Theorem erngplus-rN 39079

Description: Ring addition operation. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
erngset.h-r	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
erngset.t-r	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erngset.e-r	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
erngset.d-r	⊢ 𝐷 = ((EDRingR‘𝐾)‘𝑊)
erng.p-r	⊢ + = (+g‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
erngplus-rN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑈 + 𝑉) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑈‘𝑓) ∘ (𝑉‘𝑓))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑊   𝑇,𝑓   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   + (𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓)

Proof of Theorem erngplus-rN

Dummy variables 𝑠 𝑡 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erngset.h-r	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		erngset.t-r	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		erngset.e-r	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		erngset.d-r	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((EDRingR‘𝐾)‘𝑊)
5		erng.p-r	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	erngfplus-rN 39078	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → + = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑔) ∘ (𝑡‘𝑔)))))
7	6	oveqd 7354	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑈 + 𝑉) = (𝑈(𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑔) ∘ (𝑡‘𝑔))))𝑉))
8		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑔) ∘ (𝑡‘𝑔)))) = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑔) ∘ (𝑡‘𝑔))))
9	8, 2	tendopl 39044	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑈(𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑔) ∘ (𝑡‘𝑔))))𝑉) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑈‘𝑓) ∘ (𝑉‘𝑓))))
10	7, 9	sylan9eq 2796	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑈 + 𝑉) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑈‘𝑓) ∘ (𝑉‘𝑓))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ↦ cmpt 5175   ∘ ccom 5624  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337   ∈ cmpo 7339  +_gcplusg 17059  HLchlt 37617  LHypclh 38252  LTrncltrn 38369  TEndoctendo 39020  EDRing_Rcedring-rN 39022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-struct 16945  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-edring-rN 39024

This theorem is referenced by:  erngplus2-rN  39080