MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opoe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opoe 16180
Description: The sum of two odds is even. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
opoe (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ต)) โ†’ 2 โˆฅ (๐ด + ๐ต))

Proof of Theorem opoe
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odd2np1 16158 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐ด โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘Ž) + 1) = ๐ด))
2 odd2np1 16158 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐ต โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘) + 1) = ๐ต))
31, 2bi2anan9 638 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((ยฌ 2 โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ต) โ†” (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘Ž) + 1) = ๐ด โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘) + 1) = ๐ต)))
4 reeanv 3216 . . . . 5 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (((2 ยท ๐‘Ž) + 1) = ๐ด โˆง ((2 ยท ๐‘) + 1) = ๐ต) โ†” (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘Ž) + 1) = ๐ด โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘) + 1) = ๐ต))
5 2z 12466 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„ค
6 zaddcl 12474 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘) โˆˆ โ„ค)
76peano2zd 12543 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) + 1) โˆˆ โ„ค)
8 dvdsmul1 16095 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆฅ (2 ยท ((๐‘Ž + ๐‘) + 1)))
95, 7, 8sylancr 588 . . . . . . . 8 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆฅ (2 ยท ((๐‘Ž + ๐‘) + 1)))
10 zcn 12438 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
11 zcn 12438 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
12 addcl 11067 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘) โˆˆ โ„‚)
13 2cn 12162 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„‚
14 ax-1cn 11043 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„‚
15 adddi 11074 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘Ž + ๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ((๐‘Ž + ๐‘) + 1)) = ((2 ยท (๐‘Ž + ๐‘)) + (2 ยท 1)))
1613, 14, 15mp3an13 1453 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Ž + ๐‘) โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ((๐‘Ž + ๐‘) + 1)) = ((2 ยท (๐‘Ž + ๐‘)) + (2 ยท 1)))
1712, 16syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ((๐‘Ž + ๐‘) + 1)) = ((2 ยท (๐‘Ž + ๐‘)) + (2 ยท 1)))
18 adddi 11074 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐‘Ž + ๐‘)) = ((2 ยท ๐‘Ž) + (2 ยท ๐‘)))
1913, 18mp3an1 1449 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐‘Ž + ๐‘)) = ((2 ยท ๐‘Ž) + (2 ยท ๐‘)))
2019oveq1d 7365 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท (๐‘Ž + ๐‘)) + (2 ยท 1)) = (((2 ยท ๐‘Ž) + (2 ยท ๐‘)) + (2 ยท 1)))
2117, 20eqtrd 2778 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ((๐‘Ž + ๐‘) + 1)) = (((2 ยท ๐‘Ž) + (2 ยท ๐‘)) + (2 ยท 1)))
22 2t1e2 12250 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ยท 1) = 2
23 df-2 12150 . . . . . . . . . . . . 13 2 = (1 + 1)
2422, 23eqtri 2766 . . . . . . . . . . . 12 (2 ยท 1) = (1 + 1)
2524oveq2i 7361 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘Ž) + (2 ยท ๐‘)) + (2 ยท 1)) = (((2 ยท ๐‘Ž) + (2 ยท ๐‘)) + (1 + 1))
2621, 25eqtrdi 2794 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ((๐‘Ž + ๐‘) + 1)) = (((2 ยท ๐‘Ž) + (2 ยท ๐‘)) + (1 + 1)))
27 mulcl 11069 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„‚)
2813, 27mpan 689 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„‚)
29 mulcl 11069 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
3013, 29mpan 689 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
31 add4 11309 . . . . . . . . . . . 12 ((((2 ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚) โˆง (1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((2 ยท ๐‘Ž) + (2 ยท ๐‘)) + (1 + 1)) = (((2 ยท ๐‘Ž) + 1) + ((2 ยท ๐‘) + 1)))
3214, 14, 31mpanr12 704 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 ยท ๐‘Ž) + (2 ยท ๐‘)) + (1 + 1)) = (((2 ยท ๐‘Ž) + 1) + ((2 ยท ๐‘) + 1)))
3328, 30, 32syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 ยท ๐‘Ž) + (2 ยท ๐‘)) + (1 + 1)) = (((2 ยท ๐‘Ž) + 1) + ((2 ยท ๐‘) + 1)))
3426, 33eqtrd 2778 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ((๐‘Ž + ๐‘) + 1)) = (((2 ยท ๐‘Ž) + 1) + ((2 ยท ๐‘) + 1)))
3510, 11, 34syl2an 597 . . . . . . . 8 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ((๐‘Ž + ๐‘) + 1)) = (((2 ยท ๐‘Ž) + 1) + ((2 ยท ๐‘) + 1)))
369, 35breqtrd 5130 . . . . . . 7 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆฅ (((2 ยท ๐‘Ž) + 1) + ((2 ยท ๐‘) + 1)))
37 oveq12 7359 . . . . . . . 8 ((((2 ยท ๐‘Ž) + 1) = ๐ด โˆง ((2 ยท ๐‘) + 1) = ๐ต) โ†’ (((2 ยท ๐‘Ž) + 1) + ((2 ยท ๐‘) + 1)) = (๐ด + ๐ต))
3837breq2d 5116 . . . . . . 7 ((((2 ยท ๐‘Ž) + 1) = ๐ด โˆง ((2 ยท ๐‘) + 1) = ๐ต) โ†’ (2 โˆฅ (((2 ยท ๐‘Ž) + 1) + ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ†” 2 โˆฅ (๐ด + ๐ต)))
3936, 38syl5ibcom 245 . . . . . 6 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((2 ยท ๐‘Ž) + 1) = ๐ด โˆง ((2 ยท ๐‘) + 1) = ๐ต) โ†’ 2 โˆฅ (๐ด + ๐ต)))
4039rexlimivv 3195 . . . . 5 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (((2 ยท ๐‘Ž) + 1) = ๐ด โˆง ((2 ยท ๐‘) + 1) = ๐ต) โ†’ 2 โˆฅ (๐ด + ๐ต))
414, 40sylbir 234 . . . 4 ((โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘Ž) + 1) = ๐ด โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘) + 1) = ๐ต) โ†’ 2 โˆฅ (๐ด + ๐ต))
423, 41syl6bi 253 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((ยฌ 2 โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ต) โ†’ 2 โˆฅ (๐ด + ๐ต)))
4342imp 408 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (ยฌ 2 โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ต)) โ†’ 2 โˆฅ (๐ด + ๐ต))
4443an4s 659 1 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ต)) โ†’ 2 โˆฅ (๐ด + ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3072   class class class wbr 5104  (class class class)co 7350  โ„‚cc 10983  1c1 10986   + caddc 10988   ยท cmul 10990  2c2 12142  โ„คcz 12433   โˆฅ cdvds 16071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-n0 12348  df-z 12434  df-dvds 16072
This theorem is referenced by:  sumodd  16205  pythagtriplem11  16632  prmlem0  16913  eupth2lem3lem4  28961
  Copyright terms: Public domain W3C validator