Theorem zaddcld 12637

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12567	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367   + caddc 11041  ℤcz 12524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525

This theorem is referenced by:  zadd2cl  12641  qaddcl  12915  elincfzoext  13678  eluzgtdifelfzo  13682  fladdz  13784  seqshft2  13990  expaddzlem  14067  sqoddm1div8  14205  ccatass  14551  cshf1  14772  2cshw  14775  2cshwcshw  14787  fsumrev2  15744  isumshft  15804  divcnvshft  15820  addmulmodb  16234  dvds2ln  16258  sadadd3  16430  sadaddlem  16435  sadadd  16436  bezoutlem4  16511  lcmgcdlem  16575  divgcdcoprm0  16634  hashdvds  16745  pythagtriplem4  16790  pythagtriplem11  16796  pcaddlem  16859  gzmulcl  16909  4sqlem8  16916  4sqlem10  16918  4sqlem11  16926  4sqlem14  16929  4sqlem16  16931  prmgaplem7  17028  prmgaplem8  17029  chnccat  18592  gsumsgrpccat  18808  mulgdir  19082  mndodconglem  19516  pzriprnglem10  21470  pzriprng1ALT  21476  chfacfscmulfsupp  22824  chfacfpmmulfsupp  22828  ulmshftlem  26354  ulmshft  26355  dchrptlem2  27228  lgsqrlem2  27310  lgsquad2lem1  27347  2lgsoddprmlem2  27372  2sqlem4  27384  2sqlem8  27389  2sqmod  27399  crctcshwlkn0lem5  29882  numclwlk2lem2f  30447  ex-ind-dvds  30531  cshwrnid  33021  archirngz  33250  archiabllem2c  33256  zringfrac  33614  qqhghm  34132  qqhrhm  34133  fsum2dsub  34751  breprexplemc  34776  divcnvlin  35915  caushft  38082  lcmineqlem22  42489  posbezout  42539  2np3bcnp1  42583  sticksstones7  42591  sticksstones10  42594  aks6d1c6isolem1  42613  aks6d1c6isolem2  42614  bcle2d  42618  aks6d1c7lem1  42619  sumcubes  42745  flt4lem3  43081  pell1234qrmulcl  43283  jm2.18  43416  jm2.19lem3  43419  jm2.19lem4  43420  jm2.25  43427  inductionexd  44582  fzisoeu  45733  uzubioo  45995  wallispilem4  46496  etransclem44  46706  evenwodadd  47317  submodaddmod  47795  zplusmodne  47797  gbowgt5  48238  mogoldbb  48261  nnsum4primesevenALTV  48277  gpgiedgdmellem  48522  gpgvtx1  48530  pgnbgreunbgrlem2lem1  48590  pgnbgreunbgrlem2lem3  48592  2zlidl  48716