Theorem mbfconst 24702

Description: A constant function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mbfconst	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfconst

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 765	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		fconstmpt 5640	. . . 4 ⊢ (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	1, 2	fmptd 6970	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶ℂ)
4		mblss 24600	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
6		cnex 10883	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
7		reex 10893	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
8		elpm2r 8591	. . . 4 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ ((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
9	6, 7, 8	mpanl12 698	. . 3 ⊢ (((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
10	3, 5, 9	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
11	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
12		ref 14751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ℜ:ℂ⟶ℝ)
14	13	feqmptd 6819	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ℜ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑦)))
15		fveq2 6756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (ℜ‘𝑦) = (ℜ‘𝐵))
16	1, 11, 14, 15	fmptco 6983	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))
17		fconstmpt 5640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))
18	16, 17	eqtr4di 2797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = (𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}))
19	18	cnveqd 5773	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ◡(ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = ◡(𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}))
20	19	imaeq1d 5957	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (◡(ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) = (◡(𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}) “ 𝑦))
21		recl 14749	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
22		mbfconstlem 24696	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ) → (◡(𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}) “ 𝑦) ∈ dom vol)
23	21, 22	sylan2 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (◡(𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}) “ 𝑦) ∈ dom vol)
24	20, 23	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (◡(ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol)
25		imf 14752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ℑ:ℂ⟶ℝ)
27	26	feqmptd 6819	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ℑ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑦)))
28		fveq2 6756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (ℑ‘𝑦) = (ℑ‘𝐵))
29	1, 11, 27, 28	fmptco 6983	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))
30		fconstmpt 5640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))
31	29, 30	eqtr4di 2797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = (𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}))
32	31	cnveqd 5773	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ◡(ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = ◡(𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}))
33	32	imaeq1d 5957	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (◡(ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) = (◡(𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}) “ 𝑦))
34		imcl 14750	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
35		mbfconstlem 24696	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ) → (◡(𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}) “ 𝑦) ∈ dom vol)
36	34, 35	sylan2 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (◡(𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}) “ 𝑦) ∈ dom vol)
37	33, 36	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (◡(ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol)
38	24, 37	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((◡(ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol))
39	38	ralrimivw 3108	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol))
40		ismbf1 24693	. 2 ⊢ ((𝐴 × {𝐵}) ∈ MblFn ↔ ((𝐴 × {𝐵}) ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol)))
41	10, 39, 40	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  {csn 4558   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578  ^◡ccnv 5579  dom cdm 5580  ran crn 5581   “ cima 5583   ∘ ccom 5584  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_pm cpm 8574  ℂcc 10800  ℝcr 10801  (,)cioo 13008  ℜcre 14736  ℑcim 14737  volcvol 24532  MblFncmbf 24683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xadd 12778  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-xmet 20503  df-met 20504  df-ovol 24533  df-vol 24534  df-mbf 24688

This theorem is referenced by:  mbf0  24703  mbfss  24715  mbfmulc2lem  24716  mbfpos  24720  ibl0  24856  iblconst  24887