Theorem zaddcld 12359

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12290	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255   + caddc 10805  ℤcz 12249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250

This theorem is referenced by:  zadd2cl  12363  qaddcl  12634  elincfzoext  13373  eluzgtdifelfzo  13377  fladdz  13473  seqshft2  13677  expaddzlem  13754  sqoddm1div8  13886  ccatass  14221  cshf1  14451  2cshw  14454  2cshwcshw  14466  fsumrev2  15422  isumshft  15479  divcnvshft  15495  dvds2ln  15926  sadadd3  16096  sadaddlem  16101  sadadd  16102  bezoutlem4  16178  lcmgcdlem  16239  divgcdcoprm0  16298  hashdvds  16404  pythagtriplem4  16448  pythagtriplem11  16454  pcaddlem  16517  gzmulcl  16567  4sqlem8  16574  4sqlem10  16576  4sqlem11  16584  4sqlem14  16587  4sqlem16  16589  prmgaplem7  16686  prmgaplem8  16687  gsumsgrpccat  18393  gsumccatOLD  18394  mulgdir  18650  mndodconglem  19064  chfacfscmulfsupp  21916  chfacfpmmulfsupp  21920  ulmshftlem  25453  ulmshft  25454  dchrptlem2  26318  lgsqrlem2  26400  lgsquad2lem1  26437  2lgsoddprmlem2  26462  2sqlem4  26474  2sqlem8  26479  2sqmod  26489  crctcshwlkn0lem5  28080  numclwlk2lem2f  28642  ex-ind-dvds  28726  cshwrnid  31135  archirngz  31345  archiabllem2c  31351  qqhghm  31838  qqhrhm  31839  fsum2dsub  32487  breprexplemc  32512  divcnvlin  33604  caushft  35846  lcmineqlem22  39986  2np3bcnp1  40028  sticksstones7  40036  sticksstones10  40039  metakunt19  40071  metakunt21  40073  metakunt22  40074  metakunt25  40077  metakunt27  40079  metakunt29  40081  metakunt30  40082  metakunt32  40084  metakunt33  40085  prodsplit  40089  flt4lem3  40401  pell1234qrmulcl  40593  jm2.18  40726  jm2.19lem3  40729  jm2.19lem4  40730  jm2.25  40737  inductionexd  41654  fzisoeu  42729  uzubioo  42995  wallispilem4  43499  etransclem44  43709  gbowgt5  45102  mogoldbb  45125  nnsum4primesevenALTV  45141  2zlidl  45380