MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylply Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem taylply 26324
Description: The Taylor polynomial is a polynomial of degree (at most) 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
taylpfval.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
taylpfval.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
taylpfval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
taylpfval.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
taylpfval.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘))
taylpfval.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡)
Assertion
Ref Expression
taylply (πœ‘ β†’ (𝑇 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜π‘‡) ≀ 𝑁))

Proof of Theorem taylply
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylpfval.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 taylpfval.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
3 taylpfval.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
4 taylpfval.n . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
5 taylpfval.b . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘))
6 taylpfval.t . 2 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡)
7 cnring 21325 . . 3 β„‚fld ∈ Ring
8 cnfldbas 21290 . . . 4 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
98subrgid 20519 . . 3 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
107, 9mp1i 13 . 2 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
11 cnex 11227 . . . . . . . 8 β„‚ ∈ V
1211a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
13 elpm2r 8870 . . . . . . 7 (((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚}) ∧ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
1412, 1, 2, 3, 13syl22anc 837 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
15 dvnbss 25878 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) βŠ† dom 𝐹)
161, 14, 4, 15syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) βŠ† dom 𝐹)
172, 16fssdmd 6746 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) βŠ† 𝐴)
18 recnprss 25853 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
191, 18syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
203, 19sstrd 3992 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
2117, 20sstrd 3992 . . 3 (πœ‘ β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) βŠ† β„‚)
2221, 5sseldd 3983 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
231adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2414adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
25 elfznn0 13634 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
2625adantl 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
27 dvnf 25877 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)βŸΆβ„‚)
2823, 24, 26, 27syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)βŸΆβ„‚)
29 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑁))
30 dvn2bss 25880 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) βŠ† dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
3123, 24, 29, 30syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) βŠ† dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
325adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘))
3331, 32sseldd 3983 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
3428, 33ffvelcdmd 7100 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) ∈ β„‚)
3526faccld 14283 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„•)
3635nncnd 12266 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3735nnne0d 12300 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (!β€˜π‘˜) β‰  0)
3834, 36, 37divcld 12028 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
391, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 22, 38taylply2 26322 1 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜π‘‡) ≀ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949  {cpr 4634   class class class wbr 5152  dom cdm 5682  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ↑pm cpm 8852  β„‚cc 11144  β„cr 11145  0cc0 11146   ≀ cle 11287  β„•0cn0 12510  ...cfz 13524  !cfa 14272  Ringcrg 20180  SubRingcsubrg 20513  β„‚fldccnfld 21286   D𝑛 cdvn 25813  Polycply 26138  degcdgr 26141   Tayl ctayl 26307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-subg 19085  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-lp 23060  df-perf 23061  df-cnp 23152  df-haus 23239  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-tsms 24051  df-xms 24246  df-ms 24247  df-0p 25619  df-limc 25815  df-dv 25816  df-dvn 25817  df-ply 26142  df-idp 26143  df-coe 26144  df-dgr 26145  df-tayl 26309
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator