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Theorem elmrsubrn 34580
Description: Characterization of the substitutions as functions from expressions to expressions that distribute under concatenation and map constants to themselves. (The constant part uses (𝐢 βˆ– 𝑉) because we don't know that 𝐢 and 𝑉 are disjoint until we get to ismfs 34609.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubccat.s 𝑆 = (mRSubstβ€˜π‘‡)
mrsubccat.r 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
mrsubcn.v 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
mrsubcn.c 𝐢 = (mCNβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
elmrsubrn (𝑇 ∈ π‘Š β†’ (𝐹 ∈ ran 𝑆 ↔ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑐,𝑦,𝐢   π‘₯,𝑅,𝑦   𝑆,𝑐,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑇,𝑦   𝐹,𝑐,π‘₯,𝑦   𝑉,𝑐,π‘₯,𝑦   π‘₯,π‘Š,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑐)   𝑇(𝑐)   π‘Š(𝑐)

Proof of Theorem elmrsubrn
Dummy variables π‘Ÿ 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mrsubccat.s . . . 4 𝑆 = (mRSubstβ€˜π‘‡)
2 mrsubccat.r . . . 4 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
31, 2mrsubf 34577 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…)
4 mrsubcn.v . . . . 5 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
5 mrsubcn.c . . . . 5 𝐢 = (mCNβ€˜π‘‡)
61, 2, 4, 5mrsubcn 34579 . . . 4 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ 𝑐 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)
76ralrimiva 3146 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)
81, 2mrsubccat 34578 . . . . 5 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))
983expb 1120 . . . 4 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))
109ralrimivva 3200 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))
113, 7, 103jca 1128 . 2 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦))))
125, 4, 2mrexval 34561 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ 𝑅 = Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
1312adantr 481 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝑅 = Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
14 s1eq 14552 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = 𝑣 β†’ βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)
1514fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑣 β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©) = (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
16 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©)) = (𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©))
17 fvex 6904 . . . . . . . . . . . 12 (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) ∈ V
1815, 16, 17fvmpt 6998 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©))β€˜π‘£) = (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
1918adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ 𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©))β€˜π‘£) = (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
20 difun2 4480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐢 βˆͺ 𝑉) βˆ– 𝑉) = (𝐢 βˆ– 𝑉)
2120eleq2i 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ ((𝐢 βˆͺ 𝑉) βˆ– 𝑉) ↔ 𝑣 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉))
22 eldif 3958 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ ((𝐢 βˆͺ 𝑉) βˆ– 𝑉) ↔ (𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑣 ∈ 𝑉))
2321, 22bitr3i 276 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉) ↔ (𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑣 ∈ 𝑉))
24 simpr2 1195 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)
25 s1eq 14552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = 𝑣 β†’ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)
2625fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = 𝑣 β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
2726, 25eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ↔ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
2827rspccva 3611 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ 𝑣 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)
2924, 28sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ 𝑣 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)
3023, 29sylan2br 595 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ (𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)
3130anassrs 468 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ 𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉)) ∧ Β¬ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)
3231eqcomd 2738 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ 𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉)) ∧ Β¬ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ© = (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
3319, 32ifeqda 4564 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ 𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉)) β†’ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
3433mpteq2dva 5248 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) = (𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)))
3534coeq1d 5861 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ ((𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ π‘Ÿ) = ((𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ π‘Ÿ))
3635oveq2d 7427 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ ((freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ π‘Ÿ)) = ((freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ π‘Ÿ)))
3713, 36mpteq12dv 5239 . . . . 5 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ↦ ((freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ π‘Ÿ))) = (π‘Ÿ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ ((freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ π‘Ÿ))))
38 elun2 4177 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉))
39 simplr1 1215 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ 𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉)) β†’ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…)
40 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ 𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉)) β†’ 𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉))
4140s1cld 14555 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ 𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉)) β†’ βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ© ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
4212ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ 𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉)) β†’ 𝑅 = Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
4341, 42eleqtrrd 2836 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ 𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉)) β†’ βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ© ∈ 𝑅)
4439, 43ffvelcdmd 7087 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ 𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉)) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) ∈ 𝑅)
4538, 44sylan2 593 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) ∈ 𝑅)
4615cbvmptv 5261 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©)) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
4745, 46fmptd 7115 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©)):π‘‰βŸΆπ‘…)
48 ssid 4004 . . . . . 6 𝑉 βŠ† 𝑉
49 eqid 2732 . . . . . . 7 (freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) = (freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))
505, 4, 2, 1, 49mrsubfval 34568 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©)):π‘‰βŸΆπ‘… ∧ 𝑉 βŠ† 𝑉) β†’ (π‘†β€˜(𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©))) = (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ↦ ((freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ π‘Ÿ))))
5147, 48, 50sylancl 586 . . . . 5 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (π‘†β€˜(𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©))) = (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ↦ ((freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ π‘Ÿ))))
525fvexi 6905 . . . . . . . . 9 𝐢 ∈ V
534fvexi 6905 . . . . . . . . 9 𝑉 ∈ V
5452, 53unex 7735 . . . . . . . 8 (𝐢 βˆͺ 𝑉) ∈ V
5549frmdmnd 18742 . . . . . . . 8 ((𝐢 βˆͺ 𝑉) ∈ V β†’ (freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) ∈ Mnd)
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . 7 (freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) ∈ Mnd
5756a1i 11 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) ∈ Mnd)
5854a1i 11 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ∈ V)
5944, 42eleqtrd 2835 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ 𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉)) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
6059fmpttd 7116 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)):(𝐢 βˆͺ 𝑉)⟢Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
61 simpr1 1194 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…)
6213, 13feq23d 6712 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ↔ 𝐹:Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)⟢Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)))
6361, 62mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝐹:Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)⟢Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
64 simpr3 1196 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))
65 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑅)
6612adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) β†’ 𝑅 = Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
6766adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑅 = Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
6865, 67eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
69 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑅)
7069, 67eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑦 ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
71 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))) = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))
7249, 71frmdbas 18735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐢 βˆͺ 𝑉) ∈ V β†’ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))) = Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
7354, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))) = Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)
7473eqcomi 2741 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word (𝐢 βˆͺ 𝑉) = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))
75 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))) = (+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))
7649, 74, 75frmdadd 18738 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))𝑦) = (π‘₯ ++ 𝑦))
7768, 70, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))𝑦) = (π‘₯ ++ 𝑦))
7877fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))𝑦)) = (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)))
79 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑅)
8079ad2ant2lr 746 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑅)
8180, 67eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
82 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝑅)
8382ad2ant2l 744 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝑅)
8483, 67eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
8549, 74, 75frmdadd 18738 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))(πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))
8681, 84, 85syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))(πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))
8778, 86eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦))))
88872ralbidva 3216 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦))))
8966raleqdv 3325 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)(πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))(πΉβ€˜π‘¦))))
9066, 89raleqbidv 3342 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)βˆ€π‘¦ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)(πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))(πΉβ€˜π‘¦))))
9188, 90bitr3d 280 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)βˆ€π‘¦ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)(πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))(πΉβ€˜π‘¦))))
92913ad2antr1 1188 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)βˆ€π‘¦ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)(πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))(πΉβ€˜π‘¦))))
9364, 92mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)βˆ€π‘¦ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)(πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))(πΉβ€˜π‘¦)))
94 wrd0 14491 . . . . . . . . . . . 12 βˆ… ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)
95 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)⟢Word (𝐢 βˆͺ 𝑉) ∧ βˆ… ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)) β†’ (πΉβ€˜βˆ…) ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
9663, 94, 95sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (πΉβ€˜βˆ…) ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
97 lencl 14485 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜βˆ…) ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉) β†’ (β™―β€˜(πΉβ€˜βˆ…)) ∈ β„•0)
9896, 97syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (β™―β€˜(πΉβ€˜βˆ…)) ∈ β„•0)
9998nn0cnd 12536 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (β™―β€˜(πΉβ€˜βˆ…)) ∈ β„‚)
100 0cnd 11209 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ 0 ∈ β„‚)
10199addridd 11416 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ ((β™―β€˜(πΉβ€˜βˆ…)) + 0) = (β™―β€˜(πΉβ€˜βˆ…)))
10294, 13eleqtrrid 2840 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ βˆ… ∈ 𝑅)
103 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = βˆ… β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = (πΉβ€˜(βˆ… ++ 𝑦)))
104 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = βˆ… β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜βˆ…))
105104oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜βˆ…) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))
106103, 105eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (πΉβ€˜(βˆ… ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜βˆ…) ++ (πΉβ€˜π‘¦))))
107 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = βˆ… β†’ (βˆ… ++ 𝑦) = (βˆ… ++ βˆ…))
108 ccatidid 14542 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ… ++ βˆ…) = βˆ…
109107, 108eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = βˆ… β†’ (βˆ… ++ 𝑦) = βˆ…)
110109fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = βˆ… β†’ (πΉβ€˜(βˆ… ++ 𝑦)) = (πΉβ€˜βˆ…))
111 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = βˆ… β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜βˆ…))
112111oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = βˆ… β†’ ((πΉβ€˜βˆ…) ++ (πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜βˆ…) ++ (πΉβ€˜βˆ…)))
113110, 112eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = βˆ… β†’ ((πΉβ€˜(βˆ… ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜βˆ…) ++ (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (πΉβ€˜βˆ…) = ((πΉβ€˜βˆ…) ++ (πΉβ€˜βˆ…))))
114106, 113rspc2va 3623 . . . . . . . . . . . 12 (((βˆ… ∈ 𝑅 ∧ βˆ… ∈ 𝑅) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ (πΉβ€˜βˆ…) = ((πΉβ€˜βˆ…) ++ (πΉβ€˜βˆ…)))
115102, 102, 64, 114syl21anc 836 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (πΉβ€˜βˆ…) = ((πΉβ€˜βˆ…) ++ (πΉβ€˜βˆ…)))
116115fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (β™―β€˜(πΉβ€˜βˆ…)) = (β™―β€˜((πΉβ€˜βˆ…) ++ (πΉβ€˜βˆ…))))
117 ccatlen 14527 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜βˆ…) ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜βˆ…) ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)) β†’ (β™―β€˜((πΉβ€˜βˆ…) ++ (πΉβ€˜βˆ…))) = ((β™―β€˜(πΉβ€˜βˆ…)) + (β™―β€˜(πΉβ€˜βˆ…))))
11896, 96, 117syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (β™―β€˜((πΉβ€˜βˆ…) ++ (πΉβ€˜βˆ…))) = ((β™―β€˜(πΉβ€˜βˆ…)) + (β™―β€˜(πΉβ€˜βˆ…))))
119101, 116, 1183eqtrrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ ((β™―β€˜(πΉβ€˜βˆ…)) + (β™―β€˜(πΉβ€˜βˆ…))) = ((β™―β€˜(πΉβ€˜βˆ…)) + 0))
12099, 99, 100, 119addcanad 11421 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (β™―β€˜(πΉβ€˜βˆ…)) = 0)
121 fvex 6904 . . . . . . . . 9 (πΉβ€˜βˆ…) ∈ V
122 hasheq0 14325 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜βˆ…) ∈ V β†’ ((β™―β€˜(πΉβ€˜βˆ…)) = 0 ↔ (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…))
123121, 122ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜(πΉβ€˜βˆ…)) = 0 ↔ (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…)
124120, 123sylib 217 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…)
12556, 56pm3.2i 471 . . . . . . . 8 ((freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) ∈ Mnd ∧ (freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) ∈ Mnd)
12649frmd0 18743 . . . . . . . . 9 βˆ… = (0gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))
12774, 74, 75, 75, 126, 126ismhm 18675 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) MndHom (freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))) ↔ (((freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) ∈ Mnd ∧ (freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) ∈ Mnd) ∧ (𝐹:Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)⟢Word (𝐢 βˆͺ 𝑉) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)βˆ€π‘¦ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)(πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))(πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…)))
128125, 127mpbiran 707 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) MndHom (freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))) ↔ (𝐹:Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)⟢Word (𝐢 βˆͺ 𝑉) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)βˆ€π‘¦ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)(πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))(πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…))
12963, 93, 124, 128syl3anbrc 1343 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝐹 ∈ ((freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) MndHom (freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))))
130 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (varFMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) = (varFMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))
131130vrmdf 18741 . . . . . . . . 9 ((𝐢 βˆͺ 𝑉) ∈ V β†’ (varFMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)):(𝐢 βˆͺ 𝑉)⟢Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
13254, 131ax-mp 5 . . . . . . . 8 (varFMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)):(𝐢 βˆͺ 𝑉)⟢Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)
133 fcompt 7133 . . . . . . . 8 ((𝐹:Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)⟢Word (𝐢 βˆͺ 𝑉) ∧ (varFMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)):(𝐢 βˆͺ 𝑉)⟢Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)) β†’ (𝐹 ∘ (varFMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))) = (𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ (πΉβ€˜((varFMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))β€˜π‘£))))
13463, 132, 133sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (𝐹 ∘ (varFMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))) = (𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ (πΉβ€˜((varFMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))β€˜π‘£))))
135130vrmdval 18740 . . . . . . . . . 10 (((𝐢 βˆͺ 𝑉) ∈ V ∧ 𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉)) β†’ ((varFMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))β€˜π‘£) = βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)
13654, 135mpan 688 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) β†’ ((varFMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))β€˜π‘£) = βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)
137136fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜((varFMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))β€˜π‘£)) = (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
138137mpteq2ia 5251 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ (πΉβ€˜((varFMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))β€˜π‘£))) = (𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
139134, 138eqtrdi 2788 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (𝐹 ∘ (varFMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))) = (𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)))
14049, 74, 130frmdup3lem 18749 . . . . . 6 ((((freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) ∈ Mnd ∧ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ∈ V ∧ (𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)):(𝐢 βˆͺ 𝑉)⟢Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)) ∧ (𝐹 ∈ ((freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) MndHom (freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))) ∧ (𝐹 ∘ (varFMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))) = (𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)))) β†’ 𝐹 = (π‘Ÿ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ ((freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ π‘Ÿ))))
14157, 58, 60, 129, 139, 140syl32anc 1378 . . . . 5 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝐹 = (π‘Ÿ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ ((freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ π‘Ÿ))))
14237, 51, 1413eqtr4rd 2783 . . . 4 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝐹 = (π‘†β€˜(𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©))))
1434, 2, 1mrsubff 34572 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝑅 ↑m 𝑅))
144143ffnd 6718 . . . . . 6 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ 𝑆 Fn (𝑅 ↑pm 𝑉))
145144adantr 481 . . . . 5 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝑆 Fn (𝑅 ↑pm 𝑉))
1462fvexi 6905 . . . . . . 7 𝑅 ∈ V
147 elpm2r 8841 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©)):π‘‰βŸΆπ‘… ∧ 𝑉 βŠ† 𝑉)) β†’ (𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©)) ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉))
148146, 53, 147mpanl12 700 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©)):π‘‰βŸΆπ‘… ∧ 𝑉 βŠ† 𝑉) β†’ (𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©)) ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉))
14947, 48, 148sylancl 586 . . . . 5 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©)) ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉))
150 fnfvelrn 7082 . . . . 5 ((𝑆 Fn (𝑅 ↑pm 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©)) ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (π‘†β€˜(𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©))) ∈ ran 𝑆)
151145, 149, 150syl2anc 584 . . . 4 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (π‘†β€˜(𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©))) ∈ ran 𝑆)
152142, 151eqeltrd 2833 . . 3 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝐹 ∈ ran 𝑆)
153152ex 413 . 2 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ ((𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ 𝐹 ∈ ran 𝑆))
15411, 153impbid2 225 1 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ (𝐹 ∈ ran 𝑆 ↔ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  ifcif 4528   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822   ↑pm cpm 8823  0cc0 11112   + caddc 11115  β„•0cn0 12474  β™―chash 14292  Word cword 14466   ++ cconcat 14522  βŸ¨β€œcs1 14547  Basecbs 17146  +gcplusg 17199   Ξ£g cgsu 17388  Mndcmnd 18627   MndHom cmhm 18671  freeMndcfrmd 18730  varFMndcvrmd 18731  mCNcmcn 34520  mVRcmvar 34521  mRExcmrex 34526  mRSubstcmrsub 34530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-hash 14293  df-word 14467  df-lsw 14515  df-concat 14523  df-s1 14548  df-substr 14593  df-pfx 14623  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-frmd 18732  df-vrmd 18733  df-mrex 34546  df-mrsub 34550
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