Theorem zaddcld 12251

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12182	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2112  (class class class)co 7191   + caddc 10697  ℤcz 12141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-n0 12056  df-z 12142

This theorem is referenced by:  zadd2cl  12255  qaddcl  12526  elincfzoext  13265  eluzgtdifelfzo  13269  fladdz  13365  seqshft2  13567  expaddzlem  13643  sqoddm1div8  13775  ccatass  14110  cshf1  14340  2cshw  14343  2cshwcshw  14355  fsumrev2  15309  isumshft  15366  divcnvshft  15382  dvds2ln  15813  sadadd3  15983  sadaddlem  15988  sadadd  15989  bezoutlem4  16065  lcmgcdlem  16126  divgcdcoprm0  16185  hashdvds  16291  pythagtriplem4  16335  pythagtriplem11  16341  pcaddlem  16404  gzmulcl  16454  4sqlem8  16461  4sqlem10  16463  4sqlem11  16471  4sqlem14  16474  4sqlem16  16476  prmgaplem7  16573  prmgaplem8  16574  gsumsgrpccat  18220  gsumccatOLD  18221  mulgdir  18477  mndodconglem  18887  chfacfscmulfsupp  21710  chfacfpmmulfsupp  21714  ulmshftlem  25235  ulmshft  25236  dchrptlem2  26100  lgsqrlem2  26182  lgsquad2lem1  26219  2lgsoddprmlem2  26244  2sqlem4  26256  2sqlem8  26261  2sqmod  26271  crctcshwlkn0lem5  27852  numclwlk2lem2f  28414  ex-ind-dvds  28498  cshwrnid  30907  archirngz  31116  archiabllem2c  31122  qqhghm  31604  qqhrhm  31605  fsum2dsub  32253  breprexplemc  32278  divcnvlin  33367  caushft  35605  lcmineqlem22  39741  2np3bcnp1  39769  sticksstones7  39777  sticksstones10  39780  metakunt19  39806  metakunt21  39808  metakunt22  39809  metakunt25  39812  metakunt27  39814  metakunt29  39816  metakunt30  39817  metakunt32  39819  metakunt33  39820  prodsplit  39824  flt4lem3  40129  pell1234qrmulcl  40321  jm2.18  40454  jm2.19lem3  40457  jm2.19lem4  40458  jm2.25  40465  inductionexd  41383  fzisoeu  42453  uzubioo  42721  wallispilem4  43227  etransclem44  43437  gbowgt5  44830  mogoldbb  44853  nnsum4primesevenALTV  44869  2zlidl  45108