MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfconst 25013
Description: A constant function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfconst ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Γ— {𝐡}) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfconst
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2 fconstmpt 5699 . . . 4 (𝐴 Γ— {𝐡}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
31, 2fmptd 7067 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Γ— {𝐡}):π΄βŸΆβ„‚)
4 mblss 24911 . . . 4 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
54adantr 482 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
6 cnex 11139 . . . 4 β„‚ ∈ V
7 reex 11149 . . . 4 ℝ ∈ V
8 elpm2r 8790 . . . 4 (((β„‚ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ ((𝐴 Γ— {𝐡}):π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ)) β†’ (𝐴 Γ— {𝐡}) ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
96, 7, 8mpanl12 701 . . 3 (((𝐴 Γ— {𝐡}):π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (𝐴 Γ— {𝐡}) ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
103, 5, 9syl2anc 585 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Γ— {𝐡}) ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
112a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Γ— {𝐡}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
12 ref 15004 . . . . . . . . . . 11 β„œ:β„‚βŸΆβ„
1312a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ β„œ:β„‚βŸΆβ„)
1413feqmptd 6915 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ β„œ = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (β„œβ€˜π‘¦)))
15 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐡 β†’ (β„œβ€˜π‘¦) = (β„œβ€˜π΅))
161, 11, 14, 15fmptco 7080 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β„œ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)))
17 fconstmpt 5699 . . . . . . . 8 (𝐴 Γ— {(β„œβ€˜π΅)}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅))
1816, 17eqtr4di 2795 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β„œ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) = (𝐴 Γ— {(β„œβ€˜π΅)}))
1918cnveqd 5836 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ β—‘(β„œ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) = β—‘(𝐴 Γ— {(β„œβ€˜π΅)}))
2019imaeq1d 6017 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β—‘(β„œ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) = (β—‘(𝐴 Γ— {(β„œβ€˜π΅)}) β€œ 𝑦))
21 recl 15002 . . . . . 6 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (β„œβ€˜π΅) ∈ ℝ)
22 mbfconstlem 25007 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (β„œβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝐴 Γ— {(β„œβ€˜π΅)}) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
2321, 22sylan2 594 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β—‘(𝐴 Γ— {(β„œβ€˜π΅)}) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
2420, 23eqeltrd 2838 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β—‘(β„œ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
25 imf 15005 . . . . . . . . . . 11 β„‘:β„‚βŸΆβ„
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ β„‘:β„‚βŸΆβ„)
2726feqmptd 6915 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ β„‘ = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (β„‘β€˜π‘¦)))
28 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐡 β†’ (β„‘β€˜π‘¦) = (β„‘β€˜π΅))
291, 11, 27, 28fmptco 7080 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β„‘ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)))
30 fconstmpt 5699 . . . . . . . 8 (𝐴 Γ— {(β„‘β€˜π΅)}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅))
3129, 30eqtr4di 2795 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β„‘ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) = (𝐴 Γ— {(β„‘β€˜π΅)}))
3231cnveqd 5836 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ β—‘(β„‘ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) = β—‘(𝐴 Γ— {(β„‘β€˜π΅)}))
3332imaeq1d 6017 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) = (β—‘(𝐴 Γ— {(β„‘β€˜π΅)}) β€œ 𝑦))
34 imcl 15003 . . . . . 6 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (β„‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
35 mbfconstlem 25007 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (β„‘β€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝐴 Γ— {(β„‘β€˜π΅)}) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
3634, 35sylan2 594 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β—‘(𝐴 Γ— {(β„‘β€˜π΅)}) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
3733, 36eqeltrd 2838 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
3824, 37jca 513 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
3938ralrimivw 3148 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
40 ismbf1 25004 . 2 ((𝐴 Γ— {𝐡}) ∈ MblFn ↔ ((𝐴 Γ— {𝐡}) ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)))
4110, 39, 40sylanbrc 584 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Γ— {𝐡}) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  {csn 4591   ↦ cmpt 5193   Γ— cxp 5636  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639   β€œ cima 5641   ∘ ccom 5642  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑pm cpm 8773  β„‚cc 11056  β„cr 11057  (,)cioo 13271  β„œcre 14989  β„‘cim 14990  volcvol 24843  MblFncmbf 24994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-xmet 20805  df-met 20806  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999
This theorem is referenced by:  mbf0  25014  mbfss  25026  mbfmulc2lem  25027  mbfpos  25031  ibl0  25167  iblconst  25198
  Copyright terms: Public domain W3C validator