Theorem zaddcld 12671

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12603	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7404   + caddc 11112  ℤcz 12559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560

This theorem is referenced by:  zadd2cl  12675  qaddcl  12950  elincfzoext  13693  eluzgtdifelfzo  13697  fladdz  13793  seqshft2  13996  expaddzlem  14073  sqoddm1div8  14208  ccatass  14541  cshf1  14763  2cshw  14766  2cshwcshw  14779  fsumrev2  15731  isumshft  15788  divcnvshft  15804  dvds2ln  16236  sadadd3  16406  sadaddlem  16411  sadadd  16412  bezoutlem4  16488  lcmgcdlem  16547  divgcdcoprm0  16606  hashdvds  16714  pythagtriplem4  16758  pythagtriplem11  16764  pcaddlem  16827  gzmulcl  16877  4sqlem8  16884  4sqlem10  16886  4sqlem11  16894  4sqlem14  16897  4sqlem16  16899  prmgaplem7  16996  prmgaplem8  16997  gsumsgrpccat  18762  mulgdir  19030  mndodconglem  19458  pzriprnglem10  21372  pzriprng1ALT  21378  chfacfscmulfsupp  22711  chfacfpmmulfsupp  22715  ulmshftlem  26275  ulmshft  26276  dchrptlem2  27148  lgsqrlem2  27230  lgsquad2lem1  27267  2lgsoddprmlem2  27292  2sqlem4  27304  2sqlem8  27309  2sqmod  27319  crctcshwlkn0lem5  29572  numclwlk2lem2f  30134  ex-ind-dvds  30218  cshwrnid  32627  archirngz  32838  archiabllem2c  32844  qqhghm  33497  qqhrhm  33498  fsum2dsub  34147  breprexplemc  34172  divcnvlin  35235  caushft  37141  lcmineqlem22  41430  posbezout  41479  2np3bcnp1  41503  sticksstones7  41511  sticksstones10  41514  metakunt19  41546  metakunt21  41548  metakunt22  41549  metakunt25  41552  metakunt27  41554  metakunt29  41556  metakunt30  41557  metakunt32  41559  metakunt33  41560  prodsplit  41564  sumcubes  41751  flt4lem3  41950  pell1234qrmulcl  42153  jm2.18  42287  jm2.19lem3  42290  jm2.19lem4  42291  jm2.25  42298  inductionexd  43464  fzisoeu  44564  uzubioo  44834  wallispilem4  45338  etransclem44  45548  gbowgt5  46984  mogoldbb  47007  nnsum4primesevenALTV  47023  2zlidl  47172