MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbfcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismbfcn 24996
Description: A complex function is measurable iff the real and imaginary components of the function are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ismbfcn (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))

Proof of Theorem ismbfcn
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfdm 24993 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
2 fdm 6678 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
32eleq1d 2823 . . 3 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (dom 𝐹 ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
41, 3imbitrid 243 . 2 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 ∈ MblFn β†’ 𝐴 ∈ dom vol))
5 mbfdm 24993 . . . 4 ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn β†’ dom (β„œ ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
65adantr 482 . . 3 (((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) β†’ dom (β„œ ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
7 ref 14998 . . . . . 6 β„œ:β„‚βŸΆβ„
8 fco 6693 . . . . . 6 ((β„œ:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (β„œ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
97, 8mpan 689 . . . . 5 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (β„œ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
109fdmd 6680 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ dom (β„œ ∘ 𝐹) = 𝐴)
1110eleq1d 2823 . . 3 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (dom (β„œ ∘ 𝐹) ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
126, 11imbitrid 243 . 2 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) β†’ 𝐴 ∈ dom vol))
13 ismbf1 24991 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
149adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„œ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
15 ismbf 24995 . . . . . . . 8 ((β„œ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„ β†’ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
17 imf 14999 . . . . . . . . . 10 β„‘:β„‚βŸΆβ„
18 fco 6693 . . . . . . . . . 10 ((β„‘:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
1917, 18mpan 689 . . . . . . . . 9 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
2019adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
21 ismbf 24995 . . . . . . . 8 ((β„‘ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„ β†’ ((β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
2316, 22anbi12d 632 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
24 r19.26 3115 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
2523, 24bitr4di 289 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
26 mblss 24898 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
27 cnex 11133 . . . . . . . 8 β„‚ ∈ V
28 reex 11143 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
29 elpm2r 8784 . . . . . . . 8 (((β„‚ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
3027, 28, 29mpanl12 701 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
3126, 30sylan2 594 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
3231biantrurd 534 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol) ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))))
3325, 32bitrd 279 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))))
3413, 33bitr4id 290 . . 3 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
3534ex 414 . 2 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐴 ∈ dom vol β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn))))
364, 12, 35pm5.21ndd 381 1 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  Vcvv 3446   βŠ† wss 3911  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635   β€œ cima 5637   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  (class class class)co 7358   ↑pm cpm 8767  β„‚cc 11050  β„cr 11051  (,)cioo 13265  β„œcre 14983  β„‘cim 14984  volcvol 24830  MblFncmbf 24981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xadd 13035  df-ioo 13269  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-sum 15572  df-xmet 20792  df-met 20793  df-ovol 24831  df-vol 24832  df-mbf 24986
This theorem is referenced by:  ismbfcn2  25005  mbfres  25011  mbfimaopnlem  25022  mbfresfi  36127  itgaddnc  36141  itgmulc2nc  36149  ftc1anclem5  36158  mbfres2cn  44206
  Copyright terms: Public domain W3C validator