Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngfplus-rN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erngfplus-rN 39670
Description: Ring addition operation. (Contributed by NM, 9-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
erngset.h-r 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
erngset.t-r 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erngset.e-r 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erngset.d-r 𝐷 = ((EDRingRβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erng.p-r + = (+gβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
erngfplus-rN ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ + = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“)))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑠,𝑑,𝐾   𝑓,π‘Š,𝑠,𝑑   𝐸,𝑠,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑,𝑓,𝑠)   + (𝑑,𝑓,𝑠)   𝑇(𝑑,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑑,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑑,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem erngfplus-rN
StepHypRef Expression
1 erngset.h-r . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 erngset.t-r . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 erngset.e-r . . . 4 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 erngset.d-r . . . 4 𝐷 = ((EDRingRβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
51, 2, 3, 4erngset-rN 39668 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 = {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐸⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑑 ∘ 𝑠))⟩})
65fveq2d 6893 . 2 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐸⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑑 ∘ 𝑠))⟩}))
7 erng.p-r . 2 + = (+gβ€˜π·)
83fvexi 6903 . . . 4 𝐸 ∈ V
98, 8mpoex 8063 . . 3 (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“)))) ∈ V
10 eqid 2733 . . . 4 {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐸⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑑 ∘ 𝑠))⟩} = {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐸⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑑 ∘ 𝑠))⟩}
1110rngplusg 17242 . . 3 ((𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“)))) ∈ V β†’ (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“)))) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐸⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑑 ∘ 𝑠))⟩}))
129, 11ax-mp 5 . 2 (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“)))) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐸⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑑 ∘ 𝑠))⟩})
136, 7, 123eqtr4g 2798 1 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ + = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  {ctp 4632  βŸ¨cop 4634   ↦ cmpt 5231   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6541   ∈ cmpo 7408  ndxcnx 17123  Basecbs 17141  +gcplusg 17194  .rcmulr 17195  LHypclh 38844  LTrncltrn 38961  TEndoctendo 39612  EDRingRcedring-rN 39614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17077  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-edring-rN 39616
This theorem is referenced by:  erngplus-rN  39671  erngdvlem1-rN  39856  erngdvlem2-rN  39857  erngdvlem3-rN  39858  erngdvlem4-rN  39859
  Copyright terms: Public domain W3C validator