Theorem lmclimf 25367

Description: Relate a limit on the metric space of complex numbers to our complex number limit notation. (Contributed by NM, 24-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmclim.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
lmclim.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
lmclimf	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℂ) → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))

Proof of Theorem lmclimf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℂ) → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
2		lmclim.3	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		uzssz 12861	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
4		zsscn 12577	. . . . 5 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
5	3, 4	sstri 3946	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℂ
6	2, 5	eqsstri 3983	. . 3 ⊢ 𝑍 ⊆ ℂ
7		cnex 11155	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
8		elpm2r 8827	. . . 4 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:𝑍⟶ℂ ∧ 𝑍 ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
9	7, 7, 8	mpanl12 712	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶ℂ ∧ 𝑍 ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
10	1, 6, 9	sylancl 595	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℂ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
11		fdm 6702	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑍⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝑍)
12		eqimss2 3996	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 = 𝑍 → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
13	1, 11, 12	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℂ) → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
14		lmclim.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
15	14, 2	lmclim 25366	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ 𝑃)))
16	13, 15	syldan 600	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℂ) → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ 𝑃)))
17	10, 16	mpbirand 717	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℂ) → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5101  dom cdm 5648  ⟶wf 6518  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397   ↑_pm cpm 8810  ℂcc 11072  ℤcz 12569  ℤ_≥cuz 12840   ⇝ cli 15512  TopOpenctopn 17451  ℂ_fldccnfld 21425  ⇝_𝑡clm 23287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-er 8679  df-map 8811  df-pm 8812  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-sup 9389  df-inf 9390  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-div 11846  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12483  df-z 12570  df-dec 12690  df-uz 12841  df-q 12951  df-rp 12995  df-xneg 13115  df-xadd 13116  df-xmul 13117  df-fz 13514  df-seq 14016  df-exp 14076  df-cj 15127  df-re 15128  df-im 15129  df-sqrt 15263  df-abs 15264  df-clim 15516  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-starv 17302  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ds 17309  df-unif 17310  df-rest 17452  df-topn 17453  df-topgen 17473  df-psmet 21417  df-xmet 21418  df-met 21419  df-bl 21420  df-mopn 21421  df-cnfld 21426  df-top 22955  df-topon 22972  df-bases 23007  df-lm 23290

This theorem is referenced by:  lmlim  34245  climreeq  46190