Theorem opoe 16309

Description: The sum of two odds is even. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
opoe	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem opoe

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 16287	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴))
2		odd2np1 16287	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵))
3	1, 2	bi2anan9 638	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵)))
4		reeanv 3207	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵))
5		2z 12541	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		zaddcl 12549	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
7	6	peano2zd 12617	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝑎 + 𝑏) + 1) ∈ ℤ)
8		dvdsmul1 16223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 𝑏) + 1) ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)))
9	5, 7, 8	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)))
10		zcn 12510	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
11		zcn 12510	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
12		addcl 11126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℂ)
13		2cn 12237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		ax-1cn 11102	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		adddi 11133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑎 + 𝑏) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + (2 · 1)))
16	13, 14, 15	mp3an13 1454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 + 𝑏) ∈ ℂ → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + (2 · 1)))
17	12, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + (2 · 1)))
18		adddi 11133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · (𝑎 + 𝑏)) = ((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)))
19	13, 18	mp3an1 1450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · (𝑎 + 𝑏)) = ((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)))
20	19	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + (2 · 1)) = (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (2 · 1)))
21	17, 20	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (2 · 1)))
22		2t1e2 12320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 1) = 2
23		df-2 12225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 = (1 + 1)
24	22, 23	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
25	24	oveq2i 7380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (2 · 1)) = (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (1 + 1))
26	21, 25	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (1 + 1)))
27		mulcl 11128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (2 · 𝑎) ∈ ℂ)
28	13, 27	mpan 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → (2 · 𝑎) ∈ ℂ)
29		mulcl 11128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · 𝑏) ∈ ℂ)
30	13, 29	mpan 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (2 · 𝑏) ∈ ℂ)
31		add4 11371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((2 · 𝑎) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℂ) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)) → (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (1 + 1)) = (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)))
32	14, 14, 31	mpanr12 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑎) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (1 + 1)) = (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)))
33	28, 30, 32	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (1 + 1)) = (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)))
34	26, 33	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)))
35	10, 11, 34	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)))
36	9, 35	breqtrd 5128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 2 ∥ (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)))
37		oveq12 7378	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)) = (𝐴 + 𝐵))
38	37	breq2d 5114	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → (2 ∥ (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)) ↔ 2 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
39	36, 38	syl5ibcom 245	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
40	39	rexlimivv 3177	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵))
41	4, 40	sylbir 235	. . . 4 ⊢ ((∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵))
42	3, 41	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
43	42	imp 406	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵))
44	43	an4s 660	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049  2c2 12217  ℤcz 12505   ∥ cdvds 16198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-dvds 16199

This theorem is referenced by:  sumodd  16334  pythagtriplem11  16772  prmlem0  17052  eupth2lem3lem4  30210  evenwodadd  46879