MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfconst 24215
Description: A constant function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfconst ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfconst
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2 fconstmpt 5587 . . . 4 (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥𝐴𝐵)
31, 2fmptd 6851 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶ℂ)
4 mblss 24113 . . . 4 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
54adantr 484 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
6 cnex 10595 . . . 4 ℂ ∈ V
7 reex 10605 . . . 4 ℝ ∈ V
8 elpm2r 8399 . . . 4 (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ ((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
96, 7, 8mpanl12 701 . . 3 (((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
103, 5, 9syl2anc 587 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
112a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥𝐴𝐵))
12 ref 14450 . . . . . . . . . . 11 ℜ:ℂ⟶ℝ
1312a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ℜ:ℂ⟶ℝ)
1413feqmptd 6706 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ℜ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑦)))
15 fveq2 6643 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐵 → (ℜ‘𝑦) = (ℜ‘𝐵))
161, 11, 14, 15fmptco 6864 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))
17 fconstmpt 5587 . . . . . . . 8 (𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))
1816, 17syl6eqr 2874 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = (𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}))
1918cnveqd 5719 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = (𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}))
2019imaeq1d 5901 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) = ((𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}) “ 𝑦))
21 recl 14448 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
22 mbfconstlem 24209 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}) “ 𝑦) ∈ dom vol)
2321, 22sylan2 595 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}) “ 𝑦) ∈ dom vol)
2420, 23eqeltrd 2912 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol)
25 imf 14451 . . . . . . . . . . 11 ℑ:ℂ⟶ℝ
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ℑ:ℂ⟶ℝ)
2726feqmptd 6706 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ℑ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑦)))
28 fveq2 6643 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐵 → (ℑ‘𝑦) = (ℑ‘𝐵))
291, 11, 27, 28fmptco 6864 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))
30 fconstmpt 5587 . . . . . . . 8 (𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))
3129, 30syl6eqr 2874 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = (𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}))
3231cnveqd 5719 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = (𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}))
3332imaeq1d 5901 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) = ((𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}) “ 𝑦))
34 imcl 14449 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
35 mbfconstlem 24209 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}) “ 𝑦) ∈ dom vol)
3634, 35sylan2 595 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}) “ 𝑦) ∈ dom vol)
3733, 36eqeltrd 2912 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol)
3824, 37jca 515 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol))
3938ralrimivw 3171 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol))
40 ismbf1 24206 . 2 ((𝐴 × {𝐵}) ∈ MblFn ↔ ((𝐴 × {𝐵}) ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol)))
4110, 39, 40sylanbrc 586 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3126  Vcvv 3471  wss 3910  {csn 4540  cmpt 5119   × cxp 5526  ccnv 5527  dom cdm 5528  ran crn 5529  cima 5531  ccom 5532  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7130  pm cpm 8382  cc 10512  cr 10513  (,)cioo 12716  cre 14435  cim 14436  volcvol 24045  MblFncmbf 24196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-dju 9306  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xadd 12486  df-ioo 12720  df-ico 12722  df-icc 12723  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-fl 13145  df-seq 13353  df-exp 13414  df-hash 13675  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-clim 14824  df-sum 15022  df-xmet 20513  df-met 20514  df-ovol 24046  df-vol 24047  df-mbf 24201
This theorem is referenced by:  mbf0  24216  mbfss  24228  mbfmulc2lem  24229  mbfpos  24233  ibl0  24368  iblconst  24399
  Copyright terms: Public domain W3C validator