Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngplus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erngplus 39162
Description: Ring addition operation. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
erngset.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
erngset.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erngset.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erngset.d 𝐷 = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erng.p + = (+gβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
erngplus (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (π‘ˆ + 𝑉) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘“) ∘ (π‘‰β€˜π‘“))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,π‘Š   𝑇,𝑓   π‘ˆ,𝑓   𝑓,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   + (𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓)

Proof of Theorem erngplus
Dummy variables 𝑠 𝑑 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erngset.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 erngset.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 erngset.e . . . 4 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 erngset.d . . . 4 𝐷 = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 erng.p . . . 4 + = (+gβ€˜π·)
61, 2, 3, 4, 5erngfplus 39161 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ + = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘”) ∘ (π‘‘β€˜π‘”)))))
76oveqd 7367 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (π‘ˆ + 𝑉) = (π‘ˆ(𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘”) ∘ (π‘‘β€˜π‘”))))𝑉))
8 eqid 2738 . . 3 (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘”) ∘ (π‘‘β€˜π‘”)))) = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘”) ∘ (π‘‘β€˜π‘”))))
98, 2tendopl 39135 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ (π‘ˆ(𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘”) ∘ (π‘‘β€˜π‘”))))𝑉) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘“) ∘ (π‘‰β€˜π‘“))))
107, 9sylan9eq 2798 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (π‘ˆ + 𝑉) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘“) ∘ (π‘‰β€˜π‘“))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5187   ∘ ccom 5635  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350   ∈ cmpo 7352  +gcplusg 17068  HLchlt 37708  LHypclh 38343  LTrncltrn 38460  TEndoctendo 39111  EDRingcedring 39112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-fz 13354  df-struct 16954  df-slot 16989  df-ndx 17001  df-base 17019  df-plusg 17081  df-mulr 17082  df-edring 39116
This theorem is referenced by:  erngplus2  39163  dvhfvadd  39450
  Copyright terms: Public domain W3C validator