Theorem zaddcld 12642

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12573	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387   + caddc 11071  ℤcz 12529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530

This theorem is referenced by:  zadd2cl  12646  qaddcl  12924  elincfzoext  13684  eluzgtdifelfzo  13688  fladdz  13787  seqshft2  13993  expaddzlem  14070  sqoddm1div8  14208  ccatass  14553  cshf1  14775  2cshw  14778  2cshwcshw  14791  fsumrev2  15748  isumshft  15805  divcnvshft  15821  addmulmodb  16235  dvds2ln  16259  sadadd3  16431  sadaddlem  16436  sadadd  16437  bezoutlem4  16512  lcmgcdlem  16576  divgcdcoprm0  16635  hashdvds  16745  pythagtriplem4  16790  pythagtriplem11  16796  pcaddlem  16859  gzmulcl  16909  4sqlem8  16916  4sqlem10  16918  4sqlem11  16926  4sqlem14  16929  4sqlem16  16931  prmgaplem7  17028  prmgaplem8  17029  gsumsgrpccat  18767  mulgdir  19038  mndodconglem  19471  pzriprnglem10  21400  pzriprng1ALT  21406  chfacfscmulfsupp  22746  chfacfpmmulfsupp  22750  ulmshftlem  26298  ulmshft  26299  dchrptlem2  27176  lgsqrlem2  27258  lgsquad2lem1  27295  2lgsoddprmlem2  27320  2sqlem4  27332  2sqlem8  27337  2sqmod  27347  crctcshwlkn0lem5  29744  numclwlk2lem2f  30306  ex-ind-dvds  30390  cshwrnid  32883  archirngz  33143  archiabllem2c  33149  zringfrac  33525  qqhghm  33978  qqhrhm  33979  fsum2dsub  34598  breprexplemc  34623  divcnvlin  35720  caushft  37755  lcmineqlem22  42038  posbezout  42088  2np3bcnp1  42132  sticksstones7  42140  sticksstones10  42143  aks6d1c6isolem1  42162  aks6d1c6isolem2  42163  bcle2d  42167  aks6d1c7lem1  42168  sumcubes  42301  flt4lem3  42636  pell1234qrmulcl  42843  jm2.18  42977  jm2.19lem3  42980  jm2.19lem4  42981  jm2.25  42988  inductionexd  44144  fzisoeu  45298  uzubioo  45563  wallispilem4  46066  etransclem44  46276  evenwodadd  46886  submodaddmod  47342  zplusmodne  47344  gbowgt5  47763  mogoldbb  47786  nnsum4primesevenALTV  47802  gpgiedgdmellem  48037  gpgvtx1  48045  pgnbgreunbgrlem2lem1  48104  pgnbgreunbgrlem2lem3  48106  2zlidl  48228