Theorem ismbfcn 25587

Description: A complex function is measurable iff the real and imaginary components of the function are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ismbfcn	⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))

Proof of Theorem ismbfcn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfdm 25584	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
2		fdm 6720	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝐴)
3	2	eleq1d 2820	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (dom 𝐹 ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
4	1, 3	imbitrid 244	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn → 𝐴 ∈ dom vol))
5		mbfdm 25584	. . . 4 ⊢ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn → dom (ℜ ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) → dom (ℜ ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
7		ref 15136	. . . . . 6 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
8		fco 6735	. . . . . 6 ⊢ ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
9	7, 8	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
10	9	fdmd 6721	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom (ℜ ∘ 𝐹) = 𝐴)
11	10	eleq1d 2820	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (dom (ℜ ∘ 𝐹) ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
12	6, 11	imbitrid 244	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) → 𝐴 ∈ dom vol))
13		ismbf1 25582	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
14	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
15		ismbf 25586	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ → ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
17		imf 15137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
18		fco 6735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
19	17, 18	mpan 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
20	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
21		ismbf 25586	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ → ((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
23	16, 22	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) ↔ (∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
24		r19.26 3099	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) ↔ (∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
25	23, 24	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
26		mblss 25489	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
27		cnex 11215	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
28		reex 11225	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
29		elpm2r 8864	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
30	27, 28, 29	mpanl12 702	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
31	26, 30	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
32	31	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))))
33	25, 32	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))))
34	13, 33	bitr4id 290	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
35	34	ex 412	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐴 ∈ dom vol → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn))))
36	4, 12, 35	pm5.21ndd 379	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  Vcvv 3464   ⊆ wss 3931  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659  ran crn 5660   “ cima 5662   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6532  (class class class)co 7410   ↑_pm cpm 8846  ℂcc 11132  ℝcr 11133  (,)cioo 13367  ℜcre 15121  ℑcim 15122  volcvol 25421  MblFncmbf 25572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xadd 13134  df-ioo 13371  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-sum 15708  df-xmet 21313  df-met 21314  df-ovol 25422  df-vol 25423  df-mbf 25577

This theorem is referenced by:  ismbfcn2  25596  mbfres  25602  mbfimaopnlem  25613  mbfresfi  37695  itgaddnc  37709  itgmulc2nc  37717  ftc1anclem5  37726  mbfres2cn  45954