MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmmbrf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmmbrf 25003
Description: Express the binary relation "sequence 𝐹 converges to point 𝑃 " in a metric space using an arbitrary upper set of integers. This version of lmmbr2 25000 presupposes that 𝐹 is a function. (Contributed by NM, 20-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmmbr.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
lmmbr.3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
lmmbr3.5 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
lmmbr3.6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
lmmbrf.7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
lmmbrf.8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
Assertion
Ref Expression
lmmbrf (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝐴𝐷𝑃) < π‘₯)))
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,π‘₯,𝐷   𝑗,𝐹,π‘˜,π‘₯   𝑃,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝑗,𝑋,π‘˜,π‘₯   π‘₯,𝐽   𝑗,𝑀   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝑗,𝑍,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝐽(𝑗,π‘˜)   𝑀(π‘₯,π‘˜)

Proof of Theorem lmmbrf
StepHypRef Expression
1 lmmbr.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2 lmmbrf.8 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
3 elfvdm 6928 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
4 cnex 11193 . . . . . 6 β„‚ ∈ V
53, 4jctir 521 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ β„‚ ∈ V))
6 lmmbr3.5 . . . . . . 7 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
7 uzssz 12847 . . . . . . . 8 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
8 zsscn 12570 . . . . . . . 8 β„€ βŠ† β„‚
97, 8sstri 3991 . . . . . . 7 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„‚
106, 9eqsstri 4016 . . . . . 6 𝑍 βŠ† β„‚
1110jctr 525 . . . . 5 (𝐹:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ (𝐹:π‘βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑍 βŠ† β„‚))
12 elpm2r 8841 . . . . 5 (((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ β„‚ ∈ V) ∧ (𝐹:π‘βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑍 βŠ† β„‚)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
135, 11, 12syl2an 596 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
141, 2, 13syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
1514biantrurd 533 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))))
166uztrn2 12845 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
1716adantll 712 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
18 lmmbrf.7 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
1918oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) = (𝐴𝐷𝑃))
2019breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯ ↔ (𝐴𝐷𝑃) < π‘₯))
2120adantrl 714 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ 𝑍)) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯ ↔ (𝐴𝐷𝑃) < π‘₯))
222fdmd 6728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝑍)
2322eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ↔ π‘˜ ∈ 𝑍))
2423biimpar 478 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
252ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
2624, 25jca 512 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋))
2726biantrurd 533 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯ ↔ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))
28 df-3an 1089 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯) ↔ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯))
2927, 28bitr4di 288 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯ ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))
3029adantrl 714 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ 𝑍)) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯ ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))
3121, 30bitr3d 280 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ 𝑍)) β†’ ((𝐴𝐷𝑃) < π‘₯ ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))
3231anassrs 468 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((𝐴𝐷𝑃) < π‘₯ ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))
3317, 32syldan 591 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((𝐴𝐷𝑃) < π‘₯ ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))
3433ralbidva 3175 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝐴𝐷𝑃) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))
3534rexbidva 3176 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝐴𝐷𝑃) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))
3635ralbidv 3177 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝐴𝐷𝑃) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))
3736anbi2d 629 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝐴𝐷𝑃) < π‘₯) ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯))))
38 lmmbr.2 . . . 4 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
39 lmmbr3.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4038, 1, 6, 39lmmbr3 25001 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯))))
41 3anass 1095 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯))))
4240, 41bitrdi 286 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))))
4315, 37, 423bitr4rd 311 1 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝐴𝐷𝑃) < π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ↑pm cpm 8823  β„‚cc 11110   < clt 11252  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β„+crp 12978  βˆžMetcxmet 21129  MetOpencmopn 21134  β‡π‘‘clm 22950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-lm 22953
This theorem is referenced by:  lmnn  25004  h2hlm  30488  lmclim2  36929  heibor1lem  36980  rrncmslem  37003
  Copyright terms: Public domain W3C validator