Theorem mbfconst 24797

Description: A constant function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mbfconst	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfconst

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 766	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		fconstmpt 5649	. . . 4 ⊢ (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	1, 2	fmptd 6988	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶ℂ)
4		mblss 24695	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
5	4	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
6		cnex 10952	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
7		reex 10962	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
8		elpm2r 8633	. . . 4 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ ((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
9	6, 7, 8	mpanl12 699	. . 3 ⊢ (((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
10	3, 5, 9	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
11	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
12		ref 14823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ℜ:ℂ⟶ℝ)
14	13	feqmptd 6837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ℜ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑦)))
15		fveq2 6774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (ℜ‘𝑦) = (ℜ‘𝐵))
16	1, 11, 14, 15	fmptco 7001	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))
17		fconstmpt 5649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))
18	16, 17	eqtr4di 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = (𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}))
19	18	cnveqd 5784	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ◡(ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = ◡(𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}))
20	19	imaeq1d 5968	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (◡(ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) = (◡(𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}) “ 𝑦))
21		recl 14821	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
22		mbfconstlem 24791	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ) → (◡(𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}) “ 𝑦) ∈ dom vol)
23	21, 22	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (◡(𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}) “ 𝑦) ∈ dom vol)
24	20, 23	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (◡(ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol)
25		imf 14824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ℑ:ℂ⟶ℝ)
27	26	feqmptd 6837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ℑ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑦)))
28		fveq2 6774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (ℑ‘𝑦) = (ℑ‘𝐵))
29	1, 11, 27, 28	fmptco 7001	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))
30		fconstmpt 5649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))
31	29, 30	eqtr4di 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = (𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}))
32	31	cnveqd 5784	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ◡(ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = ◡(𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}))
33	32	imaeq1d 5968	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (◡(ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) = (◡(𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}) “ 𝑦))
34		imcl 14822	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
35		mbfconstlem 24791	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ) → (◡(𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}) “ 𝑦) ∈ dom vol)
36	34, 35	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (◡(𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}) “ 𝑦) ∈ dom vol)
37	33, 36	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (◡(ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol)
38	24, 37	jca 512	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((◡(ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol))
39	38	ralrimivw 3104	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol))
40		ismbf1 24788	. 2 ⊢ ((𝐴 × {𝐵}) ∈ MblFn ↔ ((𝐴 × {𝐵}) ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol)))
41	10, 39, 40	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  {csn 4561   ↦ cmpt 5157   × cxp 5587  ^◡ccnv 5588  dom cdm 5589  ran crn 5590   “ cima 5592   ∘ ccom 5593  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_pm cpm 8616  ℂcc 10869  ℝcr 10870  (,)cioo 13079  ℜcre 14808  ℑcim 14809  volcvol 24627  MblFncmbf 24778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xadd 12849  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-xmet 20590  df-met 20591  df-ovol 24628  df-vol 24629  df-mbf 24783

This theorem is referenced by:  mbf0  24798  mbfss  24810  mbfmulc2lem  24811  mbfpos  24815  ibl0  24951  iblconst  24982