Theorem lmclimf 24201

Description: Relate a limit on the metric space of complex numbers to our complex number limit notation. (Contributed by NM, 24-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmclim.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
lmclim.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
lmclimf	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℂ) → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))

Proof of Theorem lmclimf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℂ) → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
2		lmclim.3	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		uzssz 12459	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
4		zsscn 12184	. . . . 5 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
5	3, 4	sstri 3910	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℂ
6	2, 5	eqsstri 3935	. . 3 ⊢ 𝑍 ⊆ ℂ
7		cnex 10810	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
8		elpm2r 8526	. . . 4 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:𝑍⟶ℂ ∧ 𝑍 ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
9	7, 7, 8	mpanl12 702	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶ℂ ∧ 𝑍 ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
10	1, 6, 9	sylancl 589	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℂ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
11		fdm 6554	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑍⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝑍)
12		eqimss2 3958	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 = 𝑍 → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
13	1, 11, 12	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℂ) → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
14		lmclim.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
15	14, 2	lmclim 24200	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ 𝑃)))
16	13, 15	syldan 594	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℂ) → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ 𝑃)))
17	10, 16	mpbirand 707	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℂ) → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  Vcvv 3408   ⊆ wss 3866   class class class wbr 5053  dom cdm 5551  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213   ↑_pm cpm 8509  ℂcc 10727  ℤcz 12176  ℤ_≥cuz 12438   ⇝ cli 15045  TopOpenctopn 16926  ℂ_fldccnfld 20363  ⇝_𝑡clm 22123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-fz 13096  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-struct 16700  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-rest 16927  df-topn 16928  df-topgen 16948  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-bases 21843  df-lm 22126

This theorem is referenced by:  lmlim  31611  climreeq  42829