Theorem zaddcld 12618

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12549	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369   + caddc 11047  ℤcz 12505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506

This theorem is referenced by:  zadd2cl  12622  qaddcl  12900  elincfzoext  13660  eluzgtdifelfzo  13664  fladdz  13763  seqshft2  13969  expaddzlem  14046  sqoddm1div8  14184  ccatass  14529  cshf1  14751  2cshw  14754  2cshwcshw  14767  fsumrev2  15724  isumshft  15781  divcnvshft  15797  addmulmodb  16211  dvds2ln  16235  sadadd3  16407  sadaddlem  16412  sadadd  16413  bezoutlem4  16488  lcmgcdlem  16552  divgcdcoprm0  16611  hashdvds  16721  pythagtriplem4  16766  pythagtriplem11  16772  pcaddlem  16835  gzmulcl  16885  4sqlem8  16892  4sqlem10  16894  4sqlem11  16902  4sqlem14  16905  4sqlem16  16907  prmgaplem7  17004  prmgaplem8  17005  gsumsgrpccat  18749  mulgdir  19020  mndodconglem  19455  pzriprnglem10  21432  pzriprng1ALT  21438  chfacfscmulfsupp  22779  chfacfpmmulfsupp  22783  ulmshftlem  26331  ulmshft  26332  dchrptlem2  27209  lgsqrlem2  27291  lgsquad2lem1  27328  2lgsoddprmlem2  27353  2sqlem4  27365  2sqlem8  27370  2sqmod  27380  crctcshwlkn0lem5  29794  numclwlk2lem2f  30356  ex-ind-dvds  30440  cshwrnid  32933  archirngz  33158  archiabllem2c  33164  zringfrac  33518  qqhghm  33971  qqhrhm  33972  fsum2dsub  34591  breprexplemc  34616  divcnvlin  35713  caushft  37748  lcmineqlem22  42031  posbezout  42081  2np3bcnp1  42125  sticksstones7  42133  sticksstones10  42136  aks6d1c6isolem1  42155  aks6d1c6isolem2  42156  bcle2d  42160  aks6d1c7lem1  42161  sumcubes  42294  flt4lem3  42629  pell1234qrmulcl  42836  jm2.18  42970  jm2.19lem3  42973  jm2.19lem4  42974  jm2.25  42981  inductionexd  44137  fzisoeu  45291  uzubioo  45556  wallispilem4  46059  etransclem44  46269  evenwodadd  46879  submodaddmod  47335  zplusmodne  47337  gbowgt5  47756  mogoldbb  47779  nnsum4primesevenALTV  47795  gpgiedgdmellem  48030  gpgvtx1  48038  pgnbgreunbgrlem2lem1  48097  pgnbgreunbgrlem2lem3  48099  2zlidl  48221