MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zaddcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zaddcld 12083
Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
zred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
zaddcld (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld
StepHypRef Expression
1 zred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 zaddcld.1 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
3 zaddcl 12014 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
41, 2, 3syl2anc 587 1 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2112  (class class class)co 7139   + caddc 10533  cz 11973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974
This theorem is referenced by:  zadd2cl  12087  qaddcl  12356  elincfzoext  13094  eluzgtdifelfzo  13098  fladdz  13194  seqshft2  13396  expaddzlem  13472  sqoddm1div8  13604  ccatass  13937  cshf1  14167  2cshw  14170  2cshwcshw  14182  fsumrev2  15132  isumshft  15189  divcnvshft  15205  dvds2ln  15637  sadadd3  15803  sadaddlem  15808  sadadd  15809  bezoutlem4  15883  lcmgcdlem  15943  divgcdcoprm0  16002  hashdvds  16105  pythagtriplem4  16149  pythagtriplem11  16155  pcaddlem  16217  gzmulcl  16267  4sqlem8  16274  4sqlem10  16276  4sqlem11  16284  4sqlem14  16287  4sqlem16  16289  prmgaplem7  16386  prmgaplem8  16387  gsumsgrpccat  17999  gsumccatOLD  18000  mulgdir  18254  mndodconglem  18664  chfacfscmulfsupp  21467  chfacfpmmulfsupp  21471  ulmshftlem  24987  ulmshft  24988  dchrptlem2  25852  lgsqrlem2  25934  lgsquad2lem1  25971  2lgsoddprmlem2  25996  2sqlem4  26008  2sqlem8  26013  2sqmod  26023  crctcshwlkn0lem5  27603  numclwlk2lem2f  28165  ex-ind-dvds  28249  cshwrnid  30664  archirngz  30871  archiabllem2c  30877  qqhghm  31337  qqhrhm  31338  fsum2dsub  31986  breprexplemc  32011  divcnvlin  33072  caushft  35192  lcmineqlem22  39331  2np3bcnp1  39339  metakunt19  39359  metakunt21  39361  metakunt22  39362  metakunt25  39365  metakunt27  39367  metakunt29  39369  metakunt30  39370  prodsplit  39373  pell1234qrmulcl  39783  jm2.18  39916  jm2.19lem3  39919  jm2.19lem4  39920  jm2.25  39927  inductionexd  40845  fzisoeu  41919  uzubioo  42191  wallispilem4  42697  etransclem44  42907  gbowgt5  44267  mogoldbb  44290  nnsum4primesevenALTV  44306  2zlidl  44545
  Copyright terms: Public domain W3C validator