Theorem zaddcld 12439

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12369	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7284   + caddc 10883  ℤcz 12328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-n0 12243  df-z 12329

This theorem is referenced by:  zadd2cl  12443  qaddcl  12714  elincfzoext  13454  eluzgtdifelfzo  13458  fladdz  13554  seqshft2  13758  expaddzlem  13835  sqoddm1div8  13967  ccatass  14302  cshf1  14532  2cshw  14535  2cshwcshw  14547  fsumrev2  15503  isumshft  15560  divcnvshft  15576  dvds2ln  16007  sadadd3  16177  sadaddlem  16182  sadadd  16183  bezoutlem4  16259  lcmgcdlem  16320  divgcdcoprm0  16379  hashdvds  16485  pythagtriplem4  16529  pythagtriplem11  16535  pcaddlem  16598  gzmulcl  16648  4sqlem8  16655  4sqlem10  16657  4sqlem11  16665  4sqlem14  16668  4sqlem16  16670  prmgaplem7  16767  prmgaplem8  16768  gsumsgrpccat  18487  gsumccatOLD  18488  mulgdir  18744  mndodconglem  19158  chfacfscmulfsupp  22017  chfacfpmmulfsupp  22021  ulmshftlem  25557  ulmshft  25558  dchrptlem2  26422  lgsqrlem2  26504  lgsquad2lem1  26541  2lgsoddprmlem2  26566  2sqlem4  26578  2sqlem8  26583  2sqmod  26593  crctcshwlkn0lem5  28188  numclwlk2lem2f  28750  ex-ind-dvds  28834  cshwrnid  31242  archirngz  31452  archiabllem2c  31458  qqhghm  31947  qqhrhm  31948  fsum2dsub  32596  breprexplemc  32621  divcnvlin  33707  caushft  35928  lcmineqlem22  40065  2np3bcnp1  40107  sticksstones7  40115  sticksstones10  40118  metakunt19  40150  metakunt21  40152  metakunt22  40153  metakunt25  40156  metakunt27  40158  metakunt29  40160  metakunt30  40161  metakunt32  40163  metakunt33  40164  prodsplit  40168  flt4lem3  40492  pell1234qrmulcl  40684  jm2.18  40817  jm2.19lem3  40820  jm2.19lem4  40821  jm2.25  40828  inductionexd  41772  fzisoeu  42846  uzubioo  43112  wallispilem4  43616  etransclem44  43826  gbowgt5  45225  mogoldbb  45248  nnsum4primesevenALTV  45264  2zlidl  45503