MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfconst Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mbfconst 25593
Description: A constant function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfconst ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Γ— {𝐡}) ∈ MblFn)
Proof of Theorem mbfconst
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 767 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2 fconstmpt 5739 . . . 4 (𝐴 Γ— {𝐡}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
31, 2fmptd 7121 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Γ— {𝐡}):π΄βŸΆβ„‚)
4 mblss 25491 . . . 4 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
54adantr 479 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
6 cnex 11219 . . . 4 β„‚ ∈ V
7 reex 11229 . . . 4 ℝ ∈ V
8 elpm2r 8862 . . . 4 (((β„‚ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ ((𝐴 Γ— {𝐡}):π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ)) β†’ (𝐴 Γ— {𝐡}) ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
96, 7, 8mpanl12 700 . . 3 (((𝐴 Γ— {𝐡}):π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (𝐴 Γ— {𝐡}) ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
103, 5, 9syl2anc 582 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Γ— {𝐡}) ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
112a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Γ— {𝐡}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
12 ref 15092 . . . . . . . . . . 11 β„œ:β„‚βŸΆβ„
1312a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ β„œ:β„‚βŸΆβ„)
1413feqmptd 6964 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ β„œ = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (β„œβ€˜π‘¦)))
15 fveq2 6894 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐡 β†’ (β„œβ€˜π‘¦) = (β„œβ€˜π΅))
161, 11, 14, 15fmptco 7136 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β„œ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)))
17 fconstmpt 5739 . . . . . . . 8 (𝐴 Γ— {(β„œβ€˜π΅)}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅))
1816, 17eqtr4di 2783 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β„œ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) = (𝐴 Γ— {(β„œβ€˜π΅)}))
1918cnveqd 5877 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ β—‘(β„œ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) = β—‘(𝐴 Γ— {(β„œβ€˜π΅)}))
2019imaeq1d 6062 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β—‘(β„œ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) = (β—‘(𝐴 Γ— {(β„œβ€˜π΅)}) β€œ 𝑦))
21 recl 15090 . . . . . 6 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (β„œβ€˜π΅) ∈ ℝ)
22 mbfconstlem 25587 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (β„œβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝐴 Γ— {(β„œβ€˜π΅)}) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
2321, 22sylan2 591 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β—‘(𝐴 Γ— {(β„œβ€˜π΅)}) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
2420, 23eqeltrd 2825 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β—‘(β„œ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
25 imf 15093 . . . . . . . . . . 11 β„‘:β„‚βŸΆβ„
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ β„‘:β„‚βŸΆβ„)
2726feqmptd 6964 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ β„‘ = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (β„‘β€˜π‘¦)))
28 fveq2 6894 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐡 β†’ (β„‘β€˜π‘¦) = (β„‘β€˜π΅))
291, 11, 27, 28fmptco 7136 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β„‘ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)))
30 fconstmpt 5739 . . . . . . . 8 (𝐴 Γ— {(β„‘β€˜π΅)}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅))
3129, 30eqtr4di 2783 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β„‘ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) = (𝐴 Γ— {(β„‘β€˜π΅)}))
3231cnveqd 5877 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ β—‘(β„‘ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) = β—‘(𝐴 Γ— {(β„‘β€˜π΅)}))
3332imaeq1d 6062 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) = (β—‘(𝐴 Γ— {(β„‘β€˜π΅)}) β€œ 𝑦))
34 imcl 15091 . . . . . 6 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (β„‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
35 mbfconstlem 25587 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (β„‘β€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝐴 Γ— {(β„‘β€˜π΅)}) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
3634, 35sylan2 591 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β—‘(𝐴 Γ— {(β„‘β€˜π΅)}) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
3733, 36eqeltrd 2825 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
3824, 37jca 510 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
3938ralrimivw 3140 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
40 ismbf1 25584 . 2 ((𝐴 Γ— {𝐡}) ∈ MblFn ↔ ((𝐴 Γ— {𝐡}) ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐴 Γ— {𝐡})) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)))
4110, 39, 40sylanbrc 581 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Γ— {𝐡}) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  Vcvv 3463   βŠ† wss 3945  {csn 4629   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6543  β€˜cfv 6547  (class class class)co 7417   ↑pm cpm 8844  β„‚cc 11136  β„cr 11137  (,)cioo 13356  β„œcre 15077  β„‘cim 15078  volcvol 25423  MblFncmbf 25574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7683  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xadd 13125  df-ioo 13360  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-sum 15666  df-xmet 21277  df-met 21278  df-ovol 25424  df-vol 25425  df-mbf 25579
This theorem is referenced by:  mbf0  25594  mbfss  25606  mbfmulc2lem  25607  mbfpos  25611  ibl0  25747  iblconst  25778
  Copyright terms: Public domain W3C validator