MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvntaylp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvntaylp0 24959
Description: The first 𝑁 derivatives of the Taylor polynomial at 𝐵 match the derivatives of the function from which it is derived. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvntaylp0.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvntaylp0.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvntaylp0.a (𝜑𝐴𝑆)
dvntaylp0.m (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑁))
dvntaylp0.b (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
dvntaylp0.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
Assertion
Ref Expression
dvntaylp0 (𝜑 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑀)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)‘𝐵))

Proof of Theorem dvntaylp0
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvntaylp0.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑁))
2 elfz3nn0 13000 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
43nn0cnd 11956 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
5 elfznn0 12999 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
61, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
76nn0cnd 11956 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
84, 7npcand 11000 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑀) + 𝑀) = 𝑁)
98oveq1d 7170 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑁𝑀) + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))
10 dvntaylp0.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
119, 10syl6eqr 2874 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑁𝑀) + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = 𝑇)
1211oveq2d 7171 . . . . 5 (𝜑 → (ℂ D𝑛 (((𝑁𝑀) + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)) = (ℂ D𝑛 𝑇))
1312fveq1d 6671 . . . 4 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 (((𝑁𝑀) + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = ((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑀))
14 dvntaylp0.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
15 dvntaylp0.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
16 dvntaylp0.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑆)
17 fznn0sub 12938 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
181, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
19 dvntaylp0.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
208fveq2d 6673 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘((𝑁𝑀) + 𝑀)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
2120dmeqd 5773 . . . . . 6 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘((𝑁𝑀) + 𝑀)) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
2219, 21eleqtrrd 2916 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘((𝑁𝑀) + 𝑀)))
2314, 15, 16, 6, 18, 22dvntaylp 24958 . . . 4 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 (((𝑁𝑀) + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = ((𝑁𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))
2413, 23eqtr3d 2858 . . 3 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑀) = ((𝑁𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))
2524fveq1d 6671 . 2 (𝜑 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑀)‘𝐵) = (((𝑁𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵)‘𝐵))
26 cnex 10617 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
2726a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℂ ∈ V)
28 elpm2r 8423 . . . . . 6 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
2927, 14, 15, 16, 28syl22anc 836 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
30 dvnf 24523 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)⟶ℂ)
3114, 29, 6, 30syl3anc 1367 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)⟶ℂ)
32 dvnbss 24524 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ⊆ dom 𝐹)
3314, 29, 6, 32syl3anc 1367 . . . . . 6 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ⊆ dom 𝐹)
3415, 33fssdmd 6528 . . . . 5 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ⊆ 𝐴)
3534, 16sstrd 3976 . . . 4 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ⊆ 𝑆)
3618orcd 869 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 ∨ (𝑁𝑀) = +∞))
37 dvnadd 24525 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑁𝑀)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑁𝑀))))
3814, 29, 6, 18, 37syl22anc 836 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑁𝑀)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑁𝑀))))
397, 4pncan3d 10999 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 + (𝑁𝑀)) = 𝑁)
4039fveq2d 6673 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑁𝑀))) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
4138, 40eqtrd 2856 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑁𝑀)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
4241dmeqd 5773 . . . . . 6 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑁𝑀)) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
4319, 42eleqtrrd 2916 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑁𝑀)))
4414, 31, 35, 18, 43taylplem1 24950 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,](𝑁𝑀)) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘))
45 eqid 2821 . . . 4 ((𝑁𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵) = ((𝑁𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵)
4614, 31, 35, 36, 44, 45tayl0 24949 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ dom ((𝑁𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵) ∧ (((𝑁𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)‘𝐵)))
4746simprd 498 . 2 (𝜑 → (((𝑁𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)‘𝐵))
4825, 47eqtrd 2856 1 (𝜑 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑀)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2110  Vcvv 3494  wss 3935  {cpr 4568  dom cdm 5554  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7155  pm cpm 8406  cc 10534  cr 10535  0cc0 10536   + caddc 10539  +∞cpnf 10671  cmin 10869  0cn0 11896  ...cfz 12891   D𝑛 cdvn 24461   Tayl ctayl 24940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-xnn0 11967  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-icc 12744  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13429  df-fac 13633  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-clim 14844  df-sum 15042  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-rest 16695  df-topn 16696  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-topgen 16716  df-pt 16717  df-prds 16720  df-xrs 16774  df-qtop 16779  df-imas 16780  df-xps 16782  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-mulg 18224  df-cntz 18446  df-cmn 18907  df-abl 18908  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-ring 19298  df-cring 19299  df-psmet 20536  df-xmet 20537  df-met 20538  df-bl 20539  df-mopn 20540  df-fbas 20541  df-fg 20542  df-cnfld 20545  df-top 21501  df-topon 21518  df-topsp 21540  df-bases 21553  df-cld 21626  df-ntr 21627  df-cls 21628  df-nei 21705  df-lp 21743  df-perf 21744  df-cn 21834  df-cnp 21835  df-haus 21922  df-tx 22169  df-hmeo 22362  df-fil 22453  df-fm 22545  df-flim 22546  df-flf 22547  df-tsms 22734  df-xms 22929  df-ms 22930  df-tms 22931  df-cncf 23485  df-limc 24463  df-dv 24464  df-dvn 24465  df-tayl 24942
This theorem is referenced by:  taylthlem1  24960  taylthlem2  24961
  Copyright terms: Public domain W3C validator