MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfconst 24161
Description: A constant function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfconst ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfconst
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 765 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2 fconstmpt 5607 . . . 4 (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥𝐴𝐵)
31, 2fmptd 6870 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶ℂ)
4 mblss 24059 . . . 4 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
54adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
6 cnex 10606 . . . 4 ℂ ∈ V
7 reex 10616 . . . 4 ℝ ∈ V
8 elpm2r 8413 . . . 4 (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ ((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
96, 7, 8mpanl12 698 . . 3 (((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
103, 5, 9syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
112a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥𝐴𝐵))
12 ref 14459 . . . . . . . . . . 11 ℜ:ℂ⟶ℝ
1312a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ℜ:ℂ⟶ℝ)
1413feqmptd 6726 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ℜ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑦)))
15 fveq2 6663 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐵 → (ℜ‘𝑦) = (ℜ‘𝐵))
161, 11, 14, 15fmptco 6883 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))
17 fconstmpt 5607 . . . . . . . 8 (𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))
1816, 17syl6eqr 2871 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = (𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}))
1918cnveqd 5739 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = (𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}))
2019imaeq1d 5921 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) = ((𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}) “ 𝑦))
21 recl 14457 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
22 mbfconstlem 24155 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}) “ 𝑦) ∈ dom vol)
2321, 22sylan2 592 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}) “ 𝑦) ∈ dom vol)
2420, 23eqeltrd 2910 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol)
25 imf 14460 . . . . . . . . . . 11 ℑ:ℂ⟶ℝ
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ℑ:ℂ⟶ℝ)
2726feqmptd 6726 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ℑ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑦)))
28 fveq2 6663 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐵 → (ℑ‘𝑦) = (ℑ‘𝐵))
291, 11, 27, 28fmptco 6883 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))
30 fconstmpt 5607 . . . . . . . 8 (𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))
3129, 30syl6eqr 2871 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = (𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}))
3231cnveqd 5739 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = (𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}))
3332imaeq1d 5921 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) = ((𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}) “ 𝑦))
34 imcl 14458 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
35 mbfconstlem 24155 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}) “ 𝑦) ∈ dom vol)
3634, 35sylan2 592 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}) “ 𝑦) ∈ dom vol)
3733, 36eqeltrd 2910 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol)
3824, 37jca 512 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol))
3938ralrimivw 3180 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol))
40 ismbf1 24152 . 2 ((𝐴 × {𝐵}) ∈ MblFn ↔ ((𝐴 × {𝐵}) ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol)))
4110, 39, 40sylanbrc 583 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  Vcvv 3492  wss 3933  {csn 4557  cmpt 5137   × cxp 5546  ccnv 5547  dom cdm 5548  ran crn 5549  cima 5551  ccom 5552  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  pm cpm 8396  cc 10523  cr 10524  (,)cioo 12726  cre 14444  cim 14445  volcvol 23991  MblFncmbf 24142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xadd 12496  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-xmet 20466  df-met 20467  df-ovol 23992  df-vol 23993  df-mbf 24147
This theorem is referenced by:  mbf0  24162  mbfss  24174  mbfmulc2lem  24175  mbfpos  24179  ibl0  24314  iblconst  24345
  Copyright terms: Public domain W3C validator