Theorem zaddcld 12724

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12653	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419   + caddc 11122  ℤcz 12610

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-n0 12524  df-z 12611

This theorem is used by:  zadd2cl  12728  qaddcl  13009  elincfzoext  13773  eluzgtdifelfzo  13777  fladdz  13880  seqshft2  14086  expaddzlem  14163  sqoddm1div8  14301  ccatass  14648  cshf1  14875  2cshw  14878  2cshwcshw  14890  fsumrev2  15860  isumshft  15920  divcnvshft  15936  addmulmodb  16349  dvds2ln  16373  sadadd3  16545  sadaddlem  16550  sadadd  16551  bezoutlem4  16626  lcmgcdlem  16690  divgcdcoprm0  16749  hashdvds  16860  pythagtriplem4  16905  pythagtriplem11  16911  pcaddlem  16974  gzmulcl  17024  4sqlem8  17031  4sqlem10  17033  4sqlem11  17041  4sqlem14  17044  4sqlem16  17046  prmgaplem7  17143  prmgaplem8  17144  chnccat  18708  gsumsgrpccat  18940  mulgdir  19220  mndodconglem  19659  pzriprnglem10  21694  pzriprng1ALT  21700  chfacfscmulfsupp  23070  chfacfpmmulfsupp  23074  ulmshftlem  26607  ulmshft  26608  dchrptlem2  27484  lgsqrlem2  27566  lgsquad2lem1  27603  2lgsoddprmlem2  27628  2sqlem4  27640  2sqlem8  27645  2sqmod  27655  crctcshwlkn0lem5  30234  numclwlk2lem2f  30803  ex-ind-dvds  30887  cshwrnid  33349  archirngz  33577  archiabllem2c  33583  zringfrac  33912  qqhghm  34446  qqhrhm  34447  fsum2dsub  35063  breprexplemc  35088  divcnvlin  36266  caushft  38474  lcmineqlem22  42879  posbezout  42929  2np3bcnp1  42973  sticksstones7  42981  sticksstones10  42984  aks6d1c6isolem1  43003  aks6d1c6isolem2  43004  bcle2d  43008  aks6d1c7lem1  43009  sumcubes  43151  flt4lem3  43457  pell1234qrmulcl  43659  jm2.18  43792  jm2.19lem3  43795  jm2.19lem4  43796  jm2.25  43803  inductionexd  44958  fzisoeu  46096  uzubioo  46358  wallispilem4  46859  etransclem44  47069  evenwodadd  47679  submodaddmod  48161  zplusmodne  48163  gbowgt5  48604  mogoldbb  48627  nnsum4primesevenALTV  48643  gpgiedgdmellem  48888  gpgvtx1  48896  pgnbgreunbgrlem2lem1  48956  pgnbgreunbgrlem2lem3  48958  2zlidl  49081