Theorem opoe 16306

Description: The sum of two odds is even. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
opoe	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem opoe

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 16284	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴))
2		odd2np1 16284	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵))
3	1, 2	bi2anan9 638	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵)))
4		reeanv 3227	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵))
5		2z 12594	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		zaddcl 12602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
7	6	peano2zd 12669	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝑎 + 𝑏) + 1) ∈ ℤ)
8		dvdsmul1 16221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 𝑏) + 1) ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)))
9	5, 7, 8	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)))
10		zcn 12563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
11		zcn 12563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
12		addcl 11192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℂ)
13		2cn 12287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		ax-1cn 11168	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		adddi 11199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑎 + 𝑏) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + (2 · 1)))
16	13, 14, 15	mp3an13 1453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 + 𝑏) ∈ ℂ → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + (2 · 1)))
17	12, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + (2 · 1)))
18		adddi 11199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · (𝑎 + 𝑏)) = ((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)))
19	13, 18	mp3an1 1449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · (𝑎 + 𝑏)) = ((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)))
20	19	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + (2 · 1)) = (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (2 · 1)))
21	17, 20	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (2 · 1)))
22		2t1e2 12375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 1) = 2
23		df-2 12275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 = (1 + 1)
24	22, 23	eqtri 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
25	24	oveq2i 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (2 · 1)) = (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (1 + 1))
26	21, 25	eqtrdi 2789	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (1 + 1)))
27		mulcl 11194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (2 · 𝑎) ∈ ℂ)
28	13, 27	mpan 689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → (2 · 𝑎) ∈ ℂ)
29		mulcl 11194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · 𝑏) ∈ ℂ)
30	13, 29	mpan 689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (2 · 𝑏) ∈ ℂ)
31		add4 11434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((2 · 𝑎) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℂ) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)) → (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (1 + 1)) = (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)))
32	14, 14, 31	mpanr12 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑎) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (1 + 1)) = (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)))
33	28, 30, 32	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (1 + 1)) = (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)))
34	26, 33	eqtrd 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)))
35	10, 11, 34	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)))
36	9, 35	breqtrd 5175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 2 ∥ (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)))
37		oveq12 7418	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)) = (𝐴 + 𝐵))
38	37	breq2d 5161	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → (2 ∥ (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)) ↔ 2 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
39	36, 38	syl5ibcom 244	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
40	39	rexlimivv 3200	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵))
41	4, 40	sylbir 234	. . . 4 ⊢ ((∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵))
42	3, 41	syl6bi 253	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
43	42	imp 408	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵))
44	43	an4s 659	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3071   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115  2c2 12267  ℤcz 12558   ∥ cdvds 16197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-dvds 16198

This theorem is referenced by:  sumodd  16331  pythagtriplem11  16758  prmlem0  17039  eupth2lem3lem4  29484