Theorem zaddcld 12632

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12562	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7362   + caddc 11036  ℤcz 12519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520

This theorem is referenced by:  zadd2cl  12636  qaddcl  12910  elincfzoext  13673  eluzgtdifelfzo  13677  fladdz  13779  seqshft2  13985  expaddzlem  14062  sqoddm1div8  14200  ccatass  14546  cshf1  14767  2cshw  14770  2cshwcshw  14782  fsumrev2  15739  isumshft  15799  divcnvshft  15815  addmulmodb  16229  dvds2ln  16253  sadadd3  16425  sadaddlem  16430  sadadd  16431  bezoutlem4  16506  lcmgcdlem  16570  divgcdcoprm0  16629  hashdvds  16740  pythagtriplem4  16785  pythagtriplem11  16791  pcaddlem  16854  gzmulcl  16904  4sqlem8  16911  4sqlem10  16913  4sqlem11  16921  4sqlem14  16924  4sqlem16  16926  prmgaplem7  17023  prmgaplem8  17024  chnccat  18587  gsumsgrpccat  18803  mulgdir  19077  mndodconglem  19511  pzriprnglem10  21484  pzriprng1ALT  21490  chfacfscmulfsupp  22838  chfacfpmmulfsupp  22842  ulmshftlem  26371  ulmshft  26372  dchrptlem2  27246  lgsqrlem2  27328  lgsquad2lem1  27365  2lgsoddprmlem2  27390  2sqlem4  27402  2sqlem8  27407  2sqmod  27417  crctcshwlkn0lem5  29901  numclwlk2lem2f  30466  ex-ind-dvds  30550  cshwrnid  33040  archirngz  33269  archiabllem2c  33275  zringfrac  33633  qqhghm  34152  qqhrhm  34153  fsum2dsub  34771  breprexplemc  34796  divcnvlin  35935  caushft  38100  lcmineqlem22  42507  posbezout  42557  2np3bcnp1  42601  sticksstones7  42609  sticksstones10  42612  aks6d1c6isolem1  42631  aks6d1c6isolem2  42632  bcle2d  42636  aks6d1c7lem1  42637  sumcubes  42763  flt4lem3  43099  pell1234qrmulcl  43305  jm2.18  43438  jm2.19lem3  43441  jm2.19lem4  43442  jm2.25  43449  inductionexd  44604  fzisoeu  45755  uzubioo  46017  wallispilem4  46518  etransclem44  46728  evenwodadd  47337  submodaddmod  47811  zplusmodne  47813  gbowgt5  48254  mogoldbb  48277  nnsum4primesevenALTV  48293  gpgiedgdmellem  48538  gpgvtx1  48546  pgnbgreunbgrlem2lem1  48606  pgnbgreunbgrlem2lem3  48608  2zlidl  48732