Theorem opoe 16340

Description: The sum of two odds is even. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
opoe	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem opoe

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 16318	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴))
2		odd2np1 16318	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵))
3	1, 2	bi2anan9 638	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵)))
4		reeanv 3210	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵))
5		2z 12572	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		zaddcl 12580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
7	6	peano2zd 12648	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝑎 + 𝑏) + 1) ∈ ℤ)
8		dvdsmul1 16254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 𝑏) + 1) ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)))
9	5, 7, 8	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)))
10		zcn 12541	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
11		zcn 12541	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
12		addcl 11157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℂ)
13		2cn 12268	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		ax-1cn 11133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		adddi 11164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑎 + 𝑏) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + (2 · 1)))
16	13, 14, 15	mp3an13 1454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 + 𝑏) ∈ ℂ → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + (2 · 1)))
17	12, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + (2 · 1)))
18		adddi 11164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · (𝑎 + 𝑏)) = ((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)))
19	13, 18	mp3an1 1450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · (𝑎 + 𝑏)) = ((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)))
20	19	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + (2 · 1)) = (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (2 · 1)))
21	17, 20	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (2 · 1)))
22		2t1e2 12351	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 1) = 2
23		df-2 12256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 = (1 + 1)
24	22, 23	eqtri 2753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
25	24	oveq2i 7401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (2 · 1)) = (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (1 + 1))
26	21, 25	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (1 + 1)))
27		mulcl 11159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (2 · 𝑎) ∈ ℂ)
28	13, 27	mpan 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → (2 · 𝑎) ∈ ℂ)
29		mulcl 11159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · 𝑏) ∈ ℂ)
30	13, 29	mpan 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (2 · 𝑏) ∈ ℂ)
31		add4 11402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((2 · 𝑎) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℂ) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)) → (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (1 + 1)) = (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)))
32	14, 14, 31	mpanr12 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑎) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (1 + 1)) = (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)))
33	28, 30, 32	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (1 + 1)) = (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)))
34	26, 33	eqtrd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)))
35	10, 11, 34	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)))
36	9, 35	breqtrd 5136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 2 ∥ (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)))
37		oveq12 7399	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)) = (𝐴 + 𝐵))
38	37	breq2d 5122	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → (2 ∥ (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)) ↔ 2 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
39	36, 38	syl5ibcom 245	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
40	39	rexlimivv 3180	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵))
41	4, 40	sylbir 235	. . . 4 ⊢ ((∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵))
42	3, 41	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
43	42	imp 406	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵))
44	43	an4s 660	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080  2c2 12248  ℤcz 12536   ∥ cdvds 16229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-dvds 16230

This theorem is referenced by:  sumodd  16365  pythagtriplem11  16803  prmlem0  17083  eupth2lem3lem4  30167  evenwodadd  46893