Theorem mbfconst 25578

Description: A constant function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mbfconst	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfconst

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 769	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		fconstmpt 5684	. . . 4 ⊢ (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	1, 2	fmptd 7058	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶ℂ)
4		mblss 25476	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
6		cnex 11108	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
7		reex 11118	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
8		elpm2r 8783	. . . 4 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ ((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
9	6, 7, 8	mpanl12 703	. . 3 ⊢ (((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
10	3, 5, 9	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
11	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
12		ref 15036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ℜ:ℂ⟶ℝ)
14	13	feqmptd 6900	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ℜ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑦)))
15		fveq2 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (ℜ‘𝑦) = (ℜ‘𝐵))
16	1, 11, 14, 15	fmptco 7074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))
17		fconstmpt 5684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))
18	16, 17	eqtr4di 2790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = (𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}))
19	18	cnveqd 5822	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ◡(ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = ◡(𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}))
20	19	imaeq1d 6016	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (◡(ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) = (◡(𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}) “ 𝑦))
21		recl 15034	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
22		mbfconstlem 25572	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ) → (◡(𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}) “ 𝑦) ∈ dom vol)
23	21, 22	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (◡(𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}) “ 𝑦) ∈ dom vol)
24	20, 23	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (◡(ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol)
25		imf 15037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ℑ:ℂ⟶ℝ)
27	26	feqmptd 6900	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ℑ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑦)))
28		fveq2 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (ℑ‘𝑦) = (ℑ‘𝐵))
29	1, 11, 27, 28	fmptco 7074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))
30		fconstmpt 5684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))
31	29, 30	eqtr4di 2790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = (𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}))
32	31	cnveqd 5822	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ◡(ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = ◡(𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}))
33	32	imaeq1d 6016	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (◡(ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) = (◡(𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}) “ 𝑦))
34		imcl 15035	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
35		mbfconstlem 25572	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ) → (◡(𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}) “ 𝑦) ∈ dom vol)
36	34, 35	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (◡(𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}) “ 𝑦) ∈ dom vol)
37	33, 36	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (◡(ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol)
38	24, 37	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((◡(ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol))
39	38	ralrimivw 3134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol))
40		ismbf1 25569	. 2 ⊢ ((𝐴 × {𝐵}) ∈ MblFn ↔ ((𝐴 × {𝐵}) ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol)))
41	10, 39, 40	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  {csn 4568   ↦ cmpt 5167   × cxp 5620  ^◡ccnv 5621  dom cdm 5622  ran crn 5623   “ cima 5625   ∘ ccom 5626  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   ↑_pm cpm 8765  ℂcc 11025  ℝcr 11026  (,)cioo 13262  ℜcre 15021  ℑcim 15022  volcvol 25408  MblFncmbf 25559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-dju 9814  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-q 12863  df-rp 12907  df-xadd 13028  df-ioo 13266  df-ico 13268  df-icc 13269  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-fl 13713  df-seq 13926  df-exp 13986  df-hash 14255  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025  df-sqrt 15159  df-abs 15160  df-clim 15412  df-sum 15611  df-xmet 21304  df-met 21305  df-ovol 25409  df-vol 25410  df-mbf 25564

This theorem is referenced by:  mbf0  25579  mbfss  25591  mbfmulc2lem  25592  mbfpos  25596  ibl0  25732  iblconst  25763