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Theorem elmrsubrn 34500
Description: Characterization of the substitutions as functions from expressions to expressions that distribute under concatenation and map constants to themselves. (The constant part uses (𝐢 βˆ– 𝑉) because we don't know that 𝐢 and 𝑉 are disjoint until we get to ismfs 34529.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubccat.s 𝑆 = (mRSubstβ€˜π‘‡)
mrsubccat.r 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
mrsubcn.v 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
mrsubcn.c 𝐢 = (mCNβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
elmrsubrn (𝑇 ∈ π‘Š β†’ (𝐹 ∈ ran 𝑆 ↔ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑐,𝑦,𝐢   π‘₯,𝑅,𝑦   𝑆,𝑐,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑇,𝑦   𝐹,𝑐,π‘₯,𝑦   𝑉,𝑐,π‘₯,𝑦   π‘₯,π‘Š,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑐)   𝑇(𝑐)   π‘Š(𝑐)

Proof of Theorem elmrsubrn
Dummy variables π‘Ÿ 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mrsubccat.s . . . 4 𝑆 = (mRSubstβ€˜π‘‡)
2 mrsubccat.r . . . 4 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
31, 2mrsubf 34497 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…)
4 mrsubcn.v . . . . 5 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
5 mrsubcn.c . . . . 5 𝐢 = (mCNβ€˜π‘‡)
61, 2, 4, 5mrsubcn 34499 . . . 4 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ 𝑐 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)
76ralrimiva 3147 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)
81, 2mrsubccat 34498 . . . . 5 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))
983expb 1121 . . . 4 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))
109ralrimivva 3201 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))
113, 7, 103jca 1129 . 2 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦))))
125, 4, 2mrexval 34481 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ 𝑅 = Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
1312adantr 482 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝑅 = Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
14 s1eq 14547 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = 𝑣 β†’ βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)
1514fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑣 β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©) = (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
16 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©)) = (𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©))
17 fvex 6902 . . . . . . . . . . . 12 (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) ∈ V
1815, 16, 17fvmpt 6996 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©))β€˜π‘£) = (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
1918adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ 𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©))β€˜π‘£) = (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
20 difun2 4480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐢 βˆͺ 𝑉) βˆ– 𝑉) = (𝐢 βˆ– 𝑉)
2120eleq2i 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ ((𝐢 βˆͺ 𝑉) βˆ– 𝑉) ↔ 𝑣 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉))
22 eldif 3958 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ ((𝐢 βˆͺ 𝑉) βˆ– 𝑉) ↔ (𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑣 ∈ 𝑉))
2321, 22bitr3i 277 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉) ↔ (𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑣 ∈ 𝑉))
24 simpr2 1196 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)
25 s1eq 14547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = 𝑣 β†’ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)
2625fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = 𝑣 β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
2726, 25eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ↔ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
2827rspccva 3612 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ 𝑣 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)
2924, 28sylan 581 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ 𝑣 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)
3023, 29sylan2br 596 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ (𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)
3130anassrs 469 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ 𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉)) ∧ Β¬ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)
3231eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ 𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉)) ∧ Β¬ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ© = (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
3319, 32ifeqda 4564 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ 𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉)) β†’ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
3433mpteq2dva 5248 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) = (𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)))
3534coeq1d 5860 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ ((𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ π‘Ÿ) = ((𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ π‘Ÿ))
3635oveq2d 7422 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ ((freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ π‘Ÿ)) = ((freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ π‘Ÿ)))
3713, 36mpteq12dv 5239 . . . . 5 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ↦ ((freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ π‘Ÿ))) = (π‘Ÿ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ ((freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ π‘Ÿ))))
38 elun2 4177 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉))
39 simplr1 1216 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ 𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉)) β†’ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…)
40 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ 𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉)) β†’ 𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉))
4140s1cld 14550 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ 𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉)) β†’ βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ© ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
4212ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ 𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉)) β†’ 𝑅 = Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
4341, 42eleqtrrd 2837 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ 𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉)) β†’ βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ© ∈ 𝑅)
4439, 43ffvelcdmd 7085 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ 𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉)) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) ∈ 𝑅)
4538, 44sylan2 594 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) ∈ 𝑅)
4615cbvmptv 5261 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©)) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
4745, 46fmptd 7111 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©)):π‘‰βŸΆπ‘…)
48 ssid 4004 . . . . . 6 𝑉 βŠ† 𝑉
49 eqid 2733 . . . . . . 7 (freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) = (freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))
505, 4, 2, 1, 49mrsubfval 34488 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©)):π‘‰βŸΆπ‘… ∧ 𝑉 βŠ† 𝑉) β†’ (π‘†β€˜(𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©))) = (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ↦ ((freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ π‘Ÿ))))
5147, 48, 50sylancl 587 . . . . 5 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (π‘†β€˜(𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©))) = (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ↦ ((freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ π‘Ÿ))))
525fvexi 6903 . . . . . . . . 9 𝐢 ∈ V
534fvexi 6903 . . . . . . . . 9 𝑉 ∈ V
5452, 53unex 7730 . . . . . . . 8 (𝐢 βˆͺ 𝑉) ∈ V
5549frmdmnd 18737 . . . . . . . 8 ((𝐢 βˆͺ 𝑉) ∈ V β†’ (freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) ∈ Mnd)
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . 7 (freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) ∈ Mnd
5756a1i 11 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) ∈ Mnd)
5854a1i 11 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ∈ V)
5944, 42eleqtrd 2836 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ 𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉)) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
6059fmpttd 7112 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)):(𝐢 βˆͺ 𝑉)⟢Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
61 simpr1 1195 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…)
6213, 13feq23d 6710 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ↔ 𝐹:Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)⟢Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)))
6361, 62mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝐹:Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)⟢Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
64 simpr3 1197 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))
65 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑅)
6612adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) β†’ 𝑅 = Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
6766adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑅 = Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
6865, 67eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
69 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑅)
7069, 67eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑦 ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
71 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))) = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))
7249, 71frmdbas 18730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐢 βˆͺ 𝑉) ∈ V β†’ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))) = Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
7354, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))) = Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)
7473eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word (𝐢 βˆͺ 𝑉) = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))
75 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))) = (+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))
7649, 74, 75frmdadd 18733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))𝑦) = (π‘₯ ++ 𝑦))
7768, 70, 76syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))𝑦) = (π‘₯ ++ 𝑦))
7877fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))𝑦)) = (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)))
79 ffvelcdm 7081 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑅)
8079ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑅)
8180, 67eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
82 ffvelcdm 7081 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝑅)
8382ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝑅)
8483, 67eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
8549, 74, 75frmdadd 18733 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))(πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))
8681, 84, 85syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))(πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))
8778, 86eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦))))
88872ralbidva 3217 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦))))
8966raleqdv 3326 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)(πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))(πΉβ€˜π‘¦))))
9066, 89raleqbidv 3343 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)βˆ€π‘¦ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)(πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))(πΉβ€˜π‘¦))))
9188, 90bitr3d 281 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)βˆ€π‘¦ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)(πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))(πΉβ€˜π‘¦))))
92913ad2antr1 1189 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)βˆ€π‘¦ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)(πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))(πΉβ€˜π‘¦))))
9364, 92mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)βˆ€π‘¦ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)(πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))(πΉβ€˜π‘¦)))
94 wrd0 14486 . . . . . . . . . . . 12 βˆ… ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)
95 ffvelcdm 7081 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)⟢Word (𝐢 βˆͺ 𝑉) ∧ βˆ… ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)) β†’ (πΉβ€˜βˆ…) ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
9663, 94, 95sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (πΉβ€˜βˆ…) ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
97 lencl 14480 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜βˆ…) ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉) β†’ (β™―β€˜(πΉβ€˜βˆ…)) ∈ β„•0)
9896, 97syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (β™―β€˜(πΉβ€˜βˆ…)) ∈ β„•0)
9998nn0cnd 12531 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (β™―β€˜(πΉβ€˜βˆ…)) ∈ β„‚)
100 0cnd 11204 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ 0 ∈ β„‚)
10199addridd 11411 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ ((β™―β€˜(πΉβ€˜βˆ…)) + 0) = (β™―β€˜(πΉβ€˜βˆ…)))
10294, 13eleqtrrid 2841 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ βˆ… ∈ 𝑅)
103 fvoveq1 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = βˆ… β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = (πΉβ€˜(βˆ… ++ 𝑦)))
104 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = βˆ… β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜βˆ…))
105104oveq1d 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜βˆ…) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))
106103, 105eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (πΉβ€˜(βˆ… ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜βˆ…) ++ (πΉβ€˜π‘¦))))
107 oveq2 7414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = βˆ… β†’ (βˆ… ++ 𝑦) = (βˆ… ++ βˆ…))
108 ccatidid 14537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ… ++ βˆ…) = βˆ…
109107, 108eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = βˆ… β†’ (βˆ… ++ 𝑦) = βˆ…)
110109fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = βˆ… β†’ (πΉβ€˜(βˆ… ++ 𝑦)) = (πΉβ€˜βˆ…))
111 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = βˆ… β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜βˆ…))
112111oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = βˆ… β†’ ((πΉβ€˜βˆ…) ++ (πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜βˆ…) ++ (πΉβ€˜βˆ…)))
113110, 112eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = βˆ… β†’ ((πΉβ€˜(βˆ… ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜βˆ…) ++ (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (πΉβ€˜βˆ…) = ((πΉβ€˜βˆ…) ++ (πΉβ€˜βˆ…))))
114106, 113rspc2va 3623 . . . . . . . . . . . 12 (((βˆ… ∈ 𝑅 ∧ βˆ… ∈ 𝑅) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ (πΉβ€˜βˆ…) = ((πΉβ€˜βˆ…) ++ (πΉβ€˜βˆ…)))
115102, 102, 64, 114syl21anc 837 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (πΉβ€˜βˆ…) = ((πΉβ€˜βˆ…) ++ (πΉβ€˜βˆ…)))
116115fveq2d 6893 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (β™―β€˜(πΉβ€˜βˆ…)) = (β™―β€˜((πΉβ€˜βˆ…) ++ (πΉβ€˜βˆ…))))
117 ccatlen 14522 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜βˆ…) ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜βˆ…) ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)) β†’ (β™―β€˜((πΉβ€˜βˆ…) ++ (πΉβ€˜βˆ…))) = ((β™―β€˜(πΉβ€˜βˆ…)) + (β™―β€˜(πΉβ€˜βˆ…))))
11896, 96, 117syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (β™―β€˜((πΉβ€˜βˆ…) ++ (πΉβ€˜βˆ…))) = ((β™―β€˜(πΉβ€˜βˆ…)) + (β™―β€˜(πΉβ€˜βˆ…))))
119101, 116, 1183eqtrrd 2778 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ ((β™―β€˜(πΉβ€˜βˆ…)) + (β™―β€˜(πΉβ€˜βˆ…))) = ((β™―β€˜(πΉβ€˜βˆ…)) + 0))
12099, 99, 100, 119addcanad 11416 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (β™―β€˜(πΉβ€˜βˆ…)) = 0)
121 fvex 6902 . . . . . . . . 9 (πΉβ€˜βˆ…) ∈ V
122 hasheq0 14320 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜βˆ…) ∈ V β†’ ((β™―β€˜(πΉβ€˜βˆ…)) = 0 ↔ (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…))
123121, 122ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜(πΉβ€˜βˆ…)) = 0 ↔ (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…)
124120, 123sylib 217 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…)
12556, 56pm3.2i 472 . . . . . . . 8 ((freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) ∈ Mnd ∧ (freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) ∈ Mnd)
12649frmd0 18738 . . . . . . . . 9 βˆ… = (0gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))
12774, 74, 75, 75, 126, 126ismhm 18670 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) MndHom (freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))) ↔ (((freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) ∈ Mnd ∧ (freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) ∈ Mnd) ∧ (𝐹:Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)⟢Word (𝐢 βˆͺ 𝑉) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)βˆ€π‘¦ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)(πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))(πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…)))
128125, 127mpbiran 708 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) MndHom (freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))) ↔ (𝐹:Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)⟢Word (𝐢 βˆͺ 𝑉) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)βˆ€π‘¦ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)(πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)))(πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…))
12963, 93, 124, 128syl3anbrc 1344 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝐹 ∈ ((freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) MndHom (freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))))
130 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (varFMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) = (varFMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))
131130vrmdf 18736 . . . . . . . . 9 ((𝐢 βˆͺ 𝑉) ∈ V β†’ (varFMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)):(𝐢 βˆͺ 𝑉)⟢Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
13254, 131ax-mp 5 . . . . . . . 8 (varFMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)):(𝐢 βˆͺ 𝑉)⟢Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)
133 fcompt 7128 . . . . . . . 8 ((𝐹:Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)⟢Word (𝐢 βˆͺ 𝑉) ∧ (varFMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)):(𝐢 βˆͺ 𝑉)⟢Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)) β†’ (𝐹 ∘ (varFMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))) = (𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ (πΉβ€˜((varFMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))β€˜π‘£))))
13463, 132, 133sylancl 587 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (𝐹 ∘ (varFMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))) = (𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ (πΉβ€˜((varFMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))β€˜π‘£))))
135130vrmdval 18735 . . . . . . . . . 10 (((𝐢 βˆͺ 𝑉) ∈ V ∧ 𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉)) β†’ ((varFMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))β€˜π‘£) = βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)
13654, 135mpan 689 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) β†’ ((varFMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))β€˜π‘£) = βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)
137136fveq2d 6893 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜((varFMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))β€˜π‘£)) = (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
138137mpteq2ia 5251 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ (πΉβ€˜((varFMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))β€˜π‘£))) = (𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
139134, 138eqtrdi 2789 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (𝐹 ∘ (varFMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))) = (𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)))
14049, 74, 130frmdup3lem 18744 . . . . . 6 ((((freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) ∈ Mnd ∧ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ∈ V ∧ (𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)):(𝐢 βˆͺ 𝑉)⟢Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)) ∧ (𝐹 ∈ ((freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) MndHom (freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))) ∧ (𝐹 ∘ (varFMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉))) = (𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)))) β†’ 𝐹 = (π‘Ÿ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ ((freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ π‘Ÿ))))
14157, 58, 60, 129, 139, 140syl32anc 1379 . . . . 5 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝐹 = (π‘Ÿ ∈ Word (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ ((freeMndβ€˜(𝐢 βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉) ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ π‘Ÿ))))
14237, 51, 1413eqtr4rd 2784 . . . 4 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝐹 = (π‘†β€˜(𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©))))
1434, 2, 1mrsubff 34492 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝑅 ↑m 𝑅))
144143ffnd 6716 . . . . . 6 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ 𝑆 Fn (𝑅 ↑pm 𝑉))
145144adantr 482 . . . . 5 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝑆 Fn (𝑅 ↑pm 𝑉))
1462fvexi 6903 . . . . . . 7 𝑅 ∈ V
147 elpm2r 8836 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©)):π‘‰βŸΆπ‘… ∧ 𝑉 βŠ† 𝑉)) β†’ (𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©)) ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉))
148146, 53, 147mpanl12 701 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©)):π‘‰βŸΆπ‘… ∧ 𝑉 βŠ† 𝑉) β†’ (𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©)) ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉))
14947, 48, 148sylancl 587 . . . . 5 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©)) ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉))
150 fnfvelrn 7080 . . . . 5 ((𝑆 Fn (𝑅 ↑pm 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©)) ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (π‘†β€˜(𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©))) ∈ ran 𝑆)
151145, 149, 150syl2anc 585 . . . 4 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (π‘†β€˜(𝑀 ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©))) ∈ ran 𝑆)
152142, 151eqeltrd 2834 . . 3 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝐹 ∈ ran 𝑆)
153152ex 414 . 2 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ ((𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ 𝐹 ∈ ran 𝑆))
15411, 153impbid2 225 1 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ (𝐹 ∈ ran 𝑆 ↔ (𝐹:π‘…βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)(πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜(π‘₯ ++ 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) ++ (πΉβ€˜π‘¦)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  ifcif 4528   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6536  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ↑m cmap 8817   ↑pm cpm 8818  0cc0 11107   + caddc 11110  β„•0cn0 12469  β™―chash 14287  Word cword 14461   ++ cconcat 14517  βŸ¨β€œcs1 14542  Basecbs 17141  +gcplusg 17194   Ξ£g cgsu 17383  Mndcmnd 18622   MndHom cmhm 18666  freeMndcfrmd 18725  varFMndcvrmd 18726  mCNcmcn 34440  mVRcmvar 34441  mRExcmrex 34446  mRSubstcmrsub 34450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-word 14462  df-lsw 14510  df-concat 14518  df-s1 14543  df-substr 14588  df-pfx 14618  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-mhm 18668  df-submnd 18669  df-frmd 18727  df-vrmd 18728  df-mrex 34466  df-mrsub 34470
This theorem is referenced by:  mrsubco  34501
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