MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmmbrf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmmbrf 25309
Description: Express the binary relation "sequence 𝐹 converges to point 𝑃 " in a metric space using an arbitrary upper set of integers. This version of lmmbr2 25306 presupposes that 𝐹 is a function. (Contributed by NM, 20-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmmbr.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmmbr.3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
lmmbr3.5 𝑍 = (ℤ𝑀)
lmmbr3.6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
lmmbrf.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
lmmbrf.8 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
Assertion
Ref Expression
lmmbrf (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴𝐷𝑃) < 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐷   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑃,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑋,𝑘,𝑥   𝑥,𝐽   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐽(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem lmmbrf
StepHypRef Expression
1 lmmbr.3 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 lmmbrf.8 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
3 elfvdm 6943 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
4 cnex 11233 . . . . . 6 ℂ ∈ V
53, 4jctir 520 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V))
6 lmmbr3.5 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
7 uzssz 12896 . . . . . . . 8 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
8 zsscn 12618 . . . . . . . 8 ℤ ⊆ ℂ
97, 8sstri 4004 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ⊆ ℂ
106, 9eqsstri 4029 . . . . . 6 𝑍 ⊆ ℂ
1110jctr 524 . . . . 5 (𝐹:𝑍𝑋 → (𝐹:𝑍𝑋𝑍 ⊆ ℂ))
12 elpm2r 8883 . . . . 5 (((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:𝑍𝑋𝑍 ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
135, 11, 12syl2an 596 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
141, 2, 13syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
1514biantrurd 532 . 2 (𝜑 → ((𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))))
166uztrn2 12894 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
1716adantll 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
18 lmmbrf.7 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
1918oveq1d 7445 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) = (𝐴𝐷𝑃))
2019breq1d 5157 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑥))
2120adantrl 716 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘𝑍)) → (((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑥))
222fdmd 6746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑍)
2322eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑘 ∈ dom 𝐹𝑘𝑍))
2423biimpar 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
252ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
2624, 25jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋))
2726biantrurd 532 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
28 df-3an 1088 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))
2927, 28bitr4di 289 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3029adantrl 716 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘𝑍)) → (((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3121, 30bitr3d 281 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘𝑍)) → ((𝐴𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3231anassrs 467 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐴𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3317, 32syldan 591 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐴𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3433ralbidva 3173 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3534rexbidva 3174 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3635ralbidv 3175 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3736anbi2d 630 . 2 (𝜑 → ((𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴𝐷𝑃) < 𝑥) ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))))
38 lmmbr.2 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
39 lmmbr3.6 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4038, 1, 6, 39lmmbr3 25307 . . 3 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))))
41 3anass 1094 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))))
4240, 41bitrdi 287 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))))
4315, 37, 423bitr4rd 312 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴𝐷𝑃) < 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3477  wss 3962   class class class wbr 5147  dom cdm 5688  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  pm cpm 8865  cc 11150   < clt 11292  cz 12610  cuz 12875  +crp 13031  ∞Metcxmet 21366  MetOpencmopn 21371  𝑡clm 23249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-topgen 17489  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-top 22915  df-topon 22932  df-bases 22968  df-lm 23252
This theorem is referenced by:  lmnn  25310  h2hlm  31008  lmclim2  37744  heibor1lem  37795  rrncmslem  37818
  Copyright terms: Public domain W3C validator