Theorem zaddcld 12649

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12580	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390   + caddc 11078  ℤcz 12536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537

This theorem is referenced by:  zadd2cl  12653  qaddcl  12931  elincfzoext  13691  eluzgtdifelfzo  13695  fladdz  13794  seqshft2  14000  expaddzlem  14077  sqoddm1div8  14215  ccatass  14560  cshf1  14782  2cshw  14785  2cshwcshw  14798  fsumrev2  15755  isumshft  15812  divcnvshft  15828  addmulmodb  16242  dvds2ln  16266  sadadd3  16438  sadaddlem  16443  sadadd  16444  bezoutlem4  16519  lcmgcdlem  16583  divgcdcoprm0  16642  hashdvds  16752  pythagtriplem4  16797  pythagtriplem11  16803  pcaddlem  16866  gzmulcl  16916  4sqlem8  16923  4sqlem10  16925  4sqlem11  16933  4sqlem14  16936  4sqlem16  16938  prmgaplem7  17035  prmgaplem8  17036  gsumsgrpccat  18774  mulgdir  19045  mndodconglem  19478  pzriprnglem10  21407  pzriprng1ALT  21413  chfacfscmulfsupp  22753  chfacfpmmulfsupp  22757  ulmshftlem  26305  ulmshft  26306  dchrptlem2  27183  lgsqrlem2  27265  lgsquad2lem1  27302  2lgsoddprmlem2  27327  2sqlem4  27339  2sqlem8  27344  2sqmod  27354  crctcshwlkn0lem5  29751  numclwlk2lem2f  30313  ex-ind-dvds  30397  cshwrnid  32890  archirngz  33150  archiabllem2c  33156  zringfrac  33532  qqhghm  33985  qqhrhm  33986  fsum2dsub  34605  breprexplemc  34630  divcnvlin  35727  caushft  37762  lcmineqlem22  42045  posbezout  42095  2np3bcnp1  42139  sticksstones7  42147  sticksstones10  42150  aks6d1c6isolem1  42169  aks6d1c6isolem2  42170  bcle2d  42174  aks6d1c7lem1  42175  sumcubes  42308  flt4lem3  42643  pell1234qrmulcl  42850  jm2.18  42984  jm2.19lem3  42987  jm2.19lem4  42988  jm2.25  42995  inductionexd  44151  fzisoeu  45305  uzubioo  45570  wallispilem4  46073  etransclem44  46283  evenwodadd  46893  submodaddmod  47346  zplusmodne  47348  gbowgt5  47767  mogoldbb  47790  nnsum4primesevenALTV  47806  gpgiedgdmellem  48041  gpgvtx1  48049  pgnbgreunbgrlem2lem1  48108  pgnbgreunbgrlem2lem3  48110  2zlidl  48232