MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylply Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem taylply 26254
Description: The Taylor polynomial is a polynomial of degree (at most) 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
taylpfval.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
taylpfval.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
taylpfval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
taylpfval.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
taylpfval.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘))
taylpfval.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡)
Assertion
Ref Expression
taylply (πœ‘ β†’ (𝑇 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜π‘‡) ≀ 𝑁))

Proof of Theorem taylply
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylpfval.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 taylpfval.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
3 taylpfval.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
4 taylpfval.n . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
5 taylpfval.b . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘))
6 taylpfval.t . 2 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡)
7 cnring 21274 . . 3 β„‚fld ∈ Ring
8 cnfldbas 21239 . . . 4 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
98subrgid 20472 . . 3 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
107, 9mp1i 13 . 2 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
11 cnex 11190 . . . . . . . 8 β„‚ ∈ V
1211a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
13 elpm2r 8838 . . . . . . 7 (((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚}) ∧ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
1412, 1, 2, 3, 13syl22anc 836 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
15 dvnbss 25808 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) βŠ† dom 𝐹)
161, 14, 4, 15syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) βŠ† dom 𝐹)
172, 16fssdmd 6729 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) βŠ† 𝐴)
18 recnprss 25783 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
191, 18syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
203, 19sstrd 3987 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
2117, 20sstrd 3987 . . 3 (πœ‘ β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) βŠ† β„‚)
2221, 5sseldd 3978 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
231adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2414adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
25 elfznn0 13597 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
2625adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
27 dvnf 25807 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)βŸΆβ„‚)
2823, 24, 26, 27syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)βŸΆβ„‚)
29 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑁))
30 dvn2bss 25810 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) βŠ† dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
3123, 24, 29, 30syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) βŠ† dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
325adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘))
3331, 32sseldd 3978 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
3428, 33ffvelcdmd 7080 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) ∈ β„‚)
3526faccld 14246 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„•)
3635nncnd 12229 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3735nnne0d 12263 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (!β€˜π‘˜) β‰  0)
3834, 36, 37divcld 11991 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
391, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 22, 38taylply2 26252 1 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜π‘‡) ≀ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  {cpr 4625   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ↑pm cpm 8820  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109   ≀ cle 11250  β„•0cn0 12473  ...cfz 13487  !cfa 14235  Ringcrg 20135  SubRingcsubrg 20466  β„‚fldccnfld 21235   D𝑛 cdvn 25743  Polycply 26068  degcdgr 26071   Tayl ctayl 26237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-fac 14236  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-subg 19047  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-cring 20138  df-subrng 20443  df-subrg 20468  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-fbas 21232  df-fg 21233  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cld 22873  df-ntr 22874  df-cls 22875  df-nei 22952  df-lp 22990  df-perf 22991  df-cnp 23082  df-haus 23169  df-fil 23700  df-fm 23792  df-flim 23793  df-flf 23794  df-tsms 23981  df-xms 24176  df-ms 24177  df-0p 25549  df-limc 25745  df-dv 25746  df-dvn 25747  df-ply 26072  df-idp 26073  df-coe 26074  df-dgr 26075  df-tayl 26239
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator