Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
||
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dvdsmultr1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: If an integer divides another, it divides a multiple of it. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) |
Ref | Expression |
---|---|
dvdsmultr1 | โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ โฅ ๐ โ ๐พ โฅ (๐ ยท ๐))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | dvdsmul1 16095 | . . 3 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) | |
2 | 1 | 3adant1 1131 | . 2 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) |
3 | zmulcl 12483 | . . . 4 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ ยท ๐) โ โค) | |
4 | 3 | 3adant1 1131 | . . 3 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ ยท ๐) โ โค) |
5 | dvdstr 16111 | . . 3 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง (๐ ยท ๐) โ โค) โ ((๐พ โฅ ๐ โง ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) โ ๐พ โฅ (๐ ยท ๐))) | |
6 | 4, 5 | syld3an3 1410 | . 2 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐พ โฅ ๐ โง ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) โ ๐พ โฅ (๐ ยท ๐))) |
7 | 2, 6 | mpan2d 693 | 1 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ โฅ ๐ โ ๐พ โฅ (๐ ยท ๐))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 โง w3a 1088 โ wcel 2107 class class class wbr 5104 (class class class)co 7350 ยท cmul 10990 โคcz 12433 โฅ cdvds 16071 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2709 ax-sep 5255 ax-nul 5262 ax-pow 5319 ax-pr 5383 ax-un 7663 ax-resscn 11042 ax-1cn 11043 ax-icn 11044 ax-addcl 11045 ax-addrcl 11046 ax-mulcl 11047 ax-mulrcl 11048 ax-mulcom 11049 ax-addass 11050 ax-mulass 11051 ax-distr 11052 ax-i2m1 11053 ax-1ne0 11054 ax-1rid 11055 ax-rnegex 11056 ax-rrecex 11057 ax-cnre 11058 ax-pre-lttri 11059 ax-pre-lttrn 11060 ax-pre-ltadd 11061 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2888 df-ne 2943 df-nel 3049 df-ral 3064 df-rex 3073 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3739 df-csb 3855 df-dif 3912 df-un 3914 df-in 3916 df-ss 3926 df-pss 3928 df-nul 4282 df-if 4486 df-pw 4561 df-sn 4586 df-pr 4588 df-op 4592 df-uni 4865 df-iun 4955 df-br 5105 df-opab 5167 df-mpt 5188 df-tr 5222 df-id 5529 df-eprel 5535 df-po 5543 df-so 5544 df-fr 5586 df-we 5588 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6250 df-ord 6317 df-on 6318 df-lim 6319 df-suc 6320 df-iota 6444 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-riota 7306 df-ov 7353 df-oprab 7354 df-mpo 7355 df-om 7794 df-2nd 7913 df-frecs 8180 df-wrecs 8211 df-recs 8285 df-rdg 8324 df-er 8582 df-en 8818 df-dom 8819 df-sdom 8820 df-pnf 11125 df-mnf 11126 df-ltxr 11128 df-sub 11321 df-neg 11322 df-nn 12088 df-n0 12348 df-z 12434 df-dvds 16072 |
This theorem is referenced by: dvdsmultr1d 16114 ordvdsmul 16117 dvdsfac 16143 mulmoddvds 16147 lcmgcdlem 16417 pythagtriplem4 16626 dec2dvds 16870 mumullem1 26450 chtublem 26481 perfect1 26498 lgsdir2 26600 aks4d1p7 40426 congmul 41125 etransclem24 44221 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |