Theorem opoe 16000

Description: The sum of two odds is even. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
opoe	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem opoe

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 15978	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴))
2		odd2np1 15978	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵))
3	1, 2	bi2anan9 635	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵)))
4		reeanv 3292	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵))
5		2z 12282	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		zaddcl 12290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
7	6	peano2zd 12358	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝑎 + 𝑏) + 1) ∈ ℤ)
8		dvdsmul1 15915	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 𝑏) + 1) ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)))
9	5, 7, 8	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)))
10		zcn 12254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
11		zcn 12254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
12		addcl 10884	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℂ)
13		2cn 11978	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		ax-1cn 10860	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		adddi 10891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑎 + 𝑏) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + (2 · 1)))
16	13, 14, 15	mp3an13 1450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 + 𝑏) ∈ ℂ → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + (2 · 1)))
17	12, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + (2 · 1)))
18		adddi 10891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · (𝑎 + 𝑏)) = ((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)))
19	13, 18	mp3an1 1446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · (𝑎 + 𝑏)) = ((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)))
20	19	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + (2 · 1)) = (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (2 · 1)))
21	17, 20	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (2 · 1)))
22		2t1e2 12066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 1) = 2
23		df-2 11966	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 = (1 + 1)
24	22, 23	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
25	24	oveq2i 7266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (2 · 1)) = (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (1 + 1))
26	21, 25	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (1 + 1)))
27		mulcl 10886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (2 · 𝑎) ∈ ℂ)
28	13, 27	mpan 686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → (2 · 𝑎) ∈ ℂ)
29		mulcl 10886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · 𝑏) ∈ ℂ)
30	13, 29	mpan 686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (2 · 𝑏) ∈ ℂ)
31		add4 11125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((2 · 𝑎) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℂ) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)) → (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (1 + 1)) = (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)))
32	14, 14, 31	mpanr12 701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑎) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (1 + 1)) = (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)))
33	28, 30, 32	syl2an 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (1 + 1)) = (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)))
34	26, 33	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)))
35	10, 11, 34	syl2an 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)))
36	9, 35	breqtrd 5096	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 2 ∥ (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)))
37		oveq12 7264	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)) = (𝐴 + 𝐵))
38	37	breq2d 5082	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → (2 ∥ (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)) ↔ 2 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
39	36, 38	syl5ibcom 244	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
40	39	rexlimivv 3220	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵))
41	4, 40	sylbir 234	. . . 4 ⊢ ((∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵))
42	3, 41	syl6bi 252	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
43	42	imp 406	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵))
44	43	an4s 656	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  2c2 11958  ℤcz 12249   ∥ cdvds 15891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-dvds 15892

This theorem is referenced by:  sumodd  16025  pythagtriplem11  16454  prmlem0  16735  eupth2lem3lem4  28496