Theorem zaddcld 12598

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12529	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7356   + caddc 11027  ℤcz 12486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487

This theorem is referenced by:  zadd2cl  12602  qaddcl  12876  elincfzoext  13637  eluzgtdifelfzo  13641  fladdz  13743  seqshft2  13949  expaddzlem  14026  sqoddm1div8  14164  ccatass  14510  cshf1  14731  2cshw  14734  2cshwcshw  14746  fsumrev2  15703  isumshft  15760  divcnvshft  15776  addmulmodb  16190  dvds2ln  16214  sadadd3  16386  sadaddlem  16391  sadadd  16392  bezoutlem4  16467  lcmgcdlem  16531  divgcdcoprm0  16590  hashdvds  16700  pythagtriplem4  16745  pythagtriplem11  16751  pcaddlem  16814  gzmulcl  16864  4sqlem8  16871  4sqlem10  16873  4sqlem11  16881  4sqlem14  16884  4sqlem16  16886  prmgaplem7  16983  prmgaplem8  16984  chnccat  18547  gsumsgrpccat  18763  mulgdir  19034  mndodconglem  19468  pzriprnglem10  21443  pzriprng1ALT  21449  chfacfscmulfsupp  22801  chfacfpmmulfsupp  22805  ulmshftlem  26352  ulmshft  26353  dchrptlem2  27230  lgsqrlem2  27312  lgsquad2lem1  27349  2lgsoddprmlem2  27374  2sqlem4  27386  2sqlem8  27391  2sqmod  27401  crctcshwlkn0lem5  29836  numclwlk2lem2f  30401  ex-ind-dvds  30485  cshwrnid  32992  archirngz  33220  archiabllem2c  33226  zringfrac  33584  qqhghm  34094  qqhrhm  34095  fsum2dsub  34713  breprexplemc  34738  divcnvlin  35876  caushft  37901  lcmineqlem22  42243  posbezout  42293  2np3bcnp1  42337  sticksstones7  42345  sticksstones10  42348  aks6d1c6isolem1  42367  aks6d1c6isolem2  42368  bcle2d  42372  aks6d1c7lem1  42373  sumcubes  42510  flt4lem3  42833  pell1234qrmulcl  43039  jm2.18  43172  jm2.19lem3  43175  jm2.19lem4  43176  jm2.25  43183  inductionexd  44338  fzisoeu  45490  uzubioo  45753  wallispilem4  46254  etransclem44  46464  evenwodadd  47073  submodaddmod  47529  zplusmodne  47531  gbowgt5  47950  mogoldbb  47973  nnsum4primesevenALTV  47989  gpgiedgdmellem  48234  gpgvtx1  48242  pgnbgreunbgrlem2lem1  48302  pgnbgreunbgrlem2lem3  48304  2zlidl  48428