Theorem zaddcld 12614

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12545	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7370   + caddc 11043  ℤcz 12502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503

This theorem is referenced by:  zadd2cl  12618  qaddcl  12892  elincfzoext  13653  eluzgtdifelfzo  13657  fladdz  13759  seqshft2  13965  expaddzlem  14042  sqoddm1div8  14180  ccatass  14526  cshf1  14747  2cshw  14750  2cshwcshw  14762  fsumrev2  15719  isumshft  15776  divcnvshft  15792  addmulmodb  16206  dvds2ln  16230  sadadd3  16402  sadaddlem  16407  sadadd  16408  bezoutlem4  16483  lcmgcdlem  16547  divgcdcoprm0  16606  hashdvds  16716  pythagtriplem4  16761  pythagtriplem11  16767  pcaddlem  16830  gzmulcl  16880  4sqlem8  16887  4sqlem10  16889  4sqlem11  16897  4sqlem14  16900  4sqlem16  16902  prmgaplem7  16999  prmgaplem8  17000  chnccat  18563  gsumsgrpccat  18779  mulgdir  19053  mndodconglem  19487  pzriprnglem10  21462  pzriprng1ALT  21468  chfacfscmulfsupp  22820  chfacfpmmulfsupp  22824  ulmshftlem  26371  ulmshft  26372  dchrptlem2  27249  lgsqrlem2  27331  lgsquad2lem1  27368  2lgsoddprmlem2  27393  2sqlem4  27405  2sqlem8  27410  2sqmod  27420  crctcshwlkn0lem5  29905  numclwlk2lem2f  30470  ex-ind-dvds  30554  cshwrnid  33060  archirngz  33289  archiabllem2c  33295  zringfrac  33653  qqhghm  34172  qqhrhm  34173  fsum2dsub  34791  breprexplemc  34816  divcnvlin  35955  caushft  38041  lcmineqlem22  42449  posbezout  42499  2np3bcnp1  42543  sticksstones7  42551  sticksstones10  42554  aks6d1c6isolem1  42573  aks6d1c6isolem2  42574  bcle2d  42578  aks6d1c7lem1  42579  sumcubes  42712  flt4lem3  43035  pell1234qrmulcl  43241  jm2.18  43374  jm2.19lem3  43377  jm2.19lem4  43378  jm2.25  43385  inductionexd  44540  fzisoeu  45691  uzubioo  45954  wallispilem4  46455  etransclem44  46665  evenwodadd  47274  submodaddmod  47730  zplusmodne  47732  gbowgt5  48151  mogoldbb  48174  nnsum4primesevenALTV  48190  gpgiedgdmellem  48435  gpgvtx1  48443  pgnbgreunbgrlem2lem1  48503  pgnbgreunbgrlem2lem3  48505  2zlidl  48629