Theorem zaddcld 12584

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12515	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349   + caddc 11012  ℤcz 12471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472

This theorem is referenced by:  zadd2cl  12588  qaddcl  12866  elincfzoext  13626  eluzgtdifelfzo  13630  fladdz  13729  seqshft2  13935  expaddzlem  14012  sqoddm1div8  14150  ccatass  14495  cshf1  14716  2cshw  14719  2cshwcshw  14732  fsumrev2  15689  isumshft  15746  divcnvshft  15762  addmulmodb  16176  dvds2ln  16200  sadadd3  16372  sadaddlem  16377  sadadd  16378  bezoutlem4  16453  lcmgcdlem  16517  divgcdcoprm0  16576  hashdvds  16686  pythagtriplem4  16731  pythagtriplem11  16737  pcaddlem  16800  gzmulcl  16850  4sqlem8  16857  4sqlem10  16859  4sqlem11  16867  4sqlem14  16870  4sqlem16  16872  prmgaplem7  16969  prmgaplem8  16970  gsumsgrpccat  18714  mulgdir  18985  mndodconglem  19420  pzriprnglem10  21397  pzriprng1ALT  21403  chfacfscmulfsupp  22744  chfacfpmmulfsupp  22748  ulmshftlem  26296  ulmshft  26297  dchrptlem2  27174  lgsqrlem2  27256  lgsquad2lem1  27293  2lgsoddprmlem2  27318  2sqlem4  27330  2sqlem8  27335  2sqmod  27345  crctcshwlkn0lem5  29759  numclwlk2lem2f  30321  ex-ind-dvds  30405  cshwrnid  32904  archirngz  33132  archiabllem2c  33138  zringfrac  33492  qqhghm  33961  qqhrhm  33962  fsum2dsub  34581  breprexplemc  34606  divcnvlin  35716  caushft  37751  lcmineqlem22  42033  posbezout  42083  2np3bcnp1  42127  sticksstones7  42135  sticksstones10  42138  aks6d1c6isolem1  42157  aks6d1c6isolem2  42158  bcle2d  42162  aks6d1c7lem1  42163  sumcubes  42296  flt4lem3  42631  pell1234qrmulcl  42838  jm2.18  42971  jm2.19lem3  42974  jm2.19lem4  42975  jm2.25  42982  inductionexd  44138  fzisoeu  45292  uzubioo  45556  wallispilem4  46059  etransclem44  46269  evenwodadd  46879  submodaddmod  47335  zplusmodne  47337  gbowgt5  47756  mogoldbb  47779  nnsum4primesevenALTV  47795  gpgiedgdmellem  48040  gpgvtx1  48048  pgnbgreunbgrlem2lem1  48108  pgnbgreunbgrlem2lem3  48110  2zlidl  48234