Theorem zaddcld 11945

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 11876	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2081  (class class class)co 7021   + caddc 10391  ℤcz 11834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-er 8144  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-nn 11492  df-n0 11751  df-z 11835

This theorem is referenced by:  zadd2cl  11949  qaddcl  12219  elincfzoext  12950  eluzgtdifelfzo  12954  fladdz  13050  seqshft2  13251  expaddzlem  13327  sqoddm1div8  13459  ccatass  13791  lswccatn0lsw  13794  cshf1  14013  2cshw  14016  2cshwcshw  14028  fsumrev2  14975  isumshft  15032  divcnvshft  15048  dvds2ln  15480  sadadd3  15648  sadaddlem  15653  sadadd  15654  bezoutlem4  15724  lcmgcdlem  15784  divgcdcoprm0  15843  hashdvds  15946  pythagtriplem4  15990  pythagtriplem11  15996  pcaddlem  16058  gzmulcl  16108  4sqlem8  16115  4sqlem10  16117  4sqlem11  16125  4sqlem14  16128  4sqlem16  16130  prmgaplem7  16227  prmgaplem8  16228  gsumccat  17822  mulgdir  18018  mndodconglem  18405  chfacfscmulfsupp  21156  chfacfpmmulfsupp  21160  ulmshftlem  24665  ulmshft  24666  dchrptlem2  25528  lgsqrlem2  25610  lgsquad2lem1  25647  2lgsoddprmlem2  25672  2sqlem4  25684  2sqlem8  25689  2sqmod  25699  crctcshwlkn0lem5  27284  numclwlk2lem2f  27853  ex-ind-dvds  27937  cshwrnid  30314  archirngz  30461  archiabllem2c  30467  qqhghm  30851  qqhrhm  30852  fsum2dsub  31500  breprexplemc  31525  divcnvlin  32579  caushft  34594  pell1234qrmulcl  38963  jm2.18  39096  jm2.19lem3  39099  jm2.19lem4  39100  jm2.25  39107  inductionexd  40016  fzisoeu  41134  uzubioo  41411  wallispilem4  41922  etransclem44  42132  gbowgt5  43436  mogoldbb  43459  nnsum4primesevenALTV  43475  2zlidl  43710