, 8, 14	lidlmcl 21219	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼)) → (𝑒(.r‘𝑅)𝑖) ∈ 𝐼)
23	19, 20, 6, 21, 22	syl22anc 839	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝑒(.r‘𝑅)𝑖) ∈ 𝐼)
24	16, 23	eqeltrrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝑖(.r‘𝑅)𝑒) ∈ 𝐼)
25	24	adantllr 720	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝑖(.r‘𝑅)𝑒) ∈ 𝐼)
26	25	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑎 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒)) → (𝑖(.r‘𝑅)𝑒) ∈ 𝐼)
27	1, 26	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑎 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒)) → 𝑎 ∈ 𝐼)
28		ringlsmss.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
29		ringlsmss.3	. . . . . 6 ⊢ × = (LSSum‘𝐺)
30	8, 14, 28, 29, 11, 4	elringlsm 33472	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝐼 ∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑎 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒)))
31	30	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 ∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑎 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒))
32	27, 31	r19.29vva 3198	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) → 𝑎 ∈ 𝐼)
33	32	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸) → 𝑎 ∈ 𝐼))
34	33	ssrdv 3928	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 𝐸) ⊆ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Basecbs 17174  ._rcmulr 17216  LSSumclsm 19604  mulGrpcmgp 20116  Ringcrg 20209  CRingccrg 20210  LIdealclidl 21200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19094  df-lsm 19606  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-cring 20212  df-subrg 20542  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-sra 21164  df-rgmod 21165  df-lidl 21202

This theorem is referenced by:  idlsrgmulrss1  33590