Theorem zaddcld 12807

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12736	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7420   + caddc 11203  ℤcz 12693

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694

This theorem is used by:  zadd2cl  12811  qaddcl  13093  elincfzoext  13858  eluzgtdifelfzo  13862  fladdz  13965  seqshft2  14171  expaddzlem  14248  sqoddm1div8  14387  ccatass  14734  cshf1  14961  2cshw  14964  2cshwcshw  14976  fsumrev2  15948  isumshft  16008  divcnvshft  16024  addmulmodb  16435  dvds2ln  16459  sadadd3  16631  sadaddlem  16636  sadadd  16637  bezoutlem4  16715  lcmgcdlem  16781  divgcdcoprm0  16840  hashdvds  16952  pythagtriplem4  16997  pythagtriplem11  17003  pcaddlem  17066  gzmulcl  17116  4sqlem8  17123  4sqlem10  17125  4sqlem11  17133  4sqlem14  17136  4sqlem16  17138  prmgaplem7  17235  prmgaplem8  17236  chnccat  18800  gsumsgrpccat  19036  mulgdir  19316  mndodconglem  19755  pzriprnglem10  21796  pzriprng1ALT  21802  chfacfscmulfsupp  23177  chfacfpmmulfsupp  23181  ulmshftlem  26716  ulmshft  26717  dchrptlem2  27592  lgsqrlem2  27674  lgsquad2lem1  27711  2lgsoddprmlem2  27736  2sqlem4  27748  2sqlem8  27753  2sqmod  27763  flt4lem3  27978  crctcshwlkn0lem5  30403  numclwlk2lem2f  30978  ex-ind-dvds  31062  cshwrnid  33522  archirngz  33750  archiabllem2c  33756  zringfrac  34086  qqhghm  34620  qqhrhm  34621  fsum2dsub  35236  breprexplemc  35261  divcnvlin  36498  caushft  38695  lcmineqlem22  43100  posbezout  43150  2np3bcnp1  43194  sticksstones7  43202  sticksstones10  43205  aks6d1c6isolem1  43224  aks6d1c6isolem2  43225  bcle2d  43229  aks6d1c7lem1  43230  sumcubes  43370  pell1234qrmulcl  43861  jm2.18  43994  jm2.19lem3  43997  jm2.19lem4  43998  jm2.25  44005  inductionexd  45154  fzisoeu  46315  uzubioo  46576  wallispilem4  47077  etransclem44  47287  evenwodadd  47910  submodaddmod  48416  zplusmodne  48418  gbowgt5  48859  mogoldbb  48882  nnsum4primesevenALTV  48898  gpgiedgdmellem  49143  gpgvtx1  49151  pgnbgreunbgrlem2lem1  49211  pgnbgreunbgrlem2lem3  49213  2zlidl  49336