Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngfplus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erngfplus 38810
Description: Ring addition operation. (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
erngset.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
erngset.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erngset.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
erngset.d 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
erng.p + = (+g𝐷)
Assertion
Ref Expression
erngfplus ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → + = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓)))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑠,𝑡,𝐾   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡   𝐸,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑡,𝑓,𝑠)   + (𝑡,𝑓,𝑠)   𝑇(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem erngfplus
StepHypRef Expression
1 erngset.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 erngset.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 erngset.e . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4 erngset.d . . . 4 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
51, 2, 3, 4erngset 38808 . . 3 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → 𝐷 = {⟨(Base‘ndx), 𝐸⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑠𝑡))⟩})
65fveq2d 6773 . 2 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → (+g𝐷) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐸⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑠𝑡))⟩}))
7 erng.p . 2 + = (+g𝐷)
83fvexi 6783 . . . 4 𝐸 ∈ V
98, 8mpoex 7911 . . 3 (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓)))) ∈ V
10 eqid 2740 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), 𝐸⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑠𝑡))⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐸⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑠𝑡))⟩}
1110rngplusg 17006 . . 3 ((𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓)))) ∈ V → (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓)))) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐸⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑠𝑡))⟩}))
129, 11ax-mp 5 . 2 (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓)))) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐸⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑠𝑡))⟩})
136, 7, 123eqtr4g 2805 1 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → + = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  Vcvv 3431  {ctp 4571  cop 4573  cmpt 5162  ccom 5593  cfv 6431  cmpo 7271  ndxcnx 16890  Basecbs 16908  +gcplusg 16958  .rcmulr 16959  LHypclh 37992  LTrncltrn 38109  TEndoctendo 38760  EDRingcedring 38761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12580  df-fz 13237  df-struct 16844  df-slot 16879  df-ndx 16891  df-base 16909  df-plusg 16971  df-mulr 16972  df-edring 38765
This theorem is referenced by:  erngplus  38811  erngdvlem1  38996  erngdvlem2N  38997  erngdvlem3  38998  erngdvlem4  38999  erng0g  39002  dvafplusg  39016  dvhfplusr  39092
  Copyright terms: Public domain W3C validator