Theorem zaddcld 12708

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12638	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410   + caddc 11107  ℤcz 12595

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-n0 12509  df-z 12596

This theorem is used by:  zadd2cl  12712  qaddcl  12993  elincfzoext  13757  eluzgtdifelfzo  13761  fladdz  13863  seqshft2  14069  expaddzlem  14146  sqoddm1div8  14284  ccatass  14631  cshf1  14852  2cshw  14855  2cshwcshw  14867  fsumrev2  15838  isumshft  15898  divcnvshft  15914  addmulmodb  16327  dvds2ln  16351  sadadd3  16523  sadaddlem  16528  sadadd  16529  bezoutlem4  16604  lcmgcdlem  16668  divgcdcoprm0  16727  hashdvds  16838  pythagtriplem4  16883  pythagtriplem11  16889  pcaddlem  16952  gzmulcl  17002  4sqlem8  17009  4sqlem10  17011  4sqlem11  17019  4sqlem14  17022  4sqlem16  17024  prmgaplem7  17121  prmgaplem8  17122  chnccat  18686  gsumsgrpccat  18903  mulgdir  19176  mndodconglem  19615  pzriprnglem10  21649  pzriprng1ALT  21655  chfacfscmulfsupp  23025  chfacfpmmulfsupp  23029  ulmshftlem  26561  ulmshft  26562  dchrptlem2  27438  lgsqrlem2  27520  lgsquad2lem1  27557  2lgsoddprmlem2  27582  2sqlem4  27594  2sqlem8  27599  2sqmod  27609  crctcshwlkn0lem5  30172  numclwlk2lem2f  30737  ex-ind-dvds  30821  cshwrnid  33290  archirngz  33518  archiabllem2c  33524  zringfrac  33853  qqhghm  34387  qqhrhm  34388  fsum2dsub  35003  breprexplemc  35028  divcnvlin  36233  caushft  38440  lcmineqlem22  42845  posbezout  42895  2np3bcnp1  42939  sticksstones7  42947  sticksstones10  42950  aks6d1c6isolem1  42969  aks6d1c6isolem2  42970  bcle2d  42974  aks6d1c7lem1  42975  sumcubes  43102  flt4lem3  43408  pell1234qrmulcl  43610  jm2.18  43743  jm2.19lem3  43746  jm2.19lem4  43747  jm2.25  43754  inductionexd  44909  fzisoeu  46047  uzubioo  46309  wallispilem4  46810  etransclem44  47020  evenwodadd  47630  submodaddmod  48112  zplusmodne  48114  gbowgt5  48555  mogoldbb  48578  nnsum4primesevenALTV  48594  gpgiedgdmellem  48839  gpgvtx1  48847  pgnbgreunbgrlem2lem1  48907  pgnbgreunbgrlem2lem3  48909  2zlidl  49033