Theorem zaddcld 12094

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12025	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158   + caddc 10542  ℤcz 11984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985

This theorem is referenced by:  zadd2cl  12098  qaddcl  12367  elincfzoext  13098  eluzgtdifelfzo  13102  fladdz  13198  seqshft2  13399  expaddzlem  13475  sqoddm1div8  13607  ccatass  13944  cshf1  14174  2cshw  14177  2cshwcshw  14189  fsumrev2  15139  isumshft  15196  divcnvshft  15212  dvds2ln  15644  sadadd3  15812  sadaddlem  15817  sadadd  15818  bezoutlem4  15892  lcmgcdlem  15952  divgcdcoprm0  16011  hashdvds  16114  pythagtriplem4  16158  pythagtriplem11  16164  pcaddlem  16226  gzmulcl  16276  4sqlem8  16283  4sqlem10  16285  4sqlem11  16293  4sqlem14  16296  4sqlem16  16298  prmgaplem7  16395  prmgaplem8  16396  gsumsgrpccat  18006  gsumccatOLD  18007  mulgdir  18261  mndodconglem  18671  chfacfscmulfsupp  21469  chfacfpmmulfsupp  21473  ulmshftlem  24979  ulmshft  24980  dchrptlem2  25843  lgsqrlem2  25925  lgsquad2lem1  25962  2lgsoddprmlem2  25987  2sqlem4  25999  2sqlem8  26004  2sqmod  26014  crctcshwlkn0lem5  27594  numclwlk2lem2f  28158  ex-ind-dvds  28242  cshwrnid  30637  archirngz  30820  archiabllem2c  30826  qqhghm  31231  qqhrhm  31232  fsum2dsub  31880  breprexplemc  31905  divcnvlin  32966  caushft  35038  prodsplit  39103  pell1234qrmulcl  39459  jm2.18  39592  jm2.19lem3  39595  jm2.19lem4  39596  jm2.25  39603  inductionexd  40512  fzisoeu  41574  uzubioo  41850  wallispilem4  42360  etransclem44  42570  gbowgt5  43934  mogoldbb  43957  nnsum4primesevenALTV  43973  2zlidl  44212