Theorem zaddcld 12729

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12658	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413   + caddc 11127  ℤcz 12615

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616

This theorem is used by:  zadd2cl  12733  qaddcl  13015  elincfzoext  13779  eluzgtdifelfzo  13783  fladdz  13886  seqshft2  14092  expaddzlem  14169  sqoddm1div8  14307  ccatass  14654  cshf1  14881  2cshw  14884  2cshwcshw  14896  fsumrev2  15868  isumshft  15928  divcnvshft  15944  addmulmodb  16355  dvds2ln  16379  sadadd3  16551  sadaddlem  16556  sadadd  16557  bezoutlem4  16632  lcmgcdlem  16696  divgcdcoprm0  16755  hashdvds  16866  pythagtriplem4  16911  pythagtriplem11  16917  pcaddlem  16980  gzmulcl  17030  4sqlem8  17037  4sqlem10  17039  4sqlem11  17047  4sqlem14  17050  4sqlem16  17052  prmgaplem7  17149  prmgaplem8  17150  chnccat  18714  gsumsgrpccat  18949  mulgdir  19229  mndodconglem  19668  pzriprnglem10  21703  pzriprng1ALT  21709  chfacfscmulfsupp  23084  chfacfpmmulfsupp  23088  ulmshftlem  26625  ulmshft  26626  dchrptlem2  27501  lgsqrlem2  27583  lgsquad2lem1  27620  2lgsoddprmlem2  27645  2sqlem4  27657  2sqlem8  27662  2sqmod  27672  crctcshwlkn0lem5  30282  numclwlk2lem2f  30857  ex-ind-dvds  30941  cshwrnid  33401  archirngz  33629  archiabllem2c  33635  zringfrac  33964  qqhghm  34498  qqhrhm  34499  fsum2dsub  35115  breprexplemc  35140  divcnvlin  36312  caushft  38511  lcmineqlem22  42916  posbezout  42966  2np3bcnp1  43010  sticksstones7  43018  sticksstones10  43021  aks6d1c6isolem1  43040  aks6d1c6isolem2  43041  bcle2d  43045  aks6d1c7lem1  43046  sumcubes  43188  flt4lem3  43494  pell1234qrmulcl  43696  jm2.18  43829  jm2.19lem3  43832  jm2.19lem4  43833  jm2.25  43840  inductionexd  44995  fzisoeu  46133  uzubioo  46395  wallispilem4  46896  etransclem44  47106  evenwodadd  47729  submodaddmod  48235  zplusmodne  48237  gbowgt5  48678  mogoldbb  48701  nnsum4primesevenALTV  48717  gpgiedgdmellem  48962  gpgvtx1  48970  pgnbgreunbgrlem2lem1  49030  pgnbgreunbgrlem2lem3  49032  2zlidl  49155