Theorem zaddcld 12751

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12683	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448   + caddc 11187  ℤcz 12639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640

This theorem is referenced by:  zadd2cl  12755  qaddcl  13030  elincfzoext  13774  eluzgtdifelfzo  13778  fladdz  13876  seqshft2  14079  expaddzlem  14156  sqoddm1div8  14292  ccatass  14636  cshf1  14858  2cshw  14861  2cshwcshw  14874  fsumrev2  15830  isumshft  15887  divcnvshft  15903  dvds2ln  16337  sadadd3  16507  sadaddlem  16512  sadadd  16513  bezoutlem4  16589  lcmgcdlem  16653  divgcdcoprm0  16712  hashdvds  16822  pythagtriplem4  16866  pythagtriplem11  16872  pcaddlem  16935  gzmulcl  16985  4sqlem8  16992  4sqlem10  16994  4sqlem11  17002  4sqlem14  17005  4sqlem16  17007  prmgaplem7  17104  prmgaplem8  17105  gsumsgrpccat  18875  mulgdir  19146  mndodconglem  19583  pzriprnglem10  21524  pzriprng1ALT  21530  chfacfscmulfsupp  22886  chfacfpmmulfsupp  22890  ulmshftlem  26450  ulmshft  26451  dchrptlem2  27327  lgsqrlem2  27409  lgsquad2lem1  27446  2lgsoddprmlem2  27471  2sqlem4  27483  2sqlem8  27488  2sqmod  27498  crctcshwlkn0lem5  29847  numclwlk2lem2f  30409  ex-ind-dvds  30493  cshwrnid  32928  archirngz  33169  archiabllem2c  33175  zringfrac  33547  qqhghm  33934  qqhrhm  33935  fsum2dsub  34584  breprexplemc  34609  divcnvlin  35695  caushft  37721  lcmineqlem22  42007  posbezout  42057  2np3bcnp1  42101  sticksstones7  42109  sticksstones10  42112  aks6d1c6isolem1  42131  aks6d1c6isolem2  42132  bcle2d  42136  aks6d1c7lem1  42137  metakunt19  42180  metakunt21  42182  metakunt22  42183  metakunt25  42186  metakunt27  42188  metakunt29  42190  metakunt30  42191  metakunt32  42193  metakunt33  42194  prodsplit  42197  sumcubes  42301  flt4lem3  42603  pell1234qrmulcl  42811  jm2.18  42945  jm2.19lem3  42948  jm2.19lem4  42949  jm2.25  42956  inductionexd  44117  fzisoeu  45215  uzubioo  45485  wallispilem4  45989  etransclem44  46199  gbowgt5  47636  mogoldbb  47659  nnsum4primesevenALTV  47675  2zlidl  47963