Theorem ringlsmss1 33361

Description: The product of an ideal 𝐼 of a commutative ring 𝑅 with some set E is a subset of the ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringlsmss.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringlsmss.2	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringlsmss.3	⊢ × = (LSSum‘𝐺)
ringlsmss1.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ringlsmss1.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
ringlsmss1.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
ringlsmss1	⊢ (𝜑 → (𝐼 × 𝐸) ⊆ 𝐼)

Proof of Theorem ringlsmss1

Dummy variables 𝑎 𝑒 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑎 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒)) → 𝑎 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒))
2		ringlsmss1.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
3	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑅 ∈ CRing)
4		ringlsmss1.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
5	4	sselda 3929	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ 𝐵)
6	5	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ 𝐵)
7		ringlsmss1.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
8		ringlsmss.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
10	8, 9	lidlss 21149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
11	7, 10	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
12	11	sselda 3929	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑖 ∈ 𝐵)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑖 ∈ 𝐵)
14		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
15	8, 14	crngcom 20169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵) → (𝑒(.r‘𝑅)𝑖) = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒))
16	3, 6, 13, 15	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝑒(.r‘𝑅)𝑖) = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒))
17		crngring 20163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
18	2, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
19	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑅 ∈ Ring)
20	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
21		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑖 ∈ 𝐼)
22	9, 8, 14	lidlmcl 21162	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼)) → (𝑒(.r‘𝑅)𝑖) ∈ 𝐼)
23	19, 20, 6, 21, 22	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝑒(.r‘𝑅)𝑖) ∈ 𝐼)
24	16, 23	eqeltrrd 2832	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝑖(.r‘𝑅)𝑒) ∈ 𝐼)
25	24	adantllr 719	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝑖(.r‘𝑅)𝑒) ∈ 𝐼)
26	25	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑎 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒)) → (𝑖(.r‘𝑅)𝑒) ∈ 𝐼)
27	1, 26	eqeltrd 2831	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑎 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒)) → 𝑎 ∈ 𝐼)
28		ringlsmss.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
29		ringlsmss.3	. . . . . 6 ⊢ × = (LSSum‘𝐺)
30	8, 14, 28, 29, 11, 4	elringlsm 33358	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝐼 ∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑎 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒)))
31	30	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 ∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑎 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒))
32	27, 31	r19.29vva 3192	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) → 𝑎 ∈ 𝐼)
33	32	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸) → 𝑎 ∈ 𝐼))
34	33	ssrdv 3935	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 𝐸) ⊆ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3897  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162  LSSumclsm 19546  mulGrpcmgp 20058  Ringcrg 20151  CRingccrg 20152  LIdealclidl 21143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-subg 19036  df-lsm 19548  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-cring 20154  df-subrg 20485  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-sra 21107  df-rgmod 21108  df-lidl 21145

This theorem is referenced by:  idlsrgmulrss1  33476