Theorem zaddcld 12669

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12601	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7408   + caddc 11112  ℤcz 12557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558

This theorem is referenced by:  zadd2cl  12673  qaddcl  12948  elincfzoext  13689  eluzgtdifelfzo  13693  fladdz  13789  seqshft2  13993  expaddzlem  14070  sqoddm1div8  14205  ccatass  14537  cshf1  14759  2cshw  14762  2cshwcshw  14775  fsumrev2  15727  isumshft  15784  divcnvshft  15800  dvds2ln  16231  sadadd3  16401  sadaddlem  16406  sadadd  16407  bezoutlem4  16483  lcmgcdlem  16542  divgcdcoprm0  16601  hashdvds  16707  pythagtriplem4  16751  pythagtriplem11  16757  pcaddlem  16820  gzmulcl  16870  4sqlem8  16877  4sqlem10  16879  4sqlem11  16887  4sqlem14  16890  4sqlem16  16892  prmgaplem7  16989  prmgaplem8  16990  gsumsgrpccat  18720  mulgdir  18985  mndodconglem  19408  chfacfscmulfsupp  22360  chfacfpmmulfsupp  22364  ulmshftlem  25900  ulmshft  25901  dchrptlem2  26765  lgsqrlem2  26847  lgsquad2lem1  26884  2lgsoddprmlem2  26909  2sqlem4  26921  2sqlem8  26926  2sqmod  26936  crctcshwlkn0lem5  29065  numclwlk2lem2f  29627  ex-ind-dvds  29711  cshwrnid  32120  archirngz  32330  archiabllem2c  32336  qqhghm  32963  qqhrhm  32964  fsum2dsub  33614  breprexplemc  33639  divcnvlin  34697  caushft  36624  lcmineqlem22  40910  2np3bcnp1  40955  sticksstones7  40963  sticksstones10  40966  metakunt19  40998  metakunt21  41000  metakunt22  41001  metakunt25  41004  metakunt27  41006  metakunt29  41008  metakunt30  41009  metakunt32  41011  metakunt33  41012  prodsplit  41016  sumcubes  41211  flt4lem3  41391  pell1234qrmulcl  41583  jm2.18  41717  jm2.19lem3  41720  jm2.19lem4  41721  jm2.25  41728  inductionexd  42896  fzisoeu  44000  uzubioo  44270  wallispilem4  44774  etransclem44  44984  gbowgt5  46420  mogoldbb  46443  nnsum4primesevenALTV  46459  pzriprnglem10  46804  pzriprng1ALT  46810  2zlidl  46822