Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmmbrf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmmbrf 23955
 Description: Express the binary relation "sequence 𝐹 converges to point 𝑃 " in a metric space using an arbitrary upper set of integers. This version of lmmbr2 23952 presupposes that 𝐹 is a function. (Contributed by NM, 20-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmmbr.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmmbr.3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
lmmbr3.5 𝑍 = (ℤ𝑀)
lmmbr3.6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
lmmbrf.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
lmmbrf.8 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
Assertion
Ref Expression
lmmbrf (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴𝐷𝑃) < 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐷   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑃,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑋,𝑘,𝑥   𝑥,𝐽   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐽(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem lmmbrf
StepHypRef Expression
1 lmmbr.3 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 lmmbrf.8 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
3 elfvdm 6691 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
4 cnex 10649 . . . . . 6 ℂ ∈ V
53, 4jctir 525 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V))
6 lmmbr3.5 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
7 uzssz 12296 . . . . . . . 8 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
8 zsscn 12021 . . . . . . . 8 ℤ ⊆ ℂ
97, 8sstri 3902 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ⊆ ℂ
106, 9eqsstri 3927 . . . . . 6 𝑍 ⊆ ℂ
1110jctr 529 . . . . 5 (𝐹:𝑍𝑋 → (𝐹:𝑍𝑋𝑍 ⊆ ℂ))
12 elpm2r 8435 . . . . 5 (((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:𝑍𝑋𝑍 ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
135, 11, 12syl2an 599 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
141, 2, 13syl2anc 588 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
1514biantrurd 537 . 2 (𝜑 → ((𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))))
166uztrn2 12294 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
1716adantll 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
18 lmmbrf.7 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
1918oveq1d 7166 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) = (𝐴𝐷𝑃))
2019breq1d 5043 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑥))
2120adantrl 716 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘𝑍)) → (((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑥))
222fdmd 6509 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑍)
2322eleq2d 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑘 ∈ dom 𝐹𝑘𝑍))
2423biimpar 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
252ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
2624, 25jca 516 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋))
2726biantrurd 537 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
28 df-3an 1087 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))
2927, 28bitr4di 293 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3029adantrl 716 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘𝑍)) → (((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3121, 30bitr3d 284 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘𝑍)) → ((𝐴𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3231anassrs 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐴𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3317, 32syldan 595 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐴𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3433ralbidva 3126 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3534rexbidva 3221 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3635ralbidv 3127 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3736anbi2d 632 . 2 (𝜑 → ((𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴𝐷𝑃) < 𝑥) ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))))
38 lmmbr.2 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
39 lmmbr3.6 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4038, 1, 6, 39lmmbr3 23953 . . 3 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))))
41 3anass 1093 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))))
4240, 41bitrdi 290 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))))
4315, 37, 423bitr4rd 316 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴𝐷𝑃) < 𝑥)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3071  ∃wrex 3072  Vcvv 3410   ⊆ wss 3859   class class class wbr 5033  dom cdm 5525  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151   ↑pm cpm 8418  ℂcc 10566   < clt 10706  ℤcz 12013  ℤ≥cuz 12275  ℝ+crp 12423  ∞Metcxmet 20144  MetOpencmopn 20149  ⇝𝑡clm 21919 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645  ax-pre-sup 10646 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-map 8419  df-pm 8420  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-sup 8932  df-inf 8933  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-div 11329  df-nn 11668  df-2 11730  df-n0 11928  df-z 12014  df-uz 12276  df-q 12382  df-rp 12424  df-xneg 12541  df-xadd 12542  df-xmul 12543  df-topgen 16768  df-psmet 20151  df-xmet 20152  df-bl 20154  df-mopn 20155  df-top 21587  df-topon 21604  df-bases 21639  df-lm 21922 This theorem is referenced by:  lmnn  23956  h2hlm  28855  lmclim2  35469  heibor1lem  35520  rrncmslem  35543
 Copyright terms: Public domain W3C validator