Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
||
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dvdsmultr1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: If an integer divides another, it divides a multiple of it. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) |
Ref | Expression |
---|---|
dvdsmultr1 | โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ โฅ ๐ โ ๐พ โฅ (๐ ยท ๐))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | dvdsmul1 16094 | . . 3 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) | |
2 | 1 | 3adant1 1130 | . 2 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) |
3 | zmulcl 12482 | . . . 4 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ ยท ๐) โ โค) | |
4 | 3 | 3adant1 1130 | . . 3 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ ยท ๐) โ โค) |
5 | dvdstr 16110 | . . 3 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง (๐ ยท ๐) โ โค) โ ((๐พ โฅ ๐ โง ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) โ ๐พ โฅ (๐ ยท ๐))) | |
6 | 4, 5 | syld3an3 1409 | . 2 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐พ โฅ ๐ โง ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) โ ๐พ โฅ (๐ ยท ๐))) |
7 | 2, 6 | mpan2d 692 | 1 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ โฅ ๐ โ ๐พ โฅ (๐ ยท ๐))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 396 โง w3a 1087 โ wcel 2106 class class class wbr 5103 (class class class)co 7349 ยท cmul 10989 โคcz 12432 โฅ cdvds 16070 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2708 ax-sep 5254 ax-nul 5261 ax-pow 5318 ax-pr 5382 ax-un 7662 ax-resscn 11041 ax-1cn 11042 ax-icn 11043 ax-addcl 11044 ax-addrcl 11045 ax-mulcl 11046 ax-mulrcl 11047 ax-mulcom 11048 ax-addass 11049 ax-mulass 11050 ax-distr 11051 ax-i2m1 11052 ax-1ne0 11053 ax-1rid 11054 ax-rnegex 11055 ax-rrecex 11056 ax-cnre 11057 ax-pre-lttri 11058 ax-pre-lttrn 11059 ax-pre-ltadd 11060 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2887 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-reu 3352 df-rab 3406 df-v 3445 df-sbc 3738 df-csb 3854 df-dif 3911 df-un 3913 df-in 3915 df-ss 3925 df-pss 3927 df-nul 4281 df-if 4485 df-pw 4560 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4864 df-iun 4954 df-br 5104 df-opab 5166 df-mpt 5187 df-tr 5221 df-id 5528 df-eprel 5534 df-po 5542 df-so 5543 df-fr 5585 df-we 5587 df-xp 5636 df-rel 5637 df-cnv 5638 df-co 5639 df-dm 5640 df-rn 5641 df-res 5642 df-ima 5643 df-pred 6249 df-ord 6316 df-on 6317 df-lim 6318 df-suc 6319 df-iota 6443 df-fun 6493 df-fn 6494 df-f 6495 df-f1 6496 df-fo 6497 df-f1o 6498 df-fv 6499 df-riota 7305 df-ov 7352 df-oprab 7353 df-mpo 7354 df-om 7793 df-2nd 7912 df-frecs 8179 df-wrecs 8210 df-recs 8284 df-rdg 8323 df-er 8581 df-en 8817 df-dom 8818 df-sdom 8819 df-pnf 11124 df-mnf 11125 df-ltxr 11127 df-sub 11320 df-neg 11321 df-nn 12087 df-n0 12347 df-z 12433 df-dvds 16071 |
This theorem is referenced by: dvdsmultr1d 16113 ordvdsmul 16116 dvdsfac 16142 mulmoddvds 16146 lcmgcdlem 16416 pythagtriplem4 16625 dec2dvds 16869 mumullem1 26450 chtublem 26481 perfect1 26498 lgsdir2 26600 aks4d1p7 40435 congmul 41156 etransclem24 44252 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |