MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylply Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem taylply 24967
Description: The Taylor polynomial is a polynomial of degree (at most) 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
taylpfval.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylpfval.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylpfval.a (𝜑𝐴𝑆)
taylpfval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
taylpfval.b (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
taylpfval.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
Assertion
Ref Expression
taylply (𝜑 → (𝑇 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝑇) ≤ 𝑁))

Proof of Theorem taylply
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylpfval.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 taylpfval.f . 2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
3 taylpfval.a . 2 (𝜑𝐴𝑆)
4 taylpfval.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
5 taylpfval.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
6 taylpfval.t . 2 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
7 cnring 20567 . . 3 fld ∈ Ring
8 cnfldbas 20549 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
98subrgid 19537 . . 3 (ℂfld ∈ Ring → ℂ ∈ (SubRing‘ℂfld))
107, 9mp1i 13 . 2 (𝜑 → ℂ ∈ (SubRing‘ℂfld))
11 cnex 10616 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ ∈ V)
13 elpm2r 8420 . . . . . . 7 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
1412, 1, 2, 3, 13syl22anc 837 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
15 dvnbss 24534 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom 𝐹)
161, 14, 4, 15syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom 𝐹)
172, 16fssdmd 6519 . . . 4 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ 𝐴)
18 recnprss 24510 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
191, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
203, 19sstrd 3963 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
2117, 20sstrd 3963 . . 3 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ ℂ)
2221, 5sseldd 3954 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
231adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2414adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
25 elfznn0 13004 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2625adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
27 dvnf 24533 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
2823, 24, 26, 27syl3anc 1368 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
29 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
30 dvn2bss 24536 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
3123, 24, 29, 30syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
325adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
3331, 32sseldd 3954 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
3428, 33ffvelrnd 6843 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
3526faccld 13649 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
3635nncnd 11650 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
3735nnne0d 11684 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
3834, 36, 37divcld 11414 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
391, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 22, 38taylply2 24966 1 (𝜑 → (𝑇 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝑇) ≤ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3480  wss 3919  {cpr 4552   class class class wbr 5052  dom cdm 5542  wf 6339  cfv 6343  (class class class)co 7149  pm cpm 8403  cc 10533  cr 10534  0cc0 10535  cle 10674  0cn0 11894  ...cfz 12894  !cfa 13638  Ringcrg 19297  SubRingcsubrg 19531  fldccnfld 20545   D𝑛 cdvn 24470  Polycply 24784  degcdgr 24787   Tayl ctayl 24951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-seq 13374  df-exp 13435  df-fac 13639  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-subrg 19533  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-tsms 22735  df-xms 22930  df-ms 22931  df-0p 24277  df-limc 24472  df-dv 24473  df-dvn 24474  df-ply 24788  df-idp 24789  df-coe 24790  df-dgr 24791  df-tayl 24953
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator