MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbfcn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ismbfcn 25508
Description: A complex function is measurable iff the real and imaginary components of the function are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ismbfcn (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
Proof of Theorem ismbfcn
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfdm 25505 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
2 fdm 6719 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
32eleq1d 2812 . . 3 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (dom 𝐹 ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
41, 3imbitrid 243 . 2 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 ∈ MblFn β†’ 𝐴 ∈ dom vol))
5 mbfdm 25505 . . . 4 ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn β†’ dom (β„œ ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
65adantr 480 . . 3 (((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) β†’ dom (β„œ ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
7 ref 15062 . . . . . 6 β„œ:β„‚βŸΆβ„
8 fco 6734 . . . . . 6 ((β„œ:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (β„œ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
97, 8mpan 687 . . . . 5 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (β„œ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
109fdmd 6721 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ dom (β„œ ∘ 𝐹) = 𝐴)
1110eleq1d 2812 . . 3 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (dom (β„œ ∘ 𝐹) ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
126, 11imbitrid 243 . 2 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) β†’ 𝐴 ∈ dom vol))
13 ismbf1 25503 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
149adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„œ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
15 ismbf 25507 . . . . . . . 8 ((β„œ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„ β†’ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
17 imf 15063 . . . . . . . . . 10 β„‘:β„‚βŸΆβ„
18 fco 6734 . . . . . . . . . 10 ((β„‘:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
1917, 18mpan 687 . . . . . . . . 9 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
2019adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
21 ismbf 25507 . . . . . . . 8 ((β„‘ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„ β†’ ((β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
2316, 22anbi12d 630 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
24 r19.26 3105 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
2523, 24bitr4di 289 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
26 mblss 25410 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
27 cnex 11190 . . . . . . . 8 β„‚ ∈ V
28 reex 11200 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
29 elpm2r 8838 . . . . . . . 8 (((β„‚ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
3027, 28, 29mpanl12 699 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
3126, 30sylan2 592 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
3231biantrurd 532 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol) ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))))
3325, 32bitrd 279 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))))
3413, 33bitr4id 290 . . 3 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
3534ex 412 . 2 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐴 ∈ dom vol β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn))))
364, 12, 35pm5.21ndd 379 1 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  β—‘ccnv 5668  dom cdm 5669  ran crn 5670   β€œ cima 5672   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6532  (class class class)co 7404   ↑pm cpm 8820  β„‚cc 11107  β„cr 11108  (,)cioo 13327  β„œcre 15047  β„‘cim 15048  volcvol 25342  MblFncmbf 25493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xadd 13096  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-sum 15636  df-xmet 21228  df-met 21229  df-ovol 25343  df-vol 25344  df-mbf 25498
This theorem is referenced by:  ismbfcn2  25517  mbfres  25523  mbfimaopnlem  25534  mbfresfi  37046  itgaddnc  37060  itgmulc2nc  37068  ftc1anclem5  37077  mbfres2cn  45228
  Copyright terms: Public domain W3C validator