Theorem ringlsmss1 33340

Description: The product of an ideal 𝐼 of a commutative ring 𝑅 with some set E is a subset of the ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringlsmss.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringlsmss.2	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringlsmss.3	⊢ × = (LSSum‘𝐺)
ringlsmss1.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ringlsmss1.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
ringlsmss1.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
ringlsmss1	⊢ (𝜑 → (𝐼 × 𝐸) ⊆ 𝐼)

Proof of Theorem ringlsmss1

Dummy variables 𝑎 𝑒 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑎 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒)) → 𝑎 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒))
2		ringlsmss1.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
3	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑅 ∈ CRing)
4		ringlsmss1.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
5	4	sselda 3943	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ 𝐵)
6	5	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ 𝐵)
7		ringlsmss1.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
8		ringlsmss.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
10	8, 9	lidlss 21098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
11	7, 10	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
12	11	sselda 3943	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑖 ∈ 𝐵)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑖 ∈ 𝐵)
14		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
15	8, 14	crngcom 20136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵) → (𝑒(.r‘𝑅)𝑖) = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒))
16	3, 6, 13, 15	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝑒(.r‘𝑅)𝑖) = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒))
17		crngring 20130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
18	2, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
19	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑅 ∈ Ring)
20	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
21		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑖 ∈ 𝐼)
22	9, 8, 14	lidlmcl 21111	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼)) → (𝑒(.r‘𝑅)𝑖) ∈ 𝐼)
23	19, 20, 6, 21, 22	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝑒(.r‘𝑅)𝑖) ∈ 𝐼)
24	16, 23	eqeltrrd 2829	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝑖(.r‘𝑅)𝑒) ∈ 𝐼)
25	24	adantllr 719	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝑖(.r‘𝑅)𝑒) ∈ 𝐼)
26	25	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑎 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒)) → (𝑖(.r‘𝑅)𝑒) ∈ 𝐼)
27	1, 26	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑎 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒)) → 𝑎 ∈ 𝐼)
28		ringlsmss.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
29		ringlsmss.3	. . . . . 6 ⊢ × = (LSSum‘𝐺)
30	8, 14, 28, 29, 11, 4	elringlsm 33337	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝐼 ∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑎 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒)))
31	30	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 ∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑎 = (𝑖(.r‘𝑅)𝑒))
32	27, 31	r19.29vva 3195	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸)) → 𝑎 ∈ 𝐼)
33	32	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐼 × 𝐸) → 𝑎 ∈ 𝐼))
34	33	ssrdv 3949	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 𝐸) ⊆ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3911  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  ._rcmulr 17197  LSSumclsm 19540  mulGrpcmgp 20025  Ringcrg 20118  CRingccrg 20119  LIdealclidl 21092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-subg 19031  df-lsm 19542  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-subrg 20455  df-lmod 20744  df-lss 20814  df-sra 21056  df-rgmod 21057  df-lidl 21094

This theorem is referenced by:  idlsrgmulrss1  33455