Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ringlsmss1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringlsmss1 31006
 Description: The product of an ideal 𝐼 of a commutative ring 𝑅 with some set E is a subset of the ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ringlsmss.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringlsmss.2 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringlsmss.3 × = (LSSum‘𝐺)
ringlsmss1.1 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
ringlsmss1.2 (𝜑𝐸𝐵)
ringlsmss1.3 (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
Assertion
Ref Expression
ringlsmss1 (𝜑 → (𝐼 × 𝐸) ⊆ 𝐼)

Proof of Theorem ringlsmss1
Dummy variables 𝑎 𝑒 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . . 5 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑒𝐸) ∧ 𝑎 = (𝑖(.r𝑅)𝑒)) → 𝑎 = (𝑖(.r𝑅)𝑒))
2 ringlsmss1.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
32ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝐼) ∧ 𝑒𝐸) → 𝑅 ∈ CRing)
4 ringlsmss1.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸𝐵)
54sselda 3918 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒𝐸) → 𝑒𝐵)
65adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝐼) ∧ 𝑒𝐸) → 𝑒𝐵)
7 ringlsmss1.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
8 ringlsmss.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘𝑅)
9 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . 13 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
108, 9lidlss 19979 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼𝐵)
117, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼𝐵)
1211sselda 3918 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝑖𝐵)
1312adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝐼) ∧ 𝑒𝐸) → 𝑖𝐵)
14 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
158, 14crngcom 19311 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑒𝐵𝑖𝐵) → (𝑒(.r𝑅)𝑖) = (𝑖(.r𝑅)𝑒))
163, 6, 13, 15syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝐼) ∧ 𝑒𝐸) → (𝑒(.r𝑅)𝑖) = (𝑖(.r𝑅)𝑒))
17 crngring 19305 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
182, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝐼) ∧ 𝑒𝐸) → 𝑅 ∈ Ring)
207ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝐼) ∧ 𝑒𝐸) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
21 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝐼) ∧ 𝑒𝐸) → 𝑖𝐼)
229, 8, 14lidlmcl 19986 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑒𝐵𝑖𝐼)) → (𝑒(.r𝑅)𝑖) ∈ 𝐼)
2319, 20, 6, 21, 22syl22anc 837 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝐼) ∧ 𝑒𝐸) → (𝑒(.r𝑅)𝑖) ∈ 𝐼)
2416, 23eqeltrrd 2894 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝐼) ∧ 𝑒𝐸) → (𝑖(.r𝑅)𝑒) ∈ 𝐼)
2524adantllr 718 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑒𝐸) → (𝑖(.r𝑅)𝑒) ∈ 𝐼)
2625adantr 484 . . . . 5 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑒𝐸) ∧ 𝑎 = (𝑖(.r𝑅)𝑒)) → (𝑖(.r𝑅)𝑒) ∈ 𝐼)
271, 26eqeltrd 2893 . . . 4 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑒𝐸) ∧ 𝑎 = (𝑖(.r𝑅)𝑒)) → 𝑎𝐼)
28 ringlsmss.2 . . . . . 6 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
29 ringlsmss.3 . . . . . 6 × = (LSSum‘𝐺)
308, 14, 28, 29, 11, 4elringlsm 31003 . . . . 5 (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸) ↔ ∃𝑖𝐼𝑒𝐸 𝑎 = (𝑖(.r𝑅)𝑒)))
3130biimpa 480 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) → ∃𝑖𝐼𝑒𝐸 𝑎 = (𝑖(.r𝑅)𝑒))
3227, 31r19.29vva 3295 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) → 𝑎𝐼)
3332ex 416 . 2 (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸) → 𝑎𝐼))
3433ssrdv 3924 1 (𝜑 → (𝐼 × 𝐸) ⊆ 𝐼)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∃wrex 3110   ⊆ wss 3884  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16478  .rcmulr 16561  LSSumclsm 18754  mulGrpcmgp 19235  Ringcrg 19293  CRingccrg 19294  LIdealclidl 19938 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18271  df-lsm 18756  df-cmn 18903  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-lidl 19942 This theorem is referenced by:  idlsrgmulrss1  31064
 Copyright terms: Public domain W3C validator