MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbfcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismbfcn 24159
Description: A complex function is measurable iff the real and imaginary components of the function are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ismbfcn (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))

Proof of Theorem ismbfcn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfdm 24156 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
2 fdm 6516 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝐴)
32eleq1d 2897 . . 3 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (dom 𝐹 ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
41, 3syl5ib 245 . 2 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn → 𝐴 ∈ dom vol))
5 mbfdm 24156 . . . 4 ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn → dom (ℜ ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
65adantr 481 . . 3 (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) → dom (ℜ ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
7 ref 14461 . . . . . 6 ℜ:ℂ⟶ℝ
8 fco 6525 . . . . . 6 ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
97, 8mpan 686 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
109fdmd 6517 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom (ℜ ∘ 𝐹) = 𝐴)
1110eleq1d 2897 . . 3 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (dom (ℜ ∘ 𝐹) ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
126, 11syl5ib 245 . 2 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) → 𝐴 ∈ dom vol))
139adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
14 ismbf 24158 . . . . . . . 8 ((ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ → ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
16 imf 14462 . . . . . . . . . 10 ℑ:ℂ⟶ℝ
17 fco 6525 . . . . . . . . . 10 ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
1816, 17mpan 686 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
1918adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
20 ismbf 24158 . . . . . . . 8 ((ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ → ((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
2215, 21anbi12d 630 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) ↔ (∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
23 r19.26 3170 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) ↔ (∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
2422, 23syl6bbr 290 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
25 mblss 24061 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
26 cnex 10607 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
27 reex 10617 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
28 elpm2r 8414 . . . . . . . 8 (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
2926, 27, 28mpanl12 698 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
3025, 29sylan2 592 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
3130biantrurd 533 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))))
3224, 31bitrd 280 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))))
33 ismbf1 24154 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
3432, 33syl6rbbr 291 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
3534ex 413 . 2 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐴 ∈ dom vol → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn))))
364, 12, 35pm5.21ndd 381 1 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2105  wral 3138  Vcvv 3495  wss 3935  ccnv 5548  dom cdm 5549  ran crn 5550  cima 5552  ccom 5553  wf 6345  (class class class)co 7145  pm cpm 8397  cc 10524  cr 10525  (,)cioo 12728  cre 14446  cim 14447  volcvol 23993  MblFncmbf 24144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-dju 9319  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xadd 12498  df-ioo 12732  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-sum 15033  df-xmet 20468  df-met 20469  df-ovol 23994  df-vol 23995  df-mbf 24149
This theorem is referenced by:  ismbfcn2  24168  mbfres  24174  mbfimaopnlem  24185  mbfresfi  34820  itgaddnc  34834  itgmulc2nc  34842  ftc1anclem5  34853  mbfres2cn  42123
  Copyright terms: Public domain W3C validator