Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngfplus-rN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erngfplus-rN 39276
Description: Ring addition operation. (Contributed by NM, 9-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
erngset.h-r 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
erngset.t-r 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erngset.e-r 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erngset.d-r 𝐷 = ((EDRingRβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erng.p-r + = (+gβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
erngfplus-rN ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ + = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“)))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑠,𝑑,𝐾   𝑓,π‘Š,𝑠,𝑑   𝐸,𝑠,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑,𝑓,𝑠)   + (𝑑,𝑓,𝑠)   𝑇(𝑑,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑑,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑑,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem erngfplus-rN
StepHypRef Expression
1 erngset.h-r . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 erngset.t-r . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 erngset.e-r . . . 4 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 erngset.d-r . . . 4 𝐷 = ((EDRingRβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
51, 2, 3, 4erngset-rN 39274 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 = {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐸⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑑 ∘ 𝑠))⟩})
65fveq2d 6847 . 2 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐸⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑑 ∘ 𝑠))⟩}))
7 erng.p-r . 2 + = (+gβ€˜π·)
83fvexi 6857 . . . 4 𝐸 ∈ V
98, 8mpoex 8013 . . 3 (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“)))) ∈ V
10 eqid 2737 . . . 4 {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐸⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑑 ∘ 𝑠))⟩} = {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐸⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑑 ∘ 𝑠))⟩}
1110rngplusg 17182 . . 3 ((𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“)))) ∈ V β†’ (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“)))) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐸⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑑 ∘ 𝑠))⟩}))
129, 11ax-mp 5 . 2 (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“)))) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐸⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑑 ∘ 𝑠))⟩})
136, 7, 123eqtr4g 2802 1 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ + = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3446  {ctp 4591  βŸ¨cop 4593   ↦ cmpt 5189   ∘ ccom 5638  β€˜cfv 6497   ∈ cmpo 7360  ndxcnx 17066  Basecbs 17084  +gcplusg 17134  .rcmulr 17135  LHypclh 38450  LTrncltrn 38567  TEndoctendo 39218  EDRingRcedring-rN 39220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-struct 17020  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-edring-rN 39222
This theorem is referenced by:  erngplus-rN  39277  erngdvlem1-rN  39462  erngdvlem2-rN  39463  erngdvlem3-rN  39464  erngdvlem4-rN  39465
  Copyright terms: Public domain W3C validator