Theorem zaddcld 12523

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12453	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7329   + caddc 10967  ℤcz 12412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-n0 12327  df-z 12413

This theorem is referenced by:  zadd2cl  12527  qaddcl  12798  elincfzoext  13538  eluzgtdifelfzo  13542  fladdz  13638  seqshft2  13842  expaddzlem  13919  sqoddm1div8  14051  ccatass  14384  cshf1  14613  2cshw  14616  2cshwcshw  14629  fsumrev2  15585  isumshft  15642  divcnvshft  15658  dvds2ln  16089  sadadd3  16259  sadaddlem  16264  sadadd  16265  bezoutlem4  16341  lcmgcdlem  16400  divgcdcoprm0  16459  hashdvds  16565  pythagtriplem4  16609  pythagtriplem11  16615  pcaddlem  16678  gzmulcl  16728  4sqlem8  16735  4sqlem10  16737  4sqlem11  16745  4sqlem14  16748  4sqlem16  16750  prmgaplem7  16847  prmgaplem8  16848  gsumsgrpccat  18567  mulgdir  18823  mndodconglem  19237  chfacfscmulfsupp  22106  chfacfpmmulfsupp  22110  ulmshftlem  25646  ulmshft  25647  dchrptlem2  26511  lgsqrlem2  26593  lgsquad2lem1  26630  2lgsoddprmlem2  26655  2sqlem4  26667  2sqlem8  26672  2sqmod  26682  crctcshwlkn0lem5  28408  numclwlk2lem2f  28970  ex-ind-dvds  29054  cshwrnid  31461  archirngz  31671  archiabllem2c  31677  qqhghm  32177  qqhrhm  32178  fsum2dsub  32828  breprexplemc  32853  divcnvlin  33932  caushft  36017  lcmineqlem22  40305  2np3bcnp1  40350  sticksstones7  40358  sticksstones10  40361  metakunt19  40393  metakunt21  40395  metakunt22  40396  metakunt25  40399  metakunt27  40401  metakunt29  40403  metakunt30  40404  metakunt32  40406  metakunt33  40407  prodsplit  40411  flt4lem3  40735  pell1234qrmulcl  40927  jm2.18  41061  jm2.19lem3  41064  jm2.19lem4  41065  jm2.25  41072  inductionexd  42075  fzisoeu  43163  uzubioo  43430  wallispilem4  43934  etransclem44  44144  gbowgt5  45554  mogoldbb  45577  nnsum4primesevenALTV  45593  2zlidl  45832