Theorem ismbfcn 24793

Description: A complex function is measurable iff the real and imaginary components of the function are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ismbfcn	⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))

Proof of Theorem ismbfcn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfdm 24790	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
2		fdm 6609	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝐴)
3	2	eleq1d 2823	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (dom 𝐹 ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
4	1, 3	syl5ib 243	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn → 𝐴 ∈ dom vol))
5		mbfdm 24790	. . . 4 ⊢ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn → dom (ℜ ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
6	5	adantr 481	. . 3 ⊢ (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) → dom (ℜ ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
7		ref 14823	. . . . . 6 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
8		fco 6624	. . . . . 6 ⊢ ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
9	7, 8	mpan 687	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
10	9	fdmd 6611	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom (ℜ ∘ 𝐹) = 𝐴)
11	10	eleq1d 2823	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (dom (ℜ ∘ 𝐹) ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
12	6, 11	syl5ib 243	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) → 𝐴 ∈ dom vol))
13		ismbf1 24788	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
14	9	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
15		ismbf 24792	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ → ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
17		imf 14824	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
18		fco 6624	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
19	17, 18	mpan 687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
20	19	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
21		ismbf 24792	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ → ((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
23	16, 22	anbi12d 631	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) ↔ (∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
24		r19.26 3095	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) ↔ (∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
25	23, 24	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
26		mblss 24695	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
27		cnex 10952	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
28		reex 10962	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
29		elpm2r 8633	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
30	27, 28, 29	mpanl12 699	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
31	26, 30	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
32	31	biantrurd 533	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))))
33	25, 32	bitrd 278	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))))
34	13, 33	bitr4id 290	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
35	34	ex 413	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐴 ∈ dom vol → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn))))
36	4, 12, 35	pm5.21ndd 381	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  ^◡ccnv 5588  dom cdm 5589  ran crn 5590   “ cima 5592   ∘ ccom 5593  ⟶wf 6429  (class class class)co 7275   ↑_pm cpm 8616  ℂcc 10869  ℝcr 10870  (,)cioo 13079  ℜcre 14808  ℑcim 14809  volcvol 24627  MblFncmbf 24778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xadd 12849  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-xmet 20590  df-met 20591  df-ovol 24628  df-vol 24629  df-mbf 24783

This theorem is referenced by:  ismbfcn2  24802  mbfres  24808  mbfimaopnlem  24819  mbfresfi  35823  itgaddnc  35837  itgmulc2nc  35845  ftc1anclem5  35854  mbfres2cn  43499