Theorem zaddcld 12699

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12630	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7403   + caddc 11130  ℤcz 12586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-n0 12500  df-z 12587

This theorem is referenced by:  zadd2cl  12703  qaddcl  12979  elincfzoext  13737  eluzgtdifelfzo  13741  fladdz  13840  seqshft2  14044  expaddzlem  14121  sqoddm1div8  14259  ccatass  14604  cshf1  14826  2cshw  14829  2cshwcshw  14842  fsumrev2  15796  isumshft  15853  divcnvshft  15869  addmulmodb  16283  dvds2ln  16306  sadadd3  16478  sadaddlem  16483  sadadd  16484  bezoutlem4  16559  lcmgcdlem  16623  divgcdcoprm0  16682  hashdvds  16792  pythagtriplem4  16837  pythagtriplem11  16843  pcaddlem  16906  gzmulcl  16956  4sqlem8  16963  4sqlem10  16965  4sqlem11  16973  4sqlem14  16976  4sqlem16  16978  prmgaplem7  17075  prmgaplem8  17076  gsumsgrpccat  18816  mulgdir  19087  mndodconglem  19520  pzriprnglem10  21449  pzriprng1ALT  21455  chfacfscmulfsupp  22795  chfacfpmmulfsupp  22799  ulmshftlem  26348  ulmshft  26349  dchrptlem2  27226  lgsqrlem2  27308  lgsquad2lem1  27345  2lgsoddprmlem2  27370  2sqlem4  27382  2sqlem8  27387  2sqmod  27397  crctcshwlkn0lem5  29742  numclwlk2lem2f  30304  ex-ind-dvds  30388  cshwrnid  32883  archirngz  33133  archiabllem2c  33139  zringfrac  33515  qqhghm  33965  qqhrhm  33966  fsum2dsub  34585  breprexplemc  34610  divcnvlin  35696  caushft  37731  lcmineqlem22  42009  posbezout  42059  2np3bcnp1  42103  sticksstones7  42111  sticksstones10  42114  aks6d1c6isolem1  42133  aks6d1c6isolem2  42134  bcle2d  42138  aks6d1c7lem1  42139  metakunt19  42182  metakunt21  42184  metakunt22  42185  metakunt25  42188  metakunt27  42190  metakunt29  42192  metakunt30  42193  metakunt32  42195  metakunt33  42196  prodsplit  42199  sumcubes  42309  flt4lem3  42618  pell1234qrmulcl  42825  jm2.18  42959  jm2.19lem3  42962  jm2.19lem4  42963  jm2.25  42970  inductionexd  44126  fzisoeu  45277  uzubioo  45542  wallispilem4  46045  etransclem44  46255  evenwodadd  46865  submodaddmod  47318  zplusmodne  47320  gbowgt5  47724  mogoldbb  47747  nnsum4primesevenALTV  47763  gpgiedgdmellem  47998  gpgvtx1  48006  2zlidl  48163