Theorem zaddcld 12704

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12634	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411   + caddc 11103  ℤcz 12591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592

This theorem is referenced by:  zadd2cl  12708  qaddcl  12989  elincfzoext  13752  eluzgtdifelfzo  13756  fladdz  13858  seqshft2  14064  expaddzlem  14141  sqoddm1div8  14279  ccatass  14626  cshf1  14847  2cshw  14850  2cshwcshw  14862  fsumrev2  15833  isumshft  15893  divcnvshft  15909  addmulmodb  16323  dvds2ln  16347  sadadd3  16519  sadaddlem  16524  sadadd  16525  bezoutlem4  16600  lcmgcdlem  16664  divgcdcoprm0  16723  hashdvds  16834  pythagtriplem4  16879  pythagtriplem11  16885  pcaddlem  16948  gzmulcl  16998  4sqlem8  17005  4sqlem10  17007  4sqlem11  17015  4sqlem14  17018  4sqlem16  17020  prmgaplem7  17117  prmgaplem8  17118  chnccat  18682  gsumsgrpccat  18899  mulgdir  19172  mndodconglem  19611  pzriprnglem10  21609  pzriprng1ALT  21615  chfacfscmulfsupp  22985  chfacfpmmulfsupp  22989  ulmshftlem  26518  ulmshft  26519  dchrptlem2  27395  lgsqrlem2  27477  lgsquad2lem1  27514  2lgsoddprmlem2  27539  2sqlem4  27551  2sqlem8  27556  2sqmod  27566  crctcshwlkn0lem5  30104  numclwlk2lem2f  30669  ex-ind-dvds  30753  cshwrnid  33222  archirngz  33450  archiabllem2c  33456  zringfrac  33789  qqhghm  34323  qqhrhm  34324  fsum2dsub  34939  breprexplemc  34964  divcnvlin  36158  caushft  38334  lcmineqlem22  42741  posbezout  42791  2np3bcnp1  42835  sticksstones7  42843  sticksstones10  42846  aks6d1c6isolem1  42865  aks6d1c6isolem2  42866  bcle2d  42870  aks6d1c7lem1  42871  sumcubes  42998  flt4lem3  43306  pell1234qrmulcl  43508  jm2.18  43641  jm2.19lem3  43644  jm2.19lem4  43645  jm2.25  43652  inductionexd  44807  fzisoeu  45945  uzubioo  46207  wallispilem4  46708  etransclem44  46918  evenwodadd  47529  submodaddmod  48007  zplusmodne  48009  gbowgt5  48450  mogoldbb  48473  nnsum4primesevenALTV  48489  gpgiedgdmellem  48734  gpgvtx1  48742  pgnbgreunbgrlem2lem1  48802  pgnbgreunbgrlem2lem3  48804  2zlidl  48928