Theorem zaddcld 12604

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12535	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360   + caddc 11033  ℤcz 12492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-n0 12406  df-z 12493

This theorem is referenced by:  zadd2cl  12608  qaddcl  12882  elincfzoext  13643  eluzgtdifelfzo  13647  fladdz  13749  seqshft2  13955  expaddzlem  14032  sqoddm1div8  14170  ccatass  14516  cshf1  14737  2cshw  14740  2cshwcshw  14752  fsumrev2  15709  isumshft  15766  divcnvshft  15782  addmulmodb  16196  dvds2ln  16220  sadadd3  16392  sadaddlem  16397  sadadd  16398  bezoutlem4  16473  lcmgcdlem  16537  divgcdcoprm0  16596  hashdvds  16706  pythagtriplem4  16751  pythagtriplem11  16757  pcaddlem  16820  gzmulcl  16870  4sqlem8  16877  4sqlem10  16879  4sqlem11  16887  4sqlem14  16890  4sqlem16  16892  prmgaplem7  16989  prmgaplem8  16990  chnccat  18553  gsumsgrpccat  18769  mulgdir  19040  mndodconglem  19474  pzriprnglem10  21449  pzriprng1ALT  21455  chfacfscmulfsupp  22807  chfacfpmmulfsupp  22811  ulmshftlem  26358  ulmshft  26359  dchrptlem2  27236  lgsqrlem2  27318  lgsquad2lem1  27355  2lgsoddprmlem2  27380  2sqlem4  27392  2sqlem8  27397  2sqmod  27407  crctcshwlkn0lem5  29891  numclwlk2lem2f  30456  ex-ind-dvds  30540  cshwrnid  33045  archirngz  33273  archiabllem2c  33279  zringfrac  33637  qqhghm  34147  qqhrhm  34148  fsum2dsub  34766  breprexplemc  34791  divcnvlin  35929  caushft  37964  lcmineqlem22  42372  posbezout  42422  2np3bcnp1  42466  sticksstones7  42474  sticksstones10  42477  aks6d1c6isolem1  42496  aks6d1c6isolem2  42497  bcle2d  42501  aks6d1c7lem1  42502  sumcubes  42635  flt4lem3  42958  pell1234qrmulcl  43164  jm2.18  43297  jm2.19lem3  43300  jm2.19lem4  43301  jm2.25  43308  inductionexd  44463  fzisoeu  45615  uzubioo  45878  wallispilem4  46379  etransclem44  46589  evenwodadd  47198  submodaddmod  47654  zplusmodne  47656  gbowgt5  48075  mogoldbb  48098  nnsum4primesevenALTV  48114  gpgiedgdmellem  48359  gpgvtx1  48367  pgnbgreunbgrlem2lem1  48427  pgnbgreunbgrlem2lem3  48429  2zlidl  48553