Theorem lmclimf 25254

Description: Relate a limit on the metric space of complex numbers to our complex number limit notation. (Contributed by NM, 24-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmclim.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
lmclim.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
lmclimf	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℂ) → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))

Proof of Theorem lmclimf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℂ) → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
2		lmclim.3	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		uzssz 12871	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
4		zsscn 12594	. . . . 5 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
5	3, 4	sstri 3968	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℂ
6	2, 5	eqsstri 4005	. . 3 ⊢ 𝑍 ⊆ ℂ
7		cnex 11208	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
8		elpm2r 8857	. . . 4 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:𝑍⟶ℂ ∧ 𝑍 ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
9	7, 7, 8	mpanl12 702	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶ℂ ∧ 𝑍 ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
10	1, 6, 9	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℂ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
11		fdm 6714	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑍⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝑍)
12		eqimss2 4018	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 = 𝑍 → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
13	1, 11, 12	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℂ) → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
14		lmclim.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
15	14, 2	lmclim 25253	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ 𝑃)))
16	13, 15	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℂ) → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ 𝑃)))
17	10, 16	mpbirand 707	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℂ) → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119  dom cdm 5654  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403   ↑_pm cpm 8839  ℂcc 11125  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12850   ⇝ cli 15498  TopOpenctopn 17433  ℂ_fldccnfld 21313  ⇝_𝑡clm 23162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9452  df-inf 9453  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13126  df-xadd 13127  df-xmul 13128  df-fz 13523  df-seq 14018  df-exp 14078  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-clim 15502  df-struct 17164  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-rest 17434  df-topn 17435  df-topgen 17455  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-cnfld 21314  df-top 22830  df-topon 22847  df-bases 22882  df-lm 23165

This theorem is referenced by:  lmlim  33924  climreeq  45590