MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylply Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem taylply 25744
Description: The Taylor polynomial is a polynomial of degree (at most) 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
taylpfval.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
taylpfval.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
taylpfval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
taylpfval.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
taylpfval.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘))
taylpfval.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡)
Assertion
Ref Expression
taylply (πœ‘ β†’ (𝑇 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜π‘‡) ≀ 𝑁))

Proof of Theorem taylply
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylpfval.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 taylpfval.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
3 taylpfval.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
4 taylpfval.n . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
5 taylpfval.b . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘))
6 taylpfval.t . 2 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡)
7 cnring 20835 . . 3 β„‚fld ∈ Ring
8 cnfldbas 20816 . . . 4 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
98subrgid 20240 . . 3 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
107, 9mp1i 13 . 2 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
11 cnex 11139 . . . . . . . 8 β„‚ ∈ V
1211a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
13 elpm2r 8790 . . . . . . 7 (((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚}) ∧ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
1412, 1, 2, 3, 13syl22anc 838 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
15 dvnbss 25308 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) βŠ† dom 𝐹)
161, 14, 4, 15syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) βŠ† dom 𝐹)
172, 16fssdmd 6692 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) βŠ† 𝐴)
18 recnprss 25284 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
191, 18syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
203, 19sstrd 3959 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
2117, 20sstrd 3959 . . 3 (πœ‘ β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) βŠ† β„‚)
2221, 5sseldd 3950 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
231adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2414adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
25 elfznn0 13541 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
2625adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
27 dvnf 25307 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)βŸΆβ„‚)
2823, 24, 26, 27syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)βŸΆβ„‚)
29 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑁))
30 dvn2bss 25310 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) βŠ† dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
3123, 24, 29, 30syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) βŠ† dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
325adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘))
3331, 32sseldd 3950 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
3428, 33ffvelcdmd 7041 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) ∈ β„‚)
3526faccld 14191 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„•)
3635nncnd 12176 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3735nnne0d 12210 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (!β€˜π‘˜) β‰  0)
3834, 36, 37divcld 11938 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
391, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 22, 38taylply2 25743 1 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜π‘‡) ≀ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  {cpr 4593   class class class wbr 5110  dom cdm 5638  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑pm cpm 8773  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058   ≀ cle 11197  β„•0cn0 12420  ...cfz 13431  !cfa 14180  Ringcrg 19971  SubRingcsubrg 20234  β„‚fldccnfld 20812   D𝑛 cdvn 25244  Polycply 25561  degcdgr 25564   Tayl ctayl 25728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-subg 18932  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-subrg 20236  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-tsms 23494  df-xms 23689  df-ms 23690  df-0p 25050  df-limc 25246  df-dv 25247  df-dvn 25248  df-ply 25565  df-idp 25566  df-coe 25567  df-dgr 25568  df-tayl 25730
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator