MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmmbrf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmmbrf 24779
Description: Express the binary relation "sequence 𝐹 converges to point 𝑃 " in a metric space using an arbitrary upper set of integers. This version of lmmbr2 24776 presupposes that 𝐹 is a function. (Contributed by NM, 20-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmmbr.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
lmmbr.3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
lmmbr3.5 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
lmmbr3.6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
lmmbrf.7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
lmmbrf.8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
Assertion
Ref Expression
lmmbrf (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝐴𝐷𝑃) < π‘₯)))
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,π‘₯,𝐷   𝑗,𝐹,π‘˜,π‘₯   𝑃,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝑗,𝑋,π‘˜,π‘₯   π‘₯,𝐽   𝑗,𝑀   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝑗,𝑍,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝐽(𝑗,π‘˜)   𝑀(π‘₯,π‘˜)

Proof of Theorem lmmbrf
StepHypRef Expression
1 lmmbr.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2 lmmbrf.8 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
3 elfvdm 6929 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
4 cnex 11191 . . . . . 6 β„‚ ∈ V
53, 4jctir 522 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ β„‚ ∈ V))
6 lmmbr3.5 . . . . . . 7 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
7 uzssz 12843 . . . . . . . 8 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
8 zsscn 12566 . . . . . . . 8 β„€ βŠ† β„‚
97, 8sstri 3992 . . . . . . 7 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„‚
106, 9eqsstri 4017 . . . . . 6 𝑍 βŠ† β„‚
1110jctr 526 . . . . 5 (𝐹:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ (𝐹:π‘βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑍 βŠ† β„‚))
12 elpm2r 8839 . . . . 5 (((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ β„‚ ∈ V) ∧ (𝐹:π‘βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑍 βŠ† β„‚)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
135, 11, 12syl2an 597 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
141, 2, 13syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
1514biantrurd 534 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))))
166uztrn2 12841 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
1716adantll 713 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
18 lmmbrf.7 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
1918oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) = (𝐴𝐷𝑃))
2019breq1d 5159 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯ ↔ (𝐴𝐷𝑃) < π‘₯))
2120adantrl 715 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ 𝑍)) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯ ↔ (𝐴𝐷𝑃) < π‘₯))
222fdmd 6729 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝑍)
2322eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ↔ π‘˜ ∈ 𝑍))
2423biimpar 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
252ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
2624, 25jca 513 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋))
2726biantrurd 534 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯ ↔ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))
28 df-3an 1090 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯) ↔ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯))
2927, 28bitr4di 289 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯ ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))
3029adantrl 715 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ 𝑍)) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯ ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))
3121, 30bitr3d 281 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ 𝑍)) β†’ ((𝐴𝐷𝑃) < π‘₯ ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))
3231anassrs 469 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((𝐴𝐷𝑃) < π‘₯ ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))
3317, 32syldan 592 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((𝐴𝐷𝑃) < π‘₯ ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))
3433ralbidva 3176 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝐴𝐷𝑃) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))
3534rexbidva 3177 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝐴𝐷𝑃) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))
3635ralbidv 3178 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝐴𝐷𝑃) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))
3736anbi2d 630 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝐴𝐷𝑃) < π‘₯) ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯))))
38 lmmbr.2 . . . 4 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
39 lmmbr3.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4038, 1, 6, 39lmmbr3 24777 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯))))
41 3anass 1096 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯))))
4240, 41bitrdi 287 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))))
4315, 37, 423bitr4rd 312 1 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝐴𝐷𝑃) < π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑pm cpm 8821  β„‚cc 11108   < clt 11248  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  βˆžMetcxmet 20929  MetOpencmopn 20934  β‡π‘‘clm 22730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-lm 22733
This theorem is referenced by:  lmnn  24780  h2hlm  30233  lmclim2  36626  heibor1lem  36677  rrncmslem  36700
  Copyright terms: Public domain W3C validator