Theorem mbfconst 25771

Description: A constant function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mbfconst	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfconst

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 780	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		fconstmpt 5723	. . . 4 ⊢ (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	1, 2	fmptd 7109	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶ℂ)
4		mblss 25669	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
5	4	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
6		cnex 11180	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
7		reex 11190	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
8		elpm2r 8841	. . . 4 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ ((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
9	6, 7, 8	mpanl12 714	. . 3 ⊢ (((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
10	3, 5, 9	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
11	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
12		ref 15162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ℜ:ℂ⟶ℝ)
14	13	feqmptd 6949	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ℜ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑦)))
15		fveq2 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (ℜ‘𝑦) = (ℜ‘𝐵))
16	1, 11, 14, 15	fmptco 7125	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))
17		fconstmpt 5723	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))
18	16, 17	eqtr4di 2814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = (𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}))
19	18	cnveqd 5861	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ◡(ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = ◡(𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}))
20	19	imaeq1d 6061	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (◡(ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) = (◡(𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}) “ 𝑦))
21		recl 15160	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
22		mbfconstlem 25765	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ) → (◡(𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}) “ 𝑦) ∈ dom vol)
23	21, 22	sylan2 604	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (◡(𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}) “ 𝑦) ∈ dom vol)
24	20, 23	eqeltrd 2861	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (◡(ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol)
25		imf 15163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ℑ:ℂ⟶ℝ)
27	26	feqmptd 6949	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ℑ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑦)))
28		fveq2 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (ℑ‘𝑦) = (ℑ‘𝐵))
29	1, 11, 27, 28	fmptco 7125	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))
30		fconstmpt 5723	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))
31	29, 30	eqtr4di 2814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = (𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}))
32	31	cnveqd 5861	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ◡(ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = ◡(𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}))
33	32	imaeq1d 6061	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (◡(ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) = (◡(𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}) “ 𝑦))
34		imcl 15161	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
35		mbfconstlem 25765	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ) → (◡(𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}) “ 𝑦) ∈ dom vol)
36	34, 35	sylan2 604	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (◡(𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}) “ 𝑦) ∈ dom vol)
37	33, 36	eqeltrd 2861	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (◡(ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol)
38	24, 37	jca 520	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((◡(ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol))
39	38	ralrimivw 3159	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol))
40		ismbf1 25762	. 2 ⊢ ((𝐴 × {𝐵}) ∈ MblFn ↔ ((𝐴 × {𝐵}) ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol)))
41	10, 39, 40	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077  Vcvv 3453   ⊆ wss 3904  {csn 4588   ↦ cmpt 5191   × cxp 5659  ^◡ccnv 5660  dom cdm 5661  ran crn 5662   “ cima 5664   ∘ ccom 5665  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_pm cpm 8824  ℂcc 11097  ℝcr 11098  (,)cioo 13371  ℜcre 15147  ℑcim 15148  volcvol 25601  MblFncmbf 25752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xadd 13137  df-ioo 13375  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-seq 14037  df-exp 14097  df-hash 14366  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-clim 15538  df-sum 15737  df-xmet 21494  df-met 21495  df-ovol 25602  df-vol 25603  df-mbf 25757

This theorem is referenced by:  mbf0  25772  mbfss  25784  mbfmulc2lem  25785  mbfpos  25789  ibl0  25925  iblconst  25956