Theorem zaddcld 12683

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12613	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7398   + caddc 11078  ℤcz 12570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-n0 12484  df-z 12571

This theorem is referenced by:  zadd2cl  12687  qaddcl  12968  elincfzoext  13731  eluzgtdifelfzo  13735  fladdz  13837  seqshft2  14043  expaddzlem  14120  sqoddm1div8  14258  ccatass  14604  cshf1  14825  2cshw  14828  2cshwcshw  14840  fsumrev2  15811  isumshft  15871  divcnvshft  15887  addmulmodb  16301  dvds2ln  16325  sadadd3  16497  sadaddlem  16502  sadadd  16503  bezoutlem4  16578  lcmgcdlem  16642  divgcdcoprm0  16701  hashdvds  16812  pythagtriplem4  16857  pythagtriplem11  16863  pcaddlem  16926  gzmulcl  16976  4sqlem8  16983  4sqlem10  16985  4sqlem11  16993  4sqlem14  16996  4sqlem16  16998  prmgaplem7  17095  prmgaplem8  17096  chnccat  18660  gsumsgrpccat  18876  mulgdir  19150  mndodconglem  19583  pzriprnglem10  21544  pzriprng1ALT  21550  chfacfscmulfsupp  22921  chfacfpmmulfsupp  22925  ulmshftlem  26454  ulmshft  26455  dchrptlem2  27331  lgsqrlem2  27413  lgsquad2lem1  27450  2lgsoddprmlem2  27475  2sqlem4  27487  2sqlem8  27492  2sqmod  27502  crctcshwlkn0lem5  30016  numclwlk2lem2f  30581  ex-ind-dvds  30665  cshwrnid  33141  archirngz  33371  archiabllem2c  33377  zringfrac  33752  qqhghm  34287  qqhrhm  34288  fsum2dsub  34903  breprexplemc  34928  divcnvlin  36088  caushft  38265  lcmineqlem22  42672  posbezout  42722  2np3bcnp1  42766  sticksstones7  42774  sticksstones10  42777  aks6d1c6isolem1  42796  aks6d1c6isolem2  42797  bcle2d  42801  aks6d1c7lem1  42802  sumcubes  42927  flt4lem3  43235  pell1234qrmulcl  43437  jm2.18  43570  jm2.19lem3  43573  jm2.19lem4  43574  jm2.25  43581  inductionexd  44736  fzisoeu  45884  uzubioo  46146  wallispilem4  46647  etransclem44  46857  evenwodadd  47468  submodaddmod  47946  zplusmodne  47948  gbowgt5  48389  mogoldbb  48412  nnsum4primesevenALTV  48428  gpgiedgdmellem  48673  gpgvtx1  48681  pgnbgreunbgrlem2lem1  48741  pgnbgreunbgrlem2lem3  48743  2zlidl  48867