MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zaddcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zaddcld 12612
Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
zred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
zaddcld (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld
StepHypRef Expression
1 zred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 zaddcld.1 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
3 zaddcl 12544 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
41, 2, 3syl2anc 585 1 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  (class class class)co 7358   + caddc 11055  cz 12500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-n0 12415  df-z 12501
This theorem is referenced by:  zadd2cl  12616  qaddcl  12891  elincfzoext  13631  eluzgtdifelfzo  13635  fladdz  13731  seqshft2  13935  expaddzlem  14012  sqoddm1div8  14147  ccatass  14477  cshf1  14699  2cshw  14702  2cshwcshw  14715  fsumrev2  15668  isumshft  15725  divcnvshft  15741  dvds2ln  16172  sadadd3  16342  sadaddlem  16347  sadadd  16348  bezoutlem4  16424  lcmgcdlem  16483  divgcdcoprm0  16542  hashdvds  16648  pythagtriplem4  16692  pythagtriplem11  16698  pcaddlem  16761  gzmulcl  16811  4sqlem8  16818  4sqlem10  16820  4sqlem11  16828  4sqlem14  16831  4sqlem16  16833  prmgaplem7  16930  prmgaplem8  16931  gsumsgrpccat  18651  mulgdir  18909  mndodconglem  19324  chfacfscmulfsupp  22211  chfacfpmmulfsupp  22215  ulmshftlem  25751  ulmshft  25752  dchrptlem2  26616  lgsqrlem2  26698  lgsquad2lem1  26735  2lgsoddprmlem2  26760  2sqlem4  26772  2sqlem8  26777  2sqmod  26787  crctcshwlkn0lem5  28762  numclwlk2lem2f  29324  ex-ind-dvds  29408  cshwrnid  31818  archirngz  32028  archiabllem2c  32034  qqhghm  32572  qqhrhm  32573  fsum2dsub  33223  breprexplemc  33248  divcnvlin  34308  caushft  36223  lcmineqlem22  40510  2np3bcnp1  40555  sticksstones7  40563  sticksstones10  40566  metakunt19  40598  metakunt21  40600  metakunt22  40601  metakunt25  40604  metakunt27  40606  metakunt29  40608  metakunt30  40609  metakunt32  40611  metakunt33  40612  prodsplit  40616  flt4lem3  40989  pell1234qrmulcl  41181  jm2.18  41315  jm2.19lem3  41318  jm2.19lem4  41319  jm2.25  41326  inductionexd  42434  fzisoeu  43541  uzubioo  43812  wallispilem4  44316  etransclem44  44526  gbowgt5  45961  mogoldbb  45984  nnsum4primesevenALTV  46000  2zlidl  46239
  Copyright terms: Public domain W3C validator