MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmmbrf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmmbrf 23780
Description: Express the binary relation "sequence 𝐹 converges to point 𝑃 " in a metric space using an arbitrary upper set of integers. This version of lmmbr2 23777 presupposes that 𝐹 is a function. (Contributed by NM, 20-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmmbr.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmmbr.3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
lmmbr3.5 𝑍 = (ℤ𝑀)
lmmbr3.6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
lmmbrf.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
lmmbrf.8 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
Assertion
Ref Expression
lmmbrf (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴𝐷𝑃) < 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐷   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑃,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑋,𝑘,𝑥   𝑥,𝐽   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐽(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem lmmbrf
StepHypRef Expression
1 lmmbr.3 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 lmmbrf.8 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
3 elfvdm 6698 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
4 cnex 10610 . . . . . 6 ℂ ∈ V
53, 4jctir 521 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V))
6 lmmbr3.5 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
7 uzssz 12256 . . . . . . . 8 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
8 zsscn 11981 . . . . . . . 8 ℤ ⊆ ℂ
97, 8sstri 3979 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ⊆ ℂ
106, 9eqsstri 4004 . . . . . 6 𝑍 ⊆ ℂ
1110jctr 525 . . . . 5 (𝐹:𝑍𝑋 → (𝐹:𝑍𝑋𝑍 ⊆ ℂ))
12 elpm2r 8417 . . . . 5 (((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:𝑍𝑋𝑍 ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
135, 11, 12syl2an 595 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
141, 2, 13syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
1514biantrurd 533 . 2 (𝜑 → ((𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))))
166uztrn2 12254 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
1716adantll 710 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
18 lmmbrf.7 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
1918oveq1d 7166 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) = (𝐴𝐷𝑃))
2019breq1d 5072 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑥))
2120adantrl 712 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘𝑍)) → (((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑥))
222fdmd 6519 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑍)
2322eleq2d 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑘 ∈ dom 𝐹𝑘𝑍))
2423biimpar 478 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
252ffvelrnda 6846 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
2624, 25jca 512 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋))
2726biantrurd 533 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
28 df-3an 1083 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))
2927, 28syl6bbr 290 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3029adantrl 712 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘𝑍)) → (((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3121, 30bitr3d 282 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘𝑍)) → ((𝐴𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3231anassrs 468 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐴𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3317, 32syldan 591 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐴𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3433ralbidva 3200 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3534rexbidva 3300 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3635ralbidv 3201 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3736anbi2d 628 . 2 (𝜑 → ((𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴𝐷𝑃) < 𝑥) ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))))
38 lmmbr.2 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
39 lmmbr3.6 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4038, 1, 6, 39lmmbr3 23778 . . 3 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))))
41 3anass 1089 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))))
4240, 41syl6bb 288 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))))
4315, 37, 423bitr4rd 313 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴𝐷𝑃) < 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3142  wrex 3143  Vcvv 3499  wss 3939   class class class wbr 5062  dom cdm 5553  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  pm cpm 8400  cc 10527   < clt 10667  cz 11973  cuz 12235  +crp 12382  ∞Metcxmet 20446  MetOpencmopn 20451  𝑡clm 21750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-topgen 16709  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-top 21418  df-topon 21435  df-bases 21470  df-lm 21753
This theorem is referenced by:  lmnn  23781  h2hlm  28671  lmclim2  34901  heibor1lem  34955  rrncmslem  34978
  Copyright terms: Public domain W3C validator