MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbfcn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ismbfcn 25578
Description: A complex function is measurable iff the real and imaginary components of the function are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ismbfcn (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
Proof of Theorem ismbfcn
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfdm 25575 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
2 fdm 6736 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
32eleq1d 2814 . . 3 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (dom 𝐹 ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
41, 3imbitrid 243 . 2 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 ∈ MblFn β†’ 𝐴 ∈ dom vol))
5 mbfdm 25575 . . . 4 ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn β†’ dom (β„œ ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
65adantr 479 . . 3 (((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) β†’ dom (β„œ ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
7 ref 15099 . . . . . 6 β„œ:β„‚βŸΆβ„
8 fco 6752 . . . . . 6 ((β„œ:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (β„œ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
97, 8mpan 688 . . . . 5 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (β„œ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
109fdmd 6738 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ dom (β„œ ∘ 𝐹) = 𝐴)
1110eleq1d 2814 . . 3 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (dom (β„œ ∘ 𝐹) ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
126, 11imbitrid 243 . 2 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) β†’ 𝐴 ∈ dom vol))
13 ismbf1 25573 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
149adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„œ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
15 ismbf 25577 . . . . . . . 8 ((β„œ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„ β†’ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
17 imf 15100 . . . . . . . . . 10 β„‘:β„‚βŸΆβ„
18 fco 6752 . . . . . . . . . 10 ((β„‘:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
1917, 18mpan 688 . . . . . . . . 9 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
2019adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
21 ismbf 25577 . . . . . . . 8 ((β„‘ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„ β†’ ((β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
2316, 22anbi12d 630 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
24 r19.26 3108 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
2523, 24bitr4di 288 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
26 mblss 25480 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
27 cnex 11227 . . . . . . . 8 β„‚ ∈ V
28 reex 11237 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
29 elpm2r 8870 . . . . . . . 8 (((β„‚ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
3027, 28, 29mpanl12 700 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
3126, 30sylan2 591 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
3231biantrurd 531 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol) ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))))
3325, 32bitrd 278 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))))
3413, 33bitr4id 289 . . 3 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
3534ex 411 . 2 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐴 ∈ dom vol β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn))))
364, 12, 35pm5.21ndd 378 1 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949  β—‘ccnv 5681  dom cdm 5682  ran crn 5683   β€œ cima 5685   ∘ ccom 5686  βŸΆwf 6549  (class class class)co 7426   ↑pm cpm 8852  β„‚cc 11144  β„cr 11145  (,)cioo 13364  β„œcre 15084  β„‘cim 15085  volcvol 25412  MblFncmbf 25563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xadd 13133  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673  df-xmet 21279  df-met 21280  df-ovol 25413  df-vol 25414  df-mbf 25568
This theorem is referenced by:  ismbfcn2  25587  mbfres  25593  mbfimaopnlem  25604  mbfresfi  37172  itgaddnc  37186  itgmulc2nc  37194  ftc1anclem5  37203  mbfres2cn  45375
  Copyright terms: Public domain W3C validator