Theorem zaddcld 12723

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12654	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430   + caddc 11155  ℤcz 12610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611

This theorem is referenced by:  zadd2cl  12727  qaddcl  13004  elincfzoext  13758  eluzgtdifelfzo  13762  fladdz  13861  seqshft2  14065  expaddzlem  14142  sqoddm1div8  14278  ccatass  14622  cshf1  14844  2cshw  14847  2cshwcshw  14860  fsumrev2  15814  isumshft  15871  divcnvshft  15887  addmulmodb  16299  dvds2ln  16322  sadadd3  16494  sadaddlem  16499  sadadd  16500  bezoutlem4  16575  lcmgcdlem  16639  divgcdcoprm0  16698  hashdvds  16808  pythagtriplem4  16852  pythagtriplem11  16858  pcaddlem  16921  gzmulcl  16971  4sqlem8  16978  4sqlem10  16980  4sqlem11  16988  4sqlem14  16991  4sqlem16  16993  prmgaplem7  17090  prmgaplem8  17091  gsumsgrpccat  18865  mulgdir  19136  mndodconglem  19573  pzriprnglem10  21518  pzriprng1ALT  21524  chfacfscmulfsupp  22880  chfacfpmmulfsupp  22884  ulmshftlem  26446  ulmshft  26447  dchrptlem2  27323  lgsqrlem2  27405  lgsquad2lem1  27442  2lgsoddprmlem2  27467  2sqlem4  27479  2sqlem8  27484  2sqmod  27494  crctcshwlkn0lem5  29843  numclwlk2lem2f  30405  ex-ind-dvds  30489  cshwrnid  32930  archirngz  33178  archiabllem2c  33184  zringfrac  33561  qqhghm  33950  qqhrhm  33951  fsum2dsub  34600  breprexplemc  34625  divcnvlin  35712  caushft  37747  lcmineqlem22  42031  posbezout  42081  2np3bcnp1  42125  sticksstones7  42133  sticksstones10  42136  aks6d1c6isolem1  42155  aks6d1c6isolem2  42156  bcle2d  42160  aks6d1c7lem1  42161  metakunt19  42204  metakunt21  42206  metakunt22  42207  metakunt25  42210  metakunt27  42212  metakunt29  42214  metakunt30  42215  metakunt32  42217  metakunt33  42218  prodsplit  42221  sumcubes  42325  flt4lem3  42634  pell1234qrmulcl  42842  jm2.18  42976  jm2.19lem3  42979  jm2.19lem4  42980  jm2.25  42987  inductionexd  44144  fzisoeu  45250  uzubioo  45519  wallispilem4  46023  etransclem44  46233  submodaddmod  47280  zplusmodne  47282  gbowgt5  47686  mogoldbb  47709  nnsum4primesevenALTV  47725  gpgedgel  47942  gpgvtx1  47944  2zlidl  48083