MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfconst Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mbfconst 25383
Description: A constant function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfconst ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Γ— {𝐡}) ∈ MblFn)
Proof of Theorem mbfconst
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 766 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2 fconstmpt 5738 . . . 4 (𝐴 Γ— {𝐡}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
31, 2fmptd 7115 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Γ— {𝐡}):π΄βŸΆβ„‚)
4 mblss 25281 . . . 4 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
54adantr 480 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
6 cnex 11194 . . . 4 β„‚ ∈ V
7 reex 11204 . . . 4 ℝ ∈ V
8 elpm2r 8842 . . . 4 (((β„‚ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ ((𝐴 Γ— {𝐡}):π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ)) β†’ (𝐴 Γ— {𝐡}) ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
96, 7, 8mpanl12 699 . . 3 (((𝐴 Γ— {𝐡}):π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (𝐴 Γ— {𝐡}) ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
103, 5, 9syl2anc 583 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Γ— {𝐡}) ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
112a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Γ— {𝐡}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
12 ref 15064 . . . . . . . . . . 11 β„œ:β„‚βŸΆβ„
1312a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ β„œ:β„‚βŸΆβ„)
1413feqmptd 6960 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ β„œ = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (β„œβ€˜π‘¦)))
15 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐡 β†’ (β„œβ€˜π‘¦) = (β„œβ€˜π΅))
161, 11, 14, 15fmptco 7129 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β„œ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)))
17 fconstmpt 5738 . . . . . . . 8 (𝐴 Γ— {(β„œβ€˜π΅)}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅))
1816, 17eqtr4di 2789 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β„œ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) = (𝐴 Γ— {(β„œβ€˜π΅)}))
1918cnveqd 5875 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ β—‘(β„œ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) = β—‘(𝐴 Γ— {(β„œβ€˜π΅)}))
2019imaeq1d 6058 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β—‘(β„œ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) = (β—‘(𝐴 Γ— {(β„œβ€˜π΅)}) β€œ 𝑦))
21 recl 15062 . . . . . 6 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (β„œβ€˜π΅) ∈ ℝ)
22 mbfconstlem 25377 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (β„œβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝐴 Γ— {(β„œβ€˜π΅)}) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
2321, 22sylan2 592 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β—‘(𝐴 Γ— {(β„œβ€˜π΅)}) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
2420, 23eqeltrd 2832 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β—‘(β„œ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
25 imf 15065 . . . . . . . . . . 11 β„‘:β„‚βŸΆβ„
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ β„‘:β„‚βŸΆβ„)
2726feqmptd 6960 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ β„‘ = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (β„‘β€˜π‘¦)))
28 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐡 β†’ (β„‘β€˜π‘¦) = (β„‘β€˜π΅))
291, 11, 27, 28fmptco 7129 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β„‘ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)))
30 fconstmpt 5738 . . . . . . . 8 (𝐴 Γ— {(β„‘β€˜π΅)}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅))
3129, 30eqtr4di 2789 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β„‘ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) = (𝐴 Γ— {(β„‘β€˜π΅)}))
3231cnveqd 5875 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ β—‘(β„‘ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) = β—‘(𝐴 Γ— {(β„‘β€˜π΅)}))
3332imaeq1d 6058 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) = (β—‘(𝐴 Γ— {(β„‘β€˜π΅)}) β€œ 𝑦))
34 imcl 15063 . . . . . 6 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (β„‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
35 mbfconstlem 25377 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (β„‘β€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝐴 Γ— {(β„‘β€˜π΅)}) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
3634, 35sylan2 592 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β—‘(𝐴 Γ— {(β„‘β€˜π΅)}) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
3733, 36eqeltrd 2832 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
3824, 37jca 511 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
3938ralrimivw 3149 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
40 ismbf1 25374 . 2 ((𝐴 Γ— {𝐡}) ∈ MblFn ↔ ((𝐴 Γ— {𝐡}) ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)))
4110, 39, 40sylanbrc 582 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Γ— {𝐡}) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  Vcvv 3473   βŠ† wss 3948  {csn 4628   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ↑pm cpm 8824  β„‚cc 11111  β„cr 11112  (,)cioo 13329  β„œcre 15049  β„‘cim 15050  volcvol 25213  MblFncmbf 25364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xadd 13098  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-xmet 21138  df-met 21139  df-ovol 25214  df-vol 25215  df-mbf 25369
This theorem is referenced by:  mbf0  25384  mbfss  25396  mbfmulc2lem  25397  mbfpos  25401  ibl0  25537  iblconst  25568
  Copyright terms: Public domain W3C validator