Theorem zaddcld 12629

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12559	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 590	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7357   + caddc 11033  ℤcz 12516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-n0 12430  df-z 12517

This theorem is referenced by:  zadd2cl  12633  qaddcl  12907  elincfzoext  13670  eluzgtdifelfzo  13674  fladdz  13776  seqshft2  13982  expaddzlem  14059  sqoddm1div8  14197  ccatass  14543  cshf1  14764  2cshw  14767  2cshwcshw  14779  fsumrev2  15736  isumshft  15796  divcnvshft  15812  addmulmodb  16226  dvds2ln  16250  sadadd3  16422  sadaddlem  16427  sadadd  16428  bezoutlem4  16503  lcmgcdlem  16567  divgcdcoprm0  16626  hashdvds  16737  pythagtriplem4  16782  pythagtriplem11  16788  pcaddlem  16851  gzmulcl  16901  4sqlem8  16908  4sqlem10  16910  4sqlem11  16918  4sqlem14  16921  4sqlem16  16923  prmgaplem7  17020  prmgaplem8  17021  chnccat  18584  gsumsgrpccat  18800  mulgdir  19074  mndodconglem  19508  pzriprnglem10  21466  pzriprng1ALT  21472  chfacfscmulfsupp  22843  chfacfpmmulfsupp  22847  ulmshftlem  26373  ulmshft  26374  dchrptlem2  27247  lgsqrlem2  27329  lgsquad2lem1  27366  2lgsoddprmlem2  27391  2sqlem4  27403  2sqlem8  27408  2sqmod  27418  crctcshwlkn0lem5  29901  numclwlk2lem2f  30466  ex-ind-dvds  30550  cshwrnid  33041  archirngz  33271  archiabllem2c  33277  zringfrac  33646  qqhghm  34181  qqhrhm  34182  fsum2dsub  34800  breprexplemc  34825  divcnvlin  35970  caushft  38137  lcmineqlem22  42544  posbezout  42594  2np3bcnp1  42638  sticksstones7  42646  sticksstones10  42649  aks6d1c6isolem1  42668  aks6d1c6isolem2  42669  bcle2d  42673  aks6d1c7lem1  42674  sumcubes  42799  flt4lem3  43107  pell1234qrmulcl  43309  jm2.18  43442  jm2.19lem3  43445  jm2.19lem4  43446  jm2.25  43453  inductionexd  44608  fzisoeu  45756  uzubioo  46018  wallispilem4  46519  etransclem44  46729  evenwodadd  47340  submodaddmod  47818  zplusmodne  47820  gbowgt5  48261  mogoldbb  48284  nnsum4primesevenALTV  48300  gpgiedgdmellem  48545  gpgvtx1  48553  pgnbgreunbgrlem2lem1  48613  pgnbgreunbgrlem2lem3  48615  2zlidl  48739