Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylply Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem taylply 24560
 Description: The Taylor polynomial is a polynomial of degree (at most) 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
taylpfval.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylpfval.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylpfval.a (𝜑𝐴𝑆)
taylpfval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
taylpfval.b (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
taylpfval.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
Assertion
Ref Expression
taylply (𝜑 → (𝑇 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝑇) ≤ 𝑁))

Proof of Theorem taylply
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylpfval.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 taylpfval.f . 2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
3 taylpfval.a . 2 (𝜑𝐴𝑆)
4 taylpfval.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
5 taylpfval.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
6 taylpfval.t . 2 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
7 cnring 20164 . . 3 fld ∈ Ring
8 cnfldbas 20146 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
98subrgid 19174 . . 3 (ℂfld ∈ Ring → ℂ ∈ (SubRing‘ℂfld))
107, 9mp1i 13 . 2 (𝜑 → ℂ ∈ (SubRing‘ℂfld))
11 cnex 10353 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ ∈ V)
13 elpm2r 8158 . . . . . . 7 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
1412, 1, 2, 3, 13syl22anc 829 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
15 dvnbss 24128 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom 𝐹)
161, 14, 4, 15syl3anc 1439 . . . . 5 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom 𝐹)
172, 16fssdmd 6306 . . . 4 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ 𝐴)
18 recnprss 24105 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
191, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
203, 19sstrd 3831 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
2117, 20sstrd 3831 . . 3 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ ℂ)
2221, 5sseldd 3822 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
231adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2414adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
25 elfznn0 12751 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2625adantl 475 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
27 dvnf 24127 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
2823, 24, 26, 27syl3anc 1439 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
29 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
30 dvn2bss 24130 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
3123, 24, 29, 30syl3anc 1439 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
325adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
3331, 32sseldd 3822 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
3428, 33ffvelrnd 6624 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
35 faccl 13388 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
3626, 35syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
3736nncnd 11392 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
3836nnne0d 11425 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
3934, 37, 38divcld 11151 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
401, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 22, 39taylply2 24559 1 (𝜑 → (𝑇 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝑇) ≤ 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  Vcvv 3398   ⊆ wss 3792  {cpr 4400   class class class wbr 4886  dom cdm 5355  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ↑pm cpm 8141  ℂcc 10270  ℝcr 10271  0cc0 10272   ≤ cle 10412  ℕcn 11374  ℕ0cn0 11642  ...cfz 12643  !cfa 13378  Ringcrg 18934  SubRingcsubrg 19168  ℂfldccnfld 20142   D𝑛 cdvn 24065  Polycply 24377  degcdgr 24380   Tayl ctayl 24544 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-subg 17975  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-cring 18937  df-subrg 19170  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-lp 21348  df-perf 21349  df-cnp 21440  df-haus 21527  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-tsms 22338  df-xms 22533  df-ms 22534  df-0p 23874  df-limc 24067  df-dv 24068  df-dvn 24069  df-ply 24381  df-idp 24382  df-coe 24383  df-dgr 24384  df-tayl 24546 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator