MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbfcn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ismbfcn 25137
Description: A complex function is measurable iff the real and imaginary components of the function are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ismbfcn (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
Proof of Theorem ismbfcn
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfdm 25134 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
2 fdm 6723 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
32eleq1d 2818 . . 3 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (dom 𝐹 ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
41, 3imbitrid 243 . 2 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 ∈ MblFn β†’ 𝐴 ∈ dom vol))
5 mbfdm 25134 . . . 4 ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn β†’ dom (β„œ ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
65adantr 481 . . 3 (((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) β†’ dom (β„œ ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
7 ref 15055 . . . . . 6 β„œ:β„‚βŸΆβ„
8 fco 6738 . . . . . 6 ((β„œ:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (β„œ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
97, 8mpan 688 . . . . 5 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (β„œ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
109fdmd 6725 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ dom (β„œ ∘ 𝐹) = 𝐴)
1110eleq1d 2818 . . 3 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (dom (β„œ ∘ 𝐹) ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
126, 11imbitrid 243 . 2 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) β†’ 𝐴 ∈ dom vol))
13 ismbf1 25132 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
149adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„œ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
15 ismbf 25136 . . . . . . . 8 ((β„œ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„ β†’ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
17 imf 15056 . . . . . . . . . 10 β„‘:β„‚βŸΆβ„
18 fco 6738 . . . . . . . . . 10 ((β„‘:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
1917, 18mpan 688 . . . . . . . . 9 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
2019adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
21 ismbf 25136 . . . . . . . 8 ((β„‘ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„ β†’ ((β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
2316, 22anbi12d 631 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
24 r19.26 3111 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
2523, 24bitr4di 288 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
26 mblss 25039 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
27 cnex 11187 . . . . . . . 8 β„‚ ∈ V
28 reex 11197 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
29 elpm2r 8835 . . . . . . . 8 (((β„‚ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
3027, 28, 29mpanl12 700 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
3126, 30sylan2 593 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
3231biantrurd 533 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol) ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))))
3325, 32bitrd 278 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))))
3413, 33bitr4id 289 . . 3 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
3534ex 413 . 2 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐴 ∈ dom vol β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn))))
364, 12, 35pm5.21ndd 380 1 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β€œ cima 5678   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6536  (class class class)co 7405   ↑pm cpm 8817  β„‚cc 11104  β„cr 11105  (,)cioo 13320  β„œcre 15040  β„‘cim 15041  volcvol 24971  MblFncmbf 25122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xadd 13089  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-xmet 20929  df-met 20930  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127
This theorem is referenced by:  ismbfcn2  25146  mbfres  25152  mbfimaopnlem  25163  mbfresfi  36522  itgaddnc  36536  itgmulc2nc  36544  ftc1anclem5  36553  mbfres2cn  44660
  Copyright terms: Public domain W3C validator