Theorem ismbfcn 25817

Description: A complex function is measurable iff the real and imaginary components of the function are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ismbfcn	⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))

Proof of Theorem ismbfcn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfdm 25814	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
2		fdm 6719	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝐴)
3	2	eleq1d 2850	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (dom 𝐹 ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
4	1, 3	imbitrid 247	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn → 𝐴 ∈ dom vol))
5		mbfdm 25814	. . . 4 ⊢ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn → dom (ℜ ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) → dom (ℜ ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
7		ref 15182	. . . . . 6 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
8		fco 6734	. . . . . 6 ⊢ ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
9	7, 8	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
10	9	fdmd 6720	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom (ℜ ∘ 𝐹) = 𝐴)
11	10	eleq1d 2850	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (dom (ℜ ∘ 𝐹) ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
12	6, 11	imbitrid 247	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) → 𝐴 ∈ dom vol))
13		ismbf1 25812	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
14	9	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
15		ismbf 25816	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ → ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
16	14, 15	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
17		imf 15183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
18		fco 6734	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
19	17, 18	mpan 703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
20	19	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
21		ismbf 25816	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ → ((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
22	20, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
23	16, 22	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) ↔ (∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
24		r19.26 3127	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) ↔ (∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
25	23, 24	bitr4di 292	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
26		mblss 25719	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
27		cnex 11192	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
28		reex 11202	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
29		elpm2r 8844	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
30	27, 28, 29	mpanl12 715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
31	26, 30	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
32	31	biantrurd 542	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))))
33	25, 32	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))))
34	13, 33	bitr4id 293	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
35	34	ex 418	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐴 ∈ dom vol → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn))))
36	4, 12, 35	pm5.21ndd 382	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663  ran crn 5664   “ cima 5666   ∘ ccom 5667  ⟶wf 6536  (class class class)co 7416   ↑_pm cpm 8827  ℂcc 11109  ℝcr 11110  (,)cioo 13383  ℜcre 15167  ℑcim 15168  volcvol 25651  MblFncmbf 25802

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-q 12984  df-rp 13028  df-xadd 13149  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-fl 13838  df-seq 14051  df-exp 14111  df-hash 14380  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-clim 15558  df-sum 15757  df-xmet 21544  df-met 21545  df-ovol 25652  df-vol 25653  df-mbf 25807

This theorem is used by:  ismbfcn2  25826  mbfres  25832  mbfimaopnlem  25843  mbfresfi  38350  itgaddnc  38364  itgmulc2nc  38372  ftc1anclem5  38381  mbfres2cn  46705