Theorem lmclimf 25272

Description: Relate a limit on the metric space of complex numbers to our complex number limit notation. (Contributed by NM, 24-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmclim.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
lmclim.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
lmclimf	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℂ) → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))

Proof of Theorem lmclimf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℂ) → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
2		lmclim.3	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		uzssz 12784	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
4		zsscn 12508	. . . . 5 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
5	3, 4	sstri 3945	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℂ
6	2, 5	eqsstri 3982	. . 3 ⊢ 𝑍 ⊆ ℂ
7		cnex 11119	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
8		elpm2r 8794	. . . 4 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:𝑍⟶ℂ ∧ 𝑍 ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
9	7, 7, 8	mpanl12 703	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶ℂ ∧ 𝑍 ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
10	1, 6, 9	sylancl 587	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℂ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
11		fdm 6679	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑍⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝑍)
12		eqimss2 3995	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 = 𝑍 → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
13	1, 11, 12	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℂ) → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
14		lmclim.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
15	14, 2	lmclim 25271	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ 𝑃)))
16	13, 15	syldan 592	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℂ) → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ 𝑃)))
17	10, 16	mpbirand 708	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℂ) → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100  dom cdm 5632  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↑_pm cpm 8776  ℂcc 11036  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763   ⇝ cli 15419  TopOpenctopn 17353  ℂ_fldccnfld 21321  ⇝_𝑡clm 23182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-fz 13436  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-rest 17354  df-topn 17355  df-topgen 17375  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-bases 22902  df-lm 23185

This theorem is referenced by:  lmlim  34125  climreeq  45973