Theorem zaddcld 12732

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12661	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7414   + caddc 11130  ℤcz 12618

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619

This theorem is used by:  zadd2cl  12736  qaddcl  13018  elincfzoext  13782  eluzgtdifelfzo  13786  fladdz  13889  seqshft2  14095  expaddzlem  14172  sqoddm1div8  14310  ccatass  14657  cshf1  14884  2cshw  14887  2cshwcshw  14899  fsumrev2  15871  isumshft  15931  divcnvshft  15947  addmulmodb  16358  dvds2ln  16382  sadadd3  16554  sadaddlem  16559  sadadd  16560  bezoutlem4  16635  lcmgcdlem  16699  divgcdcoprm0  16758  hashdvds  16869  pythagtriplem4  16914  pythagtriplem11  16920  pcaddlem  16983  gzmulcl  17033  4sqlem8  17040  4sqlem10  17042  4sqlem11  17050  4sqlem14  17053  4sqlem16  17055  prmgaplem7  17152  prmgaplem8  17153  chnccat  18717  gsumsgrpccat  18952  mulgdir  19232  mndodconglem  19671  pzriprnglem10  21706  pzriprng1ALT  21712  chfacfscmulfsupp  23087  chfacfpmmulfsupp  23091  ulmshftlem  26628  ulmshft  26629  dchrptlem2  27504  lgsqrlem2  27586  lgsquad2lem1  27623  2lgsoddprmlem2  27648  2sqlem4  27660  2sqlem8  27665  2sqmod  27675  crctcshwlkn0lem5  30285  numclwlk2lem2f  30860  ex-ind-dvds  30944  cshwrnid  33404  archirngz  33632  archiabllem2c  33638  zringfrac  33967  qqhghm  34501  qqhrhm  34502  fsum2dsub  35118  breprexplemc  35143  divcnvlin  36315  caushft  38514  lcmineqlem22  42919  posbezout  42969  2np3bcnp1  43013  sticksstones7  43021  sticksstones10  43024  aks6d1c6isolem1  43043  aks6d1c6isolem2  43044  bcle2d  43048  aks6d1c7lem1  43049  sumcubes  43191  flt4lem3  43497  pell1234qrmulcl  43699  jm2.18  43832  jm2.19lem3  43835  jm2.19lem4  43836  jm2.25  43843  inductionexd  44998  fzisoeu  46136  uzubioo  46398  wallispilem4  46899  etransclem44  47109  evenwodadd  47732  submodaddmod  48238  zplusmodne  48240  gbowgt5  48681  mogoldbb  48704  nnsum4primesevenALTV  48720  gpgiedgdmellem  48965  gpgvtx1  48973  pgnbgreunbgrlem2lem1  49033  pgnbgreunbgrlem2lem3  49035  2zlidl  49158