MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvntaylp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvntaylp0 26428
Description: The first 𝑁 derivatives of the Taylor polynomial at 𝐵 match the derivatives of the function from which it is derived. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvntaylp0.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvntaylp0.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvntaylp0.a (𝜑𝐴𝑆)
dvntaylp0.m (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑁))
dvntaylp0.b (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
dvntaylp0.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
Assertion
Ref Expression
dvntaylp0 (𝜑 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑀)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)‘𝐵))

Proof of Theorem dvntaylp0
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvntaylp0.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑁))
2 elfz3nn0 13657 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
43nn0cnd 12586 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
5 elfznn0 13656 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
61, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
76nn0cnd 12586 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
84, 7npcand 11621 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑀) + 𝑀) = 𝑁)
98oveq1d 7445 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑁𝑀) + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))
10 dvntaylp0.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
119, 10eqtr4di 2792 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑁𝑀) + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = 𝑇)
1211oveq2d 7446 . . . . 5 (𝜑 → (ℂ D𝑛 (((𝑁𝑀) + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)) = (ℂ D𝑛 𝑇))
1312fveq1d 6908 . . . 4 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 (((𝑁𝑀) + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = ((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑀))
14 dvntaylp0.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
15 dvntaylp0.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
16 dvntaylp0.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑆)
17 fznn0sub 13592 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
181, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
19 dvntaylp0.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
208fveq2d 6910 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘((𝑁𝑀) + 𝑀)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
2120dmeqd 5918 . . . . . 6 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘((𝑁𝑀) + 𝑀)) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
2219, 21eleqtrrd 2841 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘((𝑁𝑀) + 𝑀)))
2314, 15, 16, 6, 18, 22dvntaylp 26427 . . . 4 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 (((𝑁𝑀) + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = ((𝑁𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))
2413, 23eqtr3d 2776 . . 3 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑀) = ((𝑁𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))
2524fveq1d 6908 . 2 (𝜑 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑀)‘𝐵) = (((𝑁𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵)‘𝐵))
26 cnex 11233 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
2726a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℂ ∈ V)
28 elpm2r 8883 . . . . . 6 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
2927, 14, 15, 16, 28syl22anc 839 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
30 dvnf 25977 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)⟶ℂ)
3114, 29, 6, 30syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)⟶ℂ)
32 dvnbss 25978 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ⊆ dom 𝐹)
3314, 29, 6, 32syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ⊆ dom 𝐹)
3415, 33fssdmd 6754 . . . . 5 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ⊆ 𝐴)
3534, 16sstrd 4005 . . . 4 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ⊆ 𝑆)
3618orcd 873 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 ∨ (𝑁𝑀) = +∞))
37 dvnadd 25979 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑁𝑀)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑁𝑀))))
3814, 29, 6, 18, 37syl22anc 839 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑁𝑀)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑁𝑀))))
397, 4pncan3d 11620 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 + (𝑁𝑀)) = 𝑁)
4039fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑁𝑀))) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
4138, 40eqtrd 2774 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑁𝑀)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
4241dmeqd 5918 . . . . . 6 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑁𝑀)) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
4319, 42eleqtrrd 2841 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑁𝑀)))
4414, 31, 35, 18, 43taylplem1 26418 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,](𝑁𝑀)) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘))
45 eqid 2734 . . . 4 ((𝑁𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵) = ((𝑁𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵)
4614, 31, 35, 36, 44, 45tayl0 26417 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ dom ((𝑁𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵) ∧ (((𝑁𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)‘𝐵)))
4746simprd 495 . 2 (𝜑 → (((𝑁𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)‘𝐵))
4825, 47eqtrd 2774 1 (𝜑 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑀)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477  wss 3962  {cpr 4632  dom cdm 5688  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  pm cpm 8865  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152   + caddc 11155  +∞cpnf 11289  cmin 11489  0cn0 12523  ...cfz 13543   D𝑛 cdvn 25913   Tayl ctayl 26408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-tsms 24150  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-dvn 25917  df-tayl 26410
This theorem is referenced by:  taylthlem1  26429  taylthlem2  26430  taylthlem2OLD  26431
  Copyright terms: Public domain W3C validator