MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfconst Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mbfconst 25549
Description: A constant function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfconst ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Γ— {𝐡}) ∈ MblFn)
Proof of Theorem mbfconst
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2 fconstmpt 5734 . . . 4 (𝐴 Γ— {𝐡}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
31, 2fmptd 7118 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Γ— {𝐡}):π΄βŸΆβ„‚)
4 mblss 25447 . . . 4 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
54adantr 480 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
6 cnex 11211 . . . 4 β„‚ ∈ V
7 reex 11221 . . . 4 ℝ ∈ V
8 elpm2r 8855 . . . 4 (((β„‚ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ ((𝐴 Γ— {𝐡}):π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ)) β†’ (𝐴 Γ— {𝐡}) ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
96, 7, 8mpanl12 701 . . 3 (((𝐴 Γ— {𝐡}):π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (𝐴 Γ— {𝐡}) ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
103, 5, 9syl2anc 583 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Γ— {𝐡}) ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
112a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Γ— {𝐡}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
12 ref 15083 . . . . . . . . . . 11 β„œ:β„‚βŸΆβ„
1312a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ β„œ:β„‚βŸΆβ„)
1413feqmptd 6961 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ β„œ = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (β„œβ€˜π‘¦)))
15 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐡 β†’ (β„œβ€˜π‘¦) = (β„œβ€˜π΅))
161, 11, 14, 15fmptco 7132 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β„œ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)))
17 fconstmpt 5734 . . . . . . . 8 (𝐴 Γ— {(β„œβ€˜π΅)}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅))
1816, 17eqtr4di 2785 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β„œ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) = (𝐴 Γ— {(β„œβ€˜π΅)}))
1918cnveqd 5872 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ β—‘(β„œ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) = β—‘(𝐴 Γ— {(β„œβ€˜π΅)}))
2019imaeq1d 6056 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β—‘(β„œ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) = (β—‘(𝐴 Γ— {(β„œβ€˜π΅)}) β€œ 𝑦))
21 recl 15081 . . . . . 6 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (β„œβ€˜π΅) ∈ ℝ)
22 mbfconstlem 25543 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (β„œβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝐴 Γ— {(β„œβ€˜π΅)}) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
2321, 22sylan2 592 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β—‘(𝐴 Γ— {(β„œβ€˜π΅)}) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
2420, 23eqeltrd 2828 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β—‘(β„œ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
25 imf 15084 . . . . . . . . . . 11 β„‘:β„‚βŸΆβ„
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ β„‘:β„‚βŸΆβ„)
2726feqmptd 6961 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ β„‘ = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (β„‘β€˜π‘¦)))
28 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐡 β†’ (β„‘β€˜π‘¦) = (β„‘β€˜π΅))
291, 11, 27, 28fmptco 7132 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β„‘ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)))
30 fconstmpt 5734 . . . . . . . 8 (𝐴 Γ— {(β„‘β€˜π΅)}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅))
3129, 30eqtr4di 2785 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β„‘ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) = (𝐴 Γ— {(β„‘β€˜π΅)}))
3231cnveqd 5872 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ β—‘(β„‘ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) = β—‘(𝐴 Γ— {(β„‘β€˜π΅)}))
3332imaeq1d 6056 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) = (β—‘(𝐴 Γ— {(β„‘β€˜π΅)}) β€œ 𝑦))
34 imcl 15082 . . . . . 6 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (β„‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
35 mbfconstlem 25543 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (β„‘β€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝐴 Γ— {(β„‘β€˜π΅)}) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
3634, 35sylan2 592 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β—‘(𝐴 Γ— {(β„‘β€˜π΅)}) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
3733, 36eqeltrd 2828 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
3824, 37jca 511 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
3938ralrimivw 3145 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
40 ismbf1 25540 . 2 ((𝐴 Γ— {𝐡}) ∈ MblFn ↔ ((𝐴 Γ— {𝐡}) ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)))
4110, 39, 40sylanbrc 582 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Γ— {𝐡}) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  Vcvv 3469   βŠ† wss 3944  {csn 4624   ↦ cmpt 5225   Γ— cxp 5670  β—‘ccnv 5671  dom cdm 5672  ran crn 5673   β€œ cima 5675   ∘ ccom 5676  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑pm cpm 8837  β„‚cc 11128  β„cr 11129  (,)cioo 13348  β„œcre 15068  β„‘cim 15069  volcvol 25379  MblFncmbf 25530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xadd 13117  df-ioo 13352  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-sum 15657  df-xmet 21259  df-met 21260  df-ovol 25380  df-vol 25381  df-mbf 25535
This theorem is referenced by:  mbf0  25550  mbfss  25562  mbfmulc2lem  25563  mbfpos  25567  ibl0  25703  iblconst  25734
  Copyright terms: Public domain W3C validator