MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvntaylp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvntaylp0 26213
Description: The first 𝑁 derivatives of the Taylor polynomial at 𝐡 match the derivatives of the function from which it is derived. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvntaylp0.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvntaylp0.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
dvntaylp0.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
dvntaylp0.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑁))
dvntaylp0.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘))
dvntaylp0.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡)
Assertion
Ref Expression
dvntaylp0 (πœ‘ β†’ (((β„‚ D𝑛 𝑇)β€˜π‘€)β€˜π΅) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€)β€˜π΅))

Proof of Theorem dvntaylp0
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvntaylp0.m . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑁))
2 elfz3nn0 13591 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (0...𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
43nn0cnd 12530 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
5 elfznn0 13590 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (0...𝑁) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
61, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
76nn0cnd 12530 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
84, 7npcand 11571 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 𝑀) + 𝑀) = 𝑁)
98oveq1d 7416 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝑁 βˆ’ 𝑀) + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡) = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))
10 dvntaylp0.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡)
119, 10eqtr4di 2782 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝑁 βˆ’ 𝑀) + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡) = 𝑇)
1211oveq2d 7417 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β„‚ D𝑛 (((𝑁 βˆ’ 𝑀) + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡)) = (β„‚ D𝑛 𝑇))
1312fveq1d 6883 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β„‚ D𝑛 (((𝑁 βˆ’ 𝑀) + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜π‘€) = ((β„‚ D𝑛 𝑇)β€˜π‘€))
14 dvntaylp0.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
15 dvntaylp0.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
16 dvntaylp0.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
17 fznn0sub 13529 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (0...𝑁) β†’ (𝑁 βˆ’ 𝑀) ∈ β„•0)
181, 17syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 𝑀) ∈ β„•0)
19 dvntaylp0.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘))
208fveq2d 6885 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜((𝑁 βˆ’ 𝑀) + 𝑀)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘))
2120dmeqd 5895 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜((𝑁 βˆ’ 𝑀) + 𝑀)) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘))
2219, 21eleqtrrd 2828 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜((𝑁 βˆ’ 𝑀) + 𝑀)))
2314, 15, 16, 6, 18, 22dvntaylp 26212 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β„‚ D𝑛 (((𝑁 βˆ’ 𝑀) + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜π‘€) = ((𝑁 βˆ’ 𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))𝐡))
2413, 23eqtr3d 2766 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„‚ D𝑛 𝑇)β€˜π‘€) = ((𝑁 βˆ’ 𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))𝐡))
2524fveq1d 6883 . 2 (πœ‘ β†’ (((β„‚ D𝑛 𝑇)β€˜π‘€)β€˜π΅) = (((𝑁 βˆ’ 𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))𝐡)β€˜π΅))
26 cnex 11186 . . . . . . 7 β„‚ ∈ V
2726a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
28 elpm2r 8834 . . . . . 6 (((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚}) ∧ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
2927, 14, 15, 16, 28syl22anc 836 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
30 dvnf 25767 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€)βŸΆβ„‚)
3114, 29, 6, 30syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€)βŸΆβ„‚)
32 dvnbss 25768 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€) βŠ† dom 𝐹)
3314, 29, 6, 32syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€) βŠ† dom 𝐹)
3415, 33fssdmd 6726 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€) βŠ† 𝐴)
3534, 16sstrd 3984 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€) βŠ† 𝑆)
3618orcd 870 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 𝑀) ∈ β„•0 ∨ (𝑁 βˆ’ 𝑀) = +∞))
37 dvnadd 25769 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 βˆ’ 𝑀) ∈ β„•0)) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜(𝑁 βˆ’ 𝑀)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + (𝑁 βˆ’ 𝑀))))
3814, 29, 6, 18, 37syl22anc 836 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜(𝑁 βˆ’ 𝑀)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + (𝑁 βˆ’ 𝑀))))
397, 4pncan3d 11570 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀 + (𝑁 βˆ’ 𝑀)) = 𝑁)
4039fveq2d 6885 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + (𝑁 βˆ’ 𝑀))) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘))
4138, 40eqtrd 2764 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜(𝑁 βˆ’ 𝑀)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘))
4241dmeqd 5895 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜(𝑁 βˆ’ 𝑀)) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘))
4319, 42eleqtrrd 2828 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜(𝑁 βˆ’ 𝑀)))
4414, 31, 35, 18, 43taylplem1 26204 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,](𝑁 βˆ’ 𝑀)) ∩ β„€)) β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘˜))
45 eqid 2724 . . . 4 ((𝑁 βˆ’ 𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))𝐡) = ((𝑁 βˆ’ 𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))𝐡)
4614, 31, 35, 36, 44, 45tayl0 26203 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ dom ((𝑁 βˆ’ 𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))𝐡) ∧ (((𝑁 βˆ’ 𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))𝐡)β€˜π΅) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€)β€˜π΅)))
4746simprd 495 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝑁 βˆ’ 𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))𝐡)β€˜π΅) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€)β€˜π΅))
4825, 47eqtrd 2764 1 (πœ‘ β†’ (((β„‚ D𝑛 𝑇)β€˜π‘€)β€˜π΅) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€)β€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   βŠ† wss 3940  {cpr 4622  dom cdm 5666  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   ↑pm cpm 8816  β„‚cc 11103  β„cr 11104  0cc0 11105   + caddc 11108  +∞cpnf 11241   βˆ’ cmin 11440  β„•0cn0 12468  ...cfz 13480   D𝑛 cdvn 25703   Tayl ctayl 26194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184  ax-mulf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-submnd 18701  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-mulg 18983  df-cntz 19218  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20025  df-ur 20072  df-ring 20125  df-cring 20126  df-psmet 21215  df-xmet 21216  df-met 21217  df-bl 21218  df-mopn 21219  df-fbas 21220  df-fg 21221  df-cnfld 21224  df-top 22706  df-topon 22723  df-topsp 22745  df-bases 22759  df-cld 22833  df-ntr 22834  df-cls 22835  df-nei 22912  df-lp 22950  df-perf 22951  df-cn 23041  df-cnp 23042  df-haus 23129  df-tx 23376  df-hmeo 23569  df-fil 23660  df-fm 23752  df-flim 23753  df-flf 23754  df-tsms 23941  df-xms 24136  df-ms 24137  df-tms 24138  df-cncf 24708  df-limc 25705  df-dv 25706  df-dvn 25707  df-tayl 26196
This theorem is referenced by:  taylthlem1  26214  taylthlem2  26215  gg-taylthlem2  35623
  Copyright terms: Public domain W3C validator