Theorem zaddcld 12726

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12657	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431   + caddc 11158  ℤcz 12613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614

This theorem is referenced by:  zadd2cl  12730  qaddcl  13007  elincfzoext  13762  eluzgtdifelfzo  13766  fladdz  13865  seqshft2  14069  expaddzlem  14146  sqoddm1div8  14282  ccatass  14626  cshf1  14848  2cshw  14851  2cshwcshw  14864  fsumrev2  15818  isumshft  15875  divcnvshft  15891  addmulmodb  16303  dvds2ln  16326  sadadd3  16498  sadaddlem  16503  sadadd  16504  bezoutlem4  16579  lcmgcdlem  16643  divgcdcoprm0  16702  hashdvds  16812  pythagtriplem4  16857  pythagtriplem11  16863  pcaddlem  16926  gzmulcl  16976  4sqlem8  16983  4sqlem10  16985  4sqlem11  16993  4sqlem14  16996  4sqlem16  16998  prmgaplem7  17095  prmgaplem8  17096  gsumsgrpccat  18853  mulgdir  19124  mndodconglem  19559  pzriprnglem10  21501  pzriprng1ALT  21507  chfacfscmulfsupp  22865  chfacfpmmulfsupp  22869  ulmshftlem  26432  ulmshft  26433  dchrptlem2  27309  lgsqrlem2  27391  lgsquad2lem1  27428  2lgsoddprmlem2  27453  2sqlem4  27465  2sqlem8  27470  2sqmod  27480  crctcshwlkn0lem5  29834  numclwlk2lem2f  30396  ex-ind-dvds  30480  cshwrnid  32946  archirngz  33196  archiabllem2c  33202  zringfrac  33582  qqhghm  33989  qqhrhm  33990  fsum2dsub  34622  breprexplemc  34647  divcnvlin  35733  caushft  37768  lcmineqlem22  42051  posbezout  42101  2np3bcnp1  42145  sticksstones7  42153  sticksstones10  42156  aks6d1c6isolem1  42175  aks6d1c6isolem2  42176  bcle2d  42180  aks6d1c7lem1  42181  metakunt19  42224  metakunt21  42226  metakunt22  42227  metakunt25  42230  metakunt27  42232  metakunt29  42234  metakunt30  42235  metakunt32  42237  metakunt33  42238  prodsplit  42241  sumcubes  42347  flt4lem3  42658  pell1234qrmulcl  42866  jm2.18  43000  jm2.19lem3  43003  jm2.19lem4  43004  jm2.25  43011  inductionexd  44168  fzisoeu  45312  uzubioo  45580  wallispilem4  46083  etransclem44  46293  evenwodadd  46903  submodaddmod  47343  zplusmodne  47345  gbowgt5  47749  mogoldbb  47772  nnsum4primesevenALTV  47788  gpgedgel  48007  gpgvtx1  48009  2zlidl  48156